Chuyên đề ôn thi đại học môn toán lượng giác

27
Chuyên đề 7

LƯNG GIÁC

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Đo
ä:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

2. Radian
: (rad)

rad
0
180
π
=


3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng
:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác
:
1. Đònh nghóa
:

2. Đường tròn lượng giác
:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
q
AM k2=α+ π


M
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→

→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.

y
x
o
180
O
+
−
x
y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB +=
28

III. Đònh nghóa hàm số lượng giác
:

1. Đường tròn lượng giác
:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác
:
a. Đònh nghóa
: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:





cos
sin
tan
cot
OP
OQ
AT
BU
α
α
α
α
=
=
=
=

b. Các tính chất :

•

Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα
−≤ ≤ ≤


1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•

tan xác đinh
2
k
π
α απ
∀≠ +

•

cot xác đinh k
α απ

∀≠


c. Tính tuần hoàn




sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
α πα
α πα
α πα
απ α
+=
+=
+=
+=

)( Zk ∈


+
−

x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=R
1−
1−
'
x
'u
u
t
't
'y
y
t
'
u
'
t
t
x
u
'

y
'
xO
t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
29
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/3
(Điểm gốc)
t

t'
y
y'
x
x'
u
u'
-3
-1
-3
/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π

/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
-2
/2
-3/2
-1/2-2/2-3/2
3
/2
2
/2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3 /3
3
B

π
/2
3
/3
1
3
O



0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0

Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2
1

2
2
2
3
1
2
3

2
2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2
1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1
tan
α
0
3
3

1
3

kxđ
3−

-1
3
3
−

0 0
cot
α
kxđ
3

1
3
3
0
3
3
−
-1
3−

kxđ kxđ


+
−
30
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung

:
1.
Cung đối nhau
:
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2.
Cung bù nhau
:
và -
α πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)

3.
Cung phụ nhau

: và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)

4.
Cung hơn kém
2
π
: và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ

,…)

5.
Cung hơn kém
π

:
và
α πα
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)

1. Cung đối nhau:

2. Cung bù nhau
:


sin( ) sin
tan( )
cos( ) c
tan
cot
o

()
s
cot
α α
α α
α α
α α
−=−
−=−
−=−
−=

cos( ) cos
t
sin( ) s
an( ) tan
cot( )
i
ot
n
c
π αα
πα
α
α
π
α
α
α
π

−=
− =−
−=−
−=−



3. Cung phụ nhau
:
4. Cung hơn kém
2
π



cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π

α α
−=
−=
−=
−=

tan
cos( ) sin
2
sin( )
() cot
2
cot(

) ta
s
2
co
2
n
π
α α
π
α
π
α α
α
α
π
α

+=−
+
+−
+=−
=
=


5. Cung hơn kém
π
:


tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co
in
t( ) cot
π α
π αα
π
α
α
α
α
α
π
+

+=−
+=
+
−
=
=

Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
31
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản
:

22
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos

cot =
sin
αα
α
α
α
α
α
α
+=

2
2
2
2
1
1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1
α
α
α
α
α α
+
+

Ví du
ï:
Chứng minh rằng:
1.
44 22
cos x sin x 1 2 sin x cos x+=−

2.
xxxx
2266
cossin31sincos −=+


Chứng minh

()()
()
22
44 2 2
2
22 22
22
1) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 2sin x cos x
1 2 sin x cos x
+= +
=+ −
=−

()()
() ()
33
66 2 2
3
22 2222
22
2) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x
1 3 sin x cos x
+= +
=+ − +
=−

2. Công thức cộng
:


cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
tan( + ) =
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1tan.tan
α βαβαβ

α βαβαβ
α βαββα
α βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−
−
+


Ví du
ï:
Chứng minh rằng:

π
αα α
π
αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )

4
2.cos sin 2 cos( )
4


Chứng minh
32

22
1) cos sin 2 cos sin
22
2 cos cos sin sin
44
2 cos
4
22
2) cos sin 2 cos sin
22
2 cos cos si
4




+ = +

=+








=








=

=
nsin
4
2 cos
4













=+







3. Coõng thửực nhaõn ủoõi:

22
2
2
44
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
2tan
tan2
1tan








=
=
=
=
=
=

4 Coõng thửực nhaõn ba
:


3
3
cos3 4 cos 3cos
sin 3 3sin 4sin


=
=


5. Coõng thửực haù baọc
:


22 2
1cos2 1cos2 1cos2
cos ; sin ; tan
221cos2

= = =
+
+

6.Coõng thửực tớnh
sin ,cos ,tg

theo
tan
2

=t



2
22 2
2t 1 t 2t
sin ; cos ; tan
1t 1t 1t

= = =
++



2
1cos2
2
cos
+
=

2

1cos2
sin
2

=


2sin
2
1
cossin
=

4
cos33cos
cos
3


+
=

4
3sinsin3
sin
3



=

33
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :



[]
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α βαβαβ
α βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−




8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ

+ −
+=
+ −
−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=
−
−=




9. Các công thức thường dùng khác
:


cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π π
αα α α
π π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

44
66
cos 4
cos sin
cos 4
c
3
os sin
4
53
8
+α
α+ α=
+α
α+ α=










34
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1:

Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2:
Sử dụng các phép
biến đổi tương đương
để biến đổi pt đến một pt
đã biết cách giải

Bước 3:
Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4:
Kết luậ
n
I. Đònh lý cơ bản
: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π

π
π
π π
ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔⇔±
⎢
⎣
⇔≠+
⇔≠


( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk ∈
)


Ví dụ
: Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x x
π
=−
2.

4
3
cos)
4
cos(
ππ
=−
x

3.
xx 2sin3cos
= 4.
44
1
sin cos (3 cos6 )
4
x xx
+=−



Bài giải

2
322
52
4
20 5
4
1) sin3 sin( 2 )

3
3
4
322
2
2
4
4
4
k
xxk
x
xk
xx
xxk
xk
x k
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
⎡

⎡
⎡
=− +
=+
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
=−⇔ ⇔ ⇔
⎢
⎢
⎛⎞
⎢
⎢
⎢
=− − +
=+
=+
⎜⎟
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎝⎠
⎣


3

xk2
xk2
3
44
2)cos(x ) cos
3
xk2
44
xk2
2
44
⎡
ππ
⎡
=π+ π
−= +π
⎢
⎢
ππ
⎢
−= ⇔ ⇔
⎢
π
⎢
ππ
⎢
=− + π
⎢
−=− +π
⎢

⎢
⎣
⎣


k2
3x 2x k2
x
2
10 5
3) cos 3x cos 3x
3x 2x k
sin 2x cos 2x
2
2
2
xk2
2
π
⎡
ππ
⎡
=− +π
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
=⇔ = ⇔ ⇔
⎢

⎢
π
π
⎢
⎢
=
π
⎛⎞
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
−+ + π
=− + π
⎢
⎢
⎣
⎣

35

()
44
13cos43cos6
4) sin cos (3 cos6 ) cos6 cos6
444
2

6
cos4 cos 4
42
10 5

642
2
x x
xx x x x
k
x
xxk
xxk
xk
x x
ππ
ππ
ππ
π
π
π
+ −
+=− ⇔ = ⇔= ⇔=
⎡
=+
⎢
=− +
⎡
⇔⇔
⎢

⎢
=− + +
⎣
⎢
=
−
⎣
−
−+
⎢

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1:

sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m
(
Rm ∈∀
)


* Gpt : sinx = m (1)

•

Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm
•

Nếu

1
m
≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π απ
⎡
⇔⇔
⎢
⎣


* Gpt : cosx = m (2)

•

Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
•

Nếu
1m ≤

thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β π
β
β π
⎡
⇔⇔
⎢
−
⎣

* Gpt: tanx = m (3)
( pt luôn có nghiệm
Rm
∈∀
)

•

Đặt m = tan
γ
thì

(3) tanx = tan x = +k
γ γπ

⇔⇔


* Gpt: cotx = m (4)
( pt luôn có nghiệm
Rm
∈∀
)

•

Đặt m = cot
δ
thì

(4) cotx = cot x = +k
δ δπ
⇔⇔