bài tập hình chóp tứ giác đều

Bài 01: Hình chóp tứ giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI 01: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU.

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A
1
, B
1
, C
1
sao
cho:
1
2
3
SA
SA
=
;
1 1
2
SB
SB
=
;
1 1
3
SC
SC
=

. Mặt phẳng qua A
1
, B
1
, C
1
cắt SD tại D
1
. CMR:
1 2
5
SD
SD
=

Giải:
Ta có V.SABC = V.SBCD + V.SCDA = V.SDAB =
2
V


1 1 1 1 1 1 1
. .
9
V
SA B C SA SB SC
VSABC SA SB SC
= =
(1)

1 1 1 1 1 1 2 1
. . .
9
V
SA D C SA SD SC SD
VSADC SA SD SC SD
= =
(2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được

1 1 1 1 1 2 1
.
1 9 9
2
V
SA B C D SD
SD
V
= +
(3)
Tương tự:
1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
3
V
SA B D SA SB SD SD
VSABD SA SB SD SD
= =
(4) và
1 1 1 1 1 1 1 1

. . .
6
V
SB C D SB SC SD SD
VSBCD SB SC SD SD
= =
(5)
Cộng vế với vế (4) và (5) ta được
1 1 1 1 1 1
.
1 2
2
V
SA B C D SD
SD
V
=
(6)
Từ (3) và (6) ta có
1 1 1 2 1
. .
2 9 9
SD SD
SD SD
= +
⇒
1 2
5
SD
SD

=

Bài 2: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài
bằng a . Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải:
Dựng SO
⊥
(ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD
⇒
ABCD là hình thoi có đường tròn
ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA
2
+ SB
2
= AB
2
+BC
2
= AC
2
nên
ASC

vuông tại S
2
2
a

OS⇒ =

Bài 01: Hình chóp tứ giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3

⇒

3
2
1 1 2 2
.
3 3 2 6
ABCD
a a
V S SO a= = =

Vậy
3
2
6
a
V =

Bài 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng
)(
α
qua A, B và trung điểm M của SC .
Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Giải:
Kẻ MN // CD (N

)SD
∈
thì hình thang ABMN là
thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(ABM).
+
SABCDSADBSANB
SADB
SAND
VVV
SD
SN
V
V
4
1
2
1
2
1
==⇒==



SABCDSBCDSBMN
SBCD
SBMN
VVV
SD
SN

SC
SM
V
V
8
1
4
1
4
1
2
1
.
2
1
. ==⇒===

Mà V
SABMN
= V
SANB
+ V
SBMN
=
SABCD
V
8
3
.
Suy ra V

ABMN.ABCD
=
SABCD
V
8
5
. Do
đ
ó :
5
3
.
=
ABCDABMN
SABMN
V
V

Bài 4:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD,
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên t

ạ
o v
ớ
i
đ
áy góc 60
0
.
G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m SC. M
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua AM và // v
ớ
i BD, c
ắ
t SB t
ạ
i E và c
ắ
t SD t
ạ

i F.

a)

Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
b)

Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AEMF
Giải:

a)
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V S SO
=
v
ớ
i
2

DABC
S a
=

+
SOA

có :
6
.tan 60
2
a
SO AO
ο
= =

V
ậ
y :
3
. D
6
6
S ABC
a
V =

b) Phân chia chóp t
ứ
giác ta có

Bài 01: Hình chóp tứ giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 3

. EMF
S A
V
= V
SAMF
+ V
SAME
=2V
SAMF

.
S ABCD
V
= 2V
SACD
= 2 V
SABC

Xét kh

ố
i chóp S.AMF và S.ACD
1
2
SM
SC
⇒ =


SAC
∆
có tr
ọ
ng tâm I, EF // BD nên
2
3
SI SF
SO SD
⇒ = =
D
1
.
3
SAMF
SAC
V
SM SF
V SC SD
⇒ = =

3
D D
1 1 6
3 6 36
SAMF SAC SAC
a
V V V⇒ = = =


3 3
. EMF
6 6
2
36 18
S A
a a
V⇒ = =


==================Hết==================

Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn: Hocmai.vn