ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN – CƠ – TIN

Thành viên trong nhóm:
Nguyễn Thị Tuyết Lan
Đặng Hải Anh
Nguyễn Việt Hà
Đỗ Trung Tùng

ĐỊNH LÝ KURATOWSKI
VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN

Ngành Phương Pháp Toán Sơ Cấp
(Chương trình đào tạo Thạc Sĩ)

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Vinh

Hà Nội - 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN – CƠ – TIN

Thành viên trong nhóm:
Nguyễn Thị Tuyết Lan
Đặng Hải Anh
Nguyễn Việt Hà
Đỗ Trung Tùng

ĐỊNH LÝ KURATOWSKI
VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN

Ngành Phương Pháp Toán Sơ Cấp
(Chương trình đào tạo Thạc Sĩ)

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Vinh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... 1
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................... 2
ĐỊNH LÝ KURATOWSKI ............................................................................................... 3
VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN ............................................................................... 3
1. Đồ thị và các khái niệm cơ bản ................................................................................. 3
2. Đồ thị phẳng và các khái niệm cơ bản ..................................................................... 5
2.1. Đặt vấn đề ............................................................................................................. 5
2.2. Các khái niệm cơ bản .......................................................................................... 6
2.3. Luyện tập xác định đồ thị phẳng ........................................................................ 7
2.4. Một số ứng dụng của đồ thị phẳng ..................................................................... 8
3. Các định lý về mối liên hệ số đỉnh, số cạnh và số miền .......................................... 9
4. Một số đồ thị không phẳng ...................................................................................... 12
4.1. K3,3 là đồ thị không phẳng ................................................................................. 12
4.2. K5 là đồ thị không phẳng ................................................................................... 13
5. Định lý Kuratowski .................................................................................................. 13
6. Bài toán tô màu đồ thị .............................................................................................. 24
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 29


LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành bài tiểu luận cuối kì này, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn sự hướng
dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Hải Vinh trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Nhờ sự chỉ bảo ấy mà chúng em có thêm những hiểu biết sâu rộng về môn học Tổ hợp vốn
tưởng như đã quen thuộc với chương trình phổ thơng, đồng thời mỗi người chúng em cũng
nhận thấy rằng mình phải rèn luyện nhiều hơn nữa cả nghiệp vụ và kiến thức chuyên ngành
để cải thiện bản thân, trở thành những người giáo viên hoàn thiện cả đức và tài.
Mặc dù đã cố gắng hết mình để thực hiện nhiệm vụ học tập này nhưng vẫn khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót mà chúng em chưa nhận thấy được. Vì vậy chúng em rất mong nhận
được góp ý của thầy để chúng em có thể rút kinh nghiệm và hồn thiện hơn nữa.
Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn!

1


LỜI NÓI ĐẦU
Bài viết này giới thiệu các khái niệm và định lý cơ bản về lý thuyết đồ thị, trong đó tập
trung vào đồ thị phẳng. Trên cơ sở hình thành các vấn đề cơ bản, chúng em mong muốn
trình bày chứng minh chặt chẽ về định lý Kuratowski, một điều kiện cần và đủ cho đồ thị
phẳng, bên cạnh đó chúng em đề cập đến một số ứng dụng liên quan tới đồ thị phẳng cũng
như định lý Kuratowski.

2


ĐỊNH LÝ KURATOWSKI
VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN
1. Đồ thị và các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Đồ thị G là một cặp có thứ tự (V(G),E(G)), bao gồm tập khác rỗng V(G)
là tập hợp các đỉnh và tập E(G) là tập hợp các cạnh, mỗi cạnh được xem như hình thành

bởi liên kết hai đỉnh của V. Ký hiệu số đỉnh trong tập đỉnh V (G ) bởi  và E (G ) bởi  .
Lưu ý rằng
(i) E(G) có thể là tập rỗng
(ii) Một cạnh có thể liên kết một đỉnh với chính nó.
Định nghĩa 1.2. Một cạnh nối một đỉnh với chính nó được gọi là một khun. Một đồ thị
khơng có khun và giữa hai đỉnh chỉ có nhiều nhất một cạnh nối được gọi là đơn đồ thị.
Ngược lại, các đồ thị có khuyên hay có nhiều nhiều cạnh nối giữa hai đỉnh được gọi chung
là các đa đồ thị.
Định nghĩa 1.3. Một đỉnh được gọi là liên thuộc một cạnh nếu nó là một đỉnh nút của cạnh
đó. Hai đỉnh được gọi là kề nhau nếu chúng được nối bởi một cạnh.
Bậc của đỉnh v, ký hiệu là deg(v), là số cạnh liên thuộc với v. Một khuyên được tính là hai
cạnh. Đặt  : min vV (deg v) và  : max vV (deg v) .
Định nghĩa 1.4. Đường đi W là một tập hợp các đỉnh và cạnh xen kẽ, được ký hiệu là

W  v0e1v1e2 ...ek vk trong đó ei (i  [1, k ], i  ) liên kết vi-1 với vi . Đường đi có tất cả các
đỉnh phân biệt được gọi là đường đi đơn. Đồ thị G liên thông nếu tồn tại một đường đi đơn
giữa mọi cặp đỉnh trong G.
Một đường đi được gọi là khép kín nếu nó có độ dài dương và có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối.
Một đường đi khép kín, khơng có cạnh lặp với các đỉnh phân biệt được gọi là một chu
trình.
3


Hai đường đi được gọi là rời nhau nếu chúng khơng có đỉnh trong chung.

Hai đường đi rời nhau

Hai đường đi có đỉnh trong chung

Cây là một đồ thị mà trong đó hai đỉnh bất kì đều được nối với nhau bằng đúng một đường

đi. Nói cách khác, đồ thị liên thơng bất kì khơng có chu trình là một cây.
Định nghĩa 1.5. H là một đồ thị con của

nếu V ( H )  V (G ), E ( H )  E (G ) , và điểm nút

của tất cả các cạnh trong E(H) có trong V(H). Ngồi ra, nếu

là đồ thị con có tính liên

thơng tối đa (tức H liên thông và không thể nhận thêm bất kì một đỉnh nào mà vẫn duy trì
tính chất này) thì

là một thành phần liên thơng của G. Số lượng các thành phần liên thông

trong G được ký hiệu bởi  (G ) . Cạnh e là một cạnh cắt nếu  (G  e)   (G ) .

Đồ thị có 3 thành phần liên thơng
Định nghĩa 1.6. Một đồ thị đầy đủ là một đồ thị mà mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng
một cạnh duy nhất. Đồ thị đầy đủ n đỉnh được kí hiệu là Kn.
Đồ thị G hai phía nếu tập đỉnh V của nó có thể được chia thành hai tập con khác
rỗng X và Y sao cho mỗi cạnh trong G đều nối một đỉnh trong X với một đỉnh khác trong
Y.
4


Đồ thị G hai phía đầy đủ nếu với mọi x  X , y  Y , x được nối với y bằng một cạnh
duy nhất. Khi X chứa m đỉnh và Y chứa n đỉnh, G được ký hiệu là Km,n.

Đồ thị K5

Đồ thị K3,3

2. Đồ thị phẳng và các khái niệm cơ bản
2.1. Đặt vấn đề
Bài toán cổ “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà ở gần ba cái giếng sao cho:
- Khơng có đường nối trực tiếp giữa các nhà với nhau.
- Khơng có đường nối trực tiếp giữa các giếng với nhau.
- Mỗi nhà đều có đường đi đến cả 3 giếng.

Hỏi: Có cách làm các đường này mà đôi một không giao nhau hay khơng (ngồi các điểm
là nhà hay giếng)?
Biểu diễn bài tốn cổ trên bằng đồ thị

5


- Coi mỗi nhà tương ứng với một đỉnh.
- Coi mỗi giếng cũng tương ứng với một đỉnh.
- Mỗi đường đi giữa một nhà và một giếng tương ứng với một cạnh.
Khi đó, ta được đồ thị như sau:

Ta thấy đây chính là hình ảnh của đồ thị K3,3, vậy câu hỏi của bài toán cổ lúc này chuyển
thành: Tồn tại hay khơng cách vẽ đồ thị hai phía đầy đủ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho
khơng có hai cạnh nào cắt nhau?
2.2. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2.1. Một đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên một mặt phẳng
sao cho khơng có hai cạnh nào cắt nhau ở một điểm không phải là đỉnh của đồ thị. Việc vẽ
đồ thị trên mặt phẳng gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị.

Một biểu diễn phẳng của đồ thị G

6


Định nghĩa 2.2. Cho G là đồ thị phẳng. Các cạnh của đồ thị chia mặt phẳng thành các
miền, số miền được kí hiệu là  . Bậc của miền, kí hiệu bởi deg( f ) , là số các cạnh liên
thuộc miền f , trong đó cạnh cắt được tính là hai cạnh.

Đồ thị phẳng G có 3 miền
Định nghĩa 2.3. Đồ thị đối ngẫu của một đồ thị mặt phẳng G là một đồ thị G* trong đó
có mỗi đỉnh v* tương ứng cho mỗi miền f của đồ thị G, và có mỗi cạnh e* tương ứng với
mỗi cạnh e của G. Hai đỉnh v* và w* trong G* được liên kết bởi cạnh e* khi và chỉ khi
miền tương ứng f và g trong G được phân chia bởi e.

G’ là đồ thị đối ngẫu của G
2.3. Luyện tập xác định đồ thị phẳng
Bài toán 2.4. Hãy xác định đồ thị phẳng trong các đồ thị sau và biểu diễn phẳng tương
ứng.

7


2.4. Một số ứng dụng của đồ thị phẳng
Sản xuất bảng mạch điện tử
Ta có thể biểu diễn một bảng mạch bằng đồ thị như sau:
- Mỗi thành phần của bảng mạch ứng với một đỉnh.
- Mỗi nối giữa hai thành phần ứng với một cạnh.
Nếu biểu diễn được mạch bằng một đồ thị phẳng thì ta có thể in nó trên một bảng mạch
đơn. Nếu khơng biểu diễn được mạch bằng đồ thị phẳng thì ta phải chia đồ thị thành các
đồ thị con phẳng, khi đó, ta cần sử dụng bảng mạch đa lớp, chi phí in mạch sẽ lớn hơn.

Xây dựng mạng giao thông
Giả sử cần xây dựng một mạng giao thơng kết nối một nhóm các thành phố, ta sẽ biểu diễn
bằng đồ thị như sau:
- Mỗi thành phố ứng với một đỉnh.
- Mỗi đường đi trực tiếp giữa hai thành phố ứng với một cạnh.
8


Nếu biểu diễn được mạng giao thông bằng một đồ thị phẳng thì ta sẽ tiết kiệm được chi phí
xây dựng các cầu vượt, hầm chui.
3. Các định lý về mối liên hệ số đỉnh, số cạnh và số miền
Định lý 3.1. Cho đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E, khi đó

 deg(v)  2
vV

Chứng minh. Với v  V , e  E , gọi n(v) là tập các cạnh liên thuộc với v và m(e) là tập các
điểm nút của e, khi đó:








 deg(v)     1     1  2
vV

vV

 en ( v ) 

eE

 vm ( e ) 

Định lý 3.2. Cho G là đồ thị phẳng và F(G) là tập các miền của G. Khi đó



deg( f )  2

f F ( G )

Chứng minh. Xét G* là đồ thị đối ngẫu của G, theo định lý 3.1,

 deg(v*)  2 *

v *V *

Theo định nghĩa đồ thị đối ngẫu, f  F (G ), deg( f )  deg(v*),    * . Do đó ta có



f F ( G )

deg( f ) 

 deg(v*)  2 *  2

v *V *

Định lý 3.3. (Công thức Euler) Cho G là đơn đồ thị liên thông phẳng, với  đỉnh,  cạnh,

 miền (trên biểu diễn phẳng của G), khi đó ta có:

    2
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số cạnh:
Khi   0 , vì G là liên thơng nên khi đó   1,   0,   1

9


      1 0 1  2
Giả sử đúng với mọi đồ thị liên thông phẳng với  (G )  k  1 ,

 (G) –  (G)   (G)  2
Cần chứng minh đúng với mọi đồ thị liên thông phẳng với   k
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: G là một cây có   k :
Vì G là cây nên     1    k  1;   1

       k  1  k  1  2 (đúng)
Trường hợp 2: G khơng là một cây thì G có chu trình
Chọn e là một cạnh trong chu trình bất kỳ. Xét đồ thị G – e .
Đồ thị mới có (  1) cạnh,  đỉnh và (  1) miền (vì hai miền kề với e được gộp lại thành
một)
Theo giả thiết quy nạp cho đồ thị G – e với (k – 1) cạnh:

  (e  1)  (  1)  2
    2
Vậy giả thiết đúng với mọi đồ thị liên thông phẳng.
Hệ quả 3.4. Cho G là một đơn đồ thị phẳng với   3 , khi đó ta có   3  6
Chứng minh. Gọi G’ là một biểu diễn phẳng của đơn đồ thị G. Với f  F (G ') , ta xét 2
trường hợp.
Trường hợp 1: Miền f được giới hạn bởi một chu trình, do một chu trình có độ dài nhỏ nhất
bằng 3 nên deg( f )  3 .

10


Trường hợp 2: Miền f không liên thuộc với chu trình nào, khi đó tồn tại ít nhất 2 cạnh cắt
trên biên của f (bởi nếu khơng tồn tại thì phần cịn lại của biên phải là một chu trình, mâu
thuẫn với giả thiết), tức là deg( f )  4  3 .
Như vậy, với mọi f  F (G ')



deg( f )  3 (G ')

f F ( G ')

Theo định lý 3.2,



deg( f )  2 (G ')  3 (G ')

f F ( G ')

suy ra

2
3

 (G ')   (G ')
Theo định lý 3.3,

2
3

 (G ')   (G ')   (G ')  2   (G ')   (G ')   (G ')
1
  (G ')   (G ')
3
1
  (G )   (G )
3

1
Vậy  (G )   (G )  2 hay   3  6 .
3

11


4. Một số đồ thị không phẳng
4.1. K3,3 là đồ thị không phẳng

Hai biểu diễn của đồ thị K3,3
Chứng minh. Chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử K3,3 là đồ thị phẳng. Khi đó tồn tại một biểu diễn phẳng của K3,3 thỏa mãn công thức
Euler       2 . Lưu ý ở đây   6,   9 .
K3,3 một đồ thị hai phía nên khơng có chu trình lẻ. Do đó, mỗi miền được xác định bởi ít
nhất 4 cạnh của K3,3.
Tuy nhiên, mỗi cạnh được đếm 2 lần khi xét biên của các miền. Từ đây, ta có :


2e
9
    4,5
4
2

Thay vào cơng thức Euler, ta có:
2   –     6  9  4,5  1,5

điều này vô lý.
12


Như vậy, giả sử là sai, ta khẳng định K3,3 không thể là đồ thị phẳng.
4.2. K5 là đồ thị không phẳng
Chứng minh.

Đồ thị K5
Theo hệ quả 3.4, một đồ thị phẳng phải thỏa mãn   3  6
Ta có   10,  5 nên 3  6  9
Khi đó, 10 khơng nhỏ hơn 9, như vậy K5 không là đồ thị phẳng.

5. Định lý Kuratowski
Năm 1930, Kuratowski công bố định lý về điều kiện cần và đủ để một đồ thị là đồ thị
phẳng. Định lý Kuratowski phát biểu rằng một đồ thị là đồ thị phẳng khi và chỉ khi nó
khơng chứa đồ thị con là đồng phôi của K5 và K3,3. Để chứng minh định lý này, ta cần một
số bổ đề.
Bổ đề 5.1. Mọi đồ thị con của đồ thị phẳng là đồ thị phẳng.
Chứng minh. G là một đồ thị phẳng, tức là tồn tại một biểu diễn phẳng của G. Với mỗi đồ
thị con H của G, ta có thể tìm được các đỉnh và cạnh của H trong biểu diễn phẳng của G.
Từ đó, ta xây dựng được một biểu diễn phẳng của H.
Định nghĩa 5.2. Phép phân chia sơ cấp của đồ thị G ứng với cạnh uv là phép thay cạnh đó
bởi 2 cạnh uw và wv với w là một đỉnh trong được thêm vào đồ thị.

13


Đồng phôi của đồ thị G là đồ thị được tạo bởi một chuỗi các phép phân chia sơ cấp của G.

S(G) là đồng phôi của đồ thị G
Bổ đề 5.3. Nếu một đồ thị khơng phẳng thì mọi đồng phơi của nó đều khơng phẳng.
Chứng minh. Giả sử tồn tại biểu diễn phẳng G’ của đồng phôi của đồ thị không phẳng G.
Trên biểu diễn phẳng G’, khi bỏ các đỉnh được tạo từ đồng phôi cạnh và xây dựng lại cạnh
ban đầu của đồ thị, ta được biểu diễn phẳng của G và do đó G là đồ thị phẳng. Điều này
mâu thuẫn với điều giả sử, như vậy, nếu G khơng phẳng thì mọi đồng phơi của nó đều
khơng phẳng.
Từ hai bổ đề trên, ta dễ dàng chứng minh được điều kiện cần. Để chứng minh điều kiện
đủ, ta cần chứng minh nếu G không phẳng, G chắc chắn chứa đồng phôi của K5 hoặc K3,3.
Hai định nghĩa sau đây cần thiết cho chứng minh tính tương đương của định lý.
Định nghĩa 5.4. Đỉnh v được gọi là đỉnh cắt trong đồ thị G nếu G \ {v} có số thành phần
liên thơng lớn hơn G (tức là số thành phần liên thông tăng lên khi bỏ v và các cạnh liên
thuộc với nó).

Đồ thị G được gọi là 2-liên thơng (song liên thơng) nếu nó liên thơng và khơng có đỉnh cắt,
tức là nếu loại bỏ một đỉnh bất kì thì G vẫn liên thơng, muốn làm mất tính liên thơng của
G thì ta phải loại bỏ 2 đỉnh. Tổng quát hóa định nghĩa trên, thay 2 bằng k, ta có định nghĩa
đồ thị k-liên thơng.
14


Đồ thị 2-liên thông
Định nghĩa 5.5. Cho đồ thị G, H là đồ thị con thực sự của G nếu V ( H )  V (G ) và
E ( H )  E (G ) . Đồ thị không phẳng cực tiểu là đồ thị không phẳng mà không có đồ thị con

thực sự khơng phẳng.
Để chứng minh điều kiện đủ, ta sẽ chứng minh hai điều sau:
(1) Nếu tồn tại đồ thị không phẳng cực tiểu không chứa đồ thị con là đồng phơi của K5, K3,3
thì đồ thị đó là 3-liên thơng và là đơn đồ thị.
(2) Mọi đồ thị 3-liên thơng khơng có đồ thị con là đồng phôi của K5, K3,3 là đồ thị phẳng.
Để chứng minh (1), ta cần thêm một số bổ đề.
Bổ đề 5.6. Đồ thị không phẳng cực tiểu là 2-liên thông.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra rằng đồ thị khơng phẳng cực tiểu là 1-liên thơng (hay
cịn gọi là liên thông). Giả sử G không liên thông và không phẳng nhưng mọi thành phần
liên thơng của nó là phẳng. Khơng mất tính tổng qt, giả sử G có hai thành phần liên thơng
là G1 và G2. Vì G1 và G2 đều phẳng, ta có thể đặt một biểu diễn phẳng của G1 vào một trong
các miền của biểu diễn phẳng của G2 (ví dụ là miền vơ hạn). Khi đó, ta được một biểu diễn
phẳng của G, mâu thuẫn với giả thiết G không phẳng.
Ta chứng minh G là 2-liên thông. Giả sử G không phẳng và G là 1-liên thơng. Theo định
nghĩa của tính liên thơng, tồn tại một đỉnh v sao cho G \ {v} không liên thơng. Khơng mất
tính tổng qt, giả sử G \ {v} có hai thành phần liên thơng là H1 và H2. Do tính cực tiểu của
G nên H1  v và H 2  v đều là đồ thị phẳng. Khi đó, ta có thể biểu diễn phẳng mỗi đồ thị
này với v nằm trên biên của miền vô hạn. Kết hợp H1  v và H 2  v bằng cách hợp nhất
15

v, ta được một biểu diễn phẳng của G, mâu thuẫn với giả thiết G không phẳng. Vậy nếu G
là đồ thị không phẳng cực tiểu, G là 2-liên thông.

Bổ đề 5.7. Nếu G là đồ thị có ít cạnh nhất trong tất cả các đồ thị liên thông không phẳng
khơng chứa đồng phơi của K 3,3 và K5 thì G là 3 – liên thông.
Chứng minh. Giả thiết cho thấy G là đồ thị không phẳng cực tiểu. Theo bổ đề 2.6, G là 2
– liên thơng. Khi đó, tồn tại cặp đỉnh u, v sao cho G \ u , v không liên thông. Gọi các
thành phần liên thông của G \ u , v là H1, H2 ,..., Hk . Xây dựng M1, M2 ,..., Mk , với M i
là Hi  u, v cùng với việc bổ sung thêm cạnh mới u v . Cần chứng minh rằng trong

Mi , 1 i  k, tồn tại ít nhất một M i là không phẳng:
Giả sử tất cả M i là phẳng với 1  i  k . Khi đó, tồn tại các biểu diễn phẳng cho mỗi M i .
Vì u, v và cạnh uv là phần chung duy nhất giữa các M i , ta có thể hợp nhất các biểu diễn
phẳng của M i và từ đó có biểu diễn phẳng của G uv (G {uv}) , tức là G  uv là một
phẳng. Theo định lý 5.1, G là phẳng, mâu thuẫn. Do đố tồn tại M i 1  i  k  không phẳng.

16


Rõ ràng  ( M j )   (G ) , nhưng vì theo giả thiết, G là đồ thị liên thông không phẳng cực
tiểu không chứa đồng phôi của K 3,3 và K5 nên M j phải có đồng phôi của K5 hoặc K 3,3 .
Hơn nữa, G khơng chứa đồng phơi do đó M j khơng là đồ thị con của G, điều này nghĩa là
G không có cạnh uv. Ta kết hợp M j uv với M p uv

 p  j ,1  p  k  bằng cách hợp

nhất các đỉnh u, v lại và nhận được đồ thị con của G. Bởi M p uv liên thông nên tồn tại
một đường đi giữa u và v. Khi kết hợp đường đi đó với M j  uv, ta có đồng phơi của K5

hoặc K 3,3 . Điều này nghĩa là G bao gồm đồng phơi, mâu thuẫn. Vì vậy, G là 3 – liên thông.

Ta đã chứng minh được (1). Để chứng minh (2), ta cũng cần thêm một số bổ đề.
Bổ đề 5.8 (Định lý Whitney) Cho G là một đồ thị với υ  3. Khi đó, G là 2 – liên thông khi
và chỉ khi với mọi u, v  V G, có ít nhất hai đường đi rời nhau giữa chúng.
Chứng minh.  Nếu 2 đỉnh bất kì trong G được liên kết bởi ít nhất 2 đường đi rời nhau
thì khơng tồn tại đỉnh cắt (vì cho dù đỉnh nào bị loại bỏ thì vẫn ln tồn tại ít nhất một
đường ở giữa chúng). Do đó, G là 2 – liên thông.

 Giả sử G là 2 – liên thông. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Lấy 2 đỉnh u, v  V G  ,
kí hiệu số cạnh trong đường đi ngắn nhất giữa chúng bởi d u, v.

17


Xét d u, v  1. Vì G là 2 – liên thông nên tồn tại đường đi liên kết u và v mà không chứa
cạnh uv.
Giả sử tồn tại ít nhất 2 đường đi rời nhau giữa mọi cặp u, v với d u, v  k . Với x, y mà

d  x, y  k 1, cần tìm đường đi P0 có độ dài d  x, y  giữa x, y và đỉnh z gần y nhất (

d ( y , z )  1 ) trong P0 . Khi đó, d ( x , z )  d ( x , y )  1 . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại
hai đường đi rời nhau P1 và P2 giữa x, z. Bởi G là 2 – liên thông, tồn tại đường đi Q liên
kết x, y không chứa z. Gọi w là đỉnh trong Q   P1  P2  sao cho gần với y nhất trên Q.
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử w nằm trong P1 . Khi đó, ta tìm được hai đường đi rời
nhau giữa x, y: đường thứ nhất là phần từ x đến w trên P1 kết hợp với với phần từ w đến y
trên Q; đường thứ hai là P2 được kết hợp với cạnh zy.
Bổ đề 5.9. Nếu G là đơn đồ thị và 3 – liên thông với uv là cạnh trong G thì G  uv là 2liên thơng.
Chứng minh. Cần chứng minh với mọi a, b  V G  uv, tồn tại ít nhất hai đường đi rời
nhau giữa chúng. Nói cách khác, ta cần chứng minh với mỗi hai đỉnh của G  uv , tồn tại

một chu trình mà cả hai đỉnh đều nằm trên đó. Ta chứng minh với 3 trường hợp.
Trường hợp 1: a, b  u, v. Rõ ràng v G  4. Chọn bất kì hai đỉnh c và d trong G  uv
. Khơng mất tính tổng qt, giả sử u  a . Xét u và c. Vì G là 3 – liên thông nên G không
chứa 2 đỉnh cắt nào, nghĩa là khi loại bỏ v và d, u và c vẫn liên kết với nhau. Nói cách khác,
tồn tại đường đi P1 giữa u và c mà không chứa v và d. Tương tự, tồn tại đường đi P2 giữa
c và v không chứa u và d, đường đi P3 nằm giữa v và d và không chứa u và c, và cuối cùng
là đường P4 nằm giữa d và u không chứa c và v. Như vậy, u và v nằm trên cùng một chu
kì u  P1 c  P2 v  P3 d  P4 u .

18


Trường hợp 2: Trong a, b chỉ có u hoặc v. Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  u và

b  v. Ta tìm c  b và không là u và v. Thực hiện tương tự như trường hợp 1, ta có thể tìm
được đường đi P1 giữa u và b không chứa c, đường đi P2 giữa c và b không chứa u và v,
đường đi P3 giữa c và u khơng chứa v. Ta có u, b cùng nằm trên một chu kì

u  P1 b  P2 c  P3 u.
Trường hợp 3: Cả u và v đều không thuộc a, b . Thực hiện tương tự, ta có thể tìm được
đường đi P1 giữa a, b không chứa u, v, đường đi P2 giữa v, b không chứa u, a và đường
đi P3 giữa a, v khơng chứa u, b. Khi đó a, b cùng nằm trên một chu kì

a  P1 b  P2 v  P3 a.
Từ 3 trường hợp, ta thấy ln tìm được chu trình khơng chứa cạnh uv mà cả hai đỉnh a, b
đều nằm trên đó, tức G  uv là 2-liên thông.
Định nghĩa 5.10. Cho H là đồ thị con của đồ thị G. Một quan hệ tương đương ~ trên
E(G)\E(H) được định nghĩa như sau: a  b nếu tồn tại một đường đi W sao cho a và b lần
lượt là cạnh đầu tiên và cạnh cuối cùng trong W và khơng có đỉnh trong của W nằm trong
V(H).

Một cầu của H trong G là một đồ thị con của G – E(H) được tạo bởi một lớp tương đương
của  (một cầu chứa e là một đồ thị con chứa mọi cạnh e’, e '  e , e và e’ là các cạnh của
G). Đối với cầu B của H, ta định nghĩa đỉnh liên kết của B tới H là những đỉnh trong tập
hợp V ( B )  V ( H ) .

19


Cho C là một chu trình. Khi đó, hai cầu B1 và B2 của C chéo nhau nếu hai đỉnh liên kết
thuộc B1, giả sử là u1 và v1 và hai đỉnh liên kết thuộc B2, giả sử là u2 và v2, xuất hiện theo
thứ tự u1 , u2 , v1 , v2 trong chu trình C.
Định nghĩa 5.11. Giả sử C là chu trình trong một biểu diễn phẳng của đồ thị phẳng G. Khi
đó, với một số cầu B của C, B nằm hoàn toàn trong Int(C) (miền trong của C) hoặc Ext(C)
(miền ngoài của C). Cầu nằm trong Int(C) được gọi là cầu trong, cầu nằm trong Ext(C)
được gọi là cầu ngoài.
Trong biểu diễn phẳng của đồ thị, các cầu trong (hoặc ngoài) tách rời nhau, tức là với mọi
cầu trong (hoặc ngoài) B1, B2, nếu cung uv của C chứa mọi đỉnh liên kết của B1 thì cung
này khơng chứa điểm liên kết nào của B2 ngoài trừ u và v.
Định nghĩa 5.12. Trong biểu diễn phẳng G1 của đồ thị phẳng G, cầu trong B của chu trình
C chuyển đổi đươc nếu tồn tại một biểu diễn phẳng G2 của G sao cho ngoại trừ B lúc này
là cầu ngồi, mọi thứ cịn lại đều giống trong G1.
Định lý 5.13. Cho G là một đồ thị phẳng và C là một chu trình trong G. Cầu trong B của C
chuyển hóa được nếu B tách rời mọi cầu ngồi của C.
Chứng minh. Tìm một cầu trong B tách rời mọi cầu ngồi, từ đó ta có thể tìm một miền
nằm trong Ext(C) sao cho biên của nó chứa tất cả các đỉnh liên kết của B. Vẽ B trên miền
mới, ta được một biểu diễn phẳng khác, tức B chuyển hóa được.

20

Định lý 5.14. (Định lý Kuratowski) Một đồ thị là đồ thị phẳng khi và chỉ khi nó khơng
chứa đồ thị con là đồng phôi của K5 và K3,3.
Chứng minh.

 Giả sử đồ thị G phẳng và chứa đồ thị con H là đồng phôi của K5 hoặc K3,3.
K5 và K3,3 không phẳng nên theo bổ đề 5.3, H không phẳng.
Mặt khác, theo bổ đề 5.1, G phẳng nên đồ thị con H của G cũng là đồ thị phẳng, mâu thuẫn.
Vậy đồ thị con H không là đồng phôi của K5 và K3,3.

 Giả sử tồn tại một đồ thị không phẳng không chứa đồng phôi của K 5 và K 3,3 . Khơng
mất tính tổng qt, gọi G là đồ thị khơng phẳng thì sẽ khơng chứa đồng phơi của K 5 , K 3,3
và có ít cạnh nhất có thể. Khi đó, G là đồ thị khơng phẳng cực tiểu. Theo bổ đề 5.7, G là 3liên thông và là đơn đồ thị. Lấy hai đỉnh kề nhau u, v  V G . Xét đồ thị con G  uv. Do
tính cực tiểu của G nên G  uv là phẳng.
Theo bổ đề 5.9, G  uv là 2 – liên thông. Theo bổ đề 5.8, có ít nhất hai đường đi rời nhau
giữa u và v. Nói cách khác, u và v nằm trên cùng chu trình. Giữa tất cả các chu trình chứa
u, v trong biểu diễn phẳng của G  uv , ta tìm C0 sao cho có nhiều cạnh nhất trong Int C0 
(miền trong của C0 ).
Xét các cầu của C0 trong G  uv (Nnu G  uv không chứa cầu nào của C0 thì rõ ràng khi
thêm cạnh uv, đồ thị là phẳng, tức là G là phẳng, mâu thuẫn). Giả sử tồn tại một cầu với
đỉnh liên kết duy nhất v1 . Khi đó, v1 là một đỉnh cắt của G  uv , điều này mâu thuẫn với
điều kiện G  uv là 2 – liên thông. Do đó, các cầu của C0 trong G  uv có ít nhất hai đỉnh
liên kết. Hơn nữa, nếu một cầu ngồi của C0 có nhiều hơn 2 đỉnh liên kết, ta ln tìm được
một chu trình mới chứa những phần của cầu ngồi và có nhiều cạnh hơn miền trong của
nó. Vì vậy, cầu ngồi của C0 có chính xác 2 đỉnh liên kết. Tương tự, nếu các cầu ngồi
khơng chứa cung uv thì sẽ có một chu trình khác với nhiều cạnh hơn miền trong. Như vậy,
21


mọi cầu ngoài phủ cung uv, nghĩa là với mọi cầu ngồi, khơng phải tất cả các đỉnh liên kết
đều nằm trên cung uv. Ngồi ra, nếu kích thước của cầu ngồi lớn hơn một, tồn tại một

đỉnh khơng nằm trên C0 trong cầu. Khi đó, hai đỉnh liên kết tạo thành hai đỉnh cắt của cả

G  uv và G, điều này mâu thuẫn với điều kiện G là 3 – liên thơng. Do đó, ta có thể kết
luận rằng tất cả các cầu ngồi của C0 có 2 đỉnh liên kết, có kích thước 1 và phủ cung uv.
Ta tìm một cầu ngồi B1 và một cầu trong B2 phủ nhau. Sau đây là giải thích cho việc tìm
được B1, B2 như vậy. Nếu tất cả các cầu của C0 đều là cầu trong (hoặc ngoài), ta vẽ cạnh
uv ở miền ngoài (miền trong) của C0 và được biểu diễn phẳng của G, điều này mâu thuẫn
với giả thiết. Do đó, C0 có cả cầu trong và cầu ngồi. Nếu khơng tồn tại một cặp phủ nhau
nhau, mọi cầu trong của C0 tách rời mọi cầu nối ngoài, theo định lý 5.14, tất cả các cầu
trong của C0 chuyển đổi được. Vì vậy, ta có thể tìm được biểu diễn phẳng của G  uv với

C0 chỉ có cầu ngoài, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Lấy các đỉnh liên kết của B1 là x1 , x2 và với B2 là y1 , y2 , y3 ,... Ta đã biết B2 phủ cung uv
và chéo nhau với B1 . Ta xét 4 trường hợp về vị trí tương đối của B1 , B2 . Khơng mất tính
tổng qt, ta giả sử u , x2 , v, x1 nằm trên cùng chu trình theo chiều kim đồng hồ.
Trường hợp 1: Trong các đỉnh liên kết của B2 , tồn tại y1 , y2 sao cho y1 nằm giữa x1 và v,

y2 nằm giữa x2 và u. Khi đó, G chứa một đồng phôi của K 3,3 , mẫu thuẫn với điều giả sử.

22