chuyên đề ôn thi đại học môn toán - ứng dụng của đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
Đònh nghóa
y
f
)(x
: Cho hàm số
=
[]
xác đònh trên khoảng (a;b)
[
]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1

f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (tăng) biếnđồng

•
•
[]

[
]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1
f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch


69


x
y
x
y
1
x
2
x
)(
1

xf
)(
2
xf
a
bO
)(f
(f
2
x
)
1
x
a
b
1
x
2
x
)(:)( xfyC
=







1. Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Đònh lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

•
[]

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≥⇒ b)(a;x
'
f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x
•
[]

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇒ b)(a;x 0)(
'
f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghòch f
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Đònh lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
[
]
b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x)
'

f f ⇒∈∀>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
•
[
]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòchb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
[
]
b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀=
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡


x
a
b
)(' xf
)(xf
+
x
a
b
)(' xf
)(xf
−








Đònh lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

[]
b)(a; trên (tăng) biếnđồng

b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒
∈∀≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

[]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒

∈∀≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Minh họa đònh lý:







Đònh lý 4

70
: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
•
[]
f

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (tăng) biếnđồng
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (giảm) biếnnghòch f
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)
'

fb)(a; trên đổi không f
x
a
b
)(' xf
)(xf
+
0
x
0
+
x
a
b
)(' xf
)(xf
−
0
x
0
−

3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số:
y
f
)(x
=
ta có thể thực hiện như sau:
Muốn xét chiều biến thiên của hàm số
Bước 1: Tìm miền xác đònh của hàm số : D=?

Bước 2: Tính và xét dấu
)(
'
xf )(
'
xf
Bước 3: Dựa vào đònh lý điều kiện đủ để kết luận.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y
3)
1
2
2
−
=
x
x

y

4) 5)
xx
ey
+−
=
2
x
x
e
y = 6)
xxy ln
2
2
1
−=

7)
x
x
y
ln
=
8)
xxy −+−= 42
9)
2
2 xxy −+=
Bài 2: Cho hàm số

23)12(
2
2
3
3
1
)( +−+++−== axaxxxfy
(1). Tìm a để hàm số nghòch biến trên R
Bài 3: Tìm m để hàm số
4)3(
2
)1(
3
3
1
−++−+−= xmxmxy
đồng biến trên khoảng (0;3)
Bài 4: Cho hàm số
3
2
)32(
2
)1(
3
3
1
)( −−+−+== xmxmxxfy
(1)
a) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R
b) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

Bài 5: Cho hàm số
1
2)(
−
++==
x
m
xxfy
(1)
Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó
Bài 6: Cho hàm số
1
13)2(
2
2
)(
−
+−++−
==
x
mxmx
xfy
(1)
Tìm a để hàm số (1) nghòch biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó
Bài 7: Cho hàm số :
mx
mxmx
y
−
++−+−

=
1)1(2
2
. Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;
+
∞
)
Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi
xtgxx 3sin2 >+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 9: Chứng minh rằng:
3
3
x
xtgx +>
với mọi
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 10: Chứng minh rằng:
xtgx
π
4
≤
với mọi
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
;0
π
x
Bài 11: Cho hàm số
32
1
(2 1) 2

3
yxax axa
=−+−−+

Tìm a để hàm số nghòch biến trong khoảng (-2;0)
Bài 12: Cho hàm số (1) 1
23
++−= xmxxy
Tìm các giá trò của m để hàm số (1) nghòch biến trong khoảng (1;2)
Bài 13: Cho hàm số
2
1
1
x
mx
y
x
+−
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-
∞
;1) và (1;+
∞
).
Bài 14: Cho hàm số
2
2
2

x
xm
y
x
−+
=
−

Xác đònh m để hàm số nghòch biến trên [-1;0].
Bài 15: Cho hàm số
22
56
3
xxm
y
x
++ +
=
+

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+
∞
).
Bài 16: Cho hàm số
2
(2 3) 1
(1)
xmxm
y
xm

+−+−
=
−−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+
∞
)


71
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
********
Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào
chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình , bất phương trình, hệ phương trình .
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b).
a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b)
⇔

∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x

1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
b) f giảm ( hay nghòch biến ) trên khoảng (a,b)
⇔

∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
II. Các tính chất :
1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) = f(v) u = v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

72

2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u < v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u > v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

4) Tính chất 4:

Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm
trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b)

*Dựa vào tính chất trên ta suy ra :

Nếu có x
0
∈ (a,b) sao cho f(x
0
) = g(x

0
) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1)
11x41x4
2
=−+−

2)
xxx
2)32()32( =++−

3)
xlog)x1(log
7
3
2
=+

Bài 2 : Giải các phương trình sau:
1)
2xx1x
)1x(22
2
−=−
−−
2) 2x3x)

5x4x2
3xx
(log
2
2
2
3
++=
+
+
++

Bài 3 : Giải các hệ :
1) với x, y
⎩
⎨
⎧
π=+
−=−
2y8x5
yxgycotgxcot
∈
(0,
π
)
2)
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx
Bài 4: Giải các bất phương trình sau.
1) 5
x
+ 12
x
> 13
x
2) x (x
8
+ x
2
+16 ) > 6 ( 4 - x
2
)
Bài 5 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1) e
x
> 1+x với x > 0
2) ln (1 + x ) < x với x > 0
3) sinx < x với x > 0
4) 1 -
2
1

x
2
< cosx với x 0
≠

Hết

73
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
I. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0
∈(a;b)


74

x
y
(
)
a
b
0
x
O
)(
0
xf
)(xf
)(:)( xfyC
=
x
(
)

x
y
O
a
b
0
x
x
)(xf
)(
0
xf
)(:)( xfyC
=









•

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀<⇔
0
x\Vx )
0
f(xf(x)
0
x
đn
f số hàmcủa ĐẠICỰC điểmlà
•

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀>⇔
0
x\Vx )
0
f(xf(x)
n

0
x
đ
f số hàmcủa TIỂU CỰC điểmlà
II.Điều kiện cần của cực trò:
Đònh lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và
);(
0
ba
x
∈

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒ 0)
0
(
'
f x
0
x tại trò cựcđạt f
0
x tại hàmđạo có f
Ý nghóa hình học của đònh lý:
Nếu hàm số
()

yf
x=
có đạo hàm tại điểm x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì tiếp tuyến của đường cong
(C):
()
yf
x=
tại điểm M(x
0
,f(x
0
)) phải cùng phương với Ox
III. Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trò:
1)
Đònh lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
( có thể trừ
tại điểm x
0
)
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
+
0
x tại ĐẠICỰCđạt f
- sang từ dấu đổi
'
f
mà
0
x qua đi x khiNếu

)(

x
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
+−
0
x tại TIỂU CỰCđạt f
sang từ dấu đổi
'
f
mà
0
x qua đi x khiNếu

)(

x
Bảng tóm tắt:
x
a
b
)(' xf
)(xf

+
0
x
0
−
CT





x
a
b
)(' xf
)(xf
+
0
x
0
−
CD
2) Đònh lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x
0
và f
'
(x
0
)=0, f
''

(x
0
)≠0

•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇒<
0
x tại ĐẠICỰCđạt f
''
f Nếu 0)
0
( x
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇒>
0
x tại TIỂU CỰCđạt f
''
f Nếu 0)
0
( x

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm cực trò của các hàm số:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y
3)

1
2
2
−
=
x
x
y

4) 5)
xx
ey
+−
=
2
x
x
e
y =
6) xxy ln
2
2
1
−=

7)
x
x
y
ln

=
8)
xxy −+−= 42
9)
2
2 xxy −+=

Bài 2: Cho hàm số . Tìm m để y đạt
)1
2
(2)14
2
(
2
)1(2
3
+−+−+−+= mxmmxmxy
cực đại, cực tiểu tại hai điểm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện )
2
1
(
2
1
2
1
1

1
xx
xx
+=+

Bài 3: Cho hàm số
1
2
2
−
−+
=
mx
mxx
y
. Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu
với hoành độ thỏa mãn
21
4
21
x
x
x
x
=
+
Bài 4: Tìm m để hàm số
m
x
mxx

y
+
++
=
1
2
đạt cực đại tại x = 2

Bài 5: Giả sử hàm số
)(
)(
)(
xv
x
u
xf =
đạt cực trò tại x
0
. Chứng minh rằng nếu
thì
0)
0
(
'
≠xv
)
0
(
'
)

0
(
'
)
0
(
xv
xu
xf =


Áp dụng : Tìm giá trò cực trò của hàm số:
2
53
2
+
++
=
x
xx
y

Bài 6: Cho hàm số . Chia f(x) cho f
dcxbxaxxf +++=
23
)(
'
(x), ta được:

βα

+++= xBAxxfxf )).((
'
)(
Giả sử f(x) đạt cực trò tại x
0
Chứng minh rằng :
β
α
+
=
0
)
0
(
x
x
f


Áp dụng : Tìm giá trò cực trò của hàm số:
23
2
3
3
+−−= xxxy


75
Bài 7: Gọi (C
m

) là đồ thò hàm số
x
mxy
1
+= (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
)
đến tiệm cận xiên của (C
m
) bằng
2
1

Bài 8: Gọi (C
m
) là đồ thò hàm số
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
(1)
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thò (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại,

điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20
Bài 9: Cho hàm số
mx
mxx
y
+
++
=
1
2
. Tìm m sao cho hàm số đạt cực đại tại x = -1
Bài 10: Cho hàm số
2)12(
3
1
23
+−−+−= mxmmxxy

Tìm m sao cho hàm số có hai cực trò có hoành độ dương
Bài 11: Cho hàm số
1
2
+
++
=
x
mxx
y (1)
Xác đònh m sao cho hàm số (1) có hai giá trò cực trò trái dấu nhau.
Bài 12: Cho hàm số (1) 4)32(3

223
+−++−= xmmmxxy
Tìm m để đồ thò hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
Bài 13: Cho hàm số :
3
()3yxm x=− −
Xác đònh m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 14: Cho hàm số :
42 2
(9)1ymx m x=+−+0
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trò.
Bài 15: Cho hàm số :
32 23
33(1)
2
y
xmx mxmm=− + + − + −
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số .
Bài 16: Cho hàm số
2
1
x
mx
y
x
+
=
−

Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu . Với giá trò nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực

trò của đồ thò hàm số bằng 10.
Bài 17: Cho hàm số
2
2
1
xmx
y
mx
+−
=
−

Xác đònh m để hàm số có cực đại , cực tiểu với hoàng độ thoả mãn
12 1
4.
2
x
xxx+=










76
GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Tóm tắt giáo khoa
1. Đònh nghóa: Cho hàm số
y
f
)(x=
xác đònh trên D
• Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∈
∈
∀
≤
MD
Mxf
)
Dx )(
0
f(x cho sao
0
x tại Tồn

Ký hiệu: y
D
x
M

ax
M
∈
=

• Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∈
∈
∀≥
mD
xf
)
Dx m)(
0
f(x cho sao
0
x tại Tồn

Ký hiệu:
y
D
x
m
∈

= mi
n

0
x
O
M
)(xf
x
x
y
0
x
)(:)( xfyC
=
m
D

Minh họa:










2. Các phương pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số

)(x
f
y
=
trên D
a)
Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm GTLN và nhỏ nhất của hàm số :
x
xy
2
+=
với x > 0
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số :
xxy −+−= 42

b)
Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt hoặc hệ phương trình
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
2
3
2
+
+
+
=
x
x
x

y

b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra kết qua
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số :
4
3
3
4 xxy −=

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số :
x
xy
2
2
+=
với x > 0

77

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
xxy −+−= 42


Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
x-2xsin
=
y
trên
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
−
2
;
2
π
π

Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
cosx2
sinx
+
=y trên
[
]
π
;0
Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
2
2 xxy −+=

Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
2
1
2
cossin +−= xxy

Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

)8cos4(cos
2
1
)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+=

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
với
xxxxy 9
2
2
3
3
4
+−−=
]2;2[
−
∈
x

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

xx
y
−
= 2sin
trên
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
2
;
2
π
π

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

x
exy .
2
=
trên
]2;3[
−

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
=
−y 5cosx cos5x
trên
ππ
−[;
44
]

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
2
3
2
+
+
+
=
x
x
x
y

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
312 xxy
−+=

Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
4)2( xxy
−+=

Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

1
2
)3( +−= xxy

với
]2;0[
∈
x

Bài 9: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
++
=
+
2
2cos cos 1
cos 1
x
x
y
x

Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số

π
⎡
⎤
⎣
⎦
=−
4
3
2sin sin trên đoạn 0;
3
yx x

Bài 11: Tìm GTNN của hàm số :
3
32
2 xxy
−=
trên đoạn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 3;
2
1


78
Bài 12: Cho phương trình với . Tìm a để nghiệm lớn 013)62(
2
=−+−+ axax
1≥a
của phương trình đạt giá trò lớn nhất.
Bài 13: Cho hàm số
1
24
2
)1(
2

−
−+−+−
=
x
mmxmx
y
(1)
Xác đònh các giá trò của m để hàm số có cực trò. Tìm m để tích các giá trò
cực đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất
Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
xxxxxf 2sin3
2
)cos(sin22
2
cos)( −++=
Bài 15: Tìm giá trò lớn nhất và bé nhất của hàm số sau :

=+ +
22
y4cosx33sinx7sinx

Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1sin
2
sin
1sin
+
+
+
=

x
x
x
y
Bài 17: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
=+ − −
1
2(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )
2
y
xx x x
Bài 18: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
=++
33
2(sin cos ) 8sin .cos
y
xx xx

Bài 19: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
17
4
sin
4
)sin1(
8
1
≤+−≤ xx

R
x

∈∀



Hết















79