Bài toán lăng trụ đứng biết chiều cao và cạnh đáy LTĐH

Bài 01: Lăng trụ đứng biết cạnh đáy hoặc chiều cao – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 3


BÀI 01: LĂNG TRỤ ĐỨNG BIẾT CHIỀU CAO HOẶC CẠNH ĐÁY

I. Các chú ý cần nhớ:
1. Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đa giác đều.
2. Phân biệt lăng trụ tam giác đều và lăng trụ có đáy là tam giác đều:
- Giống nhau: Đều có 2 đáy là các tam giác đều.
- Khác nhau: Lăng trụ tam giác đều phải là lăng trụ đứng còn lăng trụ có đáy là
tam giác đều có thể là lăng trụ xiên.
II.Các ví dụ minh họa:
1. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ co đáy ABC là tam giác đều cạnh a = 4. Diện
tích tam giác A’BC là 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Giải
Ta có
2
. ' ' '
3
AA'. AA'.
4
ABC A B C ABC
a
V S= =


Trong tam giác A’AM (M là trung điểm của BC) ta có:

2 2

AA ' '
A M AM
= −

mà
'
2
2.8
' 4
4
A BC
S
A M
BC
= = =



2
2
4 3
AA' 4 2
2
h
 
⇒ = = − =
 
 
 

. ' ' '
2.4 3 8 3
ABC A B C
V⇒ = =

2. Ví dụ 2
: Cho l
ă
ng tr
ụ
ABC.A’B’C’ có
đ
áy là tam giác vuông AB = AC = a.
AA' 2
a
=
. M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AA’. Tính th
ể
tích hình chóp
MA’BC’.
Giải:

Ta có:

' ' ' ';AA ' ' '
C A A B A C
⊥ ⊥

Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3

(
)
(
)
' ' ' ' '
A C ABB A MA B
⇒ ⊥ ≡


' ' '
1
' '.
3
MA BC MA B
V A C S⇒ =


Mà
2
' ' ' '

1 1 . 2 2
2 4 4 4
MA B A BA A B BA
a a a
S S S= = = =
  

Và h = A’C’ = a nên ta có:
2 3
1 2 2
. .
3 4 12
a a
V a= =

3. Ví dụ 3: (ĐH – Khối D – 2009)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a,
A’C = 3a. M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C’. Tính thể tích
hình chóp IABC theo a.
Giải:
Trong (A’C’CA) dựng IH // AA’ (H thuộc AC)
=>
(
)
(
)
' ; / / '
A A ABC IH A A IH ABC
⊥ ⇒ ⊥

1
.
3
IABC ABC
V IH S
⇒ =


Xét hình ch
ữ
nh
ậ
t A’C’CA ta có:

' 2 ' 1 ' 1
;
' 3 ' 2 ' 3
A I A O A I
A O A C A C
= = ⇒ =


2 2 4
AA'
' 3 AA ' 3 3
CI IH a
IH
CA
⇒ = = ⇒ = =

M
ặ
t khác trong tam giác A’AC ta có:

2 2 2 2
' AA' 9 4 5
AC A C a a a
= − = − =
mà
2 2 2 2
5 2
BC AC AB a a a
= − = − =


3
2 2
.
1 1 1 4 4
. .2 . .
2 2 3 3 9
ABC I ABC
a a
S BC BA a a a V a⇒ = = = ⇒ = =


3. Ví dụ 4
: Cho l
ă

ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’ có các c
ạ
nh là a. E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, mp
(A’B’E) c
ắ
t BC t
ạ
i F. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp CA’B’FE.
Giải:

Ta có:
(
)
(
)
(

)
(
)
' ' ; ; ' ' ' ' ; / / ' '
E d A B E ABC AB ABC A B A B E AB A B
∈ = ∩ ⊂ ⊂

Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3

/ /
E d AB
⇒ ∈

Trong tam giác ABC dựng đường thẳng đi qua E và song
song với AB cắt BC tại F
(
)
' '
A B E BC F
⇒ ∩ =

• (Cách 1: Dùng tỉ số thể tích)
Đặt
' ' ' '
1 ' ' 2 'EF ' ' 1 2
; ; '
CA B E CB CA B FE
V V V V V V V V

= = = = +

Và
1 ' ' 2 ' ' ' 1 2
; ;
CA B A CB AB CAA B B
V V V V V V V V
= = = = +
1 2
2
V
V V
⇒ = =

Áp d
ụ
ng CT t
ỉ
s
ố
th
ể
tích ta có:

'
'
1 1
1
1
' ' 1

. .
' ' 2 2 4
V CA CB CE V V
V
V CA CB CA
= = ⇒ = =

và
'
'
2 1
1
2
' 1 1 1
. . .
' 2 2 4 4 8
V CB CE CF V V
V
V CB CA CB
= = = ⇒ = =
' 1 1 3 3
'
4 8 8 8
V
V V
V
⇒ = + = ⇒ =

Mà
3 3 3

2
' ' . ' '
1 1 3 3 3 3 3
. . . .
3 3 2 6 8 6 16
A B BA C A B FE
a a a a
V CH S a V= = = ⇒ = =


•
(Cách 2: Dùng phân chia kh
ố
i
đ
a di
ệ
n)
Ta có:
2 3
' ' 'EF ' ' 'EF EF
1 1 1 3 3
; AA'. . . .
3 3 4 3 4 4 48
CA B FE A C CFA B A C C ABC
a a a a
V V V V S S= + = = = =
 

3
3
' ' ' '
1 1 3 1 1 3 1 1 3
' . . . . . .
3 3 2 2 3 2 2 2 24
CFA B B FC B BC
a a a
V A J S S a= = = =
 

V
ậ
y
3 3 3
' ' ' EF ' '
3 3 3
48 24 16
CA B FE A C CFA B
a a a
V V V= + = + =


====================Hết===================



Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn: Hocmai.vn