Tài liệu BÀI GIẢNG MÔN HỌC VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2 docx

Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

TRƢỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA – KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN - VẬT LÝ

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2

Dùng cho sinh viên hệ đại học
các nghành kỹ thuật

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

0

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

GIỚI THIỆU

Vật lý học là môn học nghiên cứu về tất cả các dạng vận động của vật chất từ vĩ
mô đến vi mô. Những thành tựu vật lý học ngày hôm nay chúng ta sử dụng và đang hiểu
đƣợc đƣợc là sản phẩm tƣ duy của loài ngƣời và cả các nhà bác học lớn. Chƣơng trình vật
lý đại cƣơng có mục tiêu truyền đạt đến cho các bạn sinh viên chúng ta một cách nhìn
tổng quát nhất về các dạng vận động của vật chất, các hiện tƣợng, các lý thuyết vật lý mà
đó là cơ sở trong việc nắm bắt đƣợc sự vận động của vật chất. Song song với đó thì
chƣơng trình này cũng là cơ sở cho hoạt động nghiên cứu khoa học và ứng dụng trong

khoa học, kỹ thuật và đời sống. Ta biết rằng, trong phần vật lý đại cƣơng A1, đối tƣợng
nghiên cứu là những vấn đề cơ bản về cơ học và nhiệt học. Trong phần vật lý đại cƣơng
A2 chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về dao động, trƣờng tĩnh điện, từ trƣờng, quang sóng,
quang lƣợng tử và cơ học lƣợng tử. Tuy nhiên, việc biên soạn nội dung bài giảng này
nằm trong đề cƣơng và thời gian đƣợc phân bố cho môn học nên không thể chuyển tải hết
tất cả các vấn đề của vật lý học mà là những vấn đề tổng quan nhất cho từng đối tƣợng
đƣợc nghiên cứu. Trên cơ sở tập bài giảng này các bạn sinh viên tìm đọc thêm các tài liệu
tham khảo, các giáo trình vật lý của các tác giả khác trong và ngồi nƣớc để có thêm
nhiều thơng tin mới phục vụ cho cơng tác học tập và nghiên cứu của mình. Tập bài giảng
này do 2 tác giả biên soạn vào niên khóa 2007 - 2008:(1) Ths. Nguyễn Phƣớc Thể; (2)
Ths. Lê Văn Khoa Bảo. Đây là tập bài giảng lần đầu tiên đƣợc cung cấp cho sinh viên tại
trƣờng Đại Học Duy Tân sử dụng. Lần này chúng tôi chỉnh sửa lại một số lỗi và bổ sung
thêm một số bài tập mới để sinh viên rèn luyện. Tuy nhiên tập tài liệu khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót mong quý đồng nghiệp, các đọc giả và các bạn sinh viên góp ý để
đƣợc hồn thiện hơn.

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

1

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

MỤC LỤC
CHƢƠNG 1: TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN ....................................................................7
I.
MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ....................................................................... 7
II.

NỘI DUNG ............................................................................................ 7
§1. TƢƠNG TÁC ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT COULOMB ........................................... 7
1. Tƣơng tác điện ................................................................................................... 7
2. Thuyết điện tử - Định luật bảo tồn điện tích ..................................................... 7
3. Định luật Coulomb ............................................................................................. 8
4. Nguyên lý chồng chất các lực điện ..................................................................... 9
§2. ĐIỆN TRƢỜNG .............................................................................................11
1. Khái niệm điện trƣờng ......................................................................................11
2. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng ..............................................................................11
3. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm ...............................12
4. Véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một hệ vật mang điện - Nguyên lý chồng
chất điện trƣờng ....................................................................................................13
§3. ĐIỆN THƠNG ................................................................................................16
1. Đƣờng sức điện trƣờng .....................................................................................16
2. Véctơ cảm ứng điện ..........................................................................................17
3. Điện thơng ........................................................................................................18
§5. ĐỊNH LÝ ƠXTRƠGRATXKI - GAUSS (O - G)............................................20
1. Thiết lập định lý ................................................................................................20
2. Phát biểu định lý ...............................................................................................21
3. Ứng dụng định lý O-G ......................................................................................21
4. Dạng vi phân của định lý O – G ........................................................................23
§6. CƠNG CỦA LỰC TĨNH ĐIỆN - ĐIỆN THẾ .................................................24
1. Công của lực tĩnh điện ......................................................................................24
2. Thế năng của điện tích trong điện trƣờng ..........................................................25
3. Điện thế – Hiệu điện thế....................................................................................26
CÂU HỎI LÝ THUYẾT .......................................................................................28
BÀI TẬP...............................................................................................................29
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

2

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

CHƢƠNG 2: .....................................TỪ TRƢỜNG ............................................35
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU...................................................................................35
II. NỘI DUNG ......................................................................................................36
§1. TƢƠNG TÁC TỪ CỦA DÕNG ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT AMPÈRE ..................36
1. Thí nghiệm về tƣơng tác từ ...............................................................................36
2. Định luật Ampe (Ampère) về tƣơng tác giữa hai dòng điện ..............................37
§2. VECTƠ CẢM ỨNG TỪ, VECTƠ CƢỜNG ĐỘ TỪ TRƢỜNG .....................39
1. Khái niệm từ trƣờng ..........................................................................................39
2. Các đại lƣợng đặc trƣng cho từ trƣờng ..............................................................39
3. Xác định vectơ cảm ứng từ và vectơ cƣờng độ từ trƣờng ..................................41
§3. TỪ THƠNG - ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATSKI- GAUSS ĐỐI VỚI TỪ
TRƢỜNG .............................................................................................................44
1. Đƣờng cảm ứng từ ............................................................................................44
2. Từ thông ...........................................................................................................46
3. Định lý Oxtrogratxki - Gauss đối với từ trƣờng.................................................47
§4. ĐỊNH LÝ AMPÈRE VỀ DÕNG ĐIỆN TOÀN PHẦN ...................................48
1. Lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng ................................................................48
2. Định lý Ampère về dòng điện tồn phần ...........................................................49
3. Ứng dụng định lý Ampère .................................................................................52
§5. TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN DÕNG ĐIỆN ....................................54
1. Lực Ampère ......................................................................................................54
2. Tƣơng tác giữa hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn ................................54
3. Tác dụng của từ trƣờng đều lên mạch điện kín ..................................................55
4. Cơng của lực từ .................................................................................................56

§6 TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN HẠT ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG ...........57
1. Lực Lorentz ......................................................................................................57
2. Chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng đều ..................................................58
CÂU HỎI LÝ THUYẾT .......................................................................................60
BÀI TẬP...............................................................................................................61
CHƢƠNG 3:.......................................DAO ĐỘNG ..............................................67
I. MỤC ĐÍCH - U CẦU...................................................................................68
II. NỘI DUNG ......................................................................................................68
§1. DAO ĐỘNG CƠ ĐIỀU HÕA ........................................................................68
1. Hiện tƣợng .......................................................................................................68
2. Phƣơng trình dao động điều hịa .......................................................................69
3. Khảo sát dao động điều hịa .............................................................................70
4. Năng lƣợng dao động điều hịa.........................................................................71
§ 2. DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN .........................................................................72
1. Hiện tƣợng .......................................................................................................72
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

3

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

2. Phƣơng trình dao động tắt dần .........................................................................72
3. Khảo sát dao động tắt dần ................................................................................73
§3. DAO ĐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC....................................................................74
1. Hiện tƣợng .......................................................................................................74
2. Phƣơng trình dao động cƣỡng bức..................................................................
74

§4. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HÕA ..............................................................76
1. Mạch dao động điện từ LC ................................................................................76
2. Thiết lập phƣơng trình dao động điện từ điều hịa .............................................77
§5. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN.................................................................78
1. Mạch dao động điện từ RLC .............................................................................78
2. Phƣơng trình dao động điện từ tắt dần...............................................................78
§6
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƢỠNG BỨC ......................................................80
1. Hiện tƣợng ........................................................................................................80
2. Phƣơng trình dao động điện từ cƣỡng bức ........................................................80
§7 . TỔNG HỢP DAO ĐỘNG .............................................................................81
1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay..................................................82
2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phƣơng cùng tần số ...............................82
CÂU HỎI LÝ THUYẾT .......................................................................................83
BÀI TẬP...............................................................................................................83
CHƢƠNG 4:......................THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN ..................89
I. MỤC ĐÍCH - U CẦU...................................................................................89
II. NỘI DUNG ......................................................................................................89
§1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN .............................................................................89
1. Nguyên lí tƣơng đối ..........................................................................................89
2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng ..................................................90
§2. ĐỘNG HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ................90
1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tƣơng đối Einstein .............90
2. Phép biến đổi Lorentz .......................................................................................91
§3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ........................................92
1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả .............................................93
2. Sự co lại của độ dài (sự co ngắn Lorentz)..........................................................93
3. Sự giãn của thời gian.........................................................................................94
4. Phép biến đổi vận tốc ........................................................................................95
§ 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƢƠNG ĐỐI ...................................................................96

1. Phƣơng trình cơ bản của chuyển động chất điểm ..............................................96
2. Động lƣợng và năng lƣợng ................................................................................97
3. Các hệ quả ........................................................................................................98
CÂU HỎI LÍ THUYẾT ........................................................................................99
BÀI TẬP...............................................................................................................99
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

4

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

CHƢƠNG 5:.......... GIAO THOA ÁNH SÁNG - NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG .......102
I. MỤC ĐÍCH - U CẦU.................................................................................102
II. NỘI DUNG ....................................................................................................103
§1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG .............................................................103
1. Một số khái niệm cơ bản về sóng ....................................................................103
2. Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell ........................................................104
3. Quang lộ .........................................................................................................104
4. Định lí Malus về quang lộ ...............................................................................104
5. Hàm sóng ánh sáng .........................................................................................105
6. Cƣờng độ sáng ................................................................................................................ 105

7. Ngun lí chồng chất các sóng ........................................................................105
8. Ngun lí Huygens .........................................................................................106
§2. GIAO THOA ÁNH SÁNG ...........................................................................106
1. Định nghĩa ......................................................................................................106
2. Khảo sát hiện tƣợng giao thoa .........................................................................107

§3. GIAO THOA DO PHẢN XẠ - THÍ NGHIỆM Loyd ....................................109
§4. ỨNG DỤNG HIỆN TƢỢNG GIAO THOA .................................................110
1. Khử phản xạ các mặt kính ...............................................................................110
2. Giao thoa kế Rayleigh (Rêlây) ........................................................................111
3. Giao thoa kế Michelson (Maikenxơn) .............................................................111
CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................112
BÀI TẬP.............................................................................................................113
§5. HIỆN TƢỢNG NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG .....................................................114
1. Hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng .........................................................................114
2. Ngun lí Huygens - Fresnel ...........................................................................114
§6. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG ...........................................115
1. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp ......................................................115
2. Nhiễu xạ của sóng phẳng truyền qua cách tử phẳng ........................................117
3. Nhiễu xạ trên tinh thể ......................................................................................118
CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................119
BÀI TẬP.............................................................................................................119
CHƢƠNG 6: QUANG HỌC LƢỢNG TỬ ........................................................124
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU.................................................................................124
II. NỘI DUNG ....................................................................................................124
§1. BỨC XẠ NHIỆT ..........................................................................................124
1. Bức xạ nhiệt là gì ? .........................................................................................124
2. Các đại lƣợng đặc trƣng của bức xạ nhiệt cân bằng .........................................125
3. Định luật Kirchhoff .........................................................................................126
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

5

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo

Bài giảng mơn học: Vật lý đại cương A2

§2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÁT XẠ CỦA VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI .....................127
1. Định luật Stephan-Boltzmann .........................................................................128
2. Định luật Wien ................................................................................................128
3. Sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại .....................................................................128
§3. THUYẾT LƢỢNG TỬ CỦA PLANCK & THUYẾT PHOTON CỦA
EINSTEIN ..........................................................................................................129
1. Thuyết lƣợng tử của Planck ............................................................................129
2. Thành công của thuyết lƣợng tử năng lƣợng ...................................................130
3. Thuyết photon của Einstein .............................................................................130
4. Động lực học photon .......................................................................................131
§4. HIỆN TƢỢNG QUANG ĐIỆN ....................................................................132
1. Định nghĩa ......................................................................................................132
2. Các định luật quang điện và giải thích .............................................................133
§5. HIỆU ỨNG COMPTON ...............................................................................135
1. Hiệu ứng Compton ..........................................................................................135
2. Giải thích bằng thuyết lƣợng tử ánh sáng ........................................................136
CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................137
BÀI TẬP.............................................................................................................138
CHƢƠNG 7: CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 143
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU.................................................................................143
II. NỘI DUNG ....................................................................................................143
§1. LƢỠNG TÍNH SĨNG HẠT CỦA VI HẠT ..................................................143
1. Lƣỡng tính sóng hạt của ánh sáng ...................................................................143
2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi) .......................................................................145
3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mơ...............................145
§2. NGUN LÝ BẤT ĐỊNH HEISENBERG...................................................146
§3. HÀM SĨNG .................................................................................................148
1. Hàm sóng ........................................................................................................149

2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng ......................................................................149
3. Điều kiện của hàm sóng ..................................................................................150
§4. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER ............................................................150
§5. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER .............................152
1. Hạt trong giếng thế năng .................................................................................152
2. Hiệu ứng đƣờng ngầm.....................................................................................155
3. Dao động tử điều hòa lƣợng tử ........................................................................158
CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................159
BÀI TẬP.............................................................................................................160

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

6

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

CHƢƠNG 1Equation Chapter 1 Section 1

TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN

I.

MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU

1. Nắm vững định nghĩa và hiểu đƣợc ý nghĩa vật lý cùng đơn vị đo của các đại
lƣợng: véctơ cƣờng độ điện trƣờng, điện thế, hiệu điện thế, điện thông.
2. Hiểu và vận dụng đƣợc định luật Coulomb, định lý Ôxtrôgratxki – Gauss,

nguyên lý chồng chất điện trƣờng để giải các bài toán tĩnh điện.
3. Nhớ và vận dụng đƣợc biểu thức mô tả mối quan hệ giữa véctơ cƣờng độ điện
trƣờng và điện thế.

II.

NỘI DUNG
§1. TƢƠNG TÁC ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT COULOMB

1. Tƣơng tác điện
Cho đến ngày nay, tất cả chúng ta đều công nhận rằng trong tự nhiên tồn tại hai
loại điện tích, điện tích dƣơng và điện tích âm. Thực nghiệm xác nhận rằng giữa các điện
tích có tồn tại tƣơng tác, đƣợc gọi là tương tác điện. Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau,
các điện tích trái dấu thì hút nhau.

2. Thuyết điện tử - Định luật bảo tồn điện tích
Từ thế kỷ thứ 6 trƣớc công nguyên, ngƣời ta đã thấy rằng hổ phách cọ xát vào
lơng thú, có khả năng hút đƣợc các vật nhẹ. Cuối thế kỷ 16, Gilbert (ngƣời Anh) nghiên
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

7

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

cứu chi tiết hơn và nhận thấy rằng nhiều chất khác nhƣ thủy tinh, lƣu huỳnh, nhựa cây v
v... cũng có tính chất giống nhƣ hổ phách và gọi những vật có khả năng hút đƣợc các vật
khác sau khi cọ xát vào nhau, là những vật nhiễm điện hay vật tích điện. Các vật đó có

điện tích.
Ta cũng có thể làm cho một vật nhiễm điện bằng cách đặt nó tiếp xúc với một vật
khác đã nhiễm điện. Ví dụ ta treo hai vật nhẹ lên hai sợi dây mảnh, rồi cho chúng tiếp xúc
với thanh êbơnít đã đƣợc cọ xát vào da, thì chúng sẽ đẩy nhau. Nếu một vật đƣợc nhiễm
điện bởi thanh êbơnít, một vật đƣợc nhiễm điện bởi thanh thủy tinh, chúng sẽ hút nhau.
Điều đó chứng tỏ điện tích xuất hiện trên thanh êbơnit và trên thanh thủy tinh là các loại
điện tích khác nhau. Bằng cách thí nghiệm với nhiều vật khác nhau ta thấy chỉ có hai loại
điện tích. Ngƣời ta qui ƣớc gọi loại điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh sau khi cọ xát
vào lụa là điện tích dƣơng, cịn loại kia là điện tích âm. Giữa các vật nhiễm điện có sự
tƣơng tác điện: những vật nhiễm cùng loại điện thì đẩy nhau, những vật nhiễm điện khác
loại thì hút nhau.
Thuyết điện tử
Điện tích trên một vật bất kỳ có cấu tạo gián đoạn, độ lớn của nó ln bằng một số
nguyên lần điện tích nguyên tố. Điện tích nguyên tố âm là điện tích của electron (điện tử)
có giá trị bằng e  1,6.1019C , khối lƣợng của electron bằng me  9,1.1031kg .
Nguyên tử của mọi nguyên tố đều gồm một hạt nhân và những êlectrôn chuyển
động xung quanh hạt nhân. Hạt nhân nguyên tử gồm những proton mang điện dƣơng và
những notron không mang điện. Ở trạng thái bình thƣờng, số proton và số êlectrơn trong
ngun tử là bằng nhau. Do đó ngun tử trung hịa về điện. Nếu ngun tử mất một hay
vài êlectrơn, nó sẽ mang điện dƣơng và trở thành ion dƣơng. Nếu nguyên tử thu thêm
êlectrơn, nó sẽ tích điện âm và trở thành ion âm. Quá trình nhiễm điện của các vật thể
chính là q trình các vật thể ấy thu thêm hay mất đi một số êlectôn hoặc ion.
Thuyết dựa vào sự chuyển dời của electron để giải thích các hiện tƣợng điện đƣợc
gọi là thuyết điện tử. Theo thuyết này, quá trình nhiễm điện của thanh thủy tinh khi xát
vào lụa chính là q trình electron chuyển dời từ thủy tinh sang lụa: thủy tinh mất
electron, do đó mang điện dƣơng; ngƣợc lại lụa nhận thêm electron từ thủy tinh chuyển
sang nên lụa mang điện âm, độ lớn của điện tích trên hai vật ln bằng nhau nếu trƣớc đó
cả hai vật đều chƣa mang điện.
Đơn vị đo điện tích là Coulomb, kí hiệu là C . Độ lớn của điện tích đƣợc gọi là
điện lƣợng.

Định luật bảo tồn điện tích. “Các điện tích khơng tự sinh ra mà cũng khơng tự mất đi,
chúng chỉ có thể truyền từ vật này sang vật khác hoặc dịch chuyển bên trong một vật mà
thơi”. Nói một cách khác: “Tổng đại số các điện tích trong một hệ cơ lập là khơng đổi”.

3. Định luật Coulomb

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

8

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

Khi khảo sát tƣơng tác giữa các điện tích, nếu chỉ quan tâm đến sự tƣơng tác mà
khơng quan tâm đến kích thƣớc của điện tích đó, xem điện tích tƣơng tác nhƣ các điện
tích điểm, thì lực tƣơng tác này tn theo định luật Coulomb:
“Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đứng n trong chân khơng có phương
nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều hướng xa nhau nếu hai điện tích cùng
dấu và hướng vào nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn
của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng”.

q1 . q 2

Fo 
Trong đó:

4or 2

k

q1 . q 2

(1.1)

r2

o  8, 86.1012 C2 /Nm2 (hay F/m): hằng số điện.
k

1
 9.109 Nm2 /C2 : hệ số tỷ lệ.
4o

Hai điện tích cùng dấu

F21

q1


r
r

q2

Hai điện tích trái dấu



F12

q1F2 1


F1 2 q2

r

r

Hình 1.1 Lực tƣơng tác giữa các điện tích điểm.



Khi viết dƣới dạng véctơ, ta qui ƣớc gọi véctơ khoảng cách giữa hai điện tích là r có
phƣơng nằm trên đƣờng thẳng nối hai điện tích đó, có chiều hƣớng về điện tích mà ta
muốn xác định lực tác dụng lên điện tích ấy và có độ lớn bằng khoảng cách giữa hai điện
tích điểm. Khi đó lực tƣơng tác giữa hai điện tích q1, q2 đƣợc biểu diễn trên Hình 1 và
cơng thức véctơ sau đây:


q1.q2 r
q .q 
Fo  k 2
 k 1 32 r
(1.2)
r r
r

Nếu hai điện tích điểm q1, q2 đƣợc đặt trong một mơi trƣờng bất kỳ thì lực tƣơng tác giữa
chúng giảm đi  lần so với lực tƣơng tác giữa chúng trong chân không:


q .q 
Fo  k 1 32 r
r

(1.3)

 là một đại lƣợng không thứ ngun đặc trƣng cho tính chất điện của mơi trƣờng và
đƣợc gọi là độ thẩm điện môi tỉ đối (hay hằng số điện mơi) của mơi trƣờng. Trong chân
khơng thì   1 , cịn trong khơng khí   1.
4. Nguyên lý chồng chất các lực điện

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

9

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

Xét một hệ điện tích điểm q1, q2, qn đƣợc phân bố rời rạc trong khơng gian và

 



một điện tích điểm qo đặt trong khơng gian đó. Gọi F1, F2, , Fn lần lƣợt là các lực tác
dụng của q1, q2, qn lên điện tích qo thì tổng hợp các lực tác dụng lên qo là :
n





F  F1  F2    Fn   Fi

(1.4)

i 1



trong đó, các lực Fi đƣợc xác định theo (1.3).
Đối với hai vật mang điện có dạng bất kỳ, để xác định lực tƣơng tác tĩnh điện giữa
chúng, ngƣời ta xem mỗi vật mang điện nhƣ một hệ vơ số các điện tích điểm đƣợc phân
bố rời rạc. Nếu điện tích đƣợc phân bố liên tục trong vật thì việc lấy tổng trong (1.4)
đƣợc thay bằng phép tích phân theo tồn bộ vật:


F




dF

toàn vật

(1.5)
Ví dụ: Hai điện tích điểm dƣơng có điện lƣợng q2  9q1 đặt cố định cách nhau một
khoảng a trong mơi trƣờng bất kì. Hỏi phải đặt một điện tích điểm Q ở đâu, có dấu và
độ lớn nhƣ thế nào để Q ở trạng thái cân bằng? Q phải mang dấu gì để trạng thái cân
bằng là bền?
Bài giải



Lực do q1 tác dụng lên Q là: F1  k

q1.Q 
r
r13 1



q2 .Q 
r
r23 2



q .Q 
q .Q 
Hợp lực tác dụng lên Q là: F  F1  F2  k 1 3 r1  k 2 3 r2
r1
r2




Điều kiện để Q đứng yên (cân bằng) là F  0 hay F1  F2  0 , tức là:


q .Q 
q .Q 
F1  F2 hay k 1 3 r1  k 2 3 r2
r1
r2


Vì q1 và q 2 cùng dấu nên r1 và r2 phải ngƣợc chiều nhau (với mọi Q ), nghĩa là
Lực do q 2 tác dụng lên Q là: F2  k

điện tích điểm Q phải đặt tại điểm M nằm trên đoạn thẳng nối q1 và q 2 và nằm ở giữa
hai điện tích ấy.
Nếu Q  0 : nó cùng bị q1 , q 2 đẩy; nếu Q  0 nó cùng bị q1 , q 2 hút. Từ điều
kiện cân bằng ta có:
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

10

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

k

Suy ra:

r22
r12



q1.Q
r12

k

q2 .Q
r22

q2
r
q
 2  2  93
q1
r1
q1

r2
a
3a
.
 3 , ta tìm đƣợc r1  và r2 
4

4
r1
Kết luận: Điện tích Q có thể dƣơng, âm và có độ lớn tùy ý.
Từ r1  r2  a và

- Nếu Q  0 : Khi lệch khỏi M, hợp lực kéo nó trở lại (trạng thái cân bằng bền).
- Nếu Q  0 : Khi lệch khỏi M, hợp lực đẩy nó đi tiếp (trạng thái cân bằng khơng
bền).
Ngồi ra, nếu q1  0, q2  0 muốn có trạng thái cân bằng bền thì Q phải là điện
tích dƣơng và nếu q1  q2 thì r1  r2 .

§2. ĐIỆN TRƢỜNG
1. Khái niệm điện trƣờng
Các điện tích tuy ở cách xa nhau, không tiếp xúc với nhau nhƣng vẫn tƣơng tác
đƣợc với nhau là vì khơng gian xung quanh mỗi điện tích tồn tại một môi trƣờng vật chất
đặc biệt gọi là điện trường. Điện trƣờng có vai trị truyền dẫn tƣơng tác giữa các hạt
mang điện. Khi có điện tích thì xung quanh điện tích xuất hiện điện trƣờng. Điện trƣờng
đƣợc nhận biết bằng cách khi đặt bất kì một điện tích nào vào điện trƣờng thì điện tích đó
đều bị tác dụng của một lực điện.

2. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng
a. Định nghĩa
Để đặc trƣng cho độ mạnh yếu của điện trƣờng cả về
phƣơng, chiều và độ lớn tại một điểm trong điện trƣờng,
ngƣời ta đƣa ra một đại lƣợng gọi là vectơ cƣờng độ điện

trƣờng, ký hiệu là E :


 F

E
q

Hình 1.2 Lực điện trƣờng
tác dụng lên điện tích q.

(1.6)





Từ biểu thức ta thấy nếu chọn q  1 thì E  F . Do đó ta có định nghĩa vectơ
cƣờng độ điện trƣờng.
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

11

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

Định nghĩa: Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng đặc trưng
cho điện trường về phương diện tác dụng lực, có giá trị bằng lực tác dụng lên một đơn vị
điện tích dương đặt tại điểm đó và có hướng là hướng của lực này.
Trong hệ đơn vị SI, cƣờng độ điện trƣờng có đơn vị đo là Vơn/mét: (V/m).
b. Lực điện trƣờng tác dụng lên điện tích điểm



Nếu biết cƣờng độ điện trƣờng E tại một điểm M trong điện trƣờng thì khi đặt
một điện tích q vào điểm đó, nó bị điện trƣờng tác dụng một lực:


- Nếu q  0 thì F

- Nếu q  0 thì F



F  qE

cùng chiều với E .

ngƣợc chiều với E

(1.7)

3. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm
Xét một điện tích điểm có trị đại số Q . Trong khơng gian bao quanh nó sẽ xuất



hiện điện trƣờng. Ta hãy xác định véctơ cƣờng độ điện trƣờng E tại một điểm M cách
điện tích Q một khoảng r . Muốn vậy tại điểm M ta đặt một điện tích điểm q có trị số đủ
nhỏ. Khi đó theo định luật Coulomb, lực tác dụng của điện tích Q lên điện tích q bằng:


Qq 

F k 3r
r

Hình 1.3 Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một điện tích điểm.
Kết hợp với biểu thức (1.6), ta có vectơ cƣờng độ điện trƣờng do điện tích điểm Q gây ra
tại điểm A là:


Q 
E k 3r
r

với r là bán kính vectơ hƣớng từ điện tích Q đến điểm A.

(1.8)

Nhận xét:

 
- Nếu Q  0 thì E  r : E hƣớng ra xa điện tích Q .







- Nếu Q  0 thì E  r : E hƣớng vào điện tích Q .
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

12

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

- Về độ lớn: E  k

Q
r 2

: Cƣờng độ điện trƣờng tại điểm A tỉ lệ thuận với độ lớn

của điện tích Q và tỉ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách từ điểm đang xét đến điện
tích Q .

4. Véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một hệ vật mang điện - Nguyên lý
chồng chất điện trƣờng
a. Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi hệ điện tích điểm phân bố rời rạc
Xét hệ điện tích điểm Q1, Q2, , Qn đƣợc phân bố rời rạc trong không gian. Để



xác định véctơ cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp E tại một điểm M nào đó của khơng gian,
ta đặt tại M một điện tích q . Khi đó theo (1.4) lực tổng hợp tác dụng lên điện tích q
bằng:
n






F  F1  F2  Fn   Fi

i 1

trong đó Fi là lực tác dụng của điện tích Qi lên điện tích q . Kết hợp biểu thức (1.6),

vectơ cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp tại M bằng:



n
 F
Fi
1 n 
E    Fi  
q
q
i 1 q
 i 1

F
Cũng theo (1.6) thì mỗi số hạng i  Ei chính là véctơ cƣờng độ điện trƣờng do
q
điện tích Qi gây ra tại M nên:
n



E   Ei

(1.9)

i 1

Biểu thức (1.9) là biểu thức toán học của nguyên lý chồng chất điện trường đƣợc phát
biểu nhƣ sau:
“Véctơ cường độ điện trường gây ra bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các
véctơ cường độ điện trường gây ra bởi từng điện tích điểm của hệ”.
b. Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi hệ điện tích điểm phân bố liên tục
Xét một vật mang điện có kích thƣớc bất kỳ và điện tích phân bố liên tục trên vật
này. Rõ ràng ta có thể xem vật nhƣ một hệ điện tích điểm đƣợc phân bố liên tục trong
khơng gian. Do đó để tính cƣờng độ điện trƣờng gây bởi vật này ta tƣởng tƣợng chia vật
thành nhiều phần nhỏ sao cho điện tích dQ trên mỗi phần đó có thể xem là điện tích
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

13

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2



điểm. Nếu gọi dE là véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi điện tích dQ tại điểm M
cách dQ một khoảng r thì véctơ cƣờng độ điện trƣờng do vật mang điện gây ra tại điểm
M đƣợc xác định tƣơng tự theo cơng thức
.


E

(1.5)

dE 




r
 k r 3 dQ
cả vật

cả vật

(1.10)

Ta xét một số trƣờng hợp cụ thể sau đây:
 Nếu vật là sợi dây (L) với mật độ điện tích dài  (C/m) thì điện tích trên một vi phân
độ dài dl là dQ  dl . Khi đó:


E


dE 

L



dl 
r
3

 k r

(1.11)

L

Nếu vật mang điện là một mặt S với mật độ điện tích mặt  (C/m2) thì điện
tích trên một vi phân diện tích dS là dQ  dS . Khi đó:


E


dE 


dS 
(1.12)
r
r 3
S
S


Nếu vật mang điện là một khối có thể tích V với mật độ điện tích khối 
3
(C/m ) thì điện tích trong một thể tích vi phân dV là dQ  dV . Khi đó:


dV 
(1.13)
E   dE   k
r
r 3
V
V

k

Ví dụ: Một vòng tròn làm bằng một dây dẫn
mảnh bán kính R mang điện tích dƣơng Q
phân bố đều trên dây. Hãy xác định cƣờng độ
điện trƣờng tại điểm M nằm trên trục của
vòng dây, cách tâm một đoạn h .
Bài giải
Cƣờng độ điện trƣờng do vòng dây gây ra tại
một điểm nào đó bằng tổng các cƣờng độ điện



trƣờng dE do các phân tử điện tích dQ nằm
trên vịng dây gây ra. Tại điểm M cƣờng độ
điện trƣờng do phần tử điện tích dQ gây ra
là:

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

14

Hình 1.4 Điện trƣờng gây bởi vịng dây
trịn tích điện đều.

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2


dQ 
dE  k 3 r
r

Theo nguyên lý chồng chất, cƣờng độ điện trƣờng tại M bằng:


EM 


dE 

dQ 
r
r 3
vòng

vòng



Phân tích vectơ dE thành hai thành phần dEt và dEn . Vì các điện tích dQ phân

bố đối xứng qua điểm O nên tổng các thành phần dEt bằng không. Do đó ta có:


EM   dEn





k

vòng



Vì các vectơ dEn cùng phƣơng, chiều nên E M có điểm đặt tại M, có phƣơng
trùng với trục vịng dây và chiều hƣớng ra xa vịng dây. Về độ lớn thì: EM 



dEn .

vòng



 là góc giữa dE và OM ). Điện trƣờng
Theo hình 1.4 ta có dEn  dE cos  (
gây bởi dQ tại M bằng:
dQ
dE  k 2
r
h
h
h
và cos   
nên: dEn  k
dQ .
2
2
2
r
(R  h 2 )3/2
R h
Do đó:

EM 



dEn  k

vòng

h
(R2  h 2 )3/2



dQ

vòng

hay

EM  k

hQ
(R2  h 2 )3/2

Nhận xét:
 Tại tâm vòng dây: h  0 , do đó EO  0 .
 Ở nơi khá xa vòng dây: h  R : r  h , EM  k



Q
.
h 2

 Nếu vòng dây tích điện âm (Q  0 ) thì E M có chiều hƣớng vào tâm O của vịng dây
và có độ lớn: EM  k

hQ

.
(R2  h 2 )3/2

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

15

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng mơn học: Vật lý đại cương A2

§3. ĐIỆN THƠNG
1. Đƣờng sức điện trƣờng
Để mơ tả dạng hình học của điện trƣờng
ngƣời ta dùng đƣờng sức điện trƣờng. Theo định
nghĩa, đƣờng sức điện trƣờng là một đƣờng cong
mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với

phƣơng của véctơ cƣờng độ điện trƣờng E tại
điểm đó, cịn chiều của nó là chiều của véctơ
cƣờng độ điện trƣờng (hình 1.5).

Hình 1.5 Đƣờng sức điện trƣờng.

Ngƣời ta qui ƣớc vẽ số đƣờng sức điện trƣờng qua một đơn vị diện tích đặt vng
góc với đƣờng sức tỉ lệ với độ lớn của cƣờng độ điện trƣờng tại điểm đang xét. Tập hợp
các đƣờng sức điện trƣờng đƣợc gọi là phổ đƣờng sức điện trƣờng hay điện phổ. Với qui
ƣớc đó, qua điện phổ nếu chỗ nào mật độ đƣờng sức lớn (dày) thì nơi đó điện trƣờng
mạnh, cịn nơi nào mật độ đƣờng sức nhỏ (thƣa) thì nơi ấy điện trƣờng yếu.




E

(a)

(b)

(d)

(c)

(e)

Hình 1.6 Điện phổ.

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

16

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng mơn học: Vật lý đại cương A2

Hình biểu diễn điện phổ của một điện tích điểm dƣơng (hình a), điện phổ của một
điện tích điểm âm (hình b), điện phổ của điện trƣờng đều (hình c), điện phổ của một hệ
hai điện tích điểm âm bằng nhau nhƣng trái dấu (hình d) và điện phổ của một hệ hai điện

tích điểm dƣơng bằng nhau (hình e).
Nhận xét:

Đƣờng sức điện trƣờng xuất phát từ điện tính dƣơng, tận cùng trên điện tích âm.

Đƣờng sức của điện trƣờng tĩnh là những đƣờng cong hở.

Các đƣờng sức điện trƣờng không cắt nhau vì tại mỗi điểm trong điện trƣờng



véctơ E chỉ có một hƣớng xác định.

2. Véctơ cảm ứng điện
Sự gián đoạn của đƣờng sức điện trƣờng



Ta biết rằng cƣờng độ điện trƣờng E phụ thuộc vào môi trƣờng (tỉ lệ nghịch với
hằng số điện mơi  ). Do đó khi đi qua mặt phân cách của hai môi trƣờng, cƣờng độ điện

trƣờng E biến thiên đột ngột nên điện phổ bị gián đoạn ở bề mặt phân cách hai mơi
trƣờng.

Hình 1.7 Sự gián đoạn của điện phổ.
Trên hình 1.7 là điện phổ của một điện tích điểm q đặt ở tâm một mặt cầu S, bên
trong S là chân không (   1 ), cịn bên ngồi S là mơi trƣờng có hằng số điện mơi
  2 . Ta thấy qua mặt phân cách S, số đƣờng sức giảm đi 2 lần, tức là điện phổ bị gián
đoạn trên mặt S. Sự gián đoạn này không thuận lợi cho các phép tính về điện trƣờng. Để
khắc phục điều này, ngƣời ta khử sự gián đoạn đó bằng cách đƣa vào một đại lƣợng vật

lý khác không phụ thuộc vào tính chất của mơi trƣờng đƣợc gọi là véctơ cảm ứng điện

D.
Trong môi trƣờng là đồng nhất, đại lƣợng:



D  oE

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

17

(1.14)
2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

đƣợc gọi là véctơ cảm ứng điện.



Ví dụ vectơ cảm ứng điện D do điện tích điểm q gây ra tại một điểm cách q một
khoảng r đƣợc xác định bởi:


D

q 

r
4r 3

Tại mỗi điểm trong điện trƣờng, giá trị D chỉ phụ thuộc vào q , tức là nguồn sinh ra điện
trƣờng mà khơng phụ thuộc vào tính chất của mơi trƣờng.
Tƣơng tự đƣờng sức điện trƣờng, ngƣời ta định nghĩa và mô tả điện trƣờng bằng
đƣờng cảm ứng điện. Khi đó, phổ các đƣờng cảm ứng điện là liên tục trên mặt phân cách
giữa các mơi trƣờng (hình 1.8).

Hình 1.8 Sự liên tục của phổ đƣờng cảm ứng điện.

3. Điện thơng
a. Định nghĩa
Điện thơng qua một điện tích S đặt trong điện trƣờng chính là thơng lƣợng của
véctơ cảm ứng điện gởi qua diện tích S đó.
b. Biểu thức điện thơng

Hình 1.9 Điện thơng của điện trƣờng đều.
Xét diện tích phẳng S đặt trong điện trƣờng đều có các đƣờng cảm ứng điện thẳng


song song cách đều nhau (hình 1.9). Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt S, n hợp với

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

18

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo

Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

véctơ cảm ứng điện một góc  . Theo định nghĩa, điện thơng e gởi qua mặt S là đại
lƣợng có trị số bằng số đƣờng cảm ứng điện gửi qua mặt S đó.
Gọi Sn là hình chiếu của S lên phƣơng vng góc với các đƣờng cảm ứng điện. Từ
hình Hình9 ta thấy số đƣờng cảm ứng điện gửi qua hai mặt S và Sn là nhƣ nhau, nên điện
thông gửi qua S cũng chính là điện thơng gởi qua Sn. Do đó:

e  DSn
(1.15)


Gọi Dn là hình chiếu của D lên phƣơng n và Sn  S cos  nên:

(1.16)
e  DS cos   DnS  DS


trong đó S là vectơ diện tích hƣớng theo pháp tuyến n của S và có độ lớn bằng diện tích
S đó.
Nếu điện trƣờng là bất kỳ và mặt S có hình dạng tùy ý (hình 10) thì ta chia diện

tích S thành những diện tích vơ cùng nhỏ dS sao cho vectơ cảm ứng điện D tại mọi
điểm trên diện tích dS có thể xem là bằng nhau. Khi đó điện thơng vi phân gởi qua dS
đƣợc tính theo (1.16) là:

 
de  DdS

Điện thơng gửi qua tồn mặt S là:

e 

 de 
S



(1.17)

 
DdS

(1.18)

S

Hình 1.10 Điện thơng qua diện tích dS.
Chú ý: Điện thông là một đại lƣợng đại số, dấu của nó phụ thuộc vào trị số của góc 
(nhọn hay tù).

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

19

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng mơn học: Vật lý đại cương A2

§5. ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATXKI - GAUSS (O - G)
1. Thiết lập định lý

Hình 1.11 Điện thơng qua mặt kín S.
Xét một điện tích điểm dƣơng q đặt cố định tại điểm O. Điện tích q tạo ra một trƣờng
tĩnh điện xung quanh nó. Tƣởng tƣợng một mặt cầu S (tâm O, bao quanh q ) có bán kính

r . Qui ƣớc chiều dƣơng của pháp tuyến n trên mặt cầu hƣớng ra ngồi. Vì lý do đối
xứng nên:



 Vectơ D có độ lớn nhƣ nhau tại mọi điểm trên mặt cầu S.





 D  n nên D  Dn .
Điện thông qua mặt cầu S là:

 
e   DdS   Dn .dS  D  dS  D.S



(S )

Với S  4r 2 ; D  0E 

(S )

q
4r 2
e 

(1.19)

(S )

. Do đó:

q
4r

2

.4r 2  q  0

Ta thấy rằng điện thông là dƣơng khi đƣờng sức đi ra khỏi mặt kín S. Khi q  0



thì D  dS nên:

e  D.S  

q
4r

2

.4r 2   q  q  0

Điện thơng là âm vì đƣờng sức đi vào mặt kín S.
Nhận xét:
 e khơng phụ thuộc vào r , nghĩa là điện thông là nhƣ nhau đối với các mặt cầu có
bán kính khác nhau.
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

20

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

 Nếu S là mặt kín có hình dạng bất kỳ bao quanh điện tích q thì kết quả thu đƣợc vẫn
khơng đổi.
 Nếu S khơng bao quanh q thì e  0 vì số đƣờng cảm ứng điện đi vào S bằng với số
đƣờng cảm ứng điện đi ra khỏi S.
 Nếu bên trong S có nhiều điện tích thì điện thông qua S bằng tổng đại số các điện
thông thành phần:

 

D.dS   qi


i

(S )

2. Phát biểu định lý
“Điện thơng qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích nằm trong mặt kín đó”.

e 

 

D.dS   qi



(1.20)

i

(S )

3. Ứng dụng định lý O-G
Khi gặp các bài tốn mà điện trƣờng có tính đối xứng cao nhƣ: đối xứng cầu, đối


xứng trụ, đối xứng phẳng, để tính E hoặc D ta sử dụng định lý O-G theo trình tự sau:



 Xác định các yếu tố đối xứng của hệ để từ đó có thể suy ra đƣợc hƣớng của vectơ E


(hoặc D ) ở mỗi điểm và sự biến thiên của nó.

 Chọn một mặt kín – gọi là mặt Gauss – chứa điểm mà ở đó ta cần xác định vectơ E

(hoặc D ). Chú ý chọn mặt kín sao cho nó có tính đối xứng cao.
 Tính điện thơng e qua mặt Gauss theo cơng thức (1.19), sau đó áp dụng cơng thức
của định lý Ostrogradski – Gauss, ta sẽ đƣợc biểu thức liên hệ giữa cƣờng độ điện
trƣờng E và điện tích của hệ.
Bài tốn ví dụ 1:

Xác định cƣờng độ điện trƣờng E gây bởi một
khối cầu rỗng tâm O, bán kính R, tích điện đều với mật
độ điện khối   0 tại một điểm ở bên ngoài và tại một
điểm ở bên trong khối cầu đó.
Bài giải
Để có thể áp dụng định lý O-G, ta thực hiện theo
trình tự nhƣ đã nêu ở trên:
- Vì khối cầu có tính đối xứng tâm nên các vectơ

D sẽ có phƣơng xuyên tâm và vng góc với mặt cầu
tại mỗi điểm. Do đó ta có Dn  D  const .
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

21

Nr

R
r

M

0

Hình 1.12 Khối cầu tích điện.

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

- Chọn một mặt cầu S đi qua điểm cần tính cƣờng độ điện trƣờng và đồng tâm với
khối cầu tích điện.
- Tính điện thơng theo cơng thức (1.19):

 
e   D.dS  Dn  dS  Dn .4r 2


S

Áp dụng định lý O – G: e 

q
i

S

i

, ta đƣợc:

Dn .4r 2   qi  Q
i

+ Trƣờng hợp r  R : trong mặt S khơng có chứa điện tích, do đó Q  0 nên:
+ Trƣờng hợp r  R :

Dn  0

 E 0

4
Dn .4r 2   qi  Q   R 3
3
i
Suy ra:

R3
D 2
3r

(1.21)

D
R3
E

o 
3o r 2

(1.22)

và:

Kết luận: Đối với những điểm bên trong mặt cầu mang điện đều, điện trƣờng tại đó bằng
khơng. Cịn đối với những điểm bên ngoài mặt cầu, điện trƣờng tại đó giống hệt điện
trƣờng gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm mặt

cầu đó.
D
Bài tốn ví dụ 2:
Xác định điện trƣờng của một mặt phẳng vô hạn tích
điện đều với mật độ điện mặt   0 .



n2


n1

M

S

Bài giải
- Vì tính chất vơ hạn của mặt tích điện và sự phân
bố đều điện tích nên điện trƣờng do nó gây ra là điện
trƣờng đều; có vectơ cảm ứng điện vng góc với mặt

tích điện.



+

- Để xác định véctơ cảm ứng điện D tại một điểm
M, ta vẽ mặt kín S (mặt Gauss) nhƣ sau: Vẽ qua M
một mặt trụ kín mà điểm M thuộc vào một trong hai

Hình 1.13 Mặt phẳng vơ hạn
tích điện.

Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo

22


Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

mặt đáy có diện tích là S , cả hai mặt đáy cùng song song và cách đều mặt phẳng tích
điện, cịn các đƣờng sinh thì vng góc với mặt phẳng (hình 1.13).
- Áp dụng công thức (1.19):

 
D.dS 



(S )




Dn .dS 

mặt bên




Dn .dS

hai đáy



Với hai mặt đáy, ta có D  n1 nên Dn  D  const ; còn với mặt bên thì


D  n2 , Dn  0 . Do đó:
 
D.dS   Dn .dS  D.2S



hai đáy

(S )

Điện tích trong mặt trụ là :

q
i

i

 .S . Theo định lý O-G ta đƣợc:

D.2S  .S
Suy ra:

D

D


và E 

2
o  2o 

(1.23)

Nhận xét:


 Các vectơ D và E không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nên


điện trƣờng ở đây là điện trƣờng đều: E  const .
 Điện trƣờng do mặt phẳng hữu hạn tích điện đều tạo ra ở những vị trí rất gần mặt đó
cũng đƣợc xem nhƣ là đều. Nếu mặt phẳng tích điện âm thì kết quả thu đƣợc cũng


nhƣ vậy song các vectơ D và E lại hƣớng vào mặt phẳng tích điện.

4. Dạng vi phân của định lý O – G
Định lý O-G đƣợc biểu diễn theo công thức (1.20) nêu lên mối quan hệ giữa cảm



ứng điện D tại những điểm trên mặt kín S với các điện tích q i phân bố rời rạc trong thể
tích V giới hạn bởi mặt kín S đó.
Nếu điện tích trong thể tích V đƣợc phân bố liên tục với mật độ điện tích khối


(x, y, z ) thì mối liên hệ giữa vectơ D tại một điểm bất kỳ (x, y, z ) trong điện trƣờng
với mật độ điện tích khối  cũng tại điểm đó đƣợc mơ tả bằng định lý O – G dạng vi
phân là:


div D  

(1.24)

với toán tử div đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ Đềcác nhƣ sau:



Dy Dz
Dx
div D 


x
y
z
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

23

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo


Bài giảng mơn học: Vật lý đại cương A2

§6. CƠNG CỦA LỰC TĨNH ĐIỆN - ĐIỆN THẾ
1. Công của lực tĩnh điện
Xét điện tích điểm q đặt trong điện trƣờng tĩnh gây bởi điện tích điểm Q đứng
yên. Dƣới tác dụng của lực tĩnh điện (lực Coulomb)
điện tích q di chuyển theo một đƣờng cong MN
(hình 1.14). Ta sẽ tính cơng của lực tĩnh điện sinh ra
trong q trình dịch chuyển này.
Giả sử ở thời điểm t điện tích q có vị trí là
điểm A trên quỹ đạo MN. Tại đó véctơ cƣờng độ
điện trƣờng của trƣờng tĩnh điện (do điện tích Q



tạo ra) xác định bởi E  k

Q 
r , còn lực tĩnh điện
r 3

tác dụng lên điện tích q sẽ là:



qQ 
F  qE  k 3 r
r
Sau thời gian dt , điện tích q thực hiện

Hình 1. 14 Điện tích điểm +q dịch
chuyển trong điện trƣờng của điện
tích điểm +Q.

chuyển dời vơ cùng nhỏ tới điểm B trên quỹ đạo.

 
Véctơ dịch chuyển ds  AB . Trên chuyển dời vơ cùng nhỏ này có thể xem nhƣ



E  const , do đó cơng ngun tố của lực tĩnh điện F trong chuyển dời vi phân này

đƣợc tính là:

 
 
qQ  
qQ
dA  F .ds  qE .ds  k 3 r .ds  k 3 .r .ds.cos 
r
r

hay:

dA  k

qQ
ds.cos 
r 2

Mặt khác, từ hình vẽ ta có thể xem B’B = dr  AA’ = ds.cos  , nên

dA  k

qQ
dr . Vậy công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển của điện tích q từ M
r 2

đến N sẽ bằng:
N

AMN

qQ

  dA  k

M

N

dr

r

2

M

hay:
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể

24

2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo