bài toán GTNN - GTLN của hàm số

Bài 06: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Bài 1:
3 2
3 7 1
y x x x
= − − +
trên ñoạn
[
]
0;2

Giải:
Ta có:
[ ]
2
1
' 0 9 2 7 0
9
0;2
7
x
y x x
x
=



= ⇔ − − = ⇔

= − ∉


Và ta có:
(1) 4
(0) 1
(2) 7
f
f
f
= −


=


=


V
ậ
y
à 7 2
à 4 1
GTLN l x
GTNN l x
⇔ =



− ⇔ =



Bài 2:

4
1
2
y x
x
= − + −
+
trên
ñ
o
ạ
n
[
]
1;2
−


Giải:


Ta có:

( )
[
]
2
4 1;2
4
' 0 1 0
0
2
x
y
x
x
 = − ∉ −
= ⇔ − + = ⇔

=
+


Và ta có:
( 1) 2
(0) 1
(2) 2
f
f
f
− = −



= −


= −


V
ậ
y
à 1 0
1
à 2
2
GTLN l x
x
GTNN l
x
− ⇔ =


= −


− ⇔


=



Bài 3:

( )
2
2 4
y x x
= + −


Giải:
T
ậ
p xác
ñị
nh
[
]
2;2
D = −
Ta có:
(
)
2 2
2
2
2
' 4 0 2 0
1
4
x

x x
y x x x
x
x
= −
+

= − − = ⇔ + − = ⇔

=

−

Ta có:
( 2) 0
à 3 3 1
(1) 3 3
à 0 2
(2) 0
f
GTLN l x
f
GTNN l x
f
− =



⇔ =


=
⇒
 
⇔ = ±



=



Bài 06: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 3
Bài 4:

2
(3 ) 1
y x x
= − +
trên
[
]
0;2


Giải:

Ta có:

[ ]

2 2
2
1
(3 )
' 1 0 2 3 1 0
1
0;2
1
2
(1) 2 2
à 3 0
(0) 3
à 5 2
(2) 5
x
x x
y x x x
x
x
f
GTLN l x
f
GTNN l x
f
=

−

= − + + = ⇔ − + = ⇔


= ∉
+


=
⇔ =



⇒ = ⇒
 
⇔ =



=


Bài 5:
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
( )

2
4 2 1
f x x x x
= + + +


Giải:
G
ọ
i
y
0
là 1 giá tr
ị
c
ủ
a hàm
f
(
x
)

⇒
t
ồ
n t
ạ
i
x
0

sao cho
2
4 2 1
0 0 0 0
y x x x
= + + +


⇔

2 2 2 2
4 2 1 2 4 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
y x x x y y x x x x
− = + + ⇒ − + = + +


⇔

(
)

0
g x
=
2 2
3 2(1 ) 1 0
0 0 0 0
x y x y
+ + + − =

. Ta có
g
(
x
) = 0 có nghi
ệ
m
x
0


⇔

∆′
=
2 2 2
(1 ) 3(1 ) 2(2 1)
0 0 0 0
y y y y
+ − − = + −
=
2( 1)(2 1) 0
0 0
y y
+ − ≥

Do

0
y

=
2 2 2
3 ( 1) 3 3 0
0 0 0 0 0 0 0
x x x x x x x
+ + + ≥ + = + ≥
nên
∆′ ≥ 0 ⇔ 2y
0
− 1 ≥ 0 ⇔
0
1
2
y
≥
. Với x =
1
2
−
thì Minf(x) =
1
2

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
4
y x x
= + −

Giải:

Cách 1: Tập xác ñịnh
[
]
2; 2
D = −
;

2
2
1 ; 0 4
4
x
y y x x
x
′ ′
= − = ⇔ = −
−


0
2
2 2
4
x
x
x x






≥
⇔ ⇔ =
= −
⇒
max 2 2

min 2
y
y





=
= −

Cách 2: ðặt
2sin , ;
2 2
x u u
 
 
 
π π
= ∈ −

⇒
( )

(
)
2 sin cos 2 2 sin 2;2 2
4
y u u u
 
 
π
= + = + ∈ − ;
max 2 2 ; min 2
y y
= = −

Bài 06: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 3 of 3
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
( )
3
6 2
4 1y x x= + −
trên ñoạn
[
]
1;1
−

Giải:
ðặt
[ ]
2

0;1
u x= ∈
. Ta có

( )
3
3 3 2
4 1 3 12 12 4
y u u u u u
= + − = − + − +


[ ]
2
2
9 24 12 0 0;1 ; 2 1
1 2
3
y u u u u
′
= − + − = ⇔ = ∈ = >

Nhìn bảng biến thiên ta có
4
max 4;min
9
y y
= =

………………….Hết………………

Nguồn:
Hocmai.vn