định lý kkm và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THANH TRÀ
ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU
VECTƠ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THANH TRÀ
ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU
VECTƠ
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 Kiến thức cơ bản. 4
1.1 Các không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương . . . . . 9
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Ánh xạ KKM. 29
2.1 Định nghĩa và các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 48
3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP )
II
. . . . . . . . . . 51
3.3 Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
KẾT LUẬN 64
Tài liệu tham khảo 65
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Một trong những định lý nổi tiếng nhất của toán học trong thế kỉ trước
là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết
điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích
phi tuyến. Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1912, dựa vào một
công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá
phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý
điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Năm 1929, ba
nhà toán học Ba Lan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh được một kết quả quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM” bằng phương
pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được Nguyên lý điểm bất động
Brouwer.
Bổ đề KKM được chứng minh dựa trên một kết quả của Sperner năm
1928 về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc lĩnh vực toán tổ hợp,

một lĩnh vực tưởng chừng như không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất
động. Một điều thú vị nữa là từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer ta cũng
chứng minh được Bổ đề KKM, từ đó Nguyên lý điểm bất động Brouwer
và Bổ đề KKM là tương đương nhau. Từ đây Bổ đề KKM đã đặt nền tảng
và tạo bước ngoặt lớn cho sự phát triển của ”Lý thuyết KKM”.
Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn
giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer nhưng lại hạn chế do chỉ áp dụng
được cho các không gian vectơ hữu hạn chiều. Để khắc phục điều này, năm
1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cho trường
hợp không gian vectơ tôpô bất kỳ. Định lý của Ky Fan ngày nay được gọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
là ”Nguyên lý ánh xạ KKM”.
Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì,
X là tập con khác rỗng của E và F : X → 2
E
là ánh xạ thỏa mãn
1. F(x) là tập đóng với mọi x ∈ X;
2. co {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂
n

i=1
F (x
i

) với mọi {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ X;
3. F (x
0
) là tập compact với x
0
nào đó thuộc X.
Khi đó

x∈X
F (x) = ∅.
Năm 1972, dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM năm 1961, Ky Fan đã chứng
minh được một kết quả quan trọng mà sau này người ta gọi là ”Bất đẳng
thức Ky Fan”.
Bất đẳng thức Ky Fan. Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì,
X là tập con lồi, compact, khác rỗng của E và f : X × X → R là hàm số
thỏa mãn
1. f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ X;
2. f (x, y) là tựa lõm theo x với mỗi y cố định;
3. f (x, y) là nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định.
Khi đó, tồn tại y
∗
∈ X sao cho f (x, y
∗
) ≤ 0 với mọi x ∈ X.

Từ đây, Bất đẳng thức Ky Fan trở thành một công cụ quan trọng để
nghiên cứu các bài toán như: Tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất
động, điểm cân bằng Nash, điểm yên ngựa,
Đến năm 1984, Ky Fan tiếp tục mở rộng Nguyên lý ánh xạ KKM
và chứng minh một số kết quả quan trọng như: Các định lý ghép đôi
(matching) cho phủ đóng hay phủ mở của các tập lồi, các định lý điểm
trùng và các định lý tương giao cho các tập với thiết diện lồi.
Có thể nói, từ đây Nguyên lý ánh xạ KKM đã thu hút nhiều nhà toán
học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu và suy ra được nhiều kết quả mới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Những kết quả đó cùng rất nhiều dạng mở rộng và tương đương đã được
tập hợp lại dưới cái tên: Lý thuyết KKM. Lý thuyết này đã được sử dụng
rộng rãi như một công cụ hữu ích trong các lĩnh vực như: Lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết minimax, toán kinh tế, tối ưu hóa,
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả cơ bản về định lí
KKM và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ và áp dụng vào
tìm nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Ngoài phần mở
đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về một số không gian
vectơ và về ánh xạ đa trị để tiện cho việc theo dõi luận văn.
Chương 2: Trình bày một số kiến thức về ánh xạ KKM và các ứng
dụng của nó.
Chương 3: Đề cập đến bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, các
định lý về tồn tại nghiệm của nó và một số vấn đề liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp
này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Xin trân trọng cám ơn các thầy, cô giáo thuộc viện toán học và các
thầy, cô giáo của trường ĐHSP Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin thành kính cám ơn bố mẹ đã sinh thành và nuôi dưỡng, cám ơn
những người thân yêu trong gia đình, cũng như bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn bên cạnh ủng hộ, động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Do trình độ còn hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót về nội dung cũng như về cách trình bày, tác giả rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011
Tác giả
Đỗ Thanh Trà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Kiến thức cơ bản.
Trong chương này, trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian
cần dùng như không gian Banach, không gian Hilbert, không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương và một số tính chất của ánh xạ đa trị như tính
liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ để ánh
xạ đa trị liên tục trên và liên tục dưới theo nón. Ta sẽ chỉ ra mối quan hệ
giữa các tính chất này và tổng quát hóa một số kết quả quen biết trong
giải tích hàm, ví dụ một hàm lồi nửa liên tục dưới thì liên tục dưới yếu,
1.1 Các không gian cần dùng
Ta đã biết, khi xét một bài toán, trước tiên phải nói đến không gian, sau
đó mới nghiên cứu đến hàm số. Cùng với sự phát triển của toán học, người
ta đã mở rộng việc xét một bài toán từ không gian chỉ gồm các số lên
các không gian mang tính trừu tượng hơn như: không gian Banach, không
gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, Sau đây, ta sẽ
tóm tắt một số kiến thức cơ bản của một số không gian để tiện cho việc
theo dõi luận văn.

1.1.1 Không gian Banach
Toán học hiện đại được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp cùng với
các hệ tiên đề. Người ta không có định nghĩa chính xác, cụ thể tập hợp là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
gì mà coi chúng như những họ các đối tượng có cùng những tính chất nào
đó. Ví dụ như họ các số nguyên dương là tập hợp các số tự nhiên, họ các
hàm số được định nghĩa trên đoạn [a, b] tạo thành tập hợp các hàm số trên
đoạn thẳng ấy, họ những học sinh cùng học trong lớp học nào đó là tập
hợp các học sinh trong lớp ấy, Các tập hợp thường được kí hiệu bằng
những chữ cái in hoa như: A, X, Y, và các phần tử của chúng thường
được kí hiệu bởi các chữ: a, x, y, Nếu x là phần tử của tập hợp X, ta kí
hiệu x ∈ X. Ta có:
Định nghĩa 1.1.1. a) Với mỗi cặp phần tử x, y của tập hợp X (gọi tắt
là tập X), đều xác định một qui tắc nào đó, một số thực ρ(x, y), gọi là
khoảng cách giữa x và y.
b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ρ(x, y) > 0 nếu x = y; suy ra ρ(x, y) = 0 nếu x = y;
ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với mọi x, y (tính đối xứng);
iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác);
Hàm số ρ(x, y) được gọi là metric của không gian X và cặp (X, ρ) được
gọi là không gian metric.
Ví dụ 1.1. a) Tập M bất kì của tập các số thực R với khoảng cách thông
thường ρ(x, y) = |x − y| là một không gian metric.
b) Không gian n chiều R
n
với khoảng cách ρ(x, y) =
n

i=1

(x
i
− y
i
)
2
(với
x = (x
1
, , x
n
), y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
), là một không gian metric.
Nhận xét: Trên một tập hợp, có thể chọn những metric khác nhau để
có những không gian metric khác nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng dãy điểm x
1
, , x
n
, của một không gian
metric X hội tụ tới điểm x của không gian đó, nếu lim
n→∞
ρ(x
n
, x) = 0. Ta

kí hiệu x
n
→ x hay limx
n
= x, và điểm x được gọi là giới hạn của dãy
{x
n
}.
Nhận xét: Dãy con của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Từ định nghĩa dãy hội tụ, ta có tính chất sau:
1) Nếu x
n
→ x và x
n
→ x

thì x = x’;
2) Nếu x
n
→ x và y
n
→ y thì ρ(x
n
, y
n
) → ρ(x, y).
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp. Nếu trên X có hai phép tính:
phép cộng giữa hai phần tử của X và phép nhân một số (thực hoặc phức)

với một phần tử của X thỏa mãn các điều kiện
1) x, y ∈ X thì x + y ∈ X, với mọi x, y ∈ X;
2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X;
3) x + y = y + x, với mọi x, y ∈ X;
4) Tồn tại 0 ∈ X có tính chất: với mọi x ∈ X thì x + 0 = 0 + x = x.
0 được gọi là phần tử gốc hoặc phần tử trung hòa;
5) Với mọi x ∈ X thì tồn tại (- x) sao cho x + (−x) = 0;
6) 1.x = x, với mọi x ∈ X;
7) l.(k.x) = (l.k).x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X;
8) (l + k).x = l.x + k.x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X;
9) l.(x + y) = l.x + l.y, với mọi l ∈ K, x, y ∈ X.
Khi đó, X được gọi là một không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X là một không gian tuyến tính. Hàm số . :
X → R
+
thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0, với mọi x ∈ X và x = 0 ⇔ x = 0;
ii) λx = |λ| x, với mọi λ ∈ K, x ∈ X;
iii) x + y ≤ x + y, với mọi x, y ∈ X
; được gọi là một chuẩn và cặp (X, .) là một không gian tuyến tính định
chuẩn.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử (X, .) là một không gian tuyến tính định
chuẩn. Dễ thấy, hàm ρ : X × X → R
(x, y) → ρ (x, y) = x − y
là một metric.
Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric. Do
đó, mọi tính chất của không gian metric đều đúng cho không gian tuyến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
tính định chuẩn .

Định nghĩa 1.1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, .) đầy đủ với
metric xác định như trên gọi là một không gian Banach.
Ví dụ 1.2. a)Cho X = R
n
với chuẩn x =

n

i=1
(x
i
)
2
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈
R
n
thì X là không gian Banach.
b) Cho X = C
[a,b]
với chuẩn f = max
x∈[a,b]
|f(x)| , f ∈ X thì X là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.1.7. Cho dãy {x

n
} ⊆ (X, .), lập tổng riêng S
n
=
n

i=1
x
i
.
Nếu S
n
→ S ∈ X, ta nói chuỗi
∞

i=1
x
i
hội tụ và S =
∞

i=1
x
i
là tổng của
chuỗi. Nếu chuỗi
∞

i=1
x

i
 hội tụ thì ta nói chuỗi
∞

i=1
x
i
hội tụ tuyệt đối.
Định lý 1.1.8. Trong không gian Banach X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối
đều hội tụ.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh {S
n
} là dãy cauchy. Thật vậy, với mọi
m > n, S
m
− S
n
 = x
n+1
+ + x
m
 ≤
m

i=n+1
x
i
 → 0 khi n → ∞.Vì
X đầy đủ, nên dãy {S
n

} hội tụ. Do đó, chuỗi
∞

i=1
x
i
hội tụ. Hơn nữa, vì




n

k=1
x
k




≤
n

k=1
x
k
, nên S
n
 ≤
∞


k=1
x
k
. Do đó, S ≤




∞

k=1
x
k




.
Chú ý 1.1. Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng, tức là nếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
thì X là một không gian Banach.
1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có dạng
song tuyến tính ., . : X × X → R
(x, y) → x, y thỏa mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
i) Với mỗi y ∈ X thì ., y : X → R là hàm tuyến tính. Tức là:
αx

1
+ βx
2
, y = α x
1
, y + β x
2
, y, với mọi α, β ∈ R, x
1
, x
2
∈ X;
ii) Với mỗi x ∈ X thì x, . : X → R là hàm tuyến tính. Tức là:
x, αy
1
+ βy
2
 = α x, y
1
 + β x, y
2
, với mọi α, β ∈ R, y
1
, y
2
∈ X;
iii) x, x ≥ 0, với mọi x ∈ X và x, x = 0 ⇔ x = 0
thì X được gọi là không gian tiền Hilbert. Số x, y là tích vô hướng của
hai phần tử x và y.
Mệnh đề 1.1.10. Nếu (X, ., .) là một không gian tiền Hilbert thì

|x, y|
2
≤ x, x y, y với mọi x, y ∈ X (Bất đẳng thức Schwarz).
Chứng minh. Với y = 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.
Giả sử y = 0. Với mọi λ, ta có:
x + λy, x + λy ≥ 0 ⇔ x, x +
−
λ
x, y + λ y, x + |λ|
2
y, y ≥ 0.
Chọn λ = −
x,y
y,y
, thay vào trên, ta được:
x, x −
x,y
y,y
x, y −
x,y
y,y
y, x +
|x,y|
2
|y,y|
2
y, y ≥ 0
⇔ x, x −
|x,y|
2

y,y
≥ 0 ⇔ |x, y|
2
≤ x, x y, y.
Định lý 1.1.11. Nếu (X, ., .) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số
x =

x, x, x ∈ X
là một chuẩn trên X.
Chứng minh. i) Vì x, x ≥ 0 ⇒ x = 0 thì x = 0.
ii) Ta có,λx
2
= λx, λx = |λ|
2
x
2
⇒ λx = |λ| x, với mọi λ ∈ R, x ∈ X.
iii) Với mọi x, y ∈ X, ta có:
x + y
2
= x + y, x + y = x
2
+ y, x + x, y + y
2
≤ x
2
+ 2 |x, y| + y
2
.
Theo bất đẳng thức Schwarz, ta có:

x + y
2
≤ x
2
+ 2 x y + y
2
⇔ x + y
2
≤ (x + y)
2
⇔ x + y ≤ x + y .
Như vậy, không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn và mọi
tính chất của không gian định chuẩn đều đúng đối với không gian tiền
Hilbert.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định nghĩa 1.1.12. Không gian tiền Hilbert đầy đủ đối với metric ρ (x, y) =
x − y =

x − y, x − y là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3. C
n
là một không gian Hilbert với tích vô hướng x, y =
n

i=1
x
i
y
i

trong đó x = (x
1
, , x
n
) , y = (y
1
, , y
n
) ∈ C
n
.
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một không gian tuyến tính. X được gọi là
không gian tôpô nếu trên X có một họ  các tập hợp có tính chất:
i) ∅ ∈ , X ∈ ;
ii) U
1
, U
2
∈  ⇒ U
1
∩ U
2
∈ ;
iii) Mọi U ∈ , tồn tại U
0
⊂ U sao cho U
0
∈ .
Ví dụ 1.4. Cho X là một không gian metric và  là họ các tập mở thì X

là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.14. Cho X là không gian tuyến tính, X là không gian
tôpô mà hai phép toán cộng và nhân liên tục thì X được gọi là không gian
tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.15. Tập con A của không gian vectơ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈ A đều có λx + µy ∈ A, với mọi λ ≥ 0, µ ≥ 0 và
λ + µ = 1.
Định nghĩa 1.1.16. Cho X là không gian tuyến tính, 0 ∈ X là điểm gốc.
Gọi U là họ các lân cận của 0 trong X.
a) Nếu U ∈ U thì tồn tại U
0
⊂ U sao cho U
0
là tập lồi.
b) Cho U
0
⊂ U là họ con của U gồm các tập lồi thì X được gọi là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương.
Định nghĩa 1.1.17. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương X được
gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu, với mỗi
x, y ∈ X, x = y, tồn tại lân cận U
x
, V
y
thỏa mãn U
x
∩ V
y
= ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Sự phát triển của toán học đã mở rộng việc nghiên cứu từ ánh xạ đơn
trị lên thành ánh xạ đa trị với nhiều tính chất mới. Sau đây, ta sẽ ngiên
cứu một số tính chất của ánh xạ đa trị, đặc biệt là tính liên tục và tính
lồi theo nón.
1.2 Ánh xạ đa trị
1.2.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm về nón và ánh xạ đa trị như sau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C ⊆ Y, C = ∅.
Ta nói C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu tc ∈ C, với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, tập hợp C ⊆ Y
được gọi là nón có đỉnh tại điểm x
0
nếu tập C − x
0
là một nón có đỉnh tại
gốc trong Y.
Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm tới nón có đỉnh tại gốc nên gọi
ngắn gọn là nón. Từ định nghĩa nón ở trên, ta có các khái niệm sau:
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nón C được gọi là nón đóng
nếu C là tập đóng. Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và
C là nón trong Y , ta kí hiệu Cl(C), conv(C) là bao đóng và bao lồi của
nón C. Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) , ta thấy rằng, nếu C là nón lồi thì l(C)
là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được gọi là phần
trong tuyến tính của nón C.
Ta có các khái niệm về nón C liên quan đến l(C) như sau:
i) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0} ;
ii) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn;
iii) Nón C được gọi là nón đúng nếu Cl(C) + C\l(C) ⊆ C.
Từ định nghĩa của nón đúng, ta dễ dàng thấy rằng, nếu C là nón đóng thì

C là nón đúng.
Dễ thấy, {0} và Y là những nón tầm thường trong Y.
Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho các khái niệm về nón ở trên:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ví dụ 1.5. a) Cho Y = R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) |x
j
∈ R, j = 1, 2, , n}
Khi đó, C = R
n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
j
≥ 0 , j = 1, 2, , n} là

nón lồi, đóng, nhọn. Nón này được gọi là nón orthant dương trong R
n
.
Nếu lấy C = {0} ∪ {x =(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
1
> 0 } thì C là nón
nhọn, đúng nhưng không là nón sắc.
Nếu lấy C = {x =(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
1
≥ 0 } thì C là nón lồi, đóng
nhưng không nhọn, vì dễ thấy l(C) = {x = (0,x
2
, ,x
n

) ∈ R
n
} = {0}.
b) Cho C = {(x, y, z) ∈ R
3
|x > 0, y > 0, z > 0}∪{(x, y, z) ∈ R
3
|x ≥ y ≥ 0, z = 0 }.
Dễ thấy, C là nón lồi, sắc nhưng không đúng.
Định nghĩa 1.2.3. a) Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y.
B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B) nếu
C = {tb |b ∈ B, t ≥ 0}. Trường hợp B không chứa điểm gốc của Y thì
B được gọi là cơ sở của nón C, nếu với mọi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại duy
nhất phần tử b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb. Hơn nữa, nếu B có hữu hạn
phần tử và C = cone(conv(B)) thì C được gọi là nón đa diện.
b) Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính Y. Gọi Y
∗
là không
gian tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C

của C được định nghĩa như sau:
C

= {ξ ∈ Y
∗
|ξ, c ≥ 0} , với mọi c ∈ C;
và
C
+
= {ξ ∈ Y

∗
|ξ, c > 0}, với mọi c ∈ C\{0}.
Sau đây, ta sẽ khái quát một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị.
Cho X, Y là hai tập hợp, D là một tập con của X. Kí hiệu 2
Y
là tập gồm
tất cả các tập con của Y.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ G từ D vào 2
Y
, biến mỗi phần tử x ∈ D thành
tập G(x) ⊆ Y , được gọi là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Kí hiệu G : D → 2
Y
.
Ta định nghĩa miền xác định và đồ thị của G lần lượt như sau:
domG := {x ∈ D |G(x) = ∅};
GrG := {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ G(x), x ∈ dom(G)}.
Cho A ⊆ D, có G(A) =

x∈A
G(x) được gọi là ảnh của tập A qua ánh
xạ G.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Từ đó, miền ảnh của G được xác định như sau:
ImG =

x∈D
G(x).
Ánh xạ G được gọi là không tầm thường nếu GrG = ∅.
Định nghĩa 1.2.5. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2

Y
. Ánh xạ ngược của G,
kí hiệu là G
−1
được xác định:
y ∈ Y → G
−1
(y) = {x ∈ D |y ∈ G(x)}.
Cho B ⊂ Y , nghịch ảnh của tập B qua ánh xạ G là:
G
−1
(B) =
∪
y∈B
G
−1
(y) = {x ∈ D |G(x) ∩ B = ∅}.
Từ định nghĩa ánh xạ đa trị, ta có các phép tính về ánh xạ đa trị như
sau:
Định nghĩa 1.2.6. Cho G
1
, G
2
: D → 2
Y
là hai ánh xạ đa trị từ D vào
Y. Ta gọi ánh xạ giao (hợp) của G
1
và G
2

, kí hiệu G
1
∩ G
2
(G
1
∪ G
2
) là
một ánh xạ đa trị từ D vào Y, được xác định:
x ∈ D → (G
1
∩ G
2
) (x) = G
1
(x) ∩ G
2
(x);
(x ∈ D → (G
1
∪ G
2
) (x) = G
1
(x) ∪ G
2
(x)).
Định nghĩa 1.2.7. Cho G
i

: D → 2
Y
i
là các ánh xạ đa trị từ D vào Y
i
(i = 1,2, ,n). Ánh xạ tích đề các của các G
i
, i = 1,2, ,n, kí hiệu là
G =
n

i=1
G
i
, là một ánh xạ đa trị từ D vào
n

i=1
Y
i
, được xác định:
x ∈ D → G(x) =
n

i=1
G
i
(x).
Định nghĩa 1.2.8. Cho X, Y, Z là các không gian, D là tập con của X,
K là tập con của Y và các ánh xạ đa trị G : D → 2

Y
, H : K → 2
Z
. Kí
hiệu H.G là ánh xạ đa trị từ D vào Z, được xác định:
x ∈ D → (H.G) (x) =

y∈G(x)
H(y) .
Trường hợp Y là không gian tuyến tính, ta có:
Định nghĩa 1.2.9. Cho G
i
: D → 2
Y
(i = 1,2, ,n) là các ánh xạ đa trị.
Ánh xạ tổng của các G
i
(i = 1,2, ,n), kí hiệu là G =
n

i=1
G
i
, là một ánh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
xạ đa trị từ D vào Y, được xác định:
x ∈ D → G(x) =
n


i=1
G
i
(x).
Định nghĩa 1.2.10. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2
Y
. Ánh xạ tích của ánh
xạ G với một số α là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, kí hiệu αG, được xác
định:
x ∈ D → (αG) (x) = αG(x).
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính. D là tập con khác rỗng
của X. Cho G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị từ D vào Y, ta có:
Định nghĩa 1.2.11. Ta gọi ánh xạ bao lồi của G, kí hiệu coG, là một ánh
xạ đa trị từ D vào Y, được xác định như sau:
x ∈ D → (coG) (x) = co(G(x)) .
Định nghĩa 1.2.12. Ánh xạ bao đóng của G, kí hiệu G, là một ánh xạ đa
trị từ D vào Y được định nghĩa:
x ∈ D → G(x) = G(x).
Định nghĩa 1.2.13. G được gọi là ánh xạ đóng, nếu GrG là đóng trong
không gian tích X × Y .
Cho (p) là một tính chất nào đó của một tập con (ví dụ: tính đóng, lồi,
compact, ). Nếu mọi giá trị G(x) của ánh xạ đa trị G đều có tính chất
(p) trong Y, thì ta nói rằng G nhận giá trị có tính chất (p). Chẳng hạn,
ánh xạ đa trị G được gọi là có giá trị đóng(t.ư mở, lồi, compact, ) nếu
và chỉ nếu với mỗi x ∈ D, ta đều có G(x) là một tập đóng (t.ư mở, lồi,
compact, ) trong Y.
Nhận xét: Một ánh xạ đa trị đóng luôn luôn có giá trị đóng. Tuy nhiên,
chiều ngược lại không đúng. Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.6. Cho ánh xạ đa trị G : R → 2
R
, được xác định:
G(x) =

{2}, x ≤ 0;
[0, 1], x > 0.
Dễ thấy, G có giá trị đóng và G không là ánh xạ đóng. Thật vậy, lấy dãy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
{x
n
} ⊂ R, sao cho x
n
> 0 và x
n
→ 0. Ta có, G(x
n
) = [0, 1] và G(0) = 2.
Lấy dãy {y
n
} =

n
n+1

⊂ [0, 1], thì y
n
→ 0 nhưng 0 /∈ G(0). Vậy G không
là ánh xạ đóng.

Định nghĩa 1.2.14. G được gọi là ánh xạ compact nếu G(D) là tập com-
pact trong Y.
Nhận xét: Nếu G
1
, G
2
: D → 2
Y
là hai ánh xạ đa trị compact thì
các ánh xạ G
1
+ G
2
, λG
1
(λ ∈ R) và G
1
∩ G
2
cũng là những ánh xạ đa trị
compact.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X, Y là hai không gian tôpô, D ⊂ X, G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa nửa liên tục trên và dưới của ánh xạ
đa trị theo nghĩa của Berge [7].
Định nghĩa 1.2.15. G được gọi là nửa liên tục trên (kí hiệu: u.s.c) tại
x
0

∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x
0
) ⊂ V , đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ⊂ V , với mọi x ∈ U.
G được gọi là nửa liên tục trên trên D, nếu nó là nửa liên tục trên tại
mọi x
0
∈ D.
Định nghĩa 1.2.16. G được gọi là nửa liên tục dưới (kí hiệu: l.s.c) tại
x
0
∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x
0
) ∩ V = ∅, đều tồn tại lân cận U của
x
0
sao cho G(x) ∩ V = ∅, với mọi x ∈ U.
G được gọi là nửa liên tục dưới trên D, nếu nó là nửa liên tục dưới tại
mọi x
0
∈ D.
Ví dụ 1.7. Cho ánh xạ đa trị G : R → 2
R
, được xác định:
G(x) =

[0,
1
2

), x = 0;
[0, 1], x = 0.
Dễ thấy, G là nửa liên tục trên tại 0 và G không nửa liên tục dưới tại 0.
Thật vậy:
Ta chứng minh G nửa liên tục trên tại 0.
Gọi V là tập mở bất kì sao cho G(0) = [0, 1] ⊂ V . Lấy U là lân cận bất kì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
của 0, với mọi x ∈ U, suy ra x = 0, do đó G(x) =

0,
1
2

⊂ [0, 1] ⊂ V .
Vậy G là nửa liên tục trên tại 0.
Ta chứng minh G không là nửa liên tục dưới tại 0.
Lấy V =

3
4
, 2

, ta có G(0) = [0, 1] nên G(0) ∩ V =

3
4
, 1

= ∅. Gọi U

là lân cận bất kì của 0, suy ra ta có, với mọi x ∈ U thì x = 0 , do đó
G(x) =

0,
1
2

nên G(x) ∩ V = ∅. Vậy G không nửa liên tục dưới tại 0.
Mệnh đề 1.2.17. Giả sử G, H : D → 2
Y
là hai ánh xạ đa trị từ D vào
không gian tôpô Y. Giả Sử rằng:
i) G là nửa liên tục trên tại x
0
;
ii) H là ánh xạ đóng;
iii) G(x
0
) là tập compact và G(x) ∩ H(x) = ∅ với mọi x ∈ D.
Khi đó, ánh xạ đa trị G ∩ H : D → 2
Y
là nửa liên tục trên tại x
0
.
Chứng minh. Xem mệnh đề 2, trang 71 trong [6].
Hệ quả 1.2.18. Cho H : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị từ D vào không gian
tôpô Y. Nếu H là ánh xạ đóng, compact và H(x) = ∅ với mọi x ∈ D, thì
H là nửa liên tục trên.

Chứng minh. Ta lấy ánh xạ G : D → 2
Y
như sau:
G(x) = H(D), x ∈ D.
Dễ thấy, G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và H = G ∩ H. Theo Mệnh
đề 1.2.17, H là nửa liên tục trên.
Như ta đã biết, hàm g : X → R được gọi là nửa liên tục trên (hoặc
dưới) tại x
0
nếu với bất kì ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho
g(x) ≤ g(x
0
) + ε (hoặc g(x) ≥ g(x
0
) − ε), với mọi x ∈ U.
Định nghĩa 1.2.19. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,
D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số

g
α
: D → R, α ∈ I

được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x
0
∈ D,
nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x
0
trong X sao cho: g

α
(x) ≤
g
α
(x
0
) + ε (tương ứng g
α
(x) ≥ g
α
(x
0
) − ε), với mọi x ∈ U ∩ D và α ∈ I.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Khái niệm hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới đã được phát
triển cho ánh xạ đa trị G, trong không gian vectơ lồi địa phương với nón
C. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và G là ánh xạ đa trị từ D vào
Y. Ta có:
Định nghĩa 1.2.20. a) G là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới) tại
x
0
∈ D, nếu với bất kì lân cận V của điểm gốc trong Y, đều tồn tại lân
cận U của x
0
trong X sao cho:
G(x) ⊂ G(x
0
) + V + C;

(hoặc G(x
0
) ⊂ G(x) + V − C), với mọi x ∈ U ∩ domG.
b) G gọi là C - liên tục tại x
0
nếu G vừa là C - liên tục trên, vừa là C
- liên tục dưới tại x
0
.
G là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) trong D nếu
nó là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) tại mọi x ∈ D.
Nếu C = {0}, ta nói G là liên tục trên (liên tục dưới, liên tục) thay vì
nói G là {0} - liên tục trên ({0} - liên tục dưới, {0} - liên tục).
Ta có mệnh đề sau tương đương với định nghĩa liên tục theo nón của
ánh xạ đa trị G.
Mệnh đề 1.2.21. a) Giả thiết rằng G(x
0
) là tập compact trong Y. Điều
kiện cần và đủ để G là C - liên tục trên tại x
0
là: với mọi tập mở W,
G(x
0
) ⊂ W + C, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ⊂ W + C,
với mọi x ∈ U ∩ domG.
b) Giả thiết rằng G(x
0
) compact trong Y. Điều kiện cần và đủ để G là

C - liên tục dưới tại x
0
là: với mọi y ∈ G(x
0
) và với mọi lân cận V của
y, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ∩ (V + C) = ∅, với mọi
x ∈ U ∩ domG. Và điều này tương đương với: với mọi tập mở W, G(x
0
) ∩
(W + C) = ∅, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ∩ (W + C) = ∅,
với mọi x ∈ U ∩ domG.
Chứng minh. a) Giả sử G là C - liên tục trên tại x
0
. Lấy W là tập mở
trong Y sao cho G(x
0
) ⊂ (W + C). Theo giả thiết, G(x
0
) là compact nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
tồn tại lân cận V
0
của 0 trong Y sao cho G(x
0
) + V

0
⊂ W + C. Lấy V là
lân cận bất kì của 0 trong Y, thì V ∩ V
0
là lân cận của 0. Do G là C - liên
tục trên tại x
0
, nên tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x) ⊂ G(x
0
) + V ∩ V
0
+ C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ta có:
G(x
0
) + V ∩ V
0
+ C ⊂ G (x
0
) + V
0
+ C ⊂ W + C + C = W + C.
Từ đó suy ra:
G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y. Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả thiết rằng V mở. Đặt W = G(x
0

) + V . Ta thấy W là
tập mở và G(x
0
) ⊂ W + C, nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Như vậy,
G(x) ⊂ G(x
0
) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Vậy, G là C - liên tục trên tại x
0
.
b) Giả sử G là C - liên tục dưới tại x
0
. Lấy y ∈ G(x
0
) và V
0
là lân cận
của y trong Y.
Đặt V = V
0
− y, V là lân cận của 0 trong Y. Theo giả thiết, G là C - liên
tục dưới tại x
0
, nên theo định nghĩa, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x

0
) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Do y ∈ G(x
0
) nên theo trên, ta có y ∈ G(x) + V − C. Vì vậy, ta có thể
viết y = y
∗
+ v − c, với y
∗
∈ G(x), v ∈ V và c ∈ C.
Từ đó suy ra y
∗
= y − v + c ∈ y + V + C = V
0
+ C.
Vậy, ta có:
G(x) ∩ (V
0
+ C) = ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Đảo lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y, ta có:
G(x
0
) ⊂

y∈G(x
0
)

y+
V

2

.
Theo giả thiết, G(x
0
) là compact nên theo định lý Heine - Borel, tồn tại
một số tự nhiên n để:
G(x
0
) ⊂
n

i=1

y
i
+
V
2

, với y
i
∈ G(x
0
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Ta thấy y
i
+

V
2
là lân cận của y
i
và y
i
∈ G(x
0
) nên theo giả thiết, tồn tại
các lân cận U
i
(i = 1,2, ,n) của x
0
sao cho:
G(x) ∩

y
i
+
V
2
+ C

= ∅ , với mọi x ∈ U
i
∩ domG.
Đặt U =
n

i=1

U
i
thì U là lân cận của x
0
và
G(x) ∩

y
i
+
V
2
+ C

= ∅ , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Lấy y
0
bất kì thuộc G(x
0
), y
0
∈ y
i
0
+
V
2
, với i
0
là một chỉ số nào đó,

nên tồn tại v
0
∈
V
2
để y
0
= y
i
0
+ v
0
. Theo trên, với x ∈ U ∩ domG,
G(x) ∩

y
i
0
+
V
2
+ C

= ∅, nên tồn tại y ∈ G(x) ∩

y
i
0
+
V

2
+ C

, y =
y
i
0
+ v + c, với v ∈
V
2
, c ∈ C.
Vậy, y
0
= y + (v
0
− v) − c. Do v
0
− v ∈ V, c ∈ C, y ∈ G(x), nên
y
0
∈ G(x) + V − C. Từ đó suy ra
G(x
0
) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Vậy, G là liên tục dưới tại x
0
.
Ta sẽ chứng minh điều kiện tương đương của mệnh đề.
Lấy W là tập mở sao cho G(x
0

) ∩ (W + C) = ∅. Lấy y
0
∈ G(x
0
) và
y
0
= y
1
+ c, với y
1
∈ W, c ∈ C. Do y
1
∈ W và W mở nên tồn tại lân cận
V của 0 để y
1
+ V ⊂ W .
Do đó, y
1
+ c + V ⊂ W + C hay y
0
+ V ⊂ W + C. Vì y
0
+ V là lân cận
của y
0
nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x) ∩ (y

0
+ V + C) = ∅ , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Mặt khác, y
0
+ V + C ⊂ W + C + C ⊂ W + C, nên
G(x) ∩ (W + C) = ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ngược lại, lấy y
0
∈ G(x
0
) và W là lân cận mở của y
0
. Ta có, G(x
0
) ∩(W +
C) = ∅. Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x
0
để G(x) ∩ (W + C) = ∅,
với mọi x ∈ U ∩ domG.
Chú ý 1.2. a) Theo Mệnh đề 1.2.21, ta thấy nếu C = {0} và G(x
0
) là
compact thì Định nghĩa 1.2.20 phần a) ở trên đồng nhất với tính nửa liên
tục trên và dưới của Berge trong [7];
b) Nếu G là ánh xạ đơn trị, theo định nghĩa, ta thấy tính C - liên tục
trên và C - liên tục dưới của G đồng nhất. Khi đó, G được gọi là C - liên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
tục;
c) Trường hợp Y = R, C = R

+
= {x ∈ R |x ≥ 0} và ánh xạ đơn trị G
là C - liên tục tại x
0
, ta suy ra G là nửa liên tục dưới tại x
0
theo nghĩa
thông thường. Trong trường hợp ngược lại, lấy C = R
−
= {x ∈ R |x ≤ 0}
và G là C - liên tục tại x
0
thì G là nửa liên tục trên tại x
0
;
d) Nếu G là liên tục trên và G(x) đóng với mọi x ∈ D thì G là đóng;
e) Theo Hệ quả 1.2.18 và chú ý ở phần a) ta thấy, nếu G là đóng,
compact thì G là liên tục trên.
Nhận xét a) Nếu hai ánh xạ đa trị G
1
, G
2
: D → 2
Y
đồng thời là C -
liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G
1
∪ G
2
cũng là C

- liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới);
b) Cho X, Y
1
, Y
2
là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là
tập con khác rỗng của X. Nếu G
1
: D → 2
Y
1
, G
2
: D → 2
Y
2
là các ánh xạ
đa trị C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G
1
× G
2
cũng là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới).
Mệnh đề sau cho ta các điều kiện cần và đủ của một ánh xạ đa trị là C
- liên tục trên và C - liên tục dưới.
Mệnh đề 1.2.22. Giả sử G : D → 2
Y
và C ⊂ Y là nón lồi đóng. Khi ấy
1) Nếu G là C - liên tục trên tại x
0
∈ domG và G(x

0
) + C là tập đóng,
với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂ D, x
β
→ x
0
, y
β
∈ G(x
β
) + C, y
β
→ y
0
, ta
suy ra y
0
∈ G(x
0
) + C.
Ngược lại, nếu G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂ D,
x
β
→ x
0
, y

β
∈ G(x
β
) + C, y
β
→ y
0
đều suy ra y
0
∈ G(x
0
) + C, thì G là
liên tục trên tại x
0
.
2) Nếu G là compact và là C - liên tục dưới tại x
0
∈ domG, thì với mọi
dãy suy rộng {x
β
} ⊂ D, x
β
→ x
0
, y
0
∈ G(x
0
), đều tồn tại dãy suy rộng
{y

β
}, y
β
∈ G(x
β
), có dãy suy rộng con

y
β
γ

thỏa mãn y
β
γ
− y
0
→ c ∈ C.
Ngược lại, nếu G(x
0
) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
},
x
β
→ x
0
, y
0
∈ G(x
0

), đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
}, y
β
∈ G(x
β
), có dãy
suy rộng con

y
β
γ

thỏa mãn y
β
γ
− y
0
→ c ∈ C, thì G là C - liên tục dưới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
tại x
0
.
Chứng minh. 1) Giả sử G là C - liên tục trên tại x
0
∈ domG và lấy dãy
suy rộng {x
β
} ⊂ D thỏa mãn x

β
→ x
0
, y
β
∈ G(x
β
) + C, y
β
→ y
0
. Lấy V
là lân cận lồi, đóng tùy ý của 0 trong Y. do G là C - liên tục trên tại x
0
và y
β
→ y
0
, nên tồn tại chỉ số β
∗
≥ 0 sao cho G(x
β
) ⊂ G(x
0
) +
V
2
+ C và
y
β

− y
0
∈
V
2
, với mọi β ≥ β
∗
. Vì vậy, y
0
= y
0
− y
β
+ y
β
∈
V
2
+ G(x
β
) + C ⊂
V
2
+

G(x
0
) +
V
2

+ C

⊂ G(x
0
) + V + C. Theo giả thiết, G(x
0
) + C là tập
đóng nên y
0
∈ G(x
0
) + C.
Ngược lại, cho G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂
D, x
β
→ x
0
, y
β
∈ G (x
β
) + C, y
β
→ y
0
đều suy ra y
0
∈ G (x

0
) + C. Bằng
phản chứng, ta giả sử rằng G không là C - liên tục trên tại x
0
. Khi đó,
phải tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận U
β
của x
0
ta
đều tìm được x
β
∈ U
β
để:
G (x
β
) ⊂ G (x
0
) + V + C.
Ta chọn y
β
∈ G(x
β
) mà y
β
/∈ G (x
0
) + V + C. Ta có y
β

∈ G (x
β
) ⊂ G(D).
Vì G(D) là tập compact, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rằng y
β
→ y
0
. Theo giả thiết, y
0
∈ G(x
0
) + C. Mặt khác, từ y
β
→ y
0
suy
ra tồn tại β
∗
≥ 0 để y
β
− y
0
∈ V , với mọi β ≥ β
∗
. Từ đó suy ra:
y
β
∈ y
0

+ V ⊂ G(x
0
) + V + C, với mọi β ≥ β
∗
.
Điều này dẫn tới mâu thuẫn.
2) Giả sử G là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại x
0
∈ domG, và
x
β
→ x
0
, y
0
∈ G(x
0
). Với lân cận V tùy ý của 0 trong Y, tồn tại lân cận
U của x
0
sao cho:
G(x
0
) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Vì x
β
→ x
0
, nên tồn tại β
0

≥ 0 thỏa mãn
G(x
0
) ⊂ G(x
β
) + V − C, với mọi β ≥ β
0
.
Theo giả thiết y
0
∈ G(x
0
), nên với mỗi β ≥ β
0
, tồn tại y
β
∈ G(x
β
) ⊂
G(D), v
β
∈ V, c
β
∈ C sao cho:
y
0
= y
β
+ v
β

− c
β
.
Vì G(D) là tập compact, ta có thể chọn y
β
γ
→ y
∗
, v
β
γ
→ 0. Từ đó,
c
β
γ
= y
β
γ
+ v
β
γ
− y
0
→ y
∗
− y
0
∈ C hay y
β
γ

− y
0
→ c ∈ C, với c = y
∗
− y
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Ngược lại, Cho G(x
0
) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂
D, x
β
→ x
0
và y
0
∈ G(x
0
), đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
} , y
β
∈ G(x
β
), có
dãy suy rộng con


y
β
γ

, để y
β
γ
− y
0
→ c ∈ C. Bằng phản chứng, ta giả sử
rằng G không là C - liên tục dưới tại x
0
. Tức là, tồn tại lân cận V của 0
trong Y sao cho với mọi lân cận U
β
của x
0
đều tìm được x
β
∈ U
β
để:
G(x
0
) ⊂ G(x
β
) + V − C.
Khi đó, tồn tại z
β

∈ G(x
0
) mà z
β
/∈ G(x
β
) + V − C. Vì G(x
0
) là tập
compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng z
β
→ z
0
∈
G(x
0
). Ta cũng có thể giả thiết rằng x
β
→ x
0
. Do đó, tồn tại dãy suy rộng
{y
β
} , y
β
∈ G(x
β
) có dãy suy rộng con

y

β
γ

, để y
β
γ
− z
0
→ c ∈ C, hay
y
β
γ
→ y
∗
∈ z
0
+ C. Không mất tính tổng quát, ta có thể viết y
β
→ y
∗
∈
z
0
+ C. Từ đó suy ra, tồn tại β
1
≥ 0 để z
β
∈ z
0
+

V
2
và z
0
∈ y
β
+
V
2
− C,
với mọi β ≥ β
1
. Vì vậy,
z
β
∈ y
β
+
V
2
+
V
2
− C ⊂ G(x
β
) + V − C, với mọi β ≥ β
1
.
Điều này mâu thuẫn.
Đơn giản hơn, ta có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị để

nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Xét G : D → 2
Y
,
trong đó D ⊂ X. Với mỗi ξ ∈ C

, ta định nghĩa hàm g
ξ
, G
ξ
: D → R như
sau:
g
ξ
(x) = inf
y∈G(x)
ξ, y , x ∈ D,
G
ξ
(x) = sup
y∈G(x)
ξ, y , x ∈ D , trong đó R = R ∪ { ± ∞}.
Mệnh đề sau đây cho thấy mối liên hệ giữa tính C - liên tục trên (hoặc
dưới) của ánh xạ đa trị G với tính nửa liên tục trên (hoặc dưới) của các
hàm g
ξ
, G
ξ
.
Mệnh đề 1.2.23. a) Nếu G là (-C) - liên tục trên (hoặc dưới) tại x
0

∈
domG, thì với mỗi ξ ∈ C

cố định, G
ξ
(tương ứng g
ξ
) là hàm số nửa liên
tục trên tại x
0
.
b) Nếu G là C - liên tục trên (hoặc dưới) tại x
0
∈ domG, thì với mỗi
ξ ∈ C

cố định, g
ξ
(tương ứng G
ξ
) là hàm số nửa liên tục dưới tại x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chứng minh. a) Giả sử G là (-C) - liên tục trên tại x
0
. Lấy ε > 0 tùy ý.
Do ξ ∈ C


là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R, nên tồn tại lân
cận V của 0 trong Y sao cho ξ(V ) ⊂ (−ε, ε). Do G là (-C) - liên tục trên
tại x
0
, nên tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x) ⊂ G(x
0
) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Theo định nghĩa của G
ξ
, ta có:
sup
y∈G(x)
ξ, y ≤ sup
y∈G(x
0
)+V −C
ξ, y ≤ sup
y∈G(x
0
)
ξ, y+sup
v∈V
ξ, v+ sup
c∈−C
ξ, c.
Do ξ(V ) ⊂ (−ε, ε), nên sup
v∈V

ξ, v = ε. Mặt khác, theo định nghĩa của C’,
ta ssuy ra sup
c∈−C
ξ, c = 0. Từ đó suy ra G
ξ
(x) ≤ G
ξ
(x
0
) + ε, với mọi
x ∈ U ∩ domG hay G
ξ
là nửa liên tục trên tại x
0
.
Bây giờ,giả sử G là (-C) - liên tục dưới tại x
0
. Theo định nghĩa tồn tại
lân cận U của x
0
sao cho:
G(x
0
) ⊂ G(x) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Theo định nghĩa của g
ξ
, ta có:
inf
y∈G(x
0

)
ξ, y ≥ inf
y∈G(x)
ξ, y + inf
v∈V
ξ, v + inf
c∈C
ξ, c.
Cũng như trong chứng minh ở phần trên, ta có:
inf
v∈V
ξ, v = −ε, inf
c∈C
ξ, c = 0.
Từ đó, ta có:
g
ξ
(x
0
) ≥ g
ξ
(x) − ε, x ∈ U ∩ domG.
Ta đã chứng minh được g
ξ
là nửa liên tục trên tại x
0
.
b) Chứng minh hoàn toàn tương tự như phần a).
Các định lý sau đây cho ta thấy mối liên quan chặt chẽ giữa tính liên
tục theo nón của ánh xạ đa trị G với tính nửa liên tục đồng bậc của họ

các hàm g
ξ
, G
ξ
. Trong các định lý này, ta luôn giả thiết rằng X là không
gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng,
khác rỗng và C là nón lồi trong Y.
Định lý 1.2.24. Giả sử G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị thỏa mãn G(x) − C
là tập lồi với mọi x ∈ D. Khi đó, G là C - liên tục dưới tại x
0
khi và chỉ
khi họ {G
ξ
|ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên