BÀI tập lớn NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.38 MB, 46 trang )
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN
BỘ MÔN SƯ PHẠM
HỒNG THỊ NGỌC BÍCH
MAN KOMNACH
THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH
BÀI TẬP LỚN
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Học phần: Giải tốn phổ thông
Mã học phần: A27028
Kiên Giang – Năm 2022
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN
BỘ MÔN SƯ PHẠM
HỒNG THỊ NGỌC BÍCH
MSSV: 2006208011
MAN KOMNACH
MSSV: 2006208016
THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH
MSSV: 2006208013
BÀI TẬP LỚN
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Học phần: Giải tốn phổ thơng
Mã học phần: A27028
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
NGUYỄN THỊ KIM HOA
Kiên Giang – Năm 2022
KHOA SƯ PHẠM VÀ XHNV
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
BỘ MÔN SƯ PHẠM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ
BÀI TẬP LỚN
Họ và tên giảng viên: ……………………………………………………………………....
Họ và tên sinh viên:.…………………………………….......…… MSSV: . ..……………........
Tên báo cáo: …………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
Ý KIẾN NHẬN XÉT
1. Hình thức trình bày bài tập lớn:
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
2. Nội dung bài tập lớn:
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
3. Điểm số (theo thang điểm 10; lẻ 0,5):…………………………………
……………., ngày
…
tháng
GIẢNG VIÊN
(Ký và ghi rõ họ tên)
năm 20
MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM............................................................................1
1.1. Định nghĩa nguyên hàm....................................................................................1
1.2. Các tính chất của ngun hàm..........................................................................1
1.3. Bảng cơng thức ngun hàm của một số hàm số..............................................1
1.4. Một số phương pháp tính nguyên hàm.............................................................2
1.4.1.
Phương pháp ghép vi phân thích hợp.....................................................2
1.4.2.
Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ..................................................3
1.4.3.
Nguyên hàm theo từng phần...................................................................7
1.4.4.
Nguyên hàm hàm số có căn thức............................................................9
1.4.5.
Nguyên hàm hàm lượng giác................................................................12
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN................................................................................14
2.1. Định nghĩa........................................................................................................14
2.2. Tính chất...........................................................................................................14
2.3. Phương pháp tính tích phân..............................................................................15
2.3.1. Phương pháp đổi biến................................................................................15
2.3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần.......................................................18
2.4. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản.................................................................21
2.4.1. Tích phân hàm hữu tỉ.................................................................................21
2.4.2. Tích phân hàm vơ tỉ...................................................................................22
2.4.3. Tích phân hàm lượng giác..........................................................................25
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN................................................29
3.1. Diện tích hình phẳng.........................................................................................29
3.2. Thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay........................................................29
CHƯƠNG 4. BÀI TẬP TỔNG HỢP................................................................32
CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM
1.1.
Định nghĩa nguyên hàm
a. Giả sử hàm
liên tục trên khoảng
gọi là một nguyên hàm của hàm số
b. Nếu
Khi đó hàm số
khi và chỉ khi
là một nguyên hàm của hàm số
nguyên hàm của hàm số
thì tập hợp tất cả các
là tập
và tập này cịn
được kí hiệu là:
1.2.
Các tính chất của nguyên hàm
a. Nếu
là hàm số có nguyên hàm thì
b. Nếu
có đạo hàm thì
c. Phép cộng
Nếu
và
có ngun hàm thì
d. Phép trừ
Nếu
và
có ngun hàm thì
e. Phép nhân với một hằng số khác 0
f. Công thức đổi biến số
Cho
1.3.
và
được
Nếu
Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
thì
1.4.
Một số phương pháp tính nguyên hàm
1.4.1. Phương pháp ghép vi phân thích hợp
a. Phương pháp
Sử dụng biến đổi
Ví dụ:
b. Một số ví dụ
Ví dụ 1.1.1
Ví dụ 1.1.2.
Ví dụ 1.1.3.
Ví dụ 1.1.4.
1.4.2. Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ
a. Các định nghĩa
Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng
thực.
với
là các đa thức với hệ số
Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ
với
Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:
Định lí tổng quát về tích phân đa thức
Mọi đa thức
với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các
nhân tử (khơng tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các
tam thức bậc hai có biệt thức
trong đó:
thỏa mãn
tức là ta có
là các nghiệm thực phân biệt của
b. Phương pháp tính
Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản:
+
+
là các số thực
+
+
+
với
Đặt
Với
ta sẽ tính
theo 2 cách sau đây:
Cách 1: Phương pháp lượng giác
Đặt
Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tính tích phân hàm lượng giác.
Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần
với
Đặt
và
Vậy thay vào ta có
Ngun hàm hàm phân thức
với
và
thì
c. Một số ví dụ
Ví dụ 1.2.1.
Ta có:
Giả sử
Cách 1: Phương pháp hệ số bất định
Do đó
Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt
Thay
vào
suy ra:
Thay
vào
suy ra:
Thay
vào
suy ra:
Ví dụ 1.2.2.
Tính
Ta có:
Thay
vào
suy ra:
Thay
vào
suy ra:
Thay
vào
suy ra:
Thay
vào
suy ra:
Ví dụ 1.2.3.
Tính
Ta có:
1.4.3. Ngun hàm theo từng phần
a. Cơng thức tính ngun hàm từng phần
Giả sử
có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có
Nhận dạng: Hàm số dưới nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau.
Ý nghĩa: Đưa một nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều
trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên
hàm và cuối cùng chỉ còn 1 loại hàm số dưới nguyên hàm).
Chú ý: Cần chọn
sao cho
đơn giản hơn nguyên hàm
đơn giản và dễ tính được
đồng thời nguyên hàm
b. Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u , dv
u
Nguyên hàm
dv
c. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.3.1.
Tính
Cách làm chậm: Đặt
Khi đó, ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
Đặt
có
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng
Khi đó ta
Ví dụ 1.3.2.
Tính
Đặt
Ta có:
Ví dụ 1.3.3.
Tính
1.4.4. Ngun hàm hàm số có căn thức
a. Ngun hàm dạng
Nếu
bởi
Nếu
thì gọi
với m, n, p hữu tỉ
là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị
Khi đó đặt
thì gọi
là mẫu số của
và đặt
Nếu
thì gọi là mẫu số của và đặt
b. Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đặt
định
trong đó
là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác
(nếu có thể).
+ Bước 2; Tính vi phân
+ Bước 3: Biểu thị
theo
và
Giả sử rằng
+ Bước 4: Khi đó
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường
Dạng nguyên hàm
Đổi biến số
Điều kiện biến số
1.
hoặc
2.
hoặc
3.
hoặc
4.
hoặc
5.
6.
c. Một số ví dụ
Ví dụ 1.4.1.
Tính
Đặt
suy ra
Khi đó
Ví dụ 1.4.2.
Tính
Đặt
Ta có:
Ví dụ 1.4.3.
Tính
Cách 1: Đặt
với
suy ra
Khi đó:
Cách 2: Đặt
Khi đó:
Ví dụ 1.4.4.
với
suy ra
Tính
(Với
Với
đặt
suy ra
Khi đó, ta có:
1.4.5. Ngun hàm hàm lượng giác
d. Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác
Dạng 1:
Phương pháp:
+ Nếu
chẵn thì sử dụng cơng thức hạ bậc
+ Nếu
thì sử dụng cơng thức hạ bậc hoặc biến đổi theo dấu cộng thứ ba
+ Nếu
lẻ
thì thực hiện biến đổi:
Dạng 2:
Phương pháp:
Trường hợp 1:
là các số nguyên
+ Nếu
chẵn,
chẵn thì sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
+ Nếu
chẵn,
lẻ thì biến đổi:
+ Nếu
lẻ,
+ Nếu
hơn.
lẻ,
chẵn thì biến đổi:
lẻ thì sử dụng biến đổi ở trường hợp 2 hoặc trường hợp 3 cho số mũ bé
Trường hợp 2: Nếu
Tích phân (*) tính được
Dạng 3:
là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt
1 trong 3 số
nguyên
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN
2.1. Định nghĩa
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
trên đoạn
Giả sử
hiệu số
phân xác định trên đoạn
là một nguyên hàm của hàm số
được gọi là tích phân từ
đến
(hay tích
của hàm số
Kí hiệu là:
Vậy ta có:
Chú ý: Trong trường hợp
Trường hợp
ta quy ước:
ta định nghĩa:
Nhận xét: Tích phân của hàm số
từ
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào
cách ghi biến số.
đến
có thể kí hiệu bởi
và các cận
hay
mà khơng phụ thuộc vào
2.2. Tính chất
Giả sử cho hai hàm số
Khi đó, ta có:
1.
2.
3.
và
liên tục trên
Cho
là ba số bất kì thuộc
4.
5.
(
6.
Nếu
là hằng số)
thì
7. Nếu
8. Nếu
và
thì
2.3. Phương pháp tính tích phân
2.3.1. Phương pháp đổi biến
a. Phương pháp đổi biến số loại 1
Định lí: Cho hàm số
tục trên đoạn
đó:
liên tục trên
sao cho
Giả sử hàm số
và
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đặt
+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế:
Đổi cận:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Vậy
b. Phương pháp đổi biến loại 2
có đạo hàm liên
với mọi
Khi
Định lí: Cho hàm số
hàm số
liên tục trên đoạn
Để tính
làm biến số mới, trong đó trên đoạn
đơi khi ta chọn
có đạo hàm liên tục và
Giả sử có thể viết:
với
liên tục trên đoạn
Khi đó ta có:
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đặt
+ Bước 2: Đổi cận:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Vậy
c. Các cách đặt cho các dạng tốn tích phân thường gặp:
2.
Đặt
trừ một số trường hợp đổi biến dạng
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
d. Một số ví dụ
Ví dụ 2.1.1.
Tính
Đặt
Đặt
Đặt
với
BCNN
Giải:
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Đặt
Đổi cận:
Do đó:
Cách 2: Đặt
Đổi cận:
Do đó:
Cách 3: Thực hiện phép biến đổi:
Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2.
Ví dụ 2.1.2
Tính
Giải:
Đặt
Do đó:
Ví dụ 2.1.3.
Tính
Giải:
Đổi cận
Đặt
Đổi cận
Vậy
2.3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí: Nếu
và
là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
thì:
Hay
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Viết
làm
dưới dạng
bằng cách chọn một phần thích hợp của
và phần cịn lại
+ Bước 2: Tính
+ Bước 3: Tính
và
và
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần (cơ bản)
Đặt
theo thứ tự
ưu tiên
Chú ý: Nên chọn
là phần của
là phần của
là vi phân một hàm số đã biết hoặc có ngun hàm dễ tìm.
Ví dụ 2.2.1.
Tính
Giải:
mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
Đặt
Khi đó:
Ví dụ 2.2.2.
Tính
Giải:
Tính
Khi đó:
Suy ra:
Ví dụ 2.2.3.
Tính
Giải:
Đặt
Đặt
