Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn toán ở tiểu học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.5 MB, 77 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------------
CÙ THỊ THU HUYỀN
HỆ THỐNG GHI SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI
MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ
PHÉP TÍNH TRONG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Giáo dục Tiểu học
Phú Thọ, 2020
TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------------
CÙ THỊ THU HUYỀN
HỆ THỐNG GHI SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI
MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ
PHÉP TÍNH TRONG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Giáo dục Tiểu học
NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH
Phú Thọ, 2020
i
LỜI CAM ĐOAN
Kết quả nghiên cứu đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội
dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn Tốn ở Tiểu học” là thành
quả của việc tự tìm hiểu, tự nghiên cứu dƣới sự chỉ bảo của giáo viên hƣớng
dẫn và tham khảo những tài liệu có liên quan.
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng
với đề tài của tác giả nào khác. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong
luận án này là trung thực.
Phú Thọ, ngày…tháng…năm 2020
Ngƣời viết
Cù Thị Thu Huyền
ii
LỜI CẢM ƠN
Đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ
đề số và phép tính trong mơn Tốn ở Tiểu học” hồn thành là kết quả quá
trình học tập, nghiên cứu của ngƣời thực hiện cùng với sự hƣớng dẫn tận tình
của q thầy, cơ và sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè, đồng nghiệp.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Tiến Mạnh, ngƣời đã
tận tình hƣớng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành khóa
luận. Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng,
ban lãnh đạo khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, cùng toàn thể các thầy cô
trong khoa đã rất quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tơi xin tỏ lịng biết ơn tồn thể gia đình, ngƣời thân, bạn bè đã
luôn ủng hộ, động viên để tơi hồn thành tốt khóa luận của mình.
Mặc dù bản thân đã cố gắng, nỗ lực để hoàn thành, song do thời gian và
năng lực có hạn nên khóa luận cịn nhiều hạn chế, thiếu sót. Tơi kính mong
nhận đƣợc sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hồn
thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Phú Thọ, ngày…tháng…năm 2020
Ngƣời viết
Cù Thị Thu Huyền
iii
CÁC KÍ HIỆU
Trong cuốn luận văn này ta sử dụng các kí hiệu sau:
Tập các số thực đƣợc ký hiệu là
.
Tập các số hữu tỉ đƣợc ký hiệu là
Tập các số nguyên đƣợc ký hiệu là
Tập các số tự nhiên đƣợc ký hiệu là
.
..., 2, 1, 0,1, 2,... .
1, 2,3,... .
Tập các số nguyên dƣơng đƣợc ký hiệu là
hoặc
.
iv
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
4.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 3
4.1. Đối tƣợng ................................................................................................... 3
4.2. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn....................................................................... 4
6.1. Ý nghĩa khoa học ....................................................................................... 4
6.2. Ý nghĩa thực tiễn ........................................................................................ 4
7. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................... 4
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... 5
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................... 5
1.1. Hàm phần nguyên ....................................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm về phần nguyên ...................................................................... 5
1.1.2. Các tính chất cơ bản của phần nguyên .................................................... 6
1.1.3. Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên .............................. 10
1.2. Phép chia Euclid ....................................................................................... 15
1.2.1. Phép chia hết và chia có dƣ ................................................................... 15
1.2.2. Thuật tốn Euclid .................................................................................. 16
1.3. Chuỗi số.................................................................................................... 17
1.3.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 17
1.3.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ..................................................................... 18
1.3.3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ........................................................... 18
1.3.4. Tính chất của chuỗi số hội tụ………………………………………….19
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ............................................................................... 22
Chƣơng 2. HỆ THỐNG GHI SỐ ................................................................. 23
2.1. Biểu diễn số tự nhiên trong hệ cơ số g ..................................................... 23
2.1.1. Công thức và phƣơng pháp biểu diễn ................................................... 23
2.1.2. Chuyển cơ số ......................................................................................... 26
2.1.3. So sánh các số tự nhiên trong hệ cơ số g .............................................. 27
2.2. Các phép tính trong hệ cơ số g ................................................................. 29
v
2.3. Dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số g ........................................................... 34
2.3.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ................................................................. 34
2.3.2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25 ............................................................... 35
2.3.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 ................................................................. 35
2.3.4. Dấu hiệu chia hết cho 11 ....................................................................... 36
2.4. Liên hệ với hàm số mũ, lôgarit ................................................................ 37
2.4.1. Liên hệ với hàm số mũ .......................................................................... 37
2.4.2. Liên hệ với hàm số lôgarit .................................................................... 39
2.5. Biểu diễn số thực trong hệ cơ số g ........................................................... 42
2.5.1. Công thức biểu diễn .............................................................................. 42
2.5.2. Một số vấn đề về số thập phân .............................................................. 46
2.5.3. So sánh các số thực trong hệ cơ số g .................................................... 48
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ............................................................................... 50
Chƣơng 3. MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ
NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MƠN
TỐN Ở TIỂU HỌC .................................................................................... 51
3.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các phép toán .............................. 51
3.1.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép cộng và phép trừ ................. 51
3.1.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép nhân và phép chia ............... 55
3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các dấu hiệu chia hết ................... 55
3.2.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 ......................................................................... 55
3.2.2. Dấu hiệu chia hết cho 5 ......................................................................... 57
3.2.3. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 .............................................................. 59
3.2.4. Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 ............................................................ 61
3.2.5. Dấu hiệu chia hết cho 11 ....................................................................... 61
3.2.6. Dấu hiệu chia hết cho một số bất kì ...................................................... 62
3.3.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo khối lƣợng ................... 63
3.3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo kích thƣớc ................... 64
3.3.3. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo thời gian ...................... 66
3.3.4. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo thông tin ...................... 66
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ............................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70
1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Hiện nay khoa học phát triển nhƣ vũ bão thời đại của cơng nghệ 4.0
nhiệm vụ của nhà trƣờng Phổ thơng nói chung và bậc Tiểu học nói riêng là
giáo dục con ngƣời phát triển tồn diện, đáp ứng u cầu địi hỏi của xã hội.
Các môn học ở Tiểu học cùng với mơn Tiếng Việt, mơn Tốn ở Tiểu học có
một vị trí đặc biệt quan trọng vì kiến thức, kĩ năng của mơn Tốn đƣợc ứng
dụng rất nhiều trong cuộc sống của con ngƣời, nó rất cần thiết trong cuộc
sống và để bổ trợ cho các môn học khác ở bậc Tiểu học và nó là cơ sở để bổ
trợ cho mơn Tốn ở các bậc học trên.
Mơn tốn ở bậc Tiểu học góp phần giáo dục cho học sinh phát triển để
trở thành một con ngƣời toàn diện. Đồng thời xuất phát từ quan điểm giáo dục
con ngƣời theo mục tiêu đào tạo mới là: Nhằm hình thành những cơ sở ban
đầu cho sự phát triển về đạo đức, trí tuệ, thẩm mỹ, năng lực của học sinh,
chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên trung học cơ sở. “ Đến một lúc nào đó, bạn
làm tốn vì bạn thích chứ khơng phải để chứng tỏ một cái gì đó nữa” – câu
nói nổi tiếng của Giáo sƣ Ngơ Bảo Châu. Khơng những thế mơn tốn Tiểu
học cịn bồi dƣỡng cho các em có tính trung thực, tính cẩn thận, tinh thần
hăng say lao động góp phần vào việc hình thành các phẩm chất của con
ngƣời.
Trong mơn Tốn ở Tiểu học, số học luôn đƣợc xác định là trọng tâm và
là hạt nhân. Trong đó, việc dạy học các phép tính số học, nhất là các phép tính
trên số tự nhiên có một vai trị hết sức quan trọng.
Qua việc học bốn phép tính với số tự nhiên, học sinh đƣợc rèn luyện
nhiều mặt, đƣợc phát triển các kĩ năng và trí tuệ nhƣ khả năng suy luận, ghi
nhớ, lập luận, quan sát,…. Việc học bốn phép tính với số tự nhiên làm nền
tảng cho việc học với các phép tính với phân số, số thập phân sau này, giúp
học sinh có thể ứng dụng kĩ năng tính tốn trong cuộc sống hàng ngày. Ngồi
ra, qua q trình tính tốn giúp học sinh rèn tính cẩn thận, chăm chỉ, tác
phong nhanh nhẹn, chính xác,….
2
Với định hƣớng dạy học hƣớng vào sự phát triển năng lực ngƣời học,
việc dạy học các nội dung số học góp phần chủ yếu vào hình thành và phát
triển năng lực tính tốn, một trong những năng lực cần thiết của ngƣời lao
động. Thơng qua q trình phát triển năng lực tính tốn, học sinh biết cách
giải quyết vấn đề theo quy trình nhất định, là cơ sở để các em giải quyết các
bài toán trong thực tế cũng nhƣ học tập các môn học khác ở bậc cao hơn.
Trong dạy học mơn Tốn ở các trƣờng Tiểu học hiện nay khá coi trọng
việc rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. Tuy nhiên, trên thực tế vẫn cịn
nhiều học sinh tính tốn thiếu chính xác, mắc sai lầm trong q trình tính,
chƣa nắm vững quy trình tính, cách học thụ động, còn lúng túng khi vận dụng
kĩ năng tính tốn khi vào giải quyết các vấn đề học tập và trong cuộc sống.
Trong chƣơng trình tốn Tiểu học, phần số học về số tự nhiên chiếm vai trị
khá quan trọng, nó xun suốt từ buổi đầu lớp 1 cho đến hết bậc Tiểu học.
Việc dạy cho học sinh Tiểu học nắm đƣợc các kiến thức liên quan đến số tự
nhiên một cách vững vàng là vấn đề hết sức quan trọng.
Trong chƣơng trình mơn tốn ở Tiểu học, việc hình thành khái niệm số
tự nhiên đƣợc đƣa vào từ lớp 1, theo thứ tự phép đếm. Mô hình này có thể
đƣợc coi là mơ hình dựa trên khái niệm “số đứng liền sau”. Các số xây dựng
theo quan điểm bản số đƣợc xếp thứ tự ngay. Nhƣ vậy, việc hình thành số tự
nhiên cần đƣợc nêu ở hai mặt bản số và tự số của nó. Vấn đề đặt ra là cần tìm
ra phƣơng pháp hợp lý và có hiệu quả cao nhất trong dạy học để giúp học sinh
lĩnh hội đƣợc tri thức, đƣa học sinh vào hoạt động học tập có chủ đích đƣợc tổ
chức vừa sức với các em.
Hiện nay, đã có nhiều nghiên cứu về dạy số tự nhiên ở Tiểu học, xong
chƣa có tài liệu nào nghiên cứu về hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số
nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn Tốn ở Tiểu học. Với những
lí do trên, chúng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên
hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn Tốn ở
Tiểu học”.
3
2. Mục tiêu nghiên cứu
Phân tích, khai thác những kiến thức liên quan đến hệ thống ghi số và
chỉ ra mối liên hệ của chúng với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính
trong mơn Tốn ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: hàm phần nguyên, phép
chia Euclid, chuỗi số.
- Khai thác những bài toán liên quan đến : biểu diễn số tự nhiên trong
hệ cơ số g, các phép tính trong hệ cơ số g, dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số g.
- Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở toán học của hệ thống ghi số đối
với những nội dung liên quan trong mơn tốn ở tiểu học : trong các phép toán,
dấu hiệu chia hết và trong thực tiễn.
4.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng
Hệ thống ghi số (biểu diễn số tự nhiên, các phép tính, dấu hiệu chia hết)
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu hệ thống ghi số những tính chất
của tập hợp số, các phép toán trên tập số tự nhiên mà chúng liên quan trực
tiếp đến chƣơng trình mơn Tốn ở Tiểu học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, chúng tơi
sử dụng các kiến thức về một số lĩnh vực của tốn học nhƣ: lí thuyết chia hết
và chia có dƣ trên tập số tự nhiên, thuật tốn Euclid, lí thuyết chuỗi, hàm phần
nguyên. Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu và tìm hiểu về: kiến thức cơ sở về hàm
phần nguyên, phép chia Euclid, chuỗi số, nội dung chƣơng trình mơn tốn ở
Tiểu học, một số tài liệu mơn Tốn ở Tiểu học (SGK, sách bài tập,…). Tiếp
theo, chúng tôi phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan
đến hệ thống ghi số, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của cơ sở
tốn học này trong nội dung mơn Tốn ở Tiểu học.
4
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Ý nghĩa khoa học
Làm rõ thêm cơ sở toán học của hệ thống ghi số thơng qua việc phân
tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ với một số nội
dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn Tốn ở Tiểu học.
6.2. Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của hệ
thống ghi số với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn
Tốn ở Tiểu học, khóa luận có thể đƣợc sử dụng nhƣ một tài liệu tham khảo
hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, bảng các kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu,
mục lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, phần nội dung gồm 3
chƣơng:
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chƣơng 2. HỆ THỐNG GHI SỐ
Chƣơng 3. MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ NỘI
DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MƠN TỐN Ở
TIỂU HỌC
5
PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.
Hàm phần nguyên
1.1.1. Khái niệm về phần nguyên
Định nghĩa 1.1 Cho một số thực x
. Số nguyên lớn nhất không
vƣợt quá x đƣợc gọi là phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn
(floor) của x . Ta thƣờng kí hiệu phần nguyên của x là x . Nhiều tài liệu gọi
phần nguyên của x là sàn và kí hiệu phần nguyên của x là x , vì sàn có liên
quan mật thiết với khái niệm trần x của x . Hai khái niệm trần và sàn
thƣờng đƣợc sử dụng trong tin học. Trong luận văn này ta sẽ dùng cả hai kí
hiệu phần nguyên (sàn) là x và x .
Định nghĩa 1.2 Cho một số thực x
. Số nguyên bé nhất không
nhỏ hơn x đƣợc gọi là trần của x và kí hiệu x .
Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.2 tƣơng đƣơng với:
z x z 1; 0 x z 1;
z
z
x z
và
z 1 x z; 0 z x 1;
x z
z
z
Hơn nữa, x x nếu x
và x x 1 với mọi x
.
Định nghĩa 1.3 Phần dƣ (phần thập phân, phần lẻ, giá trị phân – fractional
part, fractional value) của một số thực x , kí hiệu là x đƣợc định nghĩa bởi
công thức x x x .
Từ định nghĩa 1.3 ta suy ra ngay, 0 x 1 với mọi x
và chỉ khi
z
và z 0 khi
là số nguyên.
Ta biết rằng, với mỗi x
thì tồn tại số nguyên z
sao cho z x z 1
.Định nghĩa 1.4 Giá trị nhỏ nhất giữa hai số x z và z 1 x đƣợc gọi là
khoảng cách từ x đến số ngun gần nó nhất và đƣợc kí kiệu là
6
x
x z 0,5 với mọi x .
Định nghĩa 1.5: Số nguyên gần một số thực x nhất và đƣợc kí hiệu là x và
x đƣợc gọi là số làm tròn của x .
Khái niệm làm tròn số đƣợc sử dụng rộng rãi trong máy tính.
Để xác định, nếu có hai số ngun cùng gần x nhất (nghĩa là khi
x z 0,5 ( z 1) 0,5 thì
z và z 1 cùng có khoảng cách tới x bằng
0,5 x z z 1 x 0,5 thì ta quy ƣớc chọn số lớn, tức là nếu z x z 0,5 ,
thì x z , còn nếu z 0,5 x z 1 thì x z 1
1.1.2. Các tính chất cơ bản của phần nguyên
Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đi đến các tính chất tuy đơn
giảnnhƣng rất cơ bản và hay sử dụng sau đây của phần ngun.
Tính chất 2.1 Với mọi x
ta có
a) x x x 1 hay x 1 x x ;
b) x 1 x x hay x x x 1 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên.
Tính chất 2.2 x x x ;0 x 1; x x 0 x 1 .
Hệ quả 2.1 x z z thì z
và 0 x 1 .
Tính chất 2.3 x z x z;x z x với mọi
Đảo lại, x y thì y x z với z
z .
nào đó.
Tính chất 2.4 Nếu x thì x x và x 0 .
Ngƣợc lại nếu x x hoặc x 0 thì x
Nếu x
là số hữu tỉ nhƣng không phải là số nguyên thì x cũng là một số
hữu tỉ thuộc khoảng (0;1).
Nếu x
là số vơ tỉ thì x cũng là một số vơ tỉ thuộc khoảng (0;1).
Tính chất 2.5 Phần dƣ, sàn và trần có tính chất lũy đẳng (idempotent), tức là
khi hai lần áp dụng phép toán thì kết quả khơng đổi:
7
x x ; x x và
x x với mọi x .
Hơn nữa, x x x 0 với mọi x .
Nhƣng x 0 và x x x với mọi x ;
x 1, x x x 1 x 1 với mọi x
.
Tính chất 2.6 Các quy tắc đổi chỗ (hoán vị), kết hợp của phép cộng và phép
toán nhân; quy tắc kết hợp giữa phép toán nhân và phép toán cộng vẫn đúng
cho phần nguyên và phần dƣ.
Tính chất 2.7 Phép làm trịn số ( x) thơng thƣờng nhƣ đã nêu trong Định
nghĩa 1.5 chính là phép lấy phần nguyên của x 0, 5 , tức là x x 0,5 .
Tính chất 2.8 Nếu x y thì x y 1 hay 1 x y 1.
Tính chất 2.9 Nếu x y thì x y . Đảo lại, nếu x y thì x y .
Tính chất 2.10
a) Cả hai số x và y là hai số nguyên khi và chỉ khi x y 0 .
b) Trong hai số x và y có một số nguyên và một số khơng phải là số
ngun thì 0 x y 1 .
c) Hai số x và y khơng ngun có tổng x y là một số nguyên khi và chỉ
khi x y 1.
Tính chất 2.11
a Với mọi x, y
ta có
x y x y x y 1; x y x y x y 1 .
Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a có thể đƣợc phát biểu dƣới dạng sau.
x y khi 0 x y 1
x y
Tính chất 2.11b
x y 1 khi 1 x y 2
x y khi 0 x y 1;
Tính chất 2.11c x y
x y 1 khi 1 x y 2
Hệ quả 2.2 2 x 2 x với mọi x
.
8
Hệ quả 2.3 x x và x x 0 nếu x ;
x x 1 và x 1 x nếu x .
Hệ quả 2.4 x x với mọi x
Tính chất 2.12a Với mọi x và
y
.
là các số thực ta có
2 x 2 y x y x y 2 x y
và 2x 2 y x y .
Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a có thể viết dƣới dạng sau.
Tính chất 2.12 a) Nếu max x , y
1
thì
2
2 x 2 y 0 x y
và 2 x 2 y x y x y 2 x 2 y .
Tính chất 2.12b Nếu min x , y max x , y x y 1 thì
1
2
2 x 2 y 1 x y 1
và
2 x 2 y x y x y 1 2 x 2 y 1
c) Nếu min x , y
1
max x , y 1 x y thì
2
2 x 2 y 1 x y
và 2 x 2 y x y x y 2 x 2 y 1 .
d) Nếu
và
1
min x , y thì 2 x 2 y 2 x y 1
2
2 x 2 y x y x y 1 2 x 2 y 2
Tính chất 2.13 Với mọi x
ta ln có
1
1
x 2 2 x và x 2 2 x x
n n 1
n
Hệ quả 2.5 Với mọi số ngun dƣơng ta ln có
2 2
Tính chất 2.14
9
a Với mọi x, y
ta ln có
x y 0 và x y x y
Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a có thể phát biểu dƣới dạng sau đây.
x y khi y x ;
x y 1 khi x y
Tính chất 2.14b x y
x y khi y x ;
x y 1 khi x y
Tính chất 2.14c x y
Tính chất 2.15 Với mọi số tự nhiên n và với mọi số thực x
ta có
n x nx n x n 1
Tính chất 2.16 Với mọi số thực x khơng phải là số nguyên và với mọi số
nguyên n ta ln có x n x n 1.
Tính chất 2.17 Với mọi số nguyên dƣơng n và với mọi số thực x ta ln có:
x x
1
n 1
... x
nx .
n
n
Tính chất 2.18 Với mọi x
x
x
và n là số tự nhiên ta ln có .
n n
Tính chất 2.19 Với mọi số tự nhiên k 3 và mọi số tự nhiên n ta có
2n n n 2
k k k .
Tính chất 2.20 Cho k1 , k2 ,..., kn là bộ n số nguyên dƣơng. Khi ấy
k k ... kn
k1 k2 ... kn 1 2
n 1.
n
k
k
Tính chất 2.21 Với mọi sơ ngun k ta ln có k .
2 2
Tính chất 2.22 Cho
, là những số vô tỉ dƣơng sao cho
1
1
1 . Tập
an n1 , 2 , 3 ,... và bn n1 , 2 , 3 ,... tạo thành một
phân hoạch của tập số nguyên dƣơng tức là
an n1
và bn n 1 là các tập
10
khơng giao nhau và hợp của chúng bằng chính tập tất cả các số nguyên
dƣơng.
Tính chất dƣới đây đƣợc sử dụng nhiều trong tin học.
Tính chất 2.23 Cho a và b 2 là các số tự nhiên bất kì. Khi ấy logb a 1
chính là số các chữ số của một số a viết trong hệ đếm cơ số b .
1.1.3. Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên
Từ các định nghĩa phần nguyên (sàn), trần, phần dƣ, số làm trịn, ta
có thể đƣa ra các định nghĩa sau đây.
Hàm sàn: Hàm f :
phần nguyên x
, f ( x) : x cho tƣơng ứng mỗi số
x
với
của nó đƣợc gọi là hàm phần nguyên.
Trong một số tài liệu, hàm phần nguyên còn đƣợc gọi là hàm sàn (floor
function) và ngồi kí hiệu f ( x) : x cịn đƣợc kí hiệu là f ( x) : x .
Đồ thị của hàm phần nguyên
Hình 1
Hàm phần nguyên là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi
trên từng nửa khoảng z; z 1 với z
) gián đoạn loại một tại các điểm
11
z
với độ lệch không đổi bằng 1 lim f ( x) lim f ( x ) 1, tức là hiệu giữa
x z
x z
giới hạn của hàm số khi đối số x tiến tới n từ bên phải và từ bên trái bằng 1).
Nhƣ vậy, hàm phần nguyên không liên tục (gián đoạn loại 1), nhƣng là nửa
liên tục trên. Do nó là hàm hằng từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và
bằng 0 tại mọi điểm không nguyên và đạo hàm không tồn tại (thậm chí hàm
số khơng liên tục) tại các điểm ngun.
Hàm trần: Hàm f :
với trần x
, f ( x) : x cho tƣơng ứng mỗi số x
của nó đƣợc gọi là hàm trần.
Đồ thị của hàm trần
Hình 2
Hàm trần là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi trên từng
nửa khoảng z; z 1 với z
; gián đoạn loại một tại các điểm x z, z
với độ lệch không đổi bằng 1 ( lim f ( x) lim f ( x) 1) .
xz
xz
Vậy, hàm trần không liên tục, nhƣng là nửa liên tục dƣới. Do nó là hàm
hằng từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không
nguyên và đạo hàm không tồn tại tại các điểm nguyên.
12
Mặt khác, đồ thị của hàm trần có thể nhận đƣợc bằng cách tịnh tiến đồ
thị hàm f ( x) : x lên trên (theo trục tung) 1 đơn vị trên các khoảng
z; z 1 , z
. Tuy nhiên, tại các điểm nguyên thì chúng nhận các giá trị
khác.
Hàm phần dƣ: Hàm f :
số thực
0;1 từ tập số thực
, f ( x) : x với mọi x
vào tập con 0;1 của tập
cho tƣơng ứng mỗi số thực
x với phần
dƣ x của nó đƣợc gọi là hàm phần dư (hay hàm phần phân, hàm phần lẻ).
Đồ thị của hàm phần dƣ: f (x) x x x
Hình 3
Hàm phần dƣ chỉ nhận giá trị trong nửa khoảng 0;1 , tăng từng khúc
(tăng trên từng nửa khoảng z; z 1 với
điểm x z, z
z
và gián đoạn loại một tại các
với lim f ( x) lim f ( x) 1 . Đặc biệt, hàm phần dƣ là
x z
xz
hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là x 1 x với mọi x
Hàm khoảng cách: Hàm f :
.
0;0,5 cho tƣơng ứng mỗi số thực
x với
khoảng cách tới số nguyên gần nó nhất đƣợc gọi là hàm khoảng cách từ x tới
số nguyên gần nó nhất và kí hiệu là f ( x) : x .
13
Hàm khoảng cách chỉ nhận giá trị trong đoạn 0;0,5 , tăng từng khúc
trên từng đoạn z; z 0,5 và giảm từng khúc trên z 0,5; z 1 với z
. Hàm khoảng cách là hàm liên tục và tuyến tính từng khúc. Đặc biệt, hàm
khoảng cách là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là x 1 x với mọi
x .
Hàm làm tròn: Hàm f : từ tập số thực
vào tập số nguyên
của
tập số thực , cho tƣơng ứng mỗi số thực x với số nguyên gần nó nhất đƣợc
gọi là hàm làm trịn và kí hiệu là f ( x) : x .
Nhận xét 3.1 Ta ln có x x 0,5 với mọi x (xem tính chất 2.7).
Đồ thị của hàm làm tròn f ( x) x x 0,5
Đồ thị của hàm f ( x) x chính là đồ thị của hàm f ( x) x tịnh tiến
sang bên trái 0,5 đơn vị (có thể thấy rõ điều này qua so sánh hai đồ thị).
Hình 4
Từ tính chất 2.3 suy ra một tính chất thú vị của hàm phần dƣ sau đây
Tính chất 3.1: Hàm phần dƣ và hàm khoảng cách (từ x tới số nguyên gần nó
nhất) là hàm tuần hồn với chu kì nhỏ nhất bằng 1.
Ta nhắc lại rằng hàm : xác định trên tập số thực
cũng trong tập số thực
và nhận giá trị
đƣợc gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dƣơng
sao cho x T X và ( x T ) = ( x) với mọi x
Số T đƣợc gọi là chu kì của hàm tuần hoàn ( x) .
.
T
14
Hiển nhiên, nếu ( x) là hàm tuần hoàn chu kì T thì ( x) cũng là hàm tuần
hồn chu kì nT với mọi số tự nhiên n . Thật vậy, vì ( x) là hàm tuần hồn với
chu kì T nên với mọi x ta có:
x nT x n 1 T T x n 1 T ... ( x) .
Chứng tỏ ( x) là hàm tuần hồn chu kì nT với mọi số tự nhiên n .
Số T0 0 nhỏ nhất (nếu có) trong số tất cả các chu kì đƣợc gọi là chu kì chính
hay chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn ( x) .
Để ngắn gọn, khi nói hàm ( x) là tuần hồn với chu kì T , ngƣời ta thƣờng
hiểu T là chu kì chính T0 (nếu có) của ( x) .
Thí dụ, vì x n x với mọi n
nên hàm phần dƣ y x có chu kì là
T n với mọi n là số tự nhiên và chu kì chính là T0 1 (xem Hình 3).
nên hàm y x có chu kì là T n
Tƣơng tự, vì x n x với mọi n
với mọi n là số tự nhiên và chu kì chính là T0 1 .
Nhận xét 3.2: Có những hàm tuần hồn khơng có chu kì chính.
Thí dụ: Hàm Dirichlet y ( x) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: y ( x) 1 khi x
là số hữu tỉ; y ( x) 0 khi x là số vơ tỉ là một hàm tuần hồn có chu kì là
số hữu tỉ q bất kì. Tuy nhiên, vì tập
các số hữu tỉ khơng âm khơng có số
nhỏ nhất (với mỗi số hữu tỉ q 0 ta có thể tìm đƣợc số
q
nhỏ hơn q cũng là
2
số hữu tỉ) nên hàm số y ( x) khơng có chu kì chính, tức là khơng tồn tại số
T0 0 sao cho T0 q với mọi chu kì q (với mọi số hữu tỉ q ). Vậy y ( x) là
hàm tuần hồn khơng có chu kì chính.
Định nghĩa Hàm y f ( x) xác định trên tập X đƣợc gọi là phản tuần
hoàn chu kì T 0 nếu với mọi x X ta có x T X và f x T f ( x) .
Tính chất 3.2 Nếu y f ( x) là phản tuần hồn với chu kỳ T 0 thì y f ( x) là
tuần hồn với chu kì 2T 0 . Đảo lại không đúng.
15
1.2. Phép chia Euclid
1.2.1. Phép chia hết và chia có dư
1.2.1.1. Phép chia hết
a) Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a, b; b 0 . Nếu có số tự nhiên q sao cho a b.q thì
ta nói a chia hết cho b . Số q gọi là thƣơng của a và b và kí hiệu là:
q a :b
Quy tắc cho tƣơng ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên
q nói trên gọi là phép chia các số tự nhiên.
b) Tính chất
Từ định nghĩa ta thấy ngay các tính chất sau:
- Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0
- Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1
- Nếu a1 , a2 ,..., an là những số tự nhiên chia hết cho b thì a1 x1 a2 x2 ... an xn
cũng chia hết cho b với x1 ,..., xn là những số tự nhiên tùy ý.
1.2.1.2. Phép chia có dƣ
Khác với trƣờng hợp hiệu, ta khơng tìm đƣợc điều kiện xác định sự tồn
tại của thƣơng a : b . Tuy nhiên ta có định lý sau:
a) Định lý
Với mọi cặp số tự nhiên trong đó b 0 bao giờ cũng tồn tại duy nhất
cặp số tự nhiên q và r sao cho: a bq r,0 r b .
Chứng minh:
- Sự tồn tại
Xét tập hợp: M x / bx a .
Ta thấy:
+)
M
là một bộ phận khác rỗng của
+)
M
bị chặn trên. Thật vậy, vì b 0 nên b 1 suy ra ba a . Điều này chứng
tỏ
M
bị chặn trên bởi a 1 .
, vì ta có 0 M .
16
Vậy
là một bộ phận khác rỗng và bị chặn trên của
M
, do đó
M
có số lớn
nhất.
Giả sử
q
là số lớn nhất của
M
, nghĩa là q M nhƣng q ' q 1 M . Hay ta có:
bq a b q 1 bq b .
Đặt r a bq thì a bq r và bất đẳng thức trên cho ta 0 r b .
- Tính duy nhất
Giả sử tồn tại hai cặp q, r và q1 , r1 sao cho
a bq r 0 r b
a bq1 r1 0 r1 b
Từ đó suy ra bq r bq1 r1
Giả sử q1 q , khi đó tồn tại m M , sao cho q q1 m .
Thay vào ta đƣợc:
b(q1 m) r bq1 r1 hay bm r r1 .
Vì r1 b nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi m 0 . Khi đó q q1 và r r1 . Vậy
cặp q, r là tồn tại duy nhất
b) Định nghĩa
Số q và r thỏa mãn đẳng thức
a bq r , 0 r b ,
đƣợc gọi tƣơng ứng là thƣơng và dƣ trong phép chia của a cho b . Quy tắc
cho tƣơng ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên q và r nói
trên đƣợc gọi là phép chia có dƣ.
Chú ý: Khi r 0 thì phép chia có dƣ trở thành phép chia hết. Nhƣ vậy phép
chia hết là một trƣờng hợp đặc biệt của phép chia có dƣ.
1.2.2. Thuật tốn Euclid
Cho hai số ngun a , b khác 0 . Chia a cho b ta đƣợc thƣơng là q1
và số dƣ là r1 . Chia b cho r1 , ta đƣợc thƣơng là q2 và số dƣ r2 . Tiếp tục
17
quá trình này, ta đƣợc dãy các số tự nhiên giảm dần đến 0 : b , r1 , r2 ,... . Vì vậy,
thuật tốn sẽ kết thúc sau hữu hạn bƣớc, nghĩa là tồn tại một số tự nhiên n để
dƣ rn1 0 . Từ đó, với bổ đề ở trên ta đƣợc
a, b b, r1 r1, r2 ... rn1, rn rn
.
1.3. Chuỗi số
1.3.1. Các khái niệm cơ bản
1.3.1.1. Định nghĩa
Cho dãy số vô hạn (un )nZ , tổng vô hạn
u1 u2 u3 ... un ... đƣợc gọi là chuỗi số, kí hiệu là:
u
n 1
n
un đƣợc gọi là số hạng thứ n.
1.3.1.2. Dãy tổng riêng
Đặt sn u1 u2 u3 ... un đƣợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số
u
n 1
n
(un )nZ đƣợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số
u
n 1
n
.
1.3.1.3. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ
Chuỗi số
u
n 1
n
sn s và s
đƣợc gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn lim
x
đƣợc gọi là tổng của nó. Ta viết
u
n 1
n
s.
sn khơng tồn tại hay bằng thì chuỗi số
Nếu giới hạn lim
x
u
n 1
n
đƣợc gọi là
phân kì và khi đó chuỗi số khơng có tổng.
1.3.1.4. Phần dư thứ n
Trong trƣờng hợp chuỗi số
u
n 1
n
hội tụ có tổng bằng s kí hiệu s sn
đƣợc gọi là phần dƣ thứ n của chuỗi số
u
n 1
Vậy, dƣới dạng ngôn ngữ “ N ”, ta có:
n
, kí hiệu là: rn
18
Chuỗi số
u
n 1
n
hội tụ
0, : n
s sn
0, : n
rn
1.3.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
1.3.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số
u
n 1
hội tụ 0,
n
0: p q
s p sq .
1.3.2.2. Ví dụ
Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số
1
n phân kỳ.
n 1
Giải
1
: , p 2 q : s p sq s2 s
3
1
1
1
1
1
1
1 1
...
...
1
2
2
2
2
2
2
2 3
1.3.3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
1.3.3.1. Định lý
Nếu chuỗi số
u
n 1
n
un 0.
hội tụ thì lim
n
Chứng minh:
u
Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ
n 1
Suy ra
n
n
sn
s
n
un sn sn1
s s 0
1.3.3.2. Hệ quả
un 0 thì chuỗi số
Nếu lim
n
u
n 1
n
phân kỳ.
Ví dụ
Chuỗi số
n
2n 1 phân kỳ vì u
n 1
1.3.3.3. Chú ý
n
n
1
0 khi n
2n 1 2
