Các bài toán theo chủ đề thi vào 10 chuyên toán

1

CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ
TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2019

LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website sachhoc.com giới thiệu đến thầy cơ và các em các bài tốn theo chủ đề trong đề
lớp 10 chuyên năm 2019. Chúng tôi đã kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề về này nhằm đáp
ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới thường được ra trong các kì thi
lớp 10 gần đây. Chuyên đề gồm 9 chủ đề:
• Rút gọn biểu thức chứa căn và tài tốn liên quan
• Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị
• Phương trình
• Hệ Phương trình
• Hàm số
• Các bài tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế
• Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức
• Các bài tốn số học
• Các bài tốn tổ hợp và logic
• Các bài tốn hình học

Các vị phụ huynh và các thầy cơ dạy tốn có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình
học tập. Hy vọng chuyên đề các bài toán phân theo chủ đề này có thể giúp ích nhiều cho học sinh
phát huy nội lực giải tốn nói riêng và học tốn nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

Mục Lục
Trang
Lời nói đầu

1

Phần 1. Các bài tốn vào 10 chuyên năm 2019 theo chủ đề

3

1. Rút gọn biểu thức và tốn liên quan

3

2. Bất đẳng thức Min-Max

5

3. Phương trình

16

4. Hệ phương trình

26

5. Hàm số

32

6. Các bài tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế

37

7. Biểu thức

40

8. Các bài toán số học

42

9. Tổ hợp và Logic

47

10. Các bài tốn hình học

50

Phần 2. Hướng dẫn giải

61

1. Rút gọn biểu thức và toán liên quan

61

2. Bất đẳng thức Min-Max

83

3. Phương trình

104

4. Hệ phương trình

143

5. Hàm số

169

6. Các bài tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế

184

7. Biểu thức

190

8. Các bài toán số học

197

9. Tổ hợp và Logic

218

10. Các bài tốn hình học

227

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

Chuyên đề 1
Căn bậc hai và bài toán liên quan
Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
x
x +1 5 − 9 x
với x ≥ 0, x ≠ 25 .
−
−
x − 25
x +5 5− x

Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1.
Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vịng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: A 



2 3 5



2 2  3 5





2 3 5



2 2  3 5

.

Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)

(

)(

)

Rút gọn biểu thức: B = 13
− 4 3 +7 4 3− 8 20
+ 2 43
+ 24 3 .
Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x, y là các số thực dương và

P = +x
Chứng minh rằng

3

3

+
x2

3

x 2+y

+y

3

y+2

3

y 2+x

+x

3

+y 1.

3

x + 3 y + 1 = 3 P2 .

Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020)
Tính giá trị của biểu thức: A 

x 4  2x 3  3x 2  38x  5
x 2  4x  5

khi x = 2 + 3 .

Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)
1− 5 1+ 5
−
1
5
1− 5 .
+
Tính giá trị của biểu thức: A =

5
Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)



  2 x
1
2 x
−
 : 1 −
 với x ≥ 0, x ≠ 1 .
x
+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x
−
1

 


Cho biểu thức P = 

a) Rút gọn biểu thức P .

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4
b) Tìm tất các giá trị của x để P ≥ 1 .
Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức A =

x − 4 ( x − 1) + x + 4 ( x − 1) 
1 
. 1 −
 trong đó x > 1, x ≠ 2 .
 x −1 
x 2 − 4 ( x − 1)

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A là số nguyên.
Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020)

 1
  ( a + 1)2 
3 a +5
+
− 1 .
Cho biểu thức: P = 
 .




 a −1 a a − a − a +1   4 a

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: P =

3x + 16x − 7
x +2 x −3

x +1
−
x +3

x −3
− ( x ≥ 0, x ≠ 1 ).
x −1

Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức P =

a−4 a−4 a +4
:
, với a ≥ 0, a ≠ 4 .
a +2 2 a −4

Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: A = 4+ 2 3+

6− 2 5+

2
.
5+ 3

Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020)

 ( x − 1) ( x − y )
3 x
3x
1
Cho biểu thức: M = 
−
+
:
 x + xy + y x x − y y
x − y  2 x + 2 xy + 2 y


a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên.
Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020)
 x 3
x  24
x 2
x  2 
Cho biểu thức:: A 
: 



,
x  x  2  x  2 3  x
x  5 x  6 
(với x  0, x  4, x  9 ).
1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5
Rút gọn các biểu thức sau:
1. A  4 3  2 27  12 .

 a 1


2. B  


 a 1




 : 1 , (với a  0, a  1 ).


a  a  a  1
2a

Câu 16. (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020)
1) Tìm điều kiện xác định: A =
2) Rút gọn: B = 5 12
3) Rút gọn: C =

1
x −1

2
−
x−2

27 −

a −1
1
a −1

−

Câu 17. (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tốn năm 2019-2020)
Cho biểu thức: A =

3a + 9a − 3
a+ a −2

a −2
−
a −1

1
+
1
a +2

−

1)Rút gọn biểu thức A.
2)Tìm giá trị của a để A = 2 .
Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Hịa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn:
A = ( 5 3)(
− 5 3)
+ 6+

Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020)
 a +1

 +3
a −1 

a) Cho a là số thực khác 1 và −1 . Rút gọn biểu thức P =
2
 a −1 

 +3
 a +1

2

b) Cho các số thực x, y, a thoản mãn
Chứng minh rằng:

3

a 3 + 1 2a
÷
−.
a3 − 1 a − 1

x2 + 3 x4 y 2 + y 2 + 3 y 4 x2 = a .

x2 + 3 y 2 = 3 a2 .

Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)

 2x + x −1 2x x − x + x  x − x
1
+Cho P = 1  −
với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ .
.
4
1− x x
 1− x
 2 x −1
a) Rút gọn P.

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


6
b)Tìm các giá trị của x sao cho P =

4
.
5

Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020)

 3 x
x
1 
x 3
 :
Cho biểu thức: P  
(với x  0 ).


x  1 x  x  1
 x x  1 x  x  1

1
5

Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P  .
Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)

Cho biểu thức A  2x  15  8 2x  1.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Tìm x để A  3.
Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x  1  3 2  3 4. Tính giá trị đúng của biểu thức A  x 5  4x 4  x 3  x 2  2x  2019.
Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức

x 1
có nghĩa.
x3

 a  a 
 a  a 
b) Chứng minh đẳng thức 1 
1 
  1  a a  0, a  1 .

a  1
a  1
Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020)
1) Khơng dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức P 

2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức Q 

2x  3 x  2
x 2



3 5 . 3  5



10  2

tại x  2020  2 2019

Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vịng 1 năm 2019-2020)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

b) 5 + (6 − 5) 2

4 +3

Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)
Cho biểu thức: H =

2 x2 + 2 x
x2 −1

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

+

1
x +1

−

1
(với x ≥ 0; x ≠ 1 )
x −1
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


7
a) Rút gọn biểu thức H .
b)Tìm tất cả các giá trị của x để

x−H <0

Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vịng 2 năm 2019-2020)

(

)(

)

Tính giá trị biểu thức: T = 2 3+ 1 3 2 − 1 13− 4 3 19+ 6 2 .
Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)
Tìm điều kiện xác định của biểu thức P =

2019
x −3

3
.−

x −9

Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)

 a +1
  a2 + a a 
a −1
Cho biểu thức P = 
−
+4 a  : 
 với a > 0, a ≠ 1.
a
−
1
a
+
1
a
+
1

 

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên.
Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P = x ( 2

x ) .−

Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020)
2019
3
.−
Tìm điều kiện xác định của biểu thức: P =
x −3 x −9
Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020)

 a +1
 1
a −1
Cho biểu thức: P = 
với a > 0, a ≠ 1.
−
+4 a  .
a
1
a
1
a
a
−
+


1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tính giá trị của P khi a = 9 4 +2 .
Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020)
Với x > 0 , xét hai biểu thức: A =
Tìm tất cả các giá trị của x để

2+ x
x −3
và B =
x
x

2 x +9
+ .
x+3 x

A 5
> .
B 3

Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020)

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Rút gọn biểu thức : C =

5 6 7 − 33 + 128 − 1
3− 2

.

Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020)

 x +3
x +2
x +2   x−2

+
+
− 1 .
:
 x − 2 3− x x −5 x + 6  x − x − 2 

Cho biểu thức: A = 
a)Rút gọn biểu thức A .
b)Tìm x để P = 2 A

1
−đạt giá trị lớn nhất.
x

Câu 37. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020)

(
Tìm a , biết:

) ( a − 1) − (
a ( a − 1)
2

a +1 −
4

2

2a + 1 + a + 1
a

(

)(

2a + 1 − a + 1

)

a +1

) = 1.

Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020)


x +2
2 x + 8  x2 − x x + x − 1
−
Cho biểu thức A = 
với x ≥ 0 .
 ⋅
x +3

 x − x +1 x x +1 
Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = 6 .
Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức: P =

2 x + 3 x x − 1 x2 + x
với x > 0, x ≠ 1 .
+
−
x
x− x x x +x

Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)
Cho biểu thức : A =

−4 x − 9 x + 3
x+3 x +2

x −1 2 x −1
+
− (với x ≥ 0 ).
x +1
x +2

a) Rút gọn biểu thức A ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020)
a) Rút gọn biểu thức:



A = 1 −



x   x +3
x +2
x +2 
−
+
 (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 )
 :
x +1  x − 2
x −3 x−5 x +6

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9
b) Cho x =

( 3 − 1) 3 10 + 6 3
21 + 4 5 + 3

hãy tính B = ( x 2 +4 x −2) 2019

Câu 42. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vịng 1 năm 2019-2020)

 2
 xy


Cho biểu thức: P = 

1 1  xy ( x + y ) − xy
(với x > 0; y > 0 ).
+ +
⋅
x y 
x x+y y

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Biết xy = 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020)
Cho: x = 3 70 + 4901 + 3 70 − 4901.
Khơng sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng minh x là số nguyên tố.
Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: A = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020)
Cho x =

3

2 + 2 3 + 3 2 − 2 3 −1.

Tính giá trị biểu thức P = x

3

(x

2

3 x+ 9 )+

3

Câu 46. (Trường chun tỉnh Tun Quang chun tốn năm 2019-2020)
Tính tổng: S =

1

1
+
5+ 3

3 +1

1
+
7+ 5

1
+
2
2019 + 20192 − 2

... +

Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: T =

(

)

2a − 2 2 ( a − 1)
a− a −2

với a > 0, a ≠ 4 .

Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020)

a) Cho biểu thức:

 1
P=
 x −1

1 
+ :
x− x 

(

x +1

)

x −1

2

.

Tìm điều kiện xác định của P và giá trị của x để P =

1
.
2

b) Rút gọn biểu thức A = 3 46 5 61 − 69+ 28 −5.
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10
Câu 49. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)
2

2

1+ 3
2  1− 3
2 
Rút gọn: A = 

−
−
 −
 .
2
2
1
+
3
1
−
3

 

Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)

(

Rút gọn biểu thức: A = 3 5 − 27 − 20

)

5 +3 15 .

Câu 51. (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020)
Cho biểu thức: A =

(

2 x −3
x x −3
−
x −2 x −3
x +1

)

x +3
+
3− x

a) Rút gọn biểu thức 𝐴.

b) Tính giá trị của biểu thức 𝐴 khi x = 4 2− 3

Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020)
Cho biểu thức P =

x x + 8  x −1
+
 −
x + 2  x +1

x−2 x −3
x +1

x +1
−  ( x 1) −với x ≥ 0, x ≠ 1 .
x −1 

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P ≤ 1 .
Câu 53. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)

 x2 + x
2x − x
Cho biểu thức P = 
+
x
 x − x +1

2x − 2 
1
với x > 0.
− 
⋅
x +1 x − x +1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh: P ≤ 3.
Câu 54. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020)

2 ( x − 1)
+
Cho biểu thức: A =
x +1

x2 + x
2x − 2 x

−
với x ≥ 0, x ≠ 1.
x − x +1
x −1

Tìm tất cả các giá trị của x để A ≤ 0.
Câu 55. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: P =

3x + 9x − 3
x+ x −2

x +1
−
x +2

x −2
− .
x −1

Tìm x để P = 3.
Câu 56. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11



Cho biểu thức: A =  x +



1
x

x −1
1 

−
.

.

x + 1 
  x − x +1

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 57. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020)
Cho các số thực x, y, a thoản mãn
Chứng minh rằng

3

x2 + 3 y 2 = 3 a2 .

Chuyên đề

Câu 1:

x2 + 3 x4 y 2 + y 2 + 3 y 4 x2 = a .

Bất đẳng thức-Min-Max

2

(TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x 2 + 4y 2 + 17xy + 5x + 5y ≥ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 17x 2 + 17y 2 + 16xy

Câu 2:

(TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020)
Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = xy ( x 2 )(
− y 6 )+ 13x
+ 2

Câu 3:

4y
+2

26x
− 24y
+ 46+

(TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020)

Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 4

1)
2)
Câu 4:

1
1
1
+
+
=1
a+2 b+2 c+2
1
1
1
+
+
.
Tìm giá trị nhỏ nhất: P =
2 a 2 + b2 + 4
2 b2 + c 2 + 4
2 c2 + a2 + 4

Chứng minh rằng:

(

)

(

)

(

)

(TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020)
Cho K = ab+ 4ac− 4bc với a, b,c ≥ 0 và a + b + 2c = 1.

2)

1
2
Tìm giá trị lớn nhất của K.

Câu 5:

(TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020)

1)

Chứng minh rằng: K ≥


1
 0 < a, b,c <
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 
2 .


2a + 3b + 4c = 3

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2
9
8
+
+
a ( 3b + 4c − 2 ) b ( 4a + 8c − 3 ) c ( 2a + 3b − 1)

(TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020)

Câu 6:

Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng:
a

b
1
≥
4b + 1 4a + 1 2
(TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020)

2

Câu 7:

+

2

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3y

1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

+

4

8

+

( x + 1) ( y + 2 ) ( z + 3 )
2

2

2

(TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020)

Câu 8:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:

1
1
1
+
+
≤ 1.
a +1 b+1 c +1

a3
b3
c3
+
+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
(TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Câu 9:

Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b + c + 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
Câu 10:

1
a 2 + b2

(TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020)

+

1
b2 + c 2

(

1

+

c2 + a2

)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x 2 + y 2 + z 2 − 9x ( y + z ) − 18yz = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q =
Câu 11:

2x − y − z
.
y+z

(TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020)
Cho x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTLN. GTNN của biểu thức

M = x 2 −6x +25 + y 2 −6y +25 + z 2 −6z +25

Câu 12:

[TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020]
Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1 .
y
1
1
1
2 x
z

Chứng minh rằng:
+
+
≥
+
+
2
2
2
2
2
3  1+ x
1+ x 1+ y 1+ z
1+ y
1 + z2








3

(1)

Câu 13: (TS10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020)
Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0; 2  thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3.
a)

Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 < 6

b)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz

Câu 14:

(TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020)

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + 4zx = 32
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x+2 16y+2 16z 2
Câu 15: (TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020)

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh rằng:
2y
x
4z
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
2x + y + 5 6y + z + 6 3z + 4x + 16 2
2

Câu 16:

(TS10 Chun Tin Hịa Bình, 2019-2020)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x + y ≤ 1.

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = +
x
Câu 17:

(TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020)

(

1
2 2

 +1 x y
y

)

Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2 x 3 + y 3 + 6xy ( x + y − 2 ) = ( x +y ) ( xy +4 )

1 x

2y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
Câu 18:

2

y
+
x


1 +


(TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu, 2019-2020)
Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

Câu 19:

x2
y2

xy
y2
+2 2 + +
x+y
x

(TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020)
Với x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và xy + 2 ≥ 2y .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

Câu 20:

x2 + 4
y2 + 1

(TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020)
9
Với x, y là cá số thực thỏa mãn ( 2 + x )( y − 1) = .
4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 4
Câu 21:

4x
+ 3 6x
+ 2 4x
+ 2+ +y 4 8y

− 3 24y
+ 2 32y
− 17.
+

(TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020)
1
Cho các số dương x, y, z thỏa xyz = . Chứng minh rằng:
2
yz
xy
zx
+ 2
+ 2
≥ xy + yz + zx.
2
x ( y + z) y (z + x) z (x + y)

Dấu “=” xảy ra khi nào:
Câu 22:

(TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020)
Cho x; y; z là ba số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y(y − z) = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

y3
x2 + y2 + 4
x3

+
+
x+y
x2 + z2 y2 + z2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14
Câu 23:

(TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 24:

(1 + a )
P=

2

+ b2 + 5

ab + a + 4
(TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020)

(1 + b )
+

2

+ c2 + 5

bc + b + 4

(1 + c )
+

2

+ a2 + 5

ca + c + 4

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Câu 25:

ab
bc
ca
1
+
+
≤ (a + b + c )
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4
(TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ 1.
Chứng minh rằng:

Câu 26:

a
b + ac

+

b
c + ab

+

c
a + bc

≥

3
2

(TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4 .

a a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Câu 27:

b b
b +3 c

+

c c
c +3 a

.

(TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020)
Cho các số dương a, b, c. Chứng minh:

Câu 28:

a +3 b

+

a b c
a+b+c
+ + +
≥4 .
b c a
3. a 2 + b 2 + c 2

(TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng: a b 2 + 1 + b c 2 + 1 + c a 2 + 1 ≥ 2

Dấu “=” xảy ra khi nào?
Câu 29:

(TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: R =

Câu 30:

a
b
c
+
+
2
2
1 + b 1 + c 1 + a2

(TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020)
Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z =

3
.
2

Chứng minh rằng: x + 2xy + 4xyz ≤ 2
Câu 31:

(TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ( a + b )( b + c )( c + a ) = 8 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Câu 32:

1
3

abc

+

1
1
1
+
+
a + 2b b + 2c c + 2a

(TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu, 2019-2020)

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15
1 1 1
+ + ≤ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c
1
1

1
P=
+
+
a 2 − ab + 3b 2 + 1
b 2 − bc + 3c 2 + 1
c 2 − ca + 3a 2 + 1

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

Câu 33:

(TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020)
Chứng minh ( a + b + c ) + 9abc ≥ 4 ( a + b + c )( ab + bc + ca ) với x, y, z là các số thực
3

không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 34:

(TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020)

Cho 3 số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

Câu 35:
1)

xy
+
( 2x + z )( 2y + z )

yz
+
( 2y + x )( 2z + x )

zx
( 2z + y )( 2x + y )

(TS10 Chuyên Bình Phước, 2019-2020)

Cho x, y là các số dương thỏa mãn xy ≤ 1. Chứng minh rằng:

1
1
2
+
≤
1 + x 1 + y 1 + xy
2)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: ( x + y ) + 4xy ≤ 12
3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

1
1
+
+ 2018xy
1+ x 1+ y

Câu 36: (TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3.

a 3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a 3
+
+
≥2
a + 2b b + 2c c + 2a
Câu 37: (TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020)
Chứng minh rằng:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 3; y ≥ 3.


1 
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 21  x +  3+ y +  .
y 
x

Câu 38: (TS10 Chuyên tin Lam Sơn – Thanh Hóa, 2019-2020)
Với các số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

S = ( a+2

2 )( b+2

2 )( c+2

2)

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16

Chuyên đề

Phương trình

3

Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình: ( x 2 + x + 1)

(

3

( 3x − 2 ) 2 + 3 3x − 2 + 1) = 9

Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2 +

4
8

− 4x + = 9 .
2
x
x

Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)

(

)

Giải phương trình: 2 x 2 + 2 = 5 x 3

1+.

Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2 − 5 x + 1 + x 4 + 7 x 2 + 1 = 0.
Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình:

x
= x 1+ 1.
−
x + 10

Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Giải phương trình

2 x 2 + 3 x + 2 + 4 x 2 + 6 x + 21 = 11

Câu 7. (Trường chun tỉnh DAK LAK vịng 2 năm 2019-2020)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 − ( m − 1) x 2 + m 2 − m − 1 = 0 có
đúng ba nghiệm phân biệt.
Câu 8. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x 1 − + x 2− 8 x+ 7 − 1 .+
Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình ( x − 2 ) ( x − 1)( x − 3) = 12 .
2

Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình

x −1 +

5 − x − 2 = 2 ( x 1)(5
− x) −.

Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2 − 1 =

x

1+.

Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17
Cho phương trình ( x − 1) + ( x − 3) + 8 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

− 2m = 0 ( m là tham số).

Tìm các giá trị của m để phương trình có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt.
Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình: 8 x 2 − 12 x − 1 = 8 x 5 +
.
Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)
4
3
2
2
Giải phương trình x  2x  2x  x  2( x  x  1  1).

Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Khánh Hịa Vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình:

2x 2 − 3x + 10
x 2 − 2x + 4

=3
x+2
x+2

Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020)
Giải phương trình x 3 +

( x + 1)

3

= 9 x+ 8 .

Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020)
2
2
Giải phương trình x − x − 4 x = 4 ( x +3) .

Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình 2 x 2 + x 2 − 2 x − 19 = 4 x + 74
Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)

x +1 + 4 − x −

Giải phương trình:

( x + 1)( 4 − x ) = 1 .

Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020)

x 2 − 3 x + 5 + x 2 = 3 x +7

Giải phương trình:

Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình:

x + 2 − 2 x − 1 = 3 x −3 ⋅ ( x +2)( x 1)
−

Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Thái Ngun chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình x + 2 = 3 3 3 x
3

2. −

Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)

(

)

Giải phương trình: x 10 − x 2 x + 10 − x 2 = 12 .
Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


18

Giải phương trình

2 x − 1 + 5 − x = x − 2 + 2 −2 x 2 +11x −5 ;

Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình x 4 + x 2 − 20 = 0
Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình 4 x 2 + 2 x +

21
= 9.
4x + 2x +1
2

Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)

2x

Giải phương trình 4 x 2 +

x2 + 1 + x

−3 = 0.

Câu 28. (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình: x + 4 − x 2 = 2+ 3 x 4− x 2
Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Long An chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình:

x

3x
+
= 2.
x2 − x − 2 x2 + x − 2

Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2  x  4  2 x 11  x  .
Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020)



x  5 y  3  6 y  7 x  4  0
Giải hệ phương trình 
.

2

2



 y ( y  x  2)  3 x  3

Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vịng 2 năm 2019-2020)

(

Giải phương trình x 6 + x 3 − 3

)

3

= 3 x5 −9 x 2 −1.

Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2  2 x  2 x 2  2 x  2  1  0
Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình

1
3
10
 2
 2
2x  x 1 2x  x  3 2x  x  7
2

Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020)

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

 x − y + xy = 1

Giải hệ phương trình 

2
2
x + y = 2

Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020)
Cho các đa thức P ( x ) = m1 x 2 +n1 x +k1 , Q ( x ) = m2 x 2 +n2 x +k2 , R ( x ) = m3 x 2 +n3 x +k3
với mi , ni , ki là các số thực và mi > 0, i = 1, 2,3 . Giả sử phương trình P ( x ) = 0 có hai nghiệm
phân biệt a1 , a2 ; phương trình Q ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt b1 , b2 ; phương trình
R ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt c1 , c2 thỏa mãn
P ( c1 ) + Q ( c1 ) = P ( c2 ) + Q ( c2 ) ,

P ( b1 ) + R ( b1 ) = P ( b2 ) + R ( b2 ) ,
Q ( a1 ) + R ( a1 ) = Q ( a2 ) + R ( a2 ) .

Chứng minh rằng a1 + a2 = b1 + b2 = c1+ c2 .
Câu 37. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 = 0 có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa x22 − 2 x12 + 6mx1 = 19
Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)
Cho phương trình 2018 x 2 − ( m − 2019 ) x − 2020 = 0 ( m là tham số). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:

x12 + 2019 − x1 = x12+ 2019+ x2 .

Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 2m − 3 = 0 (1) , với m là tham số.
a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho biểu thức x12 + x22 + 5 x1 x2 đạt giá trị
nhỏ nhất thì tham số m là một phân số tối giản

T=

p
( p, q là các số nguyên, q ≠ 0 ). Hãy tính
q

p+q
.
p2 + q2

Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 − (m + 2) x + m = 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x12 + ( m + 2 ) x2 − 5 x1 x2 = 6 .
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20
Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020)
Cho các đa thức P ( x ) = x 2 + ax + b , Q ( x ) = x 2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực..
a) Tìm tất cả các giá trị của a, b để 1 và a là nghiệm của phương trình P ( x ) = 0 .
b) Giả sử phương trình P ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình Q ( x ) = 0 có
hai nghiệm phân biệt x3 , x4 sao cho P ( x3 ) + P ( x4 ) = Q ( x1 ) + Q ( x2 ) . Chứng minh rằng
x1 − x2 = x3 − x4 .

Câu 42. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vịng 2 năm 2019-2020)
Tìm m để phương trình x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 ( x là ẩn, m là tham số) có hai

nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13 − x12 = x23 − x22 .
Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020)
Cho phương trình bậc hai x − mx + m − 1 = 0 , với m là tham số.
2

a) Giải phương trình đã cho khi m = 4 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn hệ thức

x + x2
1
1
.
+
= 1
x1 x 2
2019
Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020)
2

Giải phương trình 2x  3x  5  0 .
Câu 45. (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020)
Giải phương trình: x − 5 x − 1 − 7 = 0
Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)
Cho phương trình 2 x 2 − 6 x + 2m − 5 = 0
1) Giải phương trình với m = 2 .
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:

1 1
+ = 6.
x1 x2

Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020)
Cho các đa thức P ( x ) = x 2 + ax + b , Q ( x ) = x 2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực..
a) Tìm tất cả các giá trị của a, b để 1 và a là nghiệm của phương trình P ( x ) = 0 .

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21
b) Giả sử phương trình P ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình Q ( x ) = 0 có
hai nghiệm phân biệt x3 , x4 sao cho P ( x3 ) + P ( x4 ) = Q ( x1 ) + Q ( x2 ) . Chứng minh rằng
x1 − x2 = x3 − x4 .

Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Hải phịng vịng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x  4 x  m  0 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để
2

1
1
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn    x12  x22   4(m  2).
 x
1

x2 

Câu 49. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chun tốn năm 2019-2020)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2  2mx  m  2  0
có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1  x 2  2 10.

Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2  2 mx  4 m  4  0 (1) , m là tham số
a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

x12  2 mx2  8 m  5  0
Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020)
a) Giải phương trình x − 3 x + 2 = 0
2

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2(m − 1) x + m 2 = 0 có hai nghiệm
2
phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: ( x1 − x2 ) + 6m = x1− 2 x2 .

Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vịng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 + 2(a + b) x + 4ab = 0 (x là ẩn số; a, b là các tham số). Tìm điều
kiện củaa và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một
nghiệm dương.
Câu 53. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 + 2(m − 2) x − m 2 − 5 = 0 (với m là tham số).
a) Giải phương trình với m = 0.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử

x1 < x2 ) thỏa mãn | x1 | − | x2 + 1|= 5.
Câu 54. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

22
Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 6 = 0 (với m là tham số).
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x12 + x2 2 = 32.

Câu 55. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VỊNG 1 ) năm 2019-2020)
Cho phương trình (ẩn x , tham số m ): x 2 − ( 2m + 1) x − 12 = 0 . (1)
a)Với các giá trị nào của số thực m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao
cho x1 + x2 − 2 x1 x2 = 25 ?
b)Tìm tất cả các giá trị của số thực m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thỏa mãn x12 − x22 − 7 ( 2m + 1) = 0 .
Câu 56. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VỊNG 2 ) năm 2019-2020)
Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) thỏa mãn các điều kiện: a > 0 và
2 ac <

b
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 và

(1 − x1 )(1 − x2 ) > 0 và (1 + x1 )(1 + x2 ) > 0 .
b) Biết rằng a > c . Chứng minh rằng −1 < x1 , x2 < 1 .
Câu 57. (Trường chun tỉnh Sơn La Vịng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình: x − mx + m − 1 = 0. (1)
2

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1), đặt A =

4 x1 x2 + 6

x + x22 + 2(1 + x1 x2 )
2
1

Với giá trị nào của m thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 58. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)
Cho phương trình: x 2 − 2 x + 4m = 0

(1) , với

m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4 .
Câu 59. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 3) x + m 2 − 1 = 0

(1) , với

m là tham số. Tìm giá trị của

m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = x12 x2
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

x+1 x22 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23
Câu 60. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x + 5 x + 4 − 9m = 0 (1), với m là tham số. Tìm giá trị của m để

2

(

)

(

)

(1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x1 − 1 − x2 8 x2 + 1 = 5
2

2

Câu 61. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chun tốn năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 − 2mx + m − 4 (1) (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
x1 + x2 =

x12 x22
+
x2 x1

Câu 62. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020)
Cho hai phương trình x 2 + 6ax + 2b = 0 và x 2 + 4bx + 3a = 0 với a, b là các số thực.
Chứng minh nếu 3a + 2b ≥ 2 thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 63. (Trường chun tỉnh Vĩnh Long vịng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình x 2 − ( 3m − 2 ) x + 2m 2 − 5m − 3 = 0 , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả

các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Câu 64. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020)
Phương trình x 2 −

(

)

3 + 2 x + 6 = 0 có các nghiệm đều là nghiệm của phương

trình x 4 +bx 2 + c = 0 (*) . Tìm b; c và giải phương trình (*) ứng với b; c vừa tìm được.
Câu 65. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)
Giải phương trình x 2 − 6 x + 5 = 0 .
Câu 66. (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020)
2
Cho phương trình x − ( m + 2 ) x + 3m − 3 = 0

(1)

với 𝑚 là tham số. Tìm các giá trị

của 𝑚 để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 , 𝑥2 sao cho 𝑥1 , 𝑥2 là độ dài hai cạnh
góc vng của một tam giác vng với cạnh huyền có độ dài bằng 5.
Câu 67. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020)
Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 3) x + m − 4 = 0 .

Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 bé hơn 2.
Câu 68. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên tốn năm 2019-2020)
Cho phương trình: x − x + m − 2 = 0 ( m là tham số).
a) Tìm tất cả tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .

2

Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , tìm tất cả tham số m để

1
1
5
+ 2 = .
2
x1
x2
4

Câu 69. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020)
Cho abc là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình ax + bx + c = 0 khơng
có nghiệm hữu tỉ.
2

Câu 70. (Trường chun tỉnh Quảng Trị Vịng 2 năm 2019-2020)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2(m + 1) x − 2 = 0 có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 < x2 và | x1 | − | x−
2 |= 4.
Câu 71. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020)
Cho phương trình (ẩn x) x 2 + (m − 1) x + m − 6 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để

2
phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho biểu thức A = (x−1

4)(x−22 4) có giá trị lớn

nhất.
Câu 72. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vịng 2 năm 2019-2020)
2
2
Tìm m để phương trình x 2 + 2mx − 2m − 6 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 11.

Câu 73. (Trường chun tỉnh Hịa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020)
Tìm x biết: 4 x + 2 = 0
Câu 74. (Trường chuyên tỉnh Thanh hóa chun tốn năm 2019-2020)
Giải phương trình :

2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x

Câu 75. (Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình

1
+
x +1

1
= 1.
x −1

Câu 76. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020)

Giải phương trình

x + 3 + 3 2x − 3 + x − 1 + 2x − 3 = 2 2.

Câu 77. (Trường chun tỉnh Bình Định vịng 2 năm 2019-2020)
Giải phương trình sau: 3 8 x 2  3  8 x  6 2 x 2  2 x  1 1.
Câu 78. (Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020)
Giải phương trình: 5 x − 1 − x + 7 = 3 x −4 .
Câu 79. (Trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020)
Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC