Tuyển tập 90 đề thi đại học toán - trích đoạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 29 trang )
LOVEBOOK.VN | 1
n cun t thi th kèm li gii chi tit và bình lu th khoa, gii
quc gia GSTT GROUP biên son do Lovebook.vn sn xut.
Cun gii tit và công phu nht trong chui sách luy môn Toán.!
Sách s chính thc ra mt các em hc gi quan tâm vào ngày 18/12 sp ti!
Cun sách g i h3 thi th c chn lc và b sung t thi th ng
chuyên trên c c và 1 i hc chính thc chn lc t
Ngoài ra cun sách còn có khong gn 300 bài toán luyn thêm sau mi bài tn hình cho các em luyn.
Không ch i gii mà cung quát hóa bài toán và các
bài m ri cun sách Toán này, vic hc Toán s tr nên thú v
Web: lovebook.vn
Facebook:
Gmail:
a ch: S i
LOVEBOOK.VN| 2
Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC
1-
n
(GSTT GROUP K HN)
ng ca gii HPT. N c gii quyt
ngay tc kh.
TÓM TT KIN THN
- Các bn cn nm chc kin th
- Ngoài gii quyt chn vn bài toán thì các k thung cp, nhm nghim phân tích thành nhân
t, n phn phi nm vng.
A- T cm nhn.
Ví d 1: Gii h
2 2 2
xy x 1 7y 1
x y xy 1 13y 2
Li gii:
(1) x(y 1) 7y 1
Nu
y1
thì
x.0 7( 1) 1
(vô lí)
Nu
y1
thì
7y 1
x
y1
th vào (2) ta có:
22
7y 1 7y 1
y y 1 13y
y 1 y 1
2 2 2
22
y 7y 1 y 7y 1 y 1 y 1 13y y 1 0
4 3 2
36y 33y 5y y 1 0
2
y 1 3y 1 12y 5y 1 0
y1
1
y
3
2
(Do12y 5y 1 0, y R)
+ Vi
7.1 1
y 1 x 3
11
+ Vi
1
7. 1
1
3
y x 1
1
3
1
3
Kt lun: H m:
1
x;y 3;1 ; 1;
3
Ví d 2: Gii h
2 2 2
22
4x y 6xy 3y 9 0 1
6x y y 9x 0 2
Li gii:
3 2 2 2
(1) 4x y 6x y 3xy 9x 0
(3)
22
2 9x 6x y y
th vào (3) ta có:
3 2 2 2 2 2
4x y 6x y 3xy 6x y y 0
23
y 4x 3x 1 0
3
y0
4x 3x 1 0
+ Nu y = 0 thay vào (2) ta có 9x = 0 nên x = 0
Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta có 9 = 0 (vô lí)
LOVEBOOK.VN | 3
+ Nu
3
x1
4x 3x 1 0
1
x
2
+ Vi x = 1 thay vào (2) ta có:
2
6y y 9 0 y 3
+ Vi
thay vào (2) ta có:
2
y3
39
y y 0
3
22
y
2
Th li các nghim
1 1 3
x;y 1;3 ; ;3 ; ;
2 2 2
vào h thy thác nghim ca h
Ví d 3: Gii h
.
. (3)
Ta có: (3)
(4)
B-
-
-
-
C-
D- Bài
LOVEBOOK.VN| 4
Bài 1: .
Bài 2: .
.
Bài 3:
.
.
Bài 4:
.
2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình
Doãn Trung San
(GSTT GROUP
I) Dc v
A -
.
LOVEBOOK.VN | 5
.
trên
Có
R.
.
.
.
Có
.
trên
B-
.
LOVEBOOK.VN| 6
Phần II: Đề thi
s 10
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s y =
x1
x2
.
a) Kho sát s bin thiên và v th (H) ca hàm s
b) Gng tim cn ca (H). Vip tuyn d ca (H) tm M tha
mãn IM vuông góc vi d.
m). Gi
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2
= cos
x
2
.
m). Gii h
()
22
xy 4y 8 xx 2
x y 3 3 2y 1
(x, y
m). Tính tích phân I =
1
3
2
0
x
dx
4x
.
Câu 5 (1,0 m). nht, AD = a
5
. Tam giác SAB nm trong mt
phng vuông góc v
a
2
,
0
ASB 120
. Gm ca AD. Tính th tích khi chóp
S.ABCD và tính bán kính mt cu ngoi tip t din SBCE theo a.
m). Cho các s t tha mãn
2
a 2b 12
. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
P =
4 4 2
4 4 5
a b 8(a b)
.
II. PHm): Thí sinh ch c chn làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h t m M nm
n thng BC sao cho MC = 2MB. Tìm t m C bit rng thng BC có h s
góc là mt s nguyên.
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho hai mt phng
( ):x y z 0
,
():x 2y 2z 0
. Vit cu (S) có tâm thuc (), có bán kinh bng 3, tip xúc vi () ti M,
bit rm M thuc mt phng (Oxz).
m). Tìm s phc z tha mãn
1i
z (1 i)z
(1 i)z
.
m). Trong mt phng vi h t Oxy, cho tam giác ABC cân ti A, có trc tâm
( ; )H 32
. Gi
ng cao k t B và C. Bit rm A thung thng
d:x 3y 3 0
m
( ; )F 23
thuc
ng thng DE và HD = 2. Tìm t m A.
m). Trong không gian vi h t m
( ; ; )A132
,
( ; ; )B 321
và mt phng (P)
x 2y 2z 11 0
m M trên (P) sao cho
MB 2 2
và
0
MBA 30
.
Câm). Tìm s a mãn
1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1
C C C C C
2 3 4 5 2n 1 2013
.
HT
LOVEBOOK.VN | 7
s 11
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s y =
2x 1
x1
.
a) Kho sát s bin thiên và v th (H) ca hàm s
b) Vip tuyn ca (H) bit rng tim ca tip tuym A(0; 1)mt
khong bng 2
m).
1. Gi
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2
= cos
x
2
.
2. Gii h
()
2
2
x xy x 3 0
yx 3 x 1 2 xy 2y
(x, y
m). Tính tích phân I =
2
2
6
cosx.ln(1 sinx)
dx
sin x
.
m). Cho t din ABCD có mt phng
Cho bit
Tính th tích khi t din ABCD và khong cách t n mt phng (ACD) theo a, bit
rng góc gia hai mt phng (ACD) và (BCD) bng vi
m).
II. PHm): Thí sinh ch c chn làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h t ng
ng trung tuyn CM là : 2x +5y -
ng thng AC, AB, BC .
2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vng cao AH:
x 2 y 3 z 3
,
1 1 2
phân giác trong
BM:
x 1 y 3 z 3
.
1 2 1
Vin CN ca tam giác ABC
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho hai mt phng
( ):x y z 0
,
():x 2y 2z 0
. Vit cu (S) có tâm thuc (), có bán kinh bng 3, tip xúc vi () ti M,
bit rm M thuc mt phng (Oxz).
Câu 9.a (1,0 m). Cho s phc z tha mãn
(1 3.i)
z.
1i
a s phc
z i.z
m). Trong mt phng Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, cnh BC:
x 2y 1 0
nh A, B
nm trên Ox. Tìm to nh C bit din tích tam giác bng 10.
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho mt cu (S):
ng th
x 2 y 3 z 1
.
1 2 1
(Sa:
45
yz
x
33
6 5 1
). Vit
phng (P) cha d và ct mt cu bi giao tuyng tròn có bán kính bng 4.
m). Tính tng:
bit rng
22
z cos isin .s
nn
HT
LOVEBOOK.VN| 8
Đề số 19
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s
2x 1
y
x1
th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
2. ng thng
y x m
c th (C) tm phân bit A, B sao cho tam giác ABM là tam
u, bim M(2; 5).
m).
1. Gi
2. Gii h
( ) ( )
22
x 3xy 1 y yx 3 4
x xy 2y 1
(x,y ).
m).
Câu V m). Cho a, b, c là các s th mãn a + b + c = 3. Chng minh rng:
2 2 2
3a b c 4abc 13
.
m). Cho hình chóp
S.ABCD
ABCD
là hình thoi tâm
O
, hai mt phng (SAC) và (SBD) cùng
vuông góc vi mt phng (ABCD). Bit AC = 2a
3
, BD
2a, khong cách t m
O
n mt phng (SAB)
bng
a3
4
. Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a.
II. PHm): Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc B)
n
m).
1. Trong mt phng vi h t nh A(3; ng trung trc
cng trung tuyn xut phát t C lt là
x y 1 0
và
3x y 9 0
. Tìm t nh B, C
ca tam giác ABC.
2. Trong mt phng vi h t ng tròn (C):
22
x y 2x 4y 8 0
ng thng () có
2x 3y 1 0
. Chng minh rng () luôn ct (C) tm phân bit A, B. Tìm to m M
ng tròn (C) sao cho din tích tam giác ABM ln nht.
3. Gi
x1
x
2
3
x 1 2
(3 2)log 4 .9
33
.
m).
1. Trong mt phng vi h t
Oxy
ng thng
1
d
,
2
d
n
t là
3x y 2 0
và
x 3y 4 0
. Gm ca
1
d
và
2
d
. Ving th
cng thng
1
d
và
2
d
lt ti B, C (B và C khác A) sao cho
22
11
AB AC
t giá tr nh nht.
2. Trong mt phng vi h t ng tròn (C):
22
x y 2x 4y 2 0
. Vi
ng tròn (C') tâm M(5; 1) bit (C') ct (C) tm A, B sao cho AB =
3
.
3. Tính giá tr biu thc: A =
0 0 1 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
2C 2C 2C 2C 2 C
1 2 3 4 2012
.
HT
LOVEBOOK.VN | 9
Phần III: Đáp án và bình luận
s 10
Câu 1:
a)
nh: D \ {2}.
bin thiên:
Gii hn ti vô cc: Ta có
x
limy 1
và
x
limy 1
.
Gii hn vô cc:
x (2)
lim y
và
x (2)
lim y
.
th (H) có tim cng thng y = 1, tim cng thng
x2
.
Chiu bin thiên: Ta có
',
()
2
1
y 20x
x2
.
Suy ra hàm s nghch bin trên mi khong
( ; )2
và
( ; )2
.
Bng bin thiên:
th:
th ct Ox tm (1; 0), ct Oy tm
;
1
0
2
; nhn giao
m
( ; )I21
cng tim ci xng.
0
0
0
+) Gi M
;
0
0
0
x1
x
x2
(x
0
2) là ti
tip tuyn ti M là
d:
()
()
0
0
2
0
0
x1
1
y x x
x2
x2
,
hay d:
( ) ( )
22
0 0 0
x x 2 y x 2x 2 0
.
a d là
( ) ;
2
d0
u x 2 1
. Ta có
( ; )I21
nên
;
0
0
1
IM x 2
x2
.
i d
.
d
IMu 0
()
2
0
0
1
x 2 0
x2
()
4
0
x 2 1
x3
x1
Vi x
0
p tuy
Vi x
0
p tuy
Vy có hai tip tuyn th
Câu 2:
i:
(3 + cos2x)cos
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2
= sin
x
2
(4 2
2
sinx
)cos
x
2
+ (2 + 2cosx)sin
x
2
= 0
(2
2
sinx
)cos
x
2
+ 2
2
x
cos
2
sin
x
2
= 0 cos
x
2
.
2
sin x sinx 2 0
1
x 2
y'
y
1
O
1
2
1
0,5
y
x
LOVEBOOK.VN| 10
x
x x k2
k
cos 0
22
2
x k2
sinx 1
x k2
2
2
(
k
).
Vy nghim c + k2, x =
2
+ k2 (
k
).
Nhn xét:
x
2
x
2
x
2
x
2
xx
3 cos2xcos 2 2cosxsin 0
22
.
x
2
, cos
x
2
x
t tan
2
2
xx
1 sinx sin cos
22
2
xx
1 cosx 1 cos2. 2cos
22
,
Câu 3:
u kin:
1
0y1 y2
2
.
nht ca h i
( )( )
2
2
x4
x 4 y x 2 0
x y 2
+) V c:
( ) ( )
22
11
y 1 92y 1 y 20y 10 0
yy
y 1 3 2y 1
.
1
y 10 3 10
y
y 10 3 10
+) Vi
2
x y 2
, th c
(*)
2
y y 5 3 2y 1
.
Áp dng bng thc Côsi ta có
VT(*) =
( ) ( ) ( ) ()
2
y y 1 2y 1 5 2y 2 5 2y 1 315 2y 1
= VP(*).
m.
Vy nghim ca h
10
).
Nhn xét:
xx 2
22
xy 4y
22
xy 4y
2
y x 4
2
y x 4
x4
2
y y 5 3 2y 1
(*).
2
4 3 2
2
1
1
2
2
y 2y 11y
y
y
8y 34 0
y y 5 92y 1
2
x 2x
LOVEBOOK.VN | 11
2
4 3 2 4 3 2
y 2y 11y 8y 34 y 2y 10y y 4 18 0
Câu 4:
t
2 2 2
t 4 t x 4 t xdx tdt
. Khi x = 0 t = 2, khi x = 1 t =
3
. Suy ra
I =
( ) )
2
32
23
2
2
3
3
4 t t 16
tdt (4 t dt 4t 3 3
t 3 3
.
Vy I =
16
3
3
3
.
Nhn xét:
2
4x
3
x
2
x.x
2
t 4 x
2
x
2
4x
Trong khi làm bài thi h dt n ph này, bi vic dùng các hàm
arcsin, arccos, arctan ch c hc mt cách chính thc
Câu 5:
ng:
*) Tính th tích bài này không gây nhi
ta. Dit, vi
không khó vì có (SBA) vuông góc v h
ng cao t
nó nm trong mt ht thông tin (vic
tùy vào s thích, tham kho cách
*) Tính bán kính là v nan gii nht. Quan sát mt
chút thì SBCE hin t ta khai thác c.
Nên vic nhy thng vào mà v bán kính là mu di
dng khi v ít nht s có m
nào hoc m khi ta d
n bit phi mnh dn
là t
c tiên, ta thy là các cnh ca t din này ta hoàn toàn tính c th c, bikhi tính ra li có gi ý
ta dc bán kính!
ý, , cái này thì các b ý vì rt nhiu bài toán có ki
t nó làm t kin. Vy thì có c bit
không, qu thi , th này thì ta có SAC, SCE là các tam giác vuông ln
t ti B và E. Vng kính mt cu ngoi tip t din SBCE và bán kính là mt na ca SC.
Yêu cu: Bic cách dng cao, c gng nhìn nhng chi tit quen thuc ri t u mình
c bi bài toán có th gii quyt nhanh v mng gì
ta có th c mt. Bii là chìa khóa m ra bài toán!
Li gii:
+) Áp dnh lý côsin trong tam giác SAB:
22
2 2 0
a a 7a a 7
AB a 2a cos120 AB
4 2 4 2
.
+) K
SH AB
ti H. Vì (SAB) (ABCD) nên SH (ABCD). Ta có:
SH =
0
SAB
2S
SASBsin120 a 21
AB AB 14
.
Suy ra V
ABCD
=
. . .
3
1a 21a 7 a 15
a5
3 14 2 12
BC AB
BC SBC BC SB
BC SH
2 2 2
2 2 2
2 2 2
CE CD DE
SE AS AE
SC SB BC
2 2 2
SC SE CE
S
A
B
C
D
E
H
LOVEBOOK.VN| 12
+) Vì BC AB, BC SH nên BC
0
CBS 90
(1).
Áp dnh lý Pitago trong các tam giác vuông CED, SAE, SBC ta có:
22
2 2 2 2
7a 5a
CE CD DE 3a
44
,
22
2 2 2 2
5a 9a
SE SA AE a
44
,
22
2 2 2 2
a 21a
SC SB BC 5a
44
.
T
2 2 2
SC SE CE
0
CES 90
(2).
T (1) và (2) suy ra t din SBCE ni tip mt ct cm ca
SC, có bán kính bng R =
SC
2
=
a 21
4
.
Câu 6:
+) T gi thit và áp dng bng thc Côsi ta có:
) (
2
4a 2b 2 416 a 4 2 a b 0 ab 8b 2
.
(
.
)) (
2 2 2 2
4 4 2 2 24 4 2
4 4 5
P
ab 4 4 ab 5 a b 5 1
16
ab
64 8 64
aa b 8a b b 8a b b a
2
ba
.
t t =
ab
ba
( ) . .
22
1 5 1 1 5 1 1
t 2 t
16 64t 2 16 64t 2 8
P
.
Xét hàm s f(t) =
.
2
1 5 1 1
t
16 64t 2 8
trên (2; +). Ta có:
'( ) .
()
2
1 5 1
f t t
8 64
t2
;
'( ) ( )
2
55
f t 0 tt 2 t
82
(vì t > 2).
Vì
( ) ( )
t 2 t
lim ft limft
nên
( ; )
()
2
5 27
minft f
2 64
.
Suy ra
P
27
64
, dng thc xy ra khi a = 2, b = 4.
Vy giá tr nh nht ca P là
27
64
c khi a = 2, b = 4.
Nhn xét:
Nhn thy rng khi a b thì P s tin ty nên P không có max. Vy nên nhiu kh
Thay b =
dùng bng thc Cauchy chn tích ab.
Ý kin cá nhân mình thy rng tác gi
thay ri dùng m n biu th
Câu 7.a:
+) Gm MC.
BC và BM = MH = HC = x > 0.
Áp dnh lý Pitago trong các tam giác vuông ABH, AMH ta có:
2
22
2 2 2
AH 4
AH 2x AB 52
x3
AH x AM 25
+) Gi png thng BC là
ax 5 by 1 0
(
22
a 0b
).
Ta có:
d(A; BC) = 4
22
6a 4b
a0
4 a5a 12b 0
5a 12b 0
ab
Vng thng BC có h s góc k =
12
5
, không tha mãn loi.
Vng thng BC có h s góc k = 0, th
2
12 a
2
ab
ba
ab 8
M
H
x
B(5; 1)
x
x
C
LOVEBOOK.VN | 13
( ) ( )
22
x 1 y 3 25
ca C và M là nghim
ca h
( ; ), ( ; )
( ; ), ( ; )
( ) ( )
22
y1
C21 M 41
C 41 M21
x 1 y 3 25
Vì M nn th
Nhn xét: th ng tht hin nhiu yu t
dài các cnh (có s nghi vc bit, sau khi k hình ra và quan sát thì thy ru
kh cân ti A và MC = 2BM. Ta s n vic gm MC vì ti v trí trung
m MC ta tìm thy rt nhiu v .
y ta s thy mi quan h sau , gii h này ta s c x và AH. Vì AH là khong
cách t u d kin rt quen thu
ng thu chu kin h s loi nghim). Vinh
C có nhiu cách, có th gi dng trc tip r dài hoc. Tuy nhiên khi gii
ra s nhc 2 nghim, nhìn trên hình thng hi v trí cho nhau, ta ch chn
ng hp M nm gia B, C. Có th dùng chi ti loi nghim này.
Yêu cu: Nt gán mn tht bng 1 n ri tìm mi liên h xung
a vào chính mi liên h tìm thy c th c nó.
Có th gii bài toán này (tham kho sách giáo khoa nâng cao).
Câu 8.a:
+) Vì M (Oxz) M(a; 0; b). Mt khác M () a = 2b M(2b; 0; b).
Gi I là tâm c
( ; ; )
x 2b y z b
I2b t 2tb 2t
1 2 2
.
+) Vì I () I(b; 2b; 3b). Ta có R = d(I; ()) =
9b
3
= 3 b = 1.
Vi b = 1 (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9
.
V (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9
.
Nhn xét:
t bài toán vit ct bán kính, bây gi c. Theo d kin bài
thì M nm ngay trên 2 mt phng, vy nu ta có gi dm M thì ch 1 n là
không còn gì d thc m khai a. Tip tc, d kin tip xúc vu gi I là tâm mt
cu cn tìm, u là
MI
MI 3
(v kin I thui
quyt v gì, d kin này vn b n gi nên vic t.
Ch còn bit trông ch vào d kin
MI
MI 3
. Có l cái hay ca bài là ch này, thc t vit
c cVTPT cc dù vn bi
qua là mt t chút thì khi ta bi c dng
ca I, tuy nó vn còn 2 c mi quan h ca chúng vy thì còn 1 n
na thôi (ging n vi M), dùng ngay d kii chuyi nhé. Ta
c c th n. Cu
Yêu cu: Ta có th thy câu này là mt câu r rt phá và rt mi. Cn vit
m I. Thc s ng là bn dám
Câu 9.a:
t z = x + yi (vi x, y
22
x 0y
). Ta có
( ) . ( )
()
1 i 1 i
z 1 i z zz z 1 iz
1i
1 iz
()
2 2 2 2
x y i x y x y x yi
AMC
;
AH MC
BM MH HC x
AM AC 5AB 52
2 2 2
2 2 2
AH AM MH
AH AB BH
LOVEBOOK.VN| 14
()
()
2 2 2 2
22
22
22
22
x y 0 1
x y x y x y
x y x y
xy 0
x y x y 1
1 x y x y
x y x y 1 2
+) Vi x = 0, ta có (2)
2
y y 1 y 1
, th
+) Vi y = 0, ta có (2)
2
x x 1 x 1
, không tha mãn (1), loi.
V
Nhn xét: Nhìn vào thì thc bit, nên vit dng tng quát ri gi
ht. Các bài toán s phng không quá khó nên yêu c
Vic ting và không phi suy u là kinh nghim gp dng này.
Câu 7.b:
+) Ta có HD = 2
22
DD
x 3 y 2 4
22
D D D D
x y 6x 4y 9 0
(1).
Vì A d A(3m + 3; m). Ta có:
AD HD
.ADHD 0
D D D D
x 3m 3 x 3 y m y 2 0
22
D D D D
x y 3mx m 2y 7m 9 0
(2).
+) Ly (1) tr theo v c:
(6 + 3m)x
D
+ (m 2)y
D
+ 7m + 18 = 0 (3).
ta có (6 + 3m)x
E
+ (m 2)y
E
+ 7m + 18 = 0 (4).
T ng th 2)y + 7m + 18 = 0.
DE
Câu 8.b:
+) Nhn thy A (P), B (P), AB =
6
. Áp dnh lý côsin trong MAB ta có:
2 2 2 0
MA MB BA 2MBBAcos30 2
. Suy ra
2 2 2
MB MA AB
ti A.
+) Ta có
, ( ; ; )
AM P
u ABn 0 55
;;
x1
y 3 t M13 t 2 t
z 2 t
.
2 2 2
MA 2 t t 2 t 1
.
Vi t = 1 thì M(1; 2; 3).
V
Câu 9.b:
+) Áp dng công thc khai trin nh th
,
2n
1 2 2 2n 2n
2n 2n 2n
1 x 1 C x C x C x x
.
+) Lo hàm hai v c
,
2n1
1 2 3 2 2n 2n1
2n 2n 2n 2n
2n1 x C 2C x 3C x 2nC x x
.
Suy ra
,
2n1
1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n
2nx1 x C x 2C x 3C x 2nC x x
.
+) Ly tích phân trên
;10
hai v cng thc:
00
2n1
1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n
11
2nx1 x C x 2C x 3C x 2nC x dx
()
0
0
2n 1
2n
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 2n 2n 2n
1
1
2n1 x 1 2 3 2n
1 x C x C x C x C x
2n 1 2 3 4 2n 1
+) Suy ra:
1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1
C C C C C
2 3 4 5 2n 1 2n 1
.
Theo bài ra ta có
11
n 1006
2n 1 2013
.
Nhn xét: Khi vit li:
1 2 3 4 2n 1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1 1 1 1 1
C C C C C 1. C 2. C 3. C 4. C 2n. C
2 3 4 5 2n 1 2 3 4 5 2n 1
.
A
E
B
C
H
D
d
LOVEBOOK.VN | 15
Ta thy mun có các h s o hàm, còn mun xut hin các h s
1
2
;
1
3
;
1
4
;
1
5
1
2n 1
thì cn dùng nguyên hàm, tích phân.
LOVEBOOK.VN| 16
s 11
Câu 1:
a)
1. Tnh:
2. S bin thiên:
th (H) có tim cng thng, tiêm
cng thng
Suy ra hàm s ng bin trên mi khong
* Bng bin thiên:
x
+
+
y
2
2
b)
Khai thác t u kin v tim
Nhn xét: Vi bài toán ving thng cn phi bit 2 yu t: T m
c bin.
Câu 2:
ng thông dng nh gii bài toán ging giác nói chung là phân tích nhân t. Tuy
nhiên, vic phân tích nhân t có yu t i s ng
LOVEBOOK.VN | 17
(có th m). Vi ph phân tích nhân t thông qua
vim vi mt vài bí quyt nho nh.
Vu kii
Nhn xét: Vi phân tích nhân t ng làm
theo mt s n sau:
2. Phân các nghic vào các h nghi m
chung: bi nhân t chung, có th tham kho mt s nhân t
chung thông dng sau:
LOVEBOOK.VN| 18
c 4: Tách biu th bài cho nhân t chung. Loi nhng hp không th c.
gii nhin, bc nên
luyn tp nhi thành tht s bài tp t luyn:
Gi ng giác:
Câu 3:
Tr a h c:
Th nht ca h c
Tuy nhiên vic x lí biu thc tip theo s dn bc rt cao), do
ng làm. Trong quá trình gii toán, th u không th tránh khi, cn luyn tp
nhiu hiu ca bài toán (s c ch ra và phân tích xuyên sut cu rút
ngn thi gian gii.
Câu 4:
Áp dng công thc tích phân tng phn ta có:
LOVEBOOK.VN | 19
Nhn xét: Bài này khá d, tác gi ch yu ly t mt biu thc tích phân quen thuc ri bi
phc t y, nu thay bng mt biu thc khó và mt
t n ph khó nhn din ta có th to ra nhng bài khó, thm chí rt khó. Bc có th làm th mt
biu thc sau:
Câu 5:
Phân tích:
Rt may trong bài nay vic d ng
cao nm ngay trên BC
Ta l gi
Nhn xét:
-Vic l gii toán là m tìm ra li gii hiu qu
theo dàng tip c ca tác gi ng th
giúp ta trình bày li gii mt cách khoa h mc.
-o ta có th ch c ra nháp ho làm bài.
-Ý th 2 ca bài toán có th tính theo cách khác: thông qua th tích khi t din ABCD và di
Câu 6:
LOVEBOOK.VN| 20
Nhn xét: ng bài bng thc quen thui hc gn:
c 1: dn bng thc v mt n hoc mt n ph
c 2: kho sát hàm s vi bin m tìm giá tr ln nht ( nh nht) hoc chng minh bài toán
Khi gii dng bài này có mt s mo nh sau:
- Quá trình dn bing phi làm tr xut hin biu thc 1 n.
- Bin mi phi có kh u kin và biu thc c bài không cho tha bao gi)
- Nu biu thc 3 bii xng (2 bii bin còn li): nhiu
kh n v n còn l sau:
- Biu thi xng 2 bing n ph s là tng , tích, tt biu thc
i xng 2 bi bài trên là tích)
Câu 7.a
x
f(x)
5
LOVEBOOK.VN | 21
Nhn xét: Trong bài này s dng khá nhiu h thc trong tam giác vuông. Ch cn nm chc các h thc này thì
s gic không m
Câu 8.a
Nht bài d, ch cn khai thác tc mu kic.
Câu 9.
dng làm chính:
Câu 7.b
gii toán:
Câu 8.b
LOVEBOOK.VN| 22
Li gii:
Nhn xét: M gii toán là lp h 3 n- i gii ta
hoàn toàn có th gii m bài trên. V bn cht
vn là gii h 3 n - tit kic nhiu công sc tính toán và gim thiu
sai sót.
Câu 9.b
Rút gn biu thu kin bng cách nhân liên hp ta có:
u ki tìm r.
Nhn xét: - Ta chn x u kic vì nó ch cha z, d x a c trong biu thc.
LOVEBOOK.VN | 23
y
x
O
1
2
Đề số 19
Câu 1:
1.
nh: D = .
bin thiên
Chiu bin thiên: x D.
Hàm s ng bin trên các khong và .
Gii hn, tim cn: .
th hàm s nhng thng làm tim cng và nhng thng làm tim cn ngang.
Bng bin thiên:
th:
th ct trc hoành tm và ct trc tung tm .
th nhm cng tim cn i xng.
2.
m cng thng v th (C):
(*).
+) nên (C) luôn cng thng tm phân bit
A, B. Gi s , thì x
1
, x
2
là hai nghim phân bit ca (*).
nh lý Viét:
+) Thy rng
Vu
1\
2
3
y' 0
x1
;1
1;
;;
x 1 x 1 x x
limy limy limy limy 2
x1
y2
1
;0
2
0; 1
I 1;2
y x m
2
2x 1
x m 2x 1 x 1 x m x 3 mx m 1 0
x1
22
(*)
3 m 4m 1 m 1 12 0
y x m
11
Ax; x m
22
Bx; x m
12
12
x x m 3
xx m 1
22
12
MA MB x 2 x 2
2 2 2
22
1 2 1 2
MA AB x 2 x 2 2x x
2
x
y' + +
y
2
LOVEBOOK.VN| 24
Vy có hai giá tr m cn tìm là m = 1 và m = 5.
Nhn xét: Trong li gii s có bn thc mc rng ti sao li có MA = MB = . Mình s lí gii
c ti sao lnh lý Vi-ét thì , thay vào biu thc tính MA:
MA = .
cho MB, ta có MA = MB.
Nhiu bn s t hi ti sao l biu th làm gì?
Mình s tr li m dài AB là mt biu thi xng hai bin x
1
, x
2
nên mun dùng tam giác
u cho thun li thì phi bii MA v di xng vi hai bin x
1
, x
2
nh lý Vi-ét.
Gi a v này.
th hàm bc nht trên bc nhng (gi là (C))thì nó có hai tri xng, chúng có h s góc là
hoc . Gi tri xng không ct (C) là (d), gi mng thng () bt kì song song vi trc
i xng còn li. Nt (C) tm A, B thì mm M bu A và B. Tht
vy, bi tính chi xng nên (d) chính là trung trc c (d) s u A, B.
Chính da vào tính cht này mà vic kt lun MA = MB là hoàn toàn : (d): y = x + 1 là tri xng
không cng thng (ng thng song song vi tri xng khác (d). Có
này ri thì vii s chng minh s làm bài gii tr nên gn
nh u.
Câu II.
1.
Ta s bip hoc biu thc gc này có nhi thc hin chng hn
Áp dng, ta có (1) tr thành:
Kt hp vu kim
Nhn xét:
- ng cu xu là nhng bit thc có cung xu, cng knh. Ta cn thay
nó bng biu thi các bn rt d x lý. Bn th
còn tùy thuc vào kh n ca b là dù nhanh hay chm thì kiu gì bn
u thc thay th u gi bc khi bc trang b u x
p này.
- Chú ý thêm là bài toán có tan x hay cot x phu kin và kiu kic khi kt lun nghim.
Chúng ta s c hu qu m.
Bài t
2
2
1 2 1 2 1 2
m1
x x 4x x 6xx 8 0 m 4m 5 0
m5
22
12
x 2 x 2
12
m x x 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
x 2 x m 5 x 2 x 3 5 x 2 x 2
k1
k1
M2;5 d
LOVEBOOK.VN | 25
2.
ng: Rõ ràng hình thc c nhng du ngoc,
, rõ ràng tác gi u ngoc trên. Vy nên
vic ca ta là phá nhng cái ngot thc
Bài gii:
Bii:
+) Vi x y = 1, ta có
+) Vi x y = 4 ta có (vô nghim).
Vy h m (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (1; 2).
Câu III.
Tách I làm 2 tích phân con I
1
và I
2
Ta sử dụng công thức để đưa
về hết
* Bình luận:
- Nhiều bài tích phân ta cần tách ra làm 2 hoặc nhiều tích phân con đơn giản và dễ tính hơn.
- Tích phân lượng giác thấy xuất hiện mẫu số là
ta thường sử dụng
- Tính
ta dùng kỹ thuật đưa về một biến hoặc thông qua công thức hoặc
+ m hoặc n lẻ thì đưa về 1 biến hoặc thông qua công thức hoặc
là 1 ví dụ của trường hợp này.
+ m, n đều chẵn và có số < 0 thì đưa về một biến hoặc qua công thức
3xy 1 3xy 3x
y x 3 xy 3y
x
25
2
22
x y 1
x 3xy 1 y y x 3 0 x y 3x y 4 0
x y 4
y x 1
x y 1 x 1
x xx 1 2x 1 0
x xy 2y 1 y 0
x1
y2
x y 4
x xy 2y 1
