Bài toán hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy LTĐH

Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4

BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Trước hết thầy xin nói lại rằng phương pháp xác định chiều cao trong hình chóp tứ giác có cạnh
bên vuông góc với đáy không khó khăn gì. Cũng như trong hình chóp tam giác có cạnh bên vuông
góc với đáy thì chiều cao của hình chóp lúc này chính là cạnh bên đó. Vấn đề xác định chiều cao đã
xong. Thầy chỉ muốn lưu ý các em việc tính diện tích đáy. Khi tính diện tích đáy, các em cần phát
hiện một số điểm chú ý trong hình học phẳng mà quan trọng hơn cả đó là các tính chất của các loại
tứ giác đặc biệt: Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc, hình thang (thang vuông, thang cân), hình bình
hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông. Sau đây thầy xin nêu lên một số ví dụ minh chứng cho
tầm quan trọng của đáy khi tính thể tích.
1. Ví dụ 1: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
2
, SA = a.
SA
⊥
(ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM
∩ AC.

Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải:
- Phát hiện yếu tố: Ta thấy đáy ABI trùng với ABCD mà có
SA
⊥
(ABCD) nên để xác định chiều cao trong (SAC) chỉ
cần kẽ đường thẳng qua N song song với SA nó chính là SO
(O là tâm hình chữ nhật ABCD vì ON là đường trung bình
trong tam giác SAC).
- Ta có:

( ) ( )
( )
2 2
/ /
ABI
SA a
SA ABCD ABI
h NO
NO ABI
NO SA
B S

⊥ ≡
= = =
 
⇒ ⊥ ⇒
 



=



-

Xét tam giác ABI. Trong hình ch
ữ
nh

ậ
t ABCD. D
ự
ng
đ
t qua I
song song v
ớ
i AM c
ắ
t AB t
ạ
i P và MO
ở
Q. Ta th
ấ
y 2 tam giác
đồ
ng d
ạ
ng là:
∆AIB và ∆OIM nên:
2 2 1 2
2 2
3 3 3 3
PI AB a
PI IQ PQ AM AD
QI MO
= = ⇒ = = = = =

Vậy
2 2 3
.
1 1 2 2 1 2 2
. . . . .
2 2 3 6 3 2 6 36
ABI N ABI
a a a a a
S PI AB a V= = = ⇒ = =


Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
2. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có tâm O. Cạnh bên SA = a
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. I là giao điểm của SC với
(AMN). Tính thể tích khối chóp MABI.
Giải:
- Cách dựng giao điểm của SC với (AMN):
+ Trong (SBD) gọi
MN SO P
∩ =

+ Trong (SAC)
{
}
(
)
SC AP I SC AMN I
∩ = ⇒ ∩ =

- Phát hiện yếu tố: Ta thấy (AMN) trùng với (SAB) mà
(
)
BC SAB
⊥ ⇒
Trong tam giác SBC dựng IH // BC (H
thuộc SB). Khi đó IH chính là chiều cao của hình chóp
I.ABM.
- Tính IH: Do MN là đường trung bình của ∆SBD nên P là trung điểm của
SO. Xét tam giác SAC như hình vẽ. Gọi K là giao điểm của đường thẳng
AI với đường thẳng qua S song song với AC. Ta thấy SKOA là hình CN
và SKCO là hbh.
Khi đó:
( )
PS PO
I
LK LO L KO SC
=


⇒

= = ∩


là trọng tâm ∆SKO nên:
2
2 1 1
3

.
1
3 2 3
2
SI
SI
SL
SL
SC
SC

=


⇒ = =


=


mà trong tam giác SBC lại có IH // BC nên
1
3 3 3
IH SI BC a
h IH
BC SC
= = ⇒ = = =

-

Tính B = S.
∆
ABM: Do M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SB nên
2
1 1 1
. .
2 2 2 4
ABM SAB
a
S S a a= = =
 

-

V
ậ
y
2 3
.
1 1
. . .
3 3 3 4 36
I ABM ABM
a a a

V IH S= = =


3. Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a. Đáy ABCD là
hình bình hành có AB=b, BC=2b,
0
60
ABC =

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SD. Tính
thể tích khối tứ diện AMNC theo a, b.
Giải:
Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
- Phát hiện yếu tố: Ta thấy (AMC) trùng với (ABCD) mà
(
)
SA ABCD
⊥ ⇒
Trong (SAD) NH // SA (H thuộc AD).
Vậy NH là chiều cao.
2 2
SA a
NH
= =

-

Tính B = S

∆
AMC: Ta thấy M là trung điểm của BC nên:
2
0
1 1 1
. . . sin
2 2 2
1 3
. .2 .sin 60
4 4
AMC ABC
S S AB BC ABC
b
b b
= =
= =
 


- Vậy
2 2
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 4 24
N AMB AMC
a b ab
V NH S= = =


4. Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy
ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x. Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ
diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
Giải:
- Phát hiện yếu tố: Vấn đề của bài này là xác định diện tích
đáy. Vì chiều cao của nó đã có sẵn. Để xác định diện tích
đáy cần biết được vị trí của H trên đáy ABCD.
- Ta thấy:
(
)
(
)
( )
SA BM SA ABCD
BM SAH SH BM
SH BM

⊥ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥



- Tính B = S
∆
AHB: Ta có:
HAB MBC
=

 
( Cùng phụ với
ABM

)
( )
2 2
2 2
2
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
os os
x
sin sin
cos
1 1 x
. . .sin .
2 2
2
AHB
a
c HAB c MBC
a x
HAB MBC
a x
a
AH AB HAB
a x

a a x
S AH AB HAB
a x
a x a x

= =

+

⇒


= =

+

⇒ = =
+
⇒ = = =
+
+ +

 
 



Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4

- Vậy
( ) ( )
3 2
2 2 2 2
1 1
. .
3 3
2 6
SABH ABH
a x a x
V SA S a
a x a x
= = =
+ +

.

-
Tìm x để V Max:
Áp d
ụ
ng B
Đ
T Côsi ta có.

4 3
2 2
2
12ax 12
SABH

a x a
a x ax V+ ≥ ⇒ ≤ =
.
V
ậ
y
3
ax
12
M
a
V x a
= ⇔ =
hay M trùng D.
5. Ví dụ 5:
Cho hình chóp SABCD có
đ
áy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB=4a, CD=8a,
0
60
ADC =

. Cho SD = a và
(
)
SD ABCD
⊥
. M
ặ
t ph

ẳ
ng (
α
)
đ
i qua AB và trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a SC c
ắ
t
SD t
ạ
i N. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABMN.

Giải:
- Cách xác định giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM):
Ta thấy
(
)
(
)
( )

( )
( ) ( )
/ / / /
/ /
SDC MAB M
AB MAB M d SDC MAB
d AB CD
DC SDC
AB CD
∩ =


⊂ ∈ = ∩
 
⇒
 
⊂






Trong (SCD) dựng MN // CD ( N thuộc SD) ta thấy N chính là giao
điểm cần tìm.
- Đặt:
'
1
'
1

1
1
'
2
2
2
2
1
2
;
'
1 1 1
. .
2 2 4
SABN
SABD
SBCD
SBMN
V
SN
V V
V V
V SD
V V
V SN SM
V V
V SD SC

= =



=
=

 
⇒
  
=
=

 

= = =



( )
' '
1 . .
2
2 3
0
1 1 1 1 1
' D
2 4 3 2 4
8 4
1 1 1 1 3 4 3
. tan 60 .4 .8 .4
3 2 2 2 4 3 3
S ABD S BCD ABD BCD

V V V V V S S S
a a
a a
a a a a
 
⇒ = + = + = +
 
 
− 
 
= + = =
 
 
 
 
 


==================Hết================
- Giáo viên: Trịnh Hào Quang
- Nguồn : Hocmai.vn