Tải bản đầy đủ (.pdf) (29 trang)

Tuyển tập 90 đề thi đại học toán - trích đoạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 29 trang )

LOVEBOOK.VN | 1
n cun t thi th kèm li gii chi tit và bình lu  th khoa, gii
quc gia GSTT GROUP biên son do Lovebook.vn sn xut.
Cun gii tit và công phu nht trong chui sách luy môn Toán.!
Sách s chính thc ra mt các em hc gi quan tâm vào ngày 18/12 sp ti!
Cun sách g i h3  thi th c chn lc và b sung t  thi th ng
chuyên trên c c và 1 i hc chính thc chn lc t 
Ngoài ra cun sách còn có khong gn 300 bài toán luyn thêm sau mi bài tn hình cho các em luyn.
Không ch i gii mà cung quát hóa bài toán và các
bài m ri cun sách Toán này, vic hc Toán s tr nên thú v 
Web: lovebook.vn
Facebook:
Gmail:

a ch: S i



LOVEBOOK.VN| 2
Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC
1- 
n
(GSTT GROUP  K   HN)
ng ca gii HPT. N c gii quyt
ngay tc kh.
TÓM TT KIN THN
- Các bn cn nm chc kin th 

- Ngoài  gii quyt chn vn bài toán thì các k thung cp, nhm nghim phân tích thành nhân
t, n phn phi nm vng.
A- T cm nhn.


Ví d 1: Gii h 
 
 
2 2 2
xy x 1 7y 1
x y xy 1 13y 2
   


  



Li gii:

(1) x(y 1) 7y 1   

Nu
y1
thì
x.0 7( 1) 1  
(vô lí)
Nu
y1
thì
7y 1
x
y1




th vào (2) ta có:
22
7y 1 7y 1
y y 1 13y
y 1 y 1
   

  
   

   

        
2 2 2
22
y 7y 1 y 7y 1 y 1 y 1 13y y 1 0         

4 3 2
36y 33y 5y y 1 0     

  
 
2
y 1 3y 1 12y 5y 1 0     

y1
1
y
3










2
(Do12y 5y 1 0, y R)    

+ Vi
7.1 1
y 1 x 3
11

   


+ Vi
1
7. 1
1
3
y x 1
1
3
1
3


   


Kt lun: H m:
   
1
x;y 3;1 ; 1;
3





Ví d 2: Gii h 
 
 
2 2 2
22
4x y 6xy 3y 9 0 1
6x y y 9x 0 2

   


  



Li gii:

3 2 2 2
(1) 4x y 6x y 3xy 9x 0    
(3)
 
22
2 9x 6x y y  
th vào (3) ta có:
3 2 2 2 2 2
4x y 6x y 3xy 6x y y 0    

 
23
y 4x 3x 1 0   

3
y0
4x 3x 1 0



  


+ Nu y = 0 thay vào (2) ta có 9x = 0 nên x = 0
Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta có 9 = 0 (vô lí)
LOVEBOOK.VN | 3
+ Nu
3
x1
4x 3x 1 0

1
x
2



   




+ Vi x = 1 thay vào (2) ta có:
2
6y y 9 0 y 3    

+ Vi 


thay vào (2) ta có:
2
y3
39
y y 0
3
22
y
2




   




Th li các nghim
   
1 1 3
x;y 1;3 ; ;3 ; ;
2 2 2
   
   
   
   
vào h thy thác nghim ca h

Ví d 3: Gii h 

 



     

 



   



 

     



   

 
 



     



   

  



   .




     







     



   

 . (3)




 






 







Ta có: (3) 



     




 


     



 


     

 (4)
       



  



 

  

   




    


 






















B- 

- 
- 


- 



  





     


 

  
C- 
 

D- Bài 




    









  



  

 






   









LOVEBOOK.VN| 4




      




  


 

  

  



  








  







      






   






 


Bài 1:  .



    









    







  



    

  

Bài 2: .
  


 











   









.
Bài 3: 

  .






    


     



 



 
 




 
 


    




 






.
Bài 4: 

    




   

  

.






  
  



  
  





 















2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình
Doãn Trung San
(GSTT GROUP  




I) Dc v 











 
A - 
 

  

  


   





 


 

  



  


 

  


  




 


  




  .
LOVEBOOK.VN | 5




 





  




   .






 trên




Có 






  








  


  

   
  


  



 






   


   



   



   


   

 









  


 

R.







   

 




   



   .





   

 




   






   





   

.





   

 



   






   


 

   .
Có 

   

    .






   trên 








 



   


   

    

 
 

 
B- 












.



LOVEBOOK.VN| 6
Phần II: Đề thi
 s 10
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s y =

x1
x2


.
a) Kho sát s bin thiên và v  th (H) ca hàm s 
b) Gng tim cn ca (H). Vip tuyn d ca (H) tm M tha
mãn IM vuông góc vi d.
m). Gi
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2
= cos
x
2

.
m). Gii h 
()
22
xy 4y 8 xx 2
x y 3 3 2y 1

   


   



(x, y  
m). Tính tích phân I =
1
3
2
0
x
dx
4x

.
Câu 5 (1,0 m).  nht, AD = a
5
. Tam giác SAB nm trong mt
phng vuông góc v
a
2
,
0
ASB 120
. Gm ca AD. Tính th tích khi chóp
S.ABCD và tính bán kính mt cu ngoi tip t din SBCE theo a.
m). Cho các s t tha mãn
2
a 2b 12
. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
P =
4 4 2
4 4 5

a b 8(a b)


.
II. PHm): Thí sinh ch c chn làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h t m M nm
n thng BC sao cho MC = 2MB. Tìm t m C bit rng thng BC có h s
góc là mt s nguyên.
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho hai mt phng
( ):x y z 0   
,
():x 2y 2z 0   
. Vit cu (S) có tâm thuc (), có bán kinh bng 3, tip xúc vi () ti M,
bit rm M thuc mt phng (Oxz).
m). Tìm s phc z tha mãn
1i
z (1 i)z
(1 i)z

  

.

m). Trong mt phng vi h t Oxy, cho tam giác ABC cân ti A, có trc tâm
( ; )H 32
. Gi
ng cao k t B và C. Bit rm A thung thng
d:x 3y 3 0  
m

( ; )F 23
thuc
ng thng DE và HD = 2. Tìm t m A.
m). Trong không gian vi h t m
( ; ; )A132
,
( ; ; )B 321
và mt phng (P)

x 2y 2z 11 0   
m M trên (P) sao cho
MB 2 2

0
MBA 30
.
Câm). Tìm s a mãn
1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1
C C C C C
2 3 4 5 2n 1 2013
     

.
HT

LOVEBOOK.VN | 7
 s 11
I. PHN CHUNG CHO TT C m)

m). Cho hàm s y =


2x 1
x1
.
a) Kho sát s bin thiên và v  th (H) ca hàm s 
b) Vip tuyn ca (H) bit rng tim ca tip tuym A(0; 1)mt
khong bng 2
m).
1. Gi
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2
= cos
x
2

.
2. Gii h 
()

   


    



2
2
x xy x 3 0
yx 3 x 1 2 xy 2y
(x, y  
m). Tính tích phân I =




2
2
6
cosx.ln(1 sinx)
dx
sin x
.
m). Cho t din ABCD có mt phng









 Cho bit



 

 Tính th tích khi t din ABCD và khong cách t n mt phng (ACD) theo a, bit
rng góc gia hai mt phng (ACD) và (BCD) bng  vi 
m).
  

 





 







 

 

II. PHm): Thí sinh ch c chn làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h t ng
 ng trung tuyn CM là : 2x +5y - 
ng thng AC, AB, BC .

2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vng cao AH:
  


x 2 y 3 z 3
,
1 1 2
phân giác trong
BM:
  


x 1 y 3 z 3
.
1 2 1
Vin CN ca tam giác ABC
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho hai mt phng
( ):x y z 0   
,
():x 2y 2z 0   
. Vit cu (S) có tâm thuc (), có bán kinh bng 3, tip xúc vi () ti M,
bit rm M thuc mt phng (Oxz).
Câu 9.a (1,0 m). Cho s phc z tha mãn



(1 3.i)
z.
1i
a s phc

z i.z


m). Trong mt phng Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, cnh BC:
  x 2y 1 0
nh A, B
nm trên Ox. Tìm to  nh C bit din tích tam giác bng 10.
m). Trong không gian vi h t Oxyz, cho mt cu (S): 

 



  
 ng th
  


x 2 y 3 z 1
.
1 2 1
(Sa:



45
yz
x
33
6 5 1

). Vit
phng (P) cha d và ct mt cu bi giao tuyng tròn có bán kính bng 4.
m). Tính tng:   

 

  

bit rng


22
z cos isin .s
nn

HT

LOVEBOOK.VN| 8
Đề số 19
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s
2x 1
y
x1



 th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.
2.  ng thng

y x m 
c th (C) tm phân bit A, B sao cho tam giác ABM là tam
u, bim M(2; 5).

m).
1. Gi

    

 


 


 
2. Gii h 
( ) ( )
22
x 3xy 1 y yx 3 4
x xy 2y 1

     


  



(x,y ).


m).

  








Câu V m). Cho a, b, c là các s th mãn a + b + c = 3. Chng minh rng:
 
2 2 2
3a b c 4abc 13   
.
m). Cho hình chóp
S.ABCD

ABCD
là hình thoi tâm
O
, hai mt phng (SAC) và (SBD) cùng
vuông góc vi mt phng (ABCD). Bit AC = 2a
3
, BD

2a, khong cách t m
O

n mt phng (SAB)
bng
a3
4
. Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a.
II. PHm): Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc B)
n
m).
1. Trong mt phng vi h t nh A(3; ng trung trc
cng trung tuyn xut phát t C lt là
x y 1 0  

3x y 9 0  
. Tìm t nh B, C
ca tam giác ABC.
2. Trong mt phng vi h t ng tròn (C):
22
x y 2x 4y 8 0    
ng thng () có

2x 3y 1 0  
. Chng minh rng () luôn ct (C) tm phân bit A, B. Tìm to  m M
ng tròn (C) sao cho din tích tam giác ABM ln nht.
3. Gi
x1
x
2
3
x 1 2
(3 2)log 4 .9

33


  
.

m).
1. Trong mt phng vi h t
Oxy
ng thng
1
d
,
2
d
n
t là
3x y 2 0  

x 3y 4 0  
. Gm ca
1
d

2
d
. Ving th
cng thng
1
d


2
d
lt ti B, C (B và C khác A) sao cho
22
11
AB AC

t giá tr nh nht.
2. Trong mt phng vi h t ng tròn (C):
22
x y 2x 4y 2 0    
. Vi
ng tròn (C') tâm M(5; 1) bit (C') ct (C) tm A, B sao cho AB =
3
.
3. Tính giá tr biu thc: A =
0 0 1 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
2C 2C 2C 2C 2 C

1 2 3 4 2012
    
.
HT


LOVEBOOK.VN | 9
Phần III: Đáp án và bình luận
 s 10


Câu 1:
a)
nh: D \ {2}.
 bin thiên:
 Gii hn ti vô cc: Ta có
x
limy 1



x
limy 1


.
Gii hn vô cc:
x (2)
lim y

 


x (2)
lim y


 
.
 th (H) có tim cng thng y = 1, tim cng thng

x2
.
 Chiu bin thiên: Ta có
',
()
2
1
y 20x
x2

   

.
Suy ra hàm s nghch bin trên mi khong
( ; )2

( ; )2
.
 Bng bin thiên:
 th:
 th ct Ox tm (1; 0), ct Oy tm
;
1
0
2



; nhn giao
m

( ; )I21
cng tim ci xng.

0


0


0


+) Gi M
;
0
0
0
x1
x
x2





(x
0
 2) là ti
tip tuyn ti M là
d:

()
()
0
0
2
0
0
x1
1
y x x
x2
x2


  


,
hay d:
( ) ( )
22
0 0 0
x x 2 y x 2x 2 0     
.

 a d là
 
( ) ;
2
d0

u x 2 1  
. Ta có
( ; )I21
nên
;
0
0
1
IM x 2
x2





.
i d 
.
d
IMu 0

()
2
0
0
1
x 2 0
x2
  



()
4
0
x 2 1  

x3
x1







 Vi x
0
p tuy 
 Vi x
0
p tuy 
Vy có hai tip tuyn th 
Câu 2:
i:
(3 + cos2x)cos
x
2
+ (3 + 2cosx)sin
x
2

= sin
x
2
 (4  2
2
sinx
)cos
x
2
+ (2 + 2cosx)sin
x
2
= 0
 (2 
2
sinx
)cos
x
2
+ 2
2
x
cos
2
sin
x
2
= 0  cos
x
2

.
 
2
sin x sinx 2 0   

1

x 2
y' 
y

1

O
1
2
1
0,5
y
x
LOVEBOOK.VN| 10

x
x x k2
k
cos 0
22
2
x k2
sinx 1

x k2
2
2


   
  









  


  



(
k
).
Vy nghim c + k2, x =
2

+ k2 (

k
).
Nhn xét:

x
2


x
2


x
2


x
2


   
xx
3 cos2xcos 2 2cosxsin 0
22
   
.

x
2
, cos

x
2

x
t tan
2




 
2
xx
1 sinx sin cos
22

  




 
2
xx
1 cosx 1 cos2. 2cos
22

   



, 
Câu 3:
u kin:
1
0y1 y2
2
  
.
 nht ca h i
( )( )
2
2
x4
x 4 y x 2 0
x y 2


    




+) V c:
( ) ( )
22
11
y 1 92y 1 y 20y 10 0
yy
y 1 3 2y 1



    


     




.
1
y 10 3 10
y
y 10 3 10


   






+) Vi
2
x y 2
, th  c
(*)
2
y y 5 3 2y 1   

.
Áp dng bng thc Côsi ta có
VT(*) =
( ) ( ) ( ) ()
2
y y 1 2y 1 5 2y 2 5 2y 1 315 2y 1      
= VP(*).
m.
Vy nghim ca h 
10
).
Nhn xét:

 
xx 2

22
xy 4y
 

22
xy 4y

 
2
y x 4


 
2

y x 4


 
x4



2
y y 5 3 2y 1   
(*).



 
 
2
4 3 2
2
1
1
2
2
y 2y 11y
y
y
8y 34 0
y y 5 92y 1



    















2
x 2x
LOVEBOOK.VN | 11

 
2
4 3 2 4 3 2
y 2y 11y 8y 34 y 2y 10y y 4 18 0          


Câu 4:
t
2 2 2
t 4 t x 4 t xdx tdt       

. Khi x = 0  t = 2, khi x = 1  t =
3
. Suy ra
I =
( ) )
2
32
23
2
2
3
3
4 t t 16
tdt (4 t dt 4t 3 3
t 3 3


      




.
Vy I =
16
3
 3
3
.
Nhn xét:

2
4x


3
x

2
x.x

2
t 4 x

2
x

2
4x


Trong khi làm bài thi h dt n ph  này, bi vic dùng các hàm
arcsin, arccos, arctan ch c hc mt cách chính thc  
Câu 5:

ng:
*) Tính th tích  bài này không gây nhi
ta. Dit, vi
không khó vì có (SBA) vuông góc v h
ng cao t 
nó nm trong mt ht thông tin (vic

 tùy vào s thích, tham kho cách

*) Tính bán kính là v nan gii nht. Quan sát mt
chút thì SBCE hin t ta khai thác c.
Nên vic nhy thng vào mà v bán kính là mu di
dng khi v ít nht s có m
nào hoc m khi ta d
n bit phi mnh dn
là t
c tiên, ta thy là các cnh ca t din này ta hoàn toàn tính c th c, bikhi tính ra li có gi ý
 ta dc bán kính!
 ý, , cái này thì các b ý vì rt nhiu bài toán có ki
t nó làm t kin. Vy thì có c bit
không, qu thi , th này thì ta có SAC, SCE là các tam giác vuông ln
t ti B và E. Vng kính mt cu ngoi tip t din SBCE và bán kính là mt na ca SC.
Yêu cu: Bic cách dng cao, c gng nhìn nhng chi tit quen thuc ri t u mình
c bi bài toán có th gii quyt nhanh v mng gì
ta có th c mt. Bii là chìa khóa m ra bài toán!

Li gii:
+) Áp dnh lý côsin trong tam giác SAB:

22
2 2 0
a a 7a a 7
AB a 2a cos120 AB
4 2 4 2
     
.
+) K

SH AB
ti H. Vì (SAB)  (ABCD) nên SH  (ABCD). Ta có:
SH =

0
SAB
2S
SASBsin120 a 21
AB AB 14


.
Suy ra V
ABCD
=
. . .
3
1a 21a 7 a 15
a5
3 14 2 12


 


   



BC AB

BC SBC BC SB
BC SH
2 2 2
2 2 2
2 2 2
CE CD DE
SE AS AE
SC SB BC











2 2 2
SC SE CE
S
A
B
C
D
E
H
LOVEBOOK.VN| 12
+) Vì BC  AB, BC  SH nên BC  

0
CBS 90
(1).
Áp dnh lý Pitago trong các tam giác vuông CED, SAE, SBC ta có:
22
2 2 2 2
7a 5a
CE CD DE 3a
44
    
,
22
2 2 2 2
5a 9a
SE SA AE a
44
    
,
22
2 2 2 2
a 21a
SC SB BC 5a
44
    
.
T 
2 2 2
SC SE CE

0

CES 90
(2).
T (1) và (2) suy ra t din SBCE ni tip mt ct cm ca
SC, có bán kính bng R =
SC
2
=
a 21
4
.
Câu 6:
+) T gi thit và áp dng bng thc Côsi ta có:
) (
2
4a 2b 2 416 a 4 2 a b 0 ab 8b 2      


.
(
.
)) (
2 2 2 2
4 4 2 2 24 4 2
4 4 5
P
ab 4 4 ab 5 a b 5 1
16
ab
64 8 64
aa b 8a b b 8a b b a

2
ba


     












.
t t =
ab
ba


( ) . .
22
1 5 1 1 5 1 1
t 2 t
16 64t 2 16 64t 2 8
P     


.
Xét hàm s f(t) =
.
2
1 5 1 1
t
16 64t 2 8


trên (2; +). Ta có:
'( ) .
()
2
1 5 1
f t t
8 64
t2


;
'( ) ( )
2
55
f t 0 tt 2 t
82
     
(vì t > 2).

( ) ( )
t 2 t

lim ft limft

 
  
nên
( ; )
()
2
5 27
minft f
2 64





.
Suy ra
P
27
64

, dng thc xy ra khi a = 2, b = 4.
Vy giá tr nh nht ca P là
27
64
c khi a = 2, b = 4.
Nhn xét:
Nhn thy rng khi a  b thì P s tin ty nên P không có max. Vy nên nhiu kh 


Thay b = 
 dùng bng thc Cauchy chn tích ab.
Ý kin cá nhân mình thy rng tác gi 
thay ri dùng m  n biu th

Câu 7.a:
+) Gm MC.
 BC và BM = MH = HC = x > 0.
Áp dnh lý Pitago trong các tam giác vuông ABH, AMH ta có:
 
2
22
2 2 2
AH 4
AH 2x AB 52
x3
AH x AM 25


  






  




+) Gi png thng BC là
   
ax 5 by 1 0   
(
22
a 0b 
).
Ta có:

d(A; BC) = 4
 
22
6a 4b
a0
4 a5a 12b 0
5a 12b 0
ab



     





 Vng thng BC có h s góc k =
12
5
, không tha mãn  loi.

 Vng thng BC có h s góc k = 0, th
2
12 a
2

ab
ba

ab 8
M
H
x

B(5; 1)
x
x
C
LOVEBOOK.VN | 13

( ) ( )
22
x 1 y 3 25   
 ca C và M là nghim
ca h 
( ; ), ( ; )
( ; ), ( ; )
( ) ( )
22
y1
C21 M 41

C 41 M21
x 1 y 3 25









   




Vì M nn th
Nhn xét:  th ng tht hin nhiu yu t
 dài các cnh (có s nghi vc bit, sau khi k hình ra và quan sát thì thy ru
kh  cân ti A và MC = 2BM. Ta s n vic gm MC vì ti v trí trung
m MC ta tìm thy rt nhiu v  .
y ta s thy mi quan h sau , gii h này ta s c x và AH. Vì AH là khong
cách t u d kin rt quen thu
ng thu chu kin h s  loi nghim). Vinh
C có nhiu cách, có th gi dng trc tip r dài hoc. Tuy nhiên khi gii
ra s nhc 2 nghim, nhìn trên hình thng hi v trí cho nhau, ta ch chn
ng hp M nm gia B, C. Có th dùng chi ti loi nghim này.
Yêu cu: Nt gán mn tht bng 1 n ri tìm mi liên h xung
a vào chính mi liên h  tìm thy c th c nó.


 Có th  gii bài toán này (tham kho sách giáo khoa nâng cao).
Câu 8.a:
+) Vì M  (Oxz)  M(a; 0; b). Mt khác M  ()  a = 2b  M(2b; 0; b).
Gi I là tâm c
( ; ; )
x 2b y z b
I2b t 2tb 2t
1 2 2

     

.
+) Vì I  ()   I(b; 2b; 3b). Ta có R = d(I; ()) =
9b
3
= 3  b = 1.
 Vi b = 1  (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9     
.
 V (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9     
.
Nhn xét:
t bài toán vit ct bán kính, bây gi c. Theo d kin bài
thì M nm ngay trên 2 mt phng, vy nu ta có gi dm M thì ch 1  n là
không còn gì d thc m khai a. Tip tc, d kin tip xúc vu gi I là tâm mt

cu cn tìm,  u là
 
MI
MI 3








(v kin I thui
quyt v gì, d kin này vn b  n gi nên vic t.
Ch còn bit trông ch vào d kin
 
MI
MI 3








. Có l cái hay ca bài là ch này, thc t   vit
c cVTPT cc dù vn bi
qua là mt t chút thì khi ta bi c dng
ca I, tuy nó vn còn 2 c mi quan h ca chúng vy thì còn 1 n

na thôi (ging n vi M), dùng ngay d kii chuyi nhé. Ta
c c th n. Cu
Yêu cu: Ta có th thy câu này là mt câu r rt phá và rt mi. Cn vit
 m I. Thc s ng là bn dám

Câu 9.a:
t z = x + yi (vi x, y  
22
x 0y 
). Ta có

( ) . ( )
()
1 i 1 i
z 1 i z zz z 1 iz
1i
1 iz

      


 
()
2 2 2 2
x y i x y x y x yi       

AMC
;




  


  

AH MC
BM MH HC x
AM AC 5AB 52







2 2 2
2 2 2
AH AM MH
AH AB BH
LOVEBOOK.VN| 14
 
 
 
 
()
()
2 2 2 2
22
22

22
22
x y 0 1
x y x y x y
x y x y
xy 0
x y x y 1
1 x y x y
x y x y 1 2





   
  
  
   
  
  
  
   


   



+) Vi x = 0, ta có (2)
2

y y 1 y 1     
, th
+) Vi y = 0, ta có (2)
2
x x 1 x 1     
, không tha mãn (1), loi.
V
Nhn xét: Nhìn vào thì thc bit, nên vit dng tng quát ri gi
 ht. Các bài toán s phng không quá khó nên yêu c
Vic ting và không phi suy u là kinh nghim gp dng này.
Câu 7.b:
+) Ta có HD = 2
   
22
DD
x 3 y 2 4    
22
D D D D
x y 6x 4y 9 0     
(1).
Vì A  d  A(3m + 3; m). Ta có:
AD  HD 
.ADHD 0
 
 
    
D D D D
x 3m 3 x 3 y m y 2 0       

 

22
D D D D
x y 3mx m 2y 7m 9 0       
(2).
+) Ly (1) tr  theo v c:
(6 + 3m)x
D
+ (m  2)y
D
+ 7m + 18 = 0 (3).
 ta có (6 + 3m)x
E
+ (m  2)y
E
+ 7m + 18 = 0 (4).

T ng th 2)y + 7m + 18 = 0.
 DE  
Câu 8.b:
+) Nhn thy A  (P), B  (P), AB =
6
. Áp dnh lý côsin trong MAB ta có:

2 2 2 0
MA MB BA 2MBBAcos30 2   
. Suy ra
2 2 2
MB MA AB
ti A.
+) Ta có

, ( ; ; )
AM P
u ABn 0 55

  


 
;;
x1
y 3 t M13 t 2 t
z 2 t



    




.
2 2 2
MA 2 t t 2 t 1      
.
 Vi t = 1 thì M(1; 2; 3).
 V
Câu 9.b:
+) Áp dng công thc khai trin nh th
 
,

2n
1 2 2 2n 2n
2n 2n 2n
1 x 1 C x C x C x x      
.
+) Lo hàm hai v c
 
,
2n1
1 2 3 2 2n 2n1
2n 2n 2n 2n
2n1 x C 2C x 3C x 2nC x x


      
.
Suy ra
 
,
2n1
1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n
2nx1 x C x 2C x 3C x 2nC x x

      
.
+) Ly tích phân trên
 
;10
hai v cng thc:


 
 

00
2n1
1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n
11
2nx1 x C x 2C x 3C x 2nC x dx


     


 
()

0
0
2n 1
2n
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 2n 2n 2n
1
1
2n1 x 1 2 3 2n
1 x C x C x C x C x
2n 1 2 3 4 2n 1








       







+) Suy ra:
1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1
C C C C C
2 3 4 5 2n 1 2n 1
     

.
Theo bài ra ta có
11
n 1006
2n 1 2013
  

.

Nhn xét: Khi vit li:
1 2 3 4 2n 1 2 3 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
1 2 3 4 2n 1 1 1 1 1
C C C C C 1. C 2. C 3. C 4. C 2n. C
2 3 4 5 2n 1 2 3 4 5 2n 1
          

.
A

E
B
C
H
D
d
LOVEBOOK.VN | 15
Ta thy mun có các h s o hàm, còn mun xut hin các h s
1
2
;
1
3
;
1
4
;
1
5


1
2n 1
thì cn dùng nguyên hàm, tích phân.

LOVEBOOK.VN| 16
 s 11

Câu 1:
a)
1. Tnh: 
2. S bin thiên:
  

 

 
 


 



 th (H) có tim cng thng, tiêm
cng thng  
 





  



Suy ra hàm s ng bin trên mi khong








* Bng bin thiên:
x
    

+
+
y

2


2
















b)
Khai thác t u kin v tim





 


 






 



 


 
 




 


 


 








 





 

 















  


 












  

 



 









  

 






 




 


 



Nhn xét: Vi bài toán ving thng cn phi bit 2 yu t: T m
c bin.




  


 



































Câu 2:
      
  
ng thông dng nh gii bài toán ging giác nói chung là phân tích nhân t. Tuy
nhiên, vic phân tích nhân t có yu t  i s ng
LOVEBOOK.VN | 17
(có th m). Vi ph phân tích nhân t thông qua

vim vi mt vài bí quyt nho nh.

























 




    


  











 
Vu kii

  



   
  

    

 



  

    

  


    
    







     









 






 

 



 










 

 


Nhn xét: Vi phân tích nhân t ng làm
theo mt s n sau:
































2. Phân các nghic vào các h nghi m

























 
 chung: bi  nhân t chung, có th tham kho mt s nhân t
chung thông dng sau:



      




   
 



 
 


  



 


  







 




 
 







 



 
 






     



  
   
     
LOVEBOOK.VN| 18
c 4: Tách biu th bài cho   nhân t chung. Loi nhng hp không th c.

  gii nhin, bc nên
luyn tp nhi thành tht s bài tp t luyn:
Gi ng giác:
  

 










  

   



  


  





 



Câu 3:




      





  

   



  











   








  



 




 




  

   

  


   

  







Tr a h c:


   



  


   



    
  





 
 



 






 


 
Th  nht ca h c


 



 

    

  




 











   











Tuy nhiên vic x lí biu thc tip theo s   dn bc rt cao), do
ng làm. Trong quá trình gii toán, th u không th tránh khi, cn luyn tp
nhiu hiu ca bài toán (s c ch ra và phân tích xuyên sut cu rút
ngn thi gian gii.

Câu 4:

  






















  













  




  



  



  









Áp dng công thc tích phân tng phn ta có:





  





 



  




  


 




  






LOVEBOOK.VN | 19
  



Nhn xét: Bài này khá d, tác gi ch yu ly t mt biu thc tích phân quen thuc ri bi
phc t y, nu thay bng mt biu thc khó và mt
t n ph khó nhn din ta có th to ra nhng bài khó, thm chí rt khó. Bc có th làm th mt
biu thc sau:

    
    





Câu 5:
Phân tích:

Rt may trong bài nay vic d ng
cao nm ngay trên BC














 

















Ta l gi







































 



























 








































  







  







 

















































Nhn xét:
-Vic l gii toán là m tìm ra li gii hiu qu 
theo  dàng tip c ca tác gi ng th
giúp ta trình bày li gii mt cách khoa h mc.
-o ta có th ch c ra nháp ho  làm bài.
-Ý th 2 ca bài toán có th tính theo cách khác: thông qua th tích khi t din ABCD và di
Câu 6:




 


 



 

  


 







LOVEBOOK.VN| 20





   

 













  






 

   

  

  

  





 






  




  








  













 


  










  




  



   












 





 


Nhn xét: ng bài bng thc quen thui hc gn:
c 1: dn bng thc v mt n hoc mt n ph
c 2: kho sát hàm s vi bin m tìm giá tr ln nht ( nh nht) hoc chng minh bài toán
Khi gii dng bài này có mt s mo nh sau:
- Quá trình dn bing phi làm tr xut hin biu thc 1 n.
- Bin mi phi có kh u kin và biu thc c bài không cho tha bao gi)
- Nu biu thc 3 bii xng (2 bii bin còn li): nhiu
kh n v n còn l sau:
 



 







  





  





  





  

  

  

- Biu thi xng 2 bing n ph s là tng , tích, tt biu thc

i xng 2 bi bài trên là tích)
Câu 7.a
  

 























 






 








 














 





 





 




 









 




 










 



 

 

 
x





f(x)







5
LOVEBOOK.VN | 21




 



   



  

  



  




  


















Nhn xét: Trong bài này s dng khá nhiu h thc trong tam giác vuông. Ch cn nm chc các h thc này thì
s gic không m
Câu 8.a










    
     




   
 


    




































  



 







Nht bài d, ch cn khai thác tc mu kic.
Câu 9.
 dng làm chính:


 


  




 

  




  


 



    

 

  







    



    

  


 

  



   

  




  


 




  



  




 



  

  








  








 






 

 

  



   

  



      



  











 

  









 

  





  









Câu 7.b
 gii toán:




  






























     

  

 

  











  






  






 
























  




  








  




  




Câu 8.b









 



















LOVEBOOK.VN| 22
Li gii:






 

 

 



















































      

 

 

 















  


  






























  





  






  



 
 





Nhn xét: M gii toán là lp h 3 n- i gii ta
hoàn toàn có th gii m  bài trên. V bn cht
vn là gii h 3 n - tit kic nhiu công sc tính toán và gim thiu
sai sót.
Câu 9.b







  














 

  





  


 

 


 




 




Rút gn biu thu kin bng cách nhân liên hp ta có:


  

 

 

 






  



 






 






 

 

 






 










 





  



  


 

 

 








 


   



 
















u ki tìm r.











   

  









 






  




  







  











  







Nhn xét: - Ta chn x u kic vì nó ch cha z, d x a c  trong biu thc.


  


 

 

 







LOVEBOOK.VN | 23
y
x
O


1
2
Đề số 19

Câu 1:
1.
nh: D = .
 bin thiên
 Chiu bin thiên:  x  D.
Hàm s ng bin trên các khong và .
 Gii hn, tim cn: .

 th hàm s nhng thng làm tim cng và nhng thng làm tim cn ngang.
 Bng bin thiên:
 th:
  th ct trc hoành tm và ct trc tung tm .
  th nhm cng tim cn i xng.
2.
 m cng thng v th (C):
(*).
+) nên (C) luôn cng thng tm phân bit
A, B. Gi s , thì x
1
, x
2
là hai nghim phân bit ca (*).
nh lý Viét:
+) Thy rng
Vu
 
1\
 
2
3
y' 0
x1


 
;1 
 
1; 

;;
x 1 x 1 x x
limy limy limy limy 2

   
     
x1
y2
1
;0
2



 
0; 1
 
I 1;2
y x m 
    
2
2x 1
x m 2x 1 x 1 x m x 3 mx m 1 0
x1

              

     
22
(*)

3 m 4m 1 m 1 12 0        
y x m 
 
11
Ax; x m
 
22
Bx; x m
12
12
x x m 3
xx m 1
  


  

   
22
12
MA MB x 2 x 2    
     
2 2 2
22
1 2 1 2
MA AB x 2 x 2 2x x       
2

x 
y' + +

y

2

LOVEBOOK.VN| 24

Vy có hai giá tr m cn tìm là m = 1 và m = 5.
Nhn xét: Trong li gii s có bn thc mc rng ti sao li có MA = MB = . Mình s lí gii
c ti sao lnh lý Vi-ét thì , thay vào biu thc tính MA:
MA = .
 cho MB, ta có MA = MB.
Nhiu bn s t hi ti sao l  biu th làm gì?
Mình s tr li m dài AB là mt biu thi xng hai bin x
1
, x
2
nên mun dùng tam giác
u cho thun li thì phi bii MA v di xng vi hai bin x
1
, x
2
 nh lý Vi-ét.
Gi a v này.
 th hàm bc nht trên bc nhng (gi là (C))thì nó có hai tri xng, chúng có h s góc là
hoc . Gi tri xng không ct (C) là (d), gi mng thng () bt kì song song vi trc
i xng còn li. Nt (C) tm A, B thì mm M bu A và B. Tht
vy, bi tính chi xng nên (d) chính là trung trc c (d) s u A, B.
Chính da vào tính cht này mà vic kt lun MA = MB là hoàn toàn : (d): y = x + 1 là tri xng
không cng thng (ng thng song song vi tri xng khác (d). Có
  này ri thì vii s  chng minh s làm bài gii tr nên gn

nh u.
Câu II.
1.

    

 


 


 


 



 











 


 


 


 



Ta s bip hoc biu thc gc này có nhi thc hin chng hn
 


  






 




 





Áp dng, ta có (1) tr thành:
      




 






 
Kt hp vu kim
 


 


  
Nhn xét:
- ng cu xu là nhng bit thc có cung xu, cng knh. Ta cn thay
nó bng biu thi các bn rt d x lý. Bn th
 



 


 
còn tùy thuc vào kh n ca b là dù nhanh hay chm thì kiu gì bn
u thc thay th u gi bc khi bc trang b u x
p này.
- Chú ý thêm là bài toán có tan x hay cot x phu kin và kiu kic khi kt lun nghim.
Chúng ta s c hu qu m.
Bài t


    

 


 


 
   
2
2
1 2 1 2 1 2
m1
x x 4x x 6xx 8 0 m 4m 5 0
m5



           



   
22
12
x 2 x 2  
12
m x x 3
           
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
x 2 x m 5 x 2 x 3 5 x 2 x 2             
k1
k1
   
M2;5 d
LOVEBOOK.VN | 25


    

 


 




2.
ng: Rõ ràng hình thc c nhng du ngoc,
, rõ ràng tác gi   u ngoc trên. Vy nên
vic ca ta là phá nhng cái ngot thc 

Bài gii:
Bii:
+) Vi x  y = 1, ta có 
+) Vi x  y = 4 ta có (vô nghim).
Vy h m (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (1; 2).
Câu III.
Tách I làm 2 tích phân con I
1
và I
2









 











 




 



















Ta sử dụng công thức   để đưa 

về hết 



















 











 







 











 




 

* Bình luận:
- Nhiều bài tích phân ta cần tách ra làm 2 hoặc nhiều tích phân con đơn giản và dễ tính hơn.
- Tích phân lượng giác thấy xuất hiện mẫu số là



 ta thường sử dụng















- Tính 

ta dùng kỹ thuật đưa về một biến  hoặc  thông qua công thức  hoặc











  
+ m hoặc n lẻ thì đưa về 1 biến  hoặc  thông qua công thức  hoặc 
 

là 1 ví dụ của trường hợp này.
+ m, n đều chẵn và có số < 0 thì đưa về một biến  hoặc  qua công thức



























 















  




 
 

 
3xy 1 3xy 3x
y x 3 xy 3y

  


  


x
25
       
2
22
x y 1
x 3xy 1 y y x 3 0 x y 3x y 4 0
x y 4


            

  

   
y x 1
x y 1 x 1
x xx 1 2x 1 0
x xy 2y 1 y 0



  



  
    
   



x1
y2





x y 4
x xy 2y 1
  


  

×