11 các bài toán tích phân chọn lọc số 01(trang 388 410)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (287.72 KB, 26 trang )
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN
LỌC
I. CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 01
ĐỀ BÀI
Câu 1:
y f x
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
� thỏa mãn
f 1 1
và
1
I �
f x dx
xf 1 x 3 f �
x x 7 x 2, x ��. Tính tích phân
2
5
5
A. 3 .
B. 9 .
C. 9 .
Câu 2:
f x
Cho hàm số
f 2
0
.
2
D. 3 .
f�
x f x e x x ��. Biết f 0 0 , tính
có đạo hàm liên tục trên �,
.
2
e
A. 2 .
Câu 3:
2
B. 3e .
f x
Cho hàm số
2
C. e .
liên tục trên khoảng
2
D. 2e .
0; � và thỏa mãn f x 2 4 x 3 x 2 với mọi
3
x � 0; �
. Tích phân
112
A. 3 .
f x dx
�
0
bằng
56
B. 3 .
14
C. 3 .
7
D. 3 .
1
Câu 4:
Cho hàm số
f x
1
xf x dx
�
và
0
3
2
có đạo hàm liên tục trên đoạn
Câu 6:
thỏa mãn
f 1 4
,
2
0
1
. Khi đó
11
A. 4 .
Câu 5:
0;1
�
x �
�f �
�dx 5
�
f x dx
�
0
bằng
5
B. 12 .
5
C. 4 .
11
D. 12 .
y f x
0; � thỏa mãn 2 xf �
x f x 2 x , x � 0; �
Cho hàm số
có đạo hàm trên
f 1 1
f 4
,
. Giá trị của biểu thức
bằng
11
13
17
15
A. 6 .
B. 6 .
C. 6 .
D. 6 .
Cho
hàm
số
f x
liên
tục
trên
�
và
thỏa
mãn
0
f x dx
�
x f x3 x 2 1 f 1 x 2 4 x 4 3 x3 4 x 2 3 x, x ��
. Khi đó 1
bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 1 .
x
3
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 388
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
Câu 7:
Cho hàm số
f x
0; �
liên tục trên
CHUYÊN ĐỀ:
và thỏa mãn
f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1, x � 0; �
.
5
Biết
A.
Câu 8:
f 5 8
I
Cho
, tính
I �
x. f �
x dx
0
68
3 .
f x
B.
I
.
35
3 .
C.
I
52
3 .
f 2 16,
liên tục, có đạo hàm trên � và thỏa mãn
D.
I
62
3 .
1
f 2 x dx 2
�
0
. Tích phân
2
xf �
x dx
�
0
bằng
A. 30 .
Câu 9:
B. 28 .
Cho hàm số
f x
C. 36 .
D. 16 .
2 f x xf �
x 2 x 1 và f 1 3 .
có đạo hàm liên tục trên � thỏa mãn
1
Khi đó
f x dx
�
0
bằng
A. 1 .
B. 2 .
Câu 10: Cho hàm số
f x
1
ln 2 . Tính
7
I
4.
A.
f 2
0; � . Biết
liên tục trên
2
f x
I
dx
5
D. 2 .
C. 5 .
1
x ln x và
x 2 là một nguyên hàm của hàm số f �
�x
1
.
7
I
4.
B.
C.
I
1
2.
D.
I
1
2.
y f x
Câu 11: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục và xác định trên �, đồng thời thỏa mãn các điều
4
2
x
2
e
1
�
f
x
d
x
2
xf x e x dx
�
�
2 ; f 2 0 . Giá trị f 1 bằng
kiện: 1 x
; 1
8
e
1
2
.
A. 3e
B. 6 .
C. 2 .
D. e .
Câu 12: Cho hàm số
f x
2
�
liên tục trên tập số thực thỏa mãn xf ( x) f ( x) x , x �� và f (1) 2 .
1
Hãy tính
5
A. 6 .
f x dx
�
0
.
B. 1 .
5
D. 6 .
C. 3 .
1
x 2 f '( x) (3x ) f ( x) f '( x) 16 x 2 8, x ��\ 0
x
Câu 13: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
và f (2) 8 .
Khi đó giá trị f (3) bằng
20
A. 3 .
B. 12 .
C. 288 .
10
D. 3 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 389
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
2
f x
Câu 14: Cho hàm số
f 2 3
có đạo hàm trên � thỏa mãn
,
xf �
x dx 3
�
0
4
,
f
x dx 2
�
1
x
.
1
Tính
A. 5.
f x dx
�
0
.
B. 1.
f x
Câu 15: Cho hàm số
C. 2.
4
0
A. I 1 .
2
C. I 3 .
3
Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
( x) �
e
�x �f �
f ( x)
0
dx 8
f ln 2 x
e
x ln x
dx 1
.
D. I 4 .
3
I�
e f ( x ) dx
0
và f (3) ln3 . Tính
.
C. I 8 ln3 .
B. I 11 .
e2
�tan x. f cos x dx 1 ; �
liên tục trên � và thỏa mãn
2 f 2x
I �
dx
1
x
4
Tính tích phân
.
A. I 1 .
B. I 2 .
D. 3.
D. I 8 ln3 .
�π
�
f x f � x � sin x.cos x
y f x
�2
�
Câu 17: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
,
π
2
x. f �
x dx
�
f 0 0
x
�R
0
với mọi
và
. Giá trị của tích phân
bằng
π
1
π
A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
Câu 18: Cho hàm số
y f x
Biết
3
A. 2 .
1
Câu 19: Cho các hàm số
1
4.
f x x2 f x f 3 x x2 f 3 x
liên tục trên tập � và thỏa mãn
.
4
x. f x dx 2
�
D.
4
�f x dx
. Tính tích phân
5
B. 3 .
f x
và
g x
1
.
4
C. 3 .
3
D. 4 .
f�
0 . f �
2 �0 và
liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn
2
g x . f �
x x x 2 ex
A. I 4 .
Câu 20: Cho hàm số
I �
f x .g�
x dx
0
. Tính
B. I e 2 .
y f x
390 | Phan Nhật Linh
C. I 4 .
D. I 2 e .
liên tục, có đạo hàm và dương trên khoảng
f x 3xf 3 x 4 xf �
x
1
A. 2 .
.
,
f 1 1
B. 2 .
. Khi đó
0; �
f 4
bằng
1
C. 4 .
D. 4 .
thỏa mãn
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
y f x
Câu 21: Cho hàm số
CHUYÊN ĐỀ:
liên tục trên đoạn
2; 2
và
1
x 4 , x � 2; 2 .
2 f x 3 f x
2
2
I
Tính
A.
�f x dx
2
I
.
10 .
Câu 22: Cho hàm số
B.
y f x
I
10 .
C.
2
Biết
7
A. 2 .
4
B.
hàm
f x
số
20 .
D.
xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn
f�
x �
�f x 2 �
� �
�f x 1�
� x 1
Câu 23: Cho
I
và
3
2.
liên
f 1 2
2
và
đồng
2
. Tính
I �
xf x dx
1
D.
biến
20 .
1; 2 , f x �1, x � 1; 2 .
C. 1 .
tục
I
trên
đoạn
.
5
2.
1; 4 ,
f 1 0
và
4
f x dx
x 2 xf x �
x �
�f �
�, x � 1; 4 . Đặt I �
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. 1 I 4 .
B. 4 I 8 .
Câu 24: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
f ( x) xf �
( x) 2 x 3 x 2 f 2 ( x), x �[1; 2].
A.
ln
Câu 25: Cho
4
3.
B.
hàm
số
ln
D. 12 I 16 .
C. 8 I 12 .
1; 2
và thỏa mãn
1
2 và
2
x f ( x)dx
Giá trị của tích phân �
bằng
3
4.
1
C. ln 3 .
y f ( x)
f (1)
liên
tục
D. 0.
trên
�
và
thỏa
mãn
1
I �
f ( x)dx
sin x. f (cos x) cos x. f (sin x) sin x sin 3 x với mọi x ��. Tính tích phân
1
1
2
A. 6 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 26: Cho
hàm
số
f x
và
g x
thỏa
mãn
0
4 f 1 g 1
.
và:
� x
g x 2020 x x 1 f �
x
2
�
x
1
�
x �� 1; 0
� 3
2
x 1
�x
�
x
�
2
I �
g x
f x �
dx
�
g
x
f
x
2021
x
�
�
x 1
x
�
�x 1
1 �
. Tính
.
1
3
I
I
2.
2.
A. I 1 .
B.
C. I 2 .
D.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 391
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
0;3 thỏa mãn f ( x). f (3 x) 1 . Tính
Câu 27: Giả sử hàm số f ( x) liên tục và ln dương trên đoạn
3
tích phân
2
I
3.
A.
1
I �
dx
1 f x
0
?
B.
I
3
2.
D. I 3 .
C. I 1 .
2
f x
Câu 28: Cho hàm số
cot x. f sin x dx 1
�
4
liên tục trên � và thỏa mãn
f 4x
a
dx ,
�
x
b
1
2
16
,
f
x dx 3
�x
1
. Tích
1
phân 8
A. P 8 .
a, b 1 . Tính giá trị biểu thức P a b .
biết a, b �� và
B. P 7 .
C. P 3 .
D. P 9 .
( x) xf ( x) 2 xe x
Câu 29: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên � thỏa mãn f �
2
và
1
f (0) 2 . Tính
A.
I
Câu 30: Cho
I �
xf x dx
0
e 1
e .
f x
.
1 e
I
e .
B.
I
C.
là hàm số liên tục trên đoạn
và
f x f 2021 x 1
2021
A. 2 .
Câu 31: Cho hàm số
f x . f �
x
�1 f x
2
I
. Tính
2021
B. 3 .
f x
D.
0; 2021 . Giả sử rằng với mọi
2021
f x 0
e
1 e .
I
e
e 1 .
x � 0; 2021
, ta có
dx
�1 f x
0
.
C. 2021 .
D. 4042 .
f 0 2 2, f x 0, x �R
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:
và
2
dx �
2 x 1 dx
f ( x)dx
�
2
. Tính tích phân 1
.
114
141
B. 30 .
C. 30 .
1411
A. 30 .
D.
-
1411
30 .
( 4 ; +�) và thỏa mãn đẳng thức
có đạo hàm liên tục trên khoảng
( x3 - 6 x 2 + 9 x )
f ( x ) + ( x 2 - 7 x +12) f �
x
=
( )
x �( 4 ; +�)
f ( 5)
x2 + 9
với mọi
. Giá trị
của bằng
Câu 32: Cho hàm số
A.
C.
f ( x)
f ( 5) = 34 - 5
.
f ( 5) = 2 34 - 10
Câu 33: Cho hàm số
Tính f (1) .
392 | Phan Nhật Linh
f x
.
B.
f ( 5) = 2 34 +10
D.
f ( 5) = 34 + 5
.
.
�
�f �
x �
x 6 x 2 2 với mọi x �� và f 0 0 .
� f x . f �
thỏa mãn �
2
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
B. � 3 .
A. 1 .
Câu 34: Cho
hàm
số
y f x
D. 3 .
C. �1 .
liên
tục
�
trên
và
thỏa
mãn
2
f x f x 2021x 2020 3 x 2 4, x ��
. Tính tích phân
2021
2020
A. 2 .
B. 0 .
C. 2 .
I
�f x dx
2
.
2022
D. 2 .
f x
0; � thỏa mãn f 0 1 , f x 0, x � 0; � và
Câu 35: Cho hàm số
có đạo hàm trên
1
1
1
1, x � 0; �
I �
f x dx
f x 2 f �
x 1
0
. Tính
3
5
1
2
I
I
I
I
5.
3.
3.
5.
A.
B.
C.
D.
0; 2 . Biết f 0 1 và
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
2
x3 3x 2 f ' x
I �
dx
2
x � 0; 2
f x f 2 x e 2 x 4 x
f x
0
với mọi
. Tính tích phân
.
14
32
16
16
I
I
I
I
3 .
5 .
3 .
5 .
A.
B.
C.
D.
f x
Câu 36: Cho hàm số
Câu 37: Cho hàm số
f x
2sin 2 x �f x ecos 2 x
�
A.
1; 2 .
liên tục và nhận giá trị dương trên �, thỏa mãn
�2 �
f
� �
f x � f �
x
0,
x
�
�
�
. Khi đó �3 �thuộc khoảng
B.
Câu 38: Cho hàm số
y f x
2;3 .
C.
liên tục và thoả mãn
3; 4 .
f x 3 2 x 1 2 x 3
D.
f 0 e2
và
0;1 .
, với mọi x �R . Tính tích
2
I
phân
A.
�f x dx
1
I
11
2.
Câu 39:
.
B.
I
11
2.
f x
Cho hàm số
C.
I
7
3.
D.
xác định và liên tục trên đoạn
I
7
3.
0;1
thỏa mãn
6 x. f x 2 5 f 1 x 1 x 2
1
f x dx
�
Tính 0
A. 4 .
B.
8.
C. 32 .
D. 16 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 393
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
y f x
Câu 40: Cho hàm số
CHUYÊN ĐỀ:
là hàm đa thức bậc bốn và đạt cực trị tại điểm x 2 . Tiếp tuyến tại
giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
với trục tung là đường thẳng d có phương trình
ln 3
3 x y 2021 0 . Tích phân
�
�
x 1 f �
e
�
�
y f x
3 �
.e x dx
�
x
0
B. 7 3ln 3 .
A. 1 3ln 3 .
Câu 41: Cho hàm số
I
bằng
C. 7 3ln 3 .
D. 3 3ln 3 .
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
π
2
�π
�
I �
x. f �
x dx
f x f � x � sin 2 x
f
0
0
2
�
�
x
�R
0
, với mọi
và
. Giá trị của tích phân
bằng
π
1
π
1
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Câu 42: Cho hàm số
f 2 x xf x 2 5 x 2 x3 1
f 1 1
có đạo hàm trên � thỏa mãn
và
y f x
2
I �
xf ' x dx.
x
�
�
1
với mọi
Tính tích phân
A. I 3.
B. I 1.
Câu 43: Cho
hàm
y f x
số
liên
C. I 2.
tục
D. I 5.
trên
0; 4
đoạn
thỏa
mãn:
4
2 f ( 4 - x) - 3 f ( x ) =- x 2 - 6 x +16 " x �[ 0; 4]
64
A. 3 .
B. 128 .
Câu 44: Cho hàm số
f x
I �
x. f x dx
. Tính
128
C. 3
có đạo hàm liên tục trên
0
.
320
D. 3 .
0; �
thoả mãn
f 1 3
và
2
x 6 f �
x f x 2
3
ln 2
A. 2
.
f x dx
�
với x 0 . Giá trị tích phân 1
bằng
5
2ln 2
B. 3 2ln 2 .
C. 2
.
3
2ln 2
D. 2
.
1
Câu 45: Cho hàm số
A. 3e .
f x
Câu 46: Cho hàm số
có
f x dx
�
f�
x x 6 12 x e x x ��
0
và
,
. Khi đó
bằng.
1
1
1
B. 3e .
C. 4 3e .
D. 3e .
f 0 1
f ( x)
có đạo hàm liên tục trên
R,
thỏa mãn
2
f ( x ) f (2 x ) x 2 2 x 2, x �R . Tích phân
394 | Phan Nhật Linh
sin 2 x. f �
(2sin x)dx
�
0
bằng
f (0) 3
và
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
A.
4
3.
CHUYÊN ĐỀ:
10
C. 3 .
2
B. 3 .
y f x
Câu 47: Cho hàm số
; x � 0; �
liên tục trên khoảng
giá trị của
f e
0; � .
1
C. e .
y f x
f x
dx
�
2x 1
3
( x) ln x
và f ( x) xf �
D. 1 .
1
Câu 48: Cho
f 1 1
5
3.
bằng:
B. e .
A. 2 .
Biết
D.
là hàm số chẵn và liên tục trên �. Biết
f x dx
�
0
3
1
f x dx 3
3�
1
. Khi đó, giá
3
trị
bằng
A. 10 .
C. 9 .
B. 12 .
Câu 49: Cho hàm số
y f x
D. 13 .
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
1
2
x. f x .dx
�
2x2 1 f x �
�
�f ' x �
� 4 �
�
�với mọi x thuộc đoạn 0;1 và f 1 2 . Tính 0
5
3
3
4
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 3 .
Câu 50: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0; 2
thỏa mãn:
f '( x ) = f '( 2 - x )
với
" x �[ 0; 2]
.
2
f 0 2003, f 2 2021
Biết rằng
A. 2012 .
I �
sin x. f 2cos x dx
0
. Tính tích phân
B. 4024 .
C. 4024
.
D. 2012 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 395
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Cách 1: Phương pháp tự luận:
xf 1 x 3 f �
x x 7 x 2, x ��
x 2 f 1 x 3 xf �
x x 8 x 2 2 x, x ��
Từ
suy ra
1
1
1
x f 1 x dx �
xf �
x dx �
x 8 x 2 2 x dx
�
2
3
0
0
Do đó 0
.
3
2
t
1
x
d
t
3
x
d
x
Đặt
ta có
do đó ta được
1
0
1
1
1
1
1
2
3
x
f
1
x
d
x
f
t
d
t
f
t
d
t
f x dx
�
3�
3�
3�
0
1
0
0
.
1
1
1
x 2 f 1 x3 dx �
xf �
x dx �
x8 x 2 2 x dx
�
0
0
Vậy ta có 0
1
1
1
1
�
� 5
1
1
5
1
� �
f x dx �
xf �
f x dx �xf x 0 �
f x dx �
x dx � �
30
9
30
0
�
0
� 9
1
�
1
2
5
4
2
f x dx �
f 1 0. f 0 �
��
f x dx
�
�
�
3 0
9
9
3
0
1
. Vậy
I �
f x dx
0
2
3
.
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
xf 1 x 3 f �
x x 7 x 2, x ��
f x
suy ra chọn đặt hàm số
là hàm số
3
7
2
xf 1 x f �
( x) x x 2
bậc 2 dạng f ( x ) ax bx c với a, b, c ��. Ta có
.
Từ đẳng thức
3 2
x�
a
1
x
2ax b x 7 x 2
b 1 x3 c �
�
�
Do đó
7
� x�
ax 6 2a b x 3 a b c �
�
� 2ax b x x 2
a 1
�
a 1
�
�
2a b 0
�
�
��
��
b 2
3
a
b
c
1
�
�
c0
�
�
� ax 7 2a b x 4 3a b c x b x 7 x 2
b
2
�
Do vậy f ( x ) x 2 x thỏa mãn f (1) 1 , từ đó ta có
2
Câu 2.
1
1
0
0
I �
f x dx �
x 2 2 x dx
2
3
Từ giả thiết ta có
f�
x e x e x �f x
�f x
�
2x
e f�
1� � x
x f x e e �
2x
e
�e
x
Từ
Câu 3.
.
x
f 0 0
Ta có:
f x xe x
f 2 2e 2
, thay vào ta có C 0 . Vậy
. Vậy
.
f x 2 4 x 3 x 2
3
Suy ra
f x x 1
396 | Phan Nhật Linh
�
�
f x
� 1 � x x C.
e
�
.
. Do đó
x 2
2
3
x
2
4 x 3 1
f x dx �x 1dx
�
0
0
.
3
2
x 1 2
3
3
0
2
14
8 1
3
3
.
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
1
Câu 4.
Ta có
CHUN ĐỀ:
1
1
1
1
3
�3 �
f x d x2 x2 f x �
x 2d f x 4 �
x2 f �
x dx
0
2
0
0
0
xf x dx
�
0
1
1
1
1
2
1
��
x f�
x2 f �
x 4dx 5 10.1 25. 0
x dx 1 � �
x dx 25�
f � x dx 10�
5
0
0
0
0
2
1
1
��
f � x 5x 2 dx � f � x 10 x2 f � x 25 x 4 dx 0
2
0
0
2
5x3
7
2 � f x
C
�
C
� f�
x
5
x
f
1
4
3 . Vậy
3
mà
Câu 5.
2 xf �
x f x 2x
Xét phương trình
khoảng này.
y f x
, vì
x �f �
x
Chia cả hai vế cho 2 x , ta được
4
�
Vậy
1
f 4
17
6 .
3
2
2
3
�
4
2
2
2
1
0
0
1
1
1
3
2
2
0
0
x 2 f x 3 dx
�
1
0
2
3
2
0
1
0
1
1
1
f x dx �
f x dx 2
�
3 1
20
2
1
1
3
2
3
0
0
Ta lại có 0
1
0
1
1
� �
f x3 d x3 �
f 1 x2 d 1 x2 0
30
21
1
1
1
1
f 1 x2 d 1 x2 �
f x dx
�
2 1
20
x f x dx �
xf 1 x dx �
4x
�
�
.
.
1
1
2
3x 2
0
0
1
.
3
1
1
f x3 d x3 �
f x dx
�
3 1
3 1
.
xf 1 x 2 dx
�
Do đó
.
2
��
x 2 f x3 dx �
xf 1 x 2 dx �
4 x3 3x 2 dx 2
�
�
4
2
2
3
Xét
nên liên tục trên
�
�f x x � � x . f x �
x
x x f x x 1 f 1 x 4 x 3x 4 x 3x
Ta có:
� x 1 x. f x x 1 f 1 x x 1 4 x 3x
� x. f x f 1 x 4 x 3x � x . f x x. f 1 x 4 x
Xét
0; �
14
1�
14 � 17
�2
�
� x3 � � 2 f 4 f 1
� f 4 � 1�
3
2 �3
�3
�
� 6 (vì f 1 1 ).
1
3
Câu 6.
có đạo hàm trên
4
x. f x
1
2 x
1
�5 x 3 7 � 11
f
x
d
x
dx
� �
�
�
3 3�
4
0
0�
�
� x . f x dx �xdx
Lấy tích phân từ 1 tới 4 cả hai vế ta được
4
1
1
1
1
.
3 x 2 dx 0
1
1
f x dx �
f x dx 0 � �
f x dx 0
�
30
20
3
0
0
f x dx 6
�
2
3
. Từ
và
suy ra 1
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 397
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
Câu 7:
Ta có
CHUN ĐỀ:
f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1 � 2 x 4 f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1 2 x 4
.
Lấy tích phân cận chạy từ 0 � 1 hai vế ta được:
1
2 x 4
�
0
1
f x 2 4 x dx �
2 x 2 7 x 1 2x 4 dx
0
1
Xét
2 x 4 f x
�
2
0
4 x dx
1
Khi đó ta có
2x 4 f x
�
2
0
52
.
3
�
t x 2 4 x � dt 2 x 4 dx
�
�
�x 0 � t 0, x 1 � t 5
. Đặt
5
5
0
0
52
.
3
4 x dx �
f t dt �
f x dx
5
.
5
5
� 52 � 68
I �
x. f �
f x dx 40 �
� .
x dx xf x 0 �
3 � 3
�
0
0
Xét
1
Câu 8.
Ta có
f 2 x dx 2 �
�
0
2
Xét
I �
xf �
x dx
0
1
1
f 2x d 2x 2 �
2�
0
2
f x dx 4
�
0
.
ux
du dx
�
�
��
�
dv f �
x dx �v f x .
.Đặt �
2
2
�I �
xf �
f x dx 2 f 2 4 32 4 28
x dx xf x 0 �
2
0
Câu 9.
Ta có
Suy ra
0
2 f x xf �
x 2 x 1 � f x f x xf �
x 2x 1
1
1
1
0
0
0
f x dx �
�
dx �
x �
2 x 1 dx
�f x xf �
�
�
1
1
1
0
0
0
2
. Vậy
xf �
x dx 28
�
0
.
.
1
�
��
f x dx �
x. f x �
f x dx 2 xf x 0 2 3 5
�
�
�dx 2 � �
Câu 10.
.
.
�
u f x
�
du f �
x dx
�
�
�
�
1
v ln x
dv dx �
�
x
�
Đặt
.
2
Khi đó,
f x
�x
1
dx f x ln x
1
f 2
ln 2 và ln1 0 nên
Mà
2
f x
7
I � dx
x
4.
1
Vậy
398 | Phan Nhật Linh
2
1
2
�
f�
x ln xdx f x ln x
1
2
f x
�x
1
2
1
2
1
x2 1 .
�1 1 �
� 3�
dx f 2 ln 2 f 1 ln1 � 2 2 � 1 �
�
�2 1 �
� 4 �.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
Câu 11.
Ta
4
4
ex
1 � f � x dx �
e xd f
1 2 x
1
4
x
ex f
có
x
4
1
4
4
�
f x .e x dx e 4 f 2 ef 1 �
f x .e x dx
1
1
� 1 ef 1 �
f x .e x dx 1
1
2
Mặt khác:
2
e
1 �
2 xf x e dx �
f x
x2
1
1
2
x2
d x
1 ef 1 1 � f 1
Từ (1) và (2), suy ra
4
2
4
�f t e dt � �f x e dx 1 2
t
1
1
2
e.
�
�f ( x) �
xf �
( x) f ( x )
��
1
� 1
�x �
x2
xf �
( x) f ( x) x 2 , x ��. Suy ra
Câu 12. Theo giả thiết:
f ( x)
�
xc
x
.
x
2
hay f ( x) x cx , mà f (1) 2 nên c 1 .
1
1
1
1 � 5
�1
f x dx �
( x x )dx � x 3 x 2 �
�
2 �0 6
�3
0
0
2
Vậy
Câu 13.
.
Từ đề bài ta có
1
1
x 2 f '( x) (3 x ) f ( x) f '( x) 16 x 2 8 � ( x 2 1) f '( x) (3 x ) f ( x) 16 x 2 8
x
x
'
3
( x3 x) f ( x) �
� ( x 3 x) f '( x ) (3 x 2 1) f ( x) 16 x 3 8 x � �
�
� 16 x 8 x .
3
4
2
Lấy nguyên hàm hai vế ta có: ( x x ) f ( x ) 4 x 4 x c .
� 6 f (2) 48 c � c 0 . Vậy f (3) 12 .
Câu 14. Ta có
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
xf �
f x dx xf x 0 �
f x dx 2. f 2 �
f x dx 6 �
f x dx
x dx �
xf x �dx �
�
Theo giả thiết
Đặt
2
2
2
0
0
0
xf �
f x dx 3 � �
f x dx 3
x dx 3 � 6 �
�
t x � dt
1
2 x
.
.
dx
.
Đổi cận x 1 � t 1 ; x 4 � t 2 .
4
Theo giả thiết
f
x dx 2
2�
1
x
2
2
2
1
1
1
f t dt � �
f t dt 1 � �
f x dx 1
�
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 399
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
Ta có
1
2
2
0
0
1
CHUN ĐỀ:
f x dx �
f x dx 3 1 2
�f x dx �
.
Câu 15.
Xét
4
I1 �
tan x. f cos 2 x dx 1
0
tan xdx
, đặt t cos x . Khi đó
2
x 0 � t 1, x
1 1 f t
sin x.cos x
1 dt
I1 �
dx .
1
2
2 2 t . Suy ra
cos x
2 t . Do vậy
e2
f ln 2 x
1
f t
�t
1
2
1
�t
4
2;
2 I1 2
.
2
2
2
�
e
x ln x
Xét
, đặt t ln x . Khi đó x e � t 1; x e � t 4 ;
4 f t
dx
1 dt
1 4 f t
.
I2 �
dt
� dt 2 I 2 2 .
x.ln x 2 t . Do vậy
2 1 t
. Suy ra 1 t
I
dx
2 f 2x
1
1
dx dt
I �
dx
1
x �t ,x 2�t 4
x
t . Do vậy
4
2
4
Xét
, đặt t 2 x . Khi đó
; x
4 f t
1 f t
4 f t
I �
dt = �
dt �
dt 2 2 4
1
1
1
t
t
t
2
2
.
Câu 16.
Đặt
�
ux
du dx
�
��
�
f ( x)
dv f �
( x )e dx �
v e f ( x)
�
3
3
0
0
3
( x)e
�x �f �
khi đó
0
� 8 3�
e f (3) �
e f ( x ) dx � �
e f ( x ) dx 3.eln 3 8 9 8 1
π
2
π
2
0
Ta có:
Mặt khác, ta có:
�π
�
f x f � x � sin x.cos x �
�2
�
Suy ra:
Câu 18.
Ta có
2
0
0
0
�
0
0
π
2
. Suy ra:
I �
f x dx
0
.
2
0
1
�
�
2
2
f
x
d
x
f
x
d
x
sin x.cos x dx
�
�
�
�
�
0
0
2
�2
�
�
1
2
0
2
π
2
1
dx � �f x dx
f � x�
�f x dx �
2
4
�2
�
. Vậy
I �
f x dx
0
f x x2 f x f 3 x x2 f 3 x
� f x x2 f x f 3 x x2 f 3 x 0
� 1 x2 f x 1 x2 f 3 x 0 � 1 x2 f x f 3 x 0
�
x 2 1 0 vn
��
�f x f 3 x 0 � f 3 x f x .
Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh:
400 | Phan Nhật Linh
3
0
�π �
�π �
f � � 0 � f � � 0
�2 �
�2 � .
π
2
I �
x. f �
xd �
xf x �
f x dx
x dx �
�f x �
� �
�
� �
0
3
dx x �
e f ( x) �
e f ( x ) dx
.
�π
�
f x f � x � sin x.cos x
f 0
f 0 0
2
�
�
Câu 17 . Ta có:
và
nên
π
2
f ( x)
1
4
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
f x
Cho hàm số
Thì ta có:
a; b
liên tục trên
b
x. f x dx
�
a
CHUYÊN ĐỀ:
f x f a b x x � a; b
,
.
và thỏa mãn điều kiện
b
a b
f x dx
2 �
a
4
. Do đó:
2.2
4
�f x dx 1 4 3
1
.
Cách 2: Đổi biến trực tiếp
Đặt t 3 x � dt dx và x 1 � t 4; x 4 � t 1 .
4
Khi đó:
4
4
1
1
1
1
4
4
4
4
1
1
1
1
2 �
x. f x dx
3 t . f 3 t dt �
3 x . f 3 x dx �
3 x . f x dx
�
4 �
x. f x dx �
f x dx � �
f x dx
3 x . f x dx 3 �
Suy ra:
Câu 19:
4
Đặt
h x g x . f ' x x x 2 e x
Ta có
h 0 g 0 . f �
0 0
Tương tự
mà
h 2 g 2 . f �
2 0
Ta có
nên
f�
2 �0
2
4
3.
.
f�
0 �0
mà
.
g 0 0
nên
.
g 2 0
.
2
I �
f x d g x f x .g x 0 �
g x d f x
2
0
0
2
2
0
0
f 2 .g 2 f 0 .g 0 �
g x f �
x x 2 e x dx
x dx �
Đặt
x
u x x 2 dv e x dx
du 2 x 2 dx
,
ta có
, chọn v e .
Khi đó
2
2
2
0
0
x x 2 e x dx x x 2 e x �
2 x 2 e x dx �
2x 2 d ex
�
2
0
0
2x 2 e
x 2
0
2
2
�
e d 2 x 2 2e 2 2 �
e x dx
x
2
0
0
2
2e2 2 2e x 4
0
.
2
Suy ra
Câu 20. Ta có
I �
x x 2 e x dx 4
0
.
f x 3xf 3 x 4 xf �
x � f 2 x 4 xf �
x f x 3xf 4 x
1
� 2 x
f 2 x 2 x f �
x f x
f 4 x
1
f
Thay x 1 vào (*), ta có
2
1
� x
3
x ��
�f 2 x
2
�
�
�
3
x
�
� 2 �x dx � f 2 x x x C
�
(*)
1 C � C 0
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 401
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
�
(*)
CHUYÊN ĐỀ:
x
1
1
x x � f x
� f 4
f x
2
x
.
2
2
2
2
1
1
2�
f x dx 3 �
f x dx �2
dx
2 f x 3 f x 2
x � 2; 2
x
4
x
4
2
2
2
Câu 21. Ta có
,
, suy ra
(1).
2
Xét
3�
f x dx
2
2
Thay (2) vào (1), ta được
2
2
2
2
2
2
3�
f x dx 3 �
f t dt 3 �
f x dx
. Đặt t x � dt dx . Ta có
5�
f x dx
2
2
2
2
1
1
1
dx
I�
f x dx �2 dx
2
�
x 4 �
5 2 x 4 .
2
2
�
x 2 � t
�
�
4
�
�x 2 � t
x 2 tan t � dx 2 1 tan 2 t dt
4
Đặt
. Đởi cận: �
.
Khi đó
1 4
1
1
I .� 2
2 1 tan 2 t dt
5 4 tan t 4
10
4
4
dt
�
20
4
.
f�
x �
�f x 2 �
�
2
f�
x �
�f x 2 �
� �
�f x 1�
� x 1 �
2
Câu 22.
Ta có:
2
f�
x �
�f x 2 �
�
��
Xét
I �
2
�
�f x 1�
�
4
x 1
2
.
dx �
x 1 dx 1
�
�f x 1�
�
2
f�
x �
�f x 2 �
�
4
4
�
�f x 1�
�
4
2
dx
: đặt
t f x 1
khi đó :
t 1
1 1
1
�1 2 1 �
I � 4 dt � �
dt 2 3 C
�2 3 4 �
t
t t �
t t
3t
�t
.
2
1 1 1
x3
2 3 C x2 x
3
Thay vào (1) ta được: t t 3t
1
1
1
x3
C x2 x
2
3
f x 1 �f x 1� 3 �f x 1�
3
�
� �
�
Hay
1
1
1
x3
x2 x
2
3
f x 1 �f x 1� 3 �f x 1� 3
f 1 2
�
� �
�
Vì
nên C 0 , suy ra
.
1
1
x � f x 1
f x 1
x
Đồng nhất hai vế, suy ra:
.
2
2
5
� 1�
I �
x�
1 � �
x 1 dx
x� 1
2 .
1 �
Khi đó:
Câu 23. Ta có :
402 | Phan Nhật Linh
(2).
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
x 2 xf x �
1 2 f x �
x �
x �
�f �
�� x �
�
� �
�f �
�
2
2
� x�
1 2 f x �
x ( vì f x đồng biến )
�
� f �
Nguyên hàm hai vế, ta được:
1 2 f x
�
f�
x
1 2 f x
x
,
x � 1; 4
2
x x c
3
2
1�
�2
x x � 1
�
1
2
1
3
3�
1 2 f x x x � f x �
f 1 0 � c
3 . Suy ra
2
3
3
Với
2
1�
�2
x x � 1
�
4
4 3
1403
3�
�
I �f x dx �
15,5 8
1
1
2
90
Vậy
.
f ( x ) xf �
( x) 2 x3 x 2 f 2 ( x) �
Câu 24. Từ giả thiết, ta có
f ( x) xf �
( x)
2x 1
2
[ xf ( x )]
�
�1 �
1
1
��
2 x 1 �
�
( 2 x 1)dx �
x2 x C
�
xf
(
x
)
xf
(
x
)
xf
(
x
)
�
�
.
1
1
f (1) � C 0 � xf ( x )
2
x( x 1)
2
2� 1
1
1�
x 1
3
��
x f ( x) dx �
dx �
�
dx ln
ln
1
1 x ( x 1)
1 �
x 1
4.
�x 1 x �
2
Câu 25. Ta có
2
sin x sin 3 x sin x 1 sin 2 x sin x.cos 2 x
.
Do đó, từ giả thiết ta được
2
2
2
0
0
0
�
f cos x d cos x �
f sin x d sin x �
sin x.cos 2 xdx
0
1
2
1
0
1
0
0
0
1
� �
f t dt �
f t dt �
cos 2 xd cos x � 2�
f t dt �
t 2 dt
1
� 2I �
t 2 dt
0
Câu 26:
1
1
3�I6
.
� x
g x 2020 x x 1 f �
x
2
�
� x 1
� 3
�x
g�
x f x 2021x 2
�
�x 1
�
x 1
� 1
g x
f�
x 2020
2
�
x
� x 1
�
� x g �x 1 f x 2021
2
�
x
�x 1
Lấy vế cộng vế hai phương trình trên ta được:
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 403
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
� 1
� �x 1
x
1
�
�
g
x
g
x
f�
x 2 f x � 1
�
� �
2
� x 1
��x
x 1
x
�
�
�
� �x 1
�
�
x 1
�x
�
�
�x
�
��
g x � �
f x � 1
g
x
f
x
�
� 1
x
�x 1
� �x
� � �x 1
� .
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
x
x 1
g x
f x x C
x 1
x
.
Do
4 f 1 g 1
x
x 1
g x
f x x 1
x
nên ta có C 1 0 � C 1 . Suy ra x 1
.
2
2
�x 2
�2 1
x 1
�x
�
I �
g
x
f
x
d
x
x
1
d
x
� x�
�
�
�
x 1
x
� 1
�2
�1 2 .
1 �
Do đó:
Câu 27. Đặt t 3 x � dt dx .
3
Thay vào ta được
3
3
1
1
1
I �
dx �
dt �
dx
1 f x
1 f 3 t
1 f 3 x
0
0
0
.
3�
�
f 3 x f x
0�
dx
�
�
1 f x 1 f 3 x �
0 �
Suy ra
, do hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn
0;3 . Suy ra f 3 x f x , trên đoạn 0;3 .
3
� f x 1
Mà f ( x ). f (3 x ) 1
. Vậy
1
3
I �dx
2
2
0
.
2
I1 �
cot x. f sin 2 x dx 1
Câu 28.
4
Đặt
.
2
Đặt t sin x � dt 2sin x.cos xdx 2sin x.cot xdx 2t.cot xdx .
1
x �t ;x �t 1
4
2
2
Đổi cận:
.
2
1
� I1
�
f t .
1
2
1
4
2
8
f 4x
1
1
1 f t
dt � dt �
2 1 4x
2t
21 t
x dx 3
16 f
I2 �
1
d 4x
, Đặt t x � 2tdt dx .
Đổi cận: x 1 � t 1; x 16 � t 4 .
Đặt
1
16
f
1
x
404 | Phan Nhật Linh
f 4x
1
2�
x
1
8
1
4
f 4x
dx � �
dx 2 I1 2
x
1
8
x
x dx
I2 �
1
4
1
1
f 4x
f 4x
2
d
4
x
2
dx
f t
f t
�
�
�2 2tdt 2 � dt
4x
x
1
1
t
4
4
1 t
1
.
4
4
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
f 4x
1
�x
Suy ra
CHUYÊN ĐỀ:
1
3
I2
2
2
dx
1
4
.
f 4x
1
�x
1
8
1
4
f 4x
dx �
1
8
Khi đó, ta có:
Vậy P a b 9 .
f 4x
dx �
dx
3 7
x
1
2 � a 7, b 2
2 2
4
.
1
x
x
�
� �f ( x ).e 2
�
�
2
x
2
Câu 29.
2
x
2
x
2
( x) xf ( x) 2 xe x � f �
( x).e 2 xf ( x).e 2 2 xe x .e 2
Ta có f �
x2
2
� f ( x).e �
2 x.e
Khi đó ta có f ( x).e
x2
2
x2
2
x2
2
dx 2�
e
2e
x2
2
2
�
x2
�
� 2 x.e 2
�
�
2
x
� x2 �
d � � 2e 2 C
� 2�
.
C .
0
0
Với x 0 ta được f (0).e 2e C � f (0) 2 C mà f (0) 2 � C 0 .
Suy ra f ( x).e
x2
2
2e
�x 2 �
� �
�2 �
� �
2
� f ( x) 2e x .
1
0
2021
Ta có:
x2
0
dx
1
1
f 2021 x
�
0
Câu 30.
1
I �
xf x dx 2�
x.e dx �
e x d x2 e x
Khi đó ta có:
I
1
2
0
2021
2
1
0
1
1 e
1
e
e
f 2021 x
.
�f 2021 x 1dx
0
.
Đặt: 2021 x t thì dx dt . Khi x 0 thì t 2021 , khi x 2021 thì t 0 .
2021
f t
f x
d
t
dx
�
�
f t 1
f x 1
2021
0
0
I
Ta được:
2021
Do đó:
1
2I �
dx
f x 1
0
f x . f �
x
�1 f x
Tính
2
Câu 31.
.
2021
f x
dx �
dx 2021
�
f x 1
0
0
2021
dx
ta đặt
. Vậy:
I
2021
2 .
1 f 2 x t �1 f 2 x t 2 � 2 f x f �
x dx 2tdt
.
� f x f ' x dx tdt
f x . f �
x
�1 f x
Thay vào ta được
2
Do
đó
1 f 2 x C x2 x
tdt
dx � �
dt t C 1 f 2 x C
t
;
f 0 2 2 � 1 2 2
2
.
C 0 � C 3
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 405
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
1 f 2 x 3 x 2 x � 1 f 2 x x 2 x 3 � f 2 x x 2 x 3 1
2
Ta có
2
2
f x dx �
[ x
�
2
Suy ra
1
1
2
.
2
x 3 1]dx �
x4 x 2 9 2 x3 + 6x 2 + 6x - 1 dx
2
1
2
4
3
�5
�2
�
x 4 2 x3 + 7x 2 + 6x + 8 dx �x5 x2 73x 3x 2 8 x �1 1411
30
�
�
1
.
2
f ( x)dx
�
2
Vậy 1
Câu 32. Ta có
1411
30 .
f ( x ) + ( x - 7 x +12) f �
( x) =
2
( x3 -
� f ( x) + ( x - 3) ( x - 4) f �
( x) =
�
1
( x - 3)
2
. f ( x) +
6 x 2 + 9 x)
x2 + 9
x ( x - 3)
2
x2 + 9
x
x- 4
.f �
( x) = 2
x- 3
x +9
�
�
�
x- 4
x
x- 4
x
��
. f ( x ) �=
�
. f ( x) = �
= x2 + 9 + C
2
2
�
�
x- 3
x- 3
�
�
x +9
x +9
f ( x)
Vì hàm số
có đạo hàm liên tục với mọi
x �( 4 ; +�)
và thỏa mãn
( *)
( *) vớ i x �( 4 ; +�)
( *) ta được C = - 5.
nên ta thay x = 4 vào
x- 4
1
. f ( x ) = x 2 + 9 - 5 � f ( 5) = 34 - 5 � f ( 5) = 2 34 - 10.
2
ra x - 3
Suy
�
�f �
x �
x 6 x2 2
� f x . f �
Ta có: �
2
Câu 33.
� 2
��
x �
�f x . f �
� 6 x 2
� f x . f �
x �
6x 2 2 dx 2x3 2 x C
Mà
f 0 0
f x . f �
x 2 x3 2 x .
nên thay x 0 ta được: C 0 . Suy ra
1
Lấy tích phân 2 vế ta được:
f 2 x
�
2
1
0
1
f x . f �
x dx �
2x
�
0
0
3
� f 2 1 3 � f 1 � 3
2
f x f x 2021x
2020
2 x dx
.
3x 4, x ��
Câu 34. Từ giải thiết
Lấy tích phân hai vế từ 2 đến 2 ta được:
406 | Phan Nhật Linh
3
2
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
2
�
�f x f x �
�dx
�
2
2
2
2021x
�
2
2
�f x dx �f x dx x
�
2020
2
2021
2
CHUYÊN ĐỀ:
3 x 2 4 dx
x 4x
3
2
2
2
�I�
f x dx 22022.
2
2
J
�f x dx
Xét
. Đặt t x ta có dt dx .
Đởi cận: x 2 � t 2 ; x 2 � t 2 .
2
2
J�
f t dt
2
2
�f t dt �f x dx I
Do đó
2022
2021
Vậy 2 I 2 � I 2 .
2
Câu 35.
Ta có:
2
2
.
1
1
1
f x 2 f �
x 1 f x 2 f x f �
x f x
x 1 � 2 f �
� 2f�
x 1 2 f x f �
x � 2 f x x f 2 x C
f 0 1
Vì
2 f x x f 2 x 1 � �
�f x 1�
� x
C
1
nên
. Do đó
2
� f x x 1
Vậy
.
f x 0, x � 0; �
vì
1
1
0
0
I �
f x dx � x 1 dx
5
3
.
.
Câu 36. Cách 1:
Từ giả thiết
f x f 2 x e2 x
2
4 x
f 2 1
, cho x 2 , ta có
. Ta có
2
x3 3x2 f ' x dx
I �
f x
0
�
u x3 3 x 2
�
du 3x 2 6 x dx
�
�
��
f ' x
�
dv
dx
v ln f x
�
�
f x
f x 0, x � 0; 2
Đặt �
(do
).
Khi đó, ta có
2
2
0
0
I x 3 3 x 2 ln f x �
3x 2 6 x ln f x dx 3�
x 2 2 x ln f x dx 3J
2
0
.
2
J �
x2 2 x ln f x dx
0
.
Đặt x 2 t � dx dt ; đổi cận: x 2 � t 0; x 0 � t 2
0
2
�
J �
ln f 2 t d 2 t
�2 t 2 2 t �
�
2
0
2
2
0
2
�
�
�
ln f 2 x d 2 x �
x2 2x �
ln f 2 x dx
2 x 2 2 x �
�
�
�
�
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 407
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
Suy ra
2
2
2
0
0
0
�
�
�
2J �
x2 2x�
x2 2x�
ln f 2 x dx �
x2 2x�
ln f x f 2 x dx
�
�ln f x dx �
�
�
�
�
2
�
�
x 2x�
�
�ln e
2
2 x2 4 x
0
2
dx �
x2 2 x 2 x 2 4 x dx
0
f x f 2 x e2 x
Cách 2: Từ giả thiết ta có
f x e
2
CHUYÊN ĐỀ:
x
x2 2 x
3
I �
4 x
ex
2
2 x
.e 2 x
2
2 2 x
nên ta có thể chọn
.
3x 2 f ' x
f x
0
2
32
16
16
I 3 J
15 � J 15
5 .
. Vậy
2
x
3
dx �
3x 2 . 2 x 2 e x
e
0
2
2 x
x2 2 x
2
dx �
x 3 3 x 2 . 2 x 2 dx
0
16
5
.
Câu 37.
2sin 2 x �f x e cos 2 x f x � f �
x 0 � 2sin 2 x. f x 2sin 2 x.e cos 2 x f x f �
x 0 1
�
�
f x
1 cho
Do hàm số
liên tục và nhận giá trị dương trên � nên chia hai vế phương trình
f�
x 0 2
sin 2 x. f x sin 2 x.e cos 2 x
2 f x
2 f x
ta được
.
Nhân
sin 2 x.e
�e
hai
vế
1
cos 2 x
2
1
cos 2 x
2
f x
phương
f�
x
e
2 f x
1
cos 2 x
2
trình
1
sin 2 x.e 2
1
cos 2 x �
�
1
2
cos 2 x
f x �
sin
2
x
.e
dx
�
�
2
�
e
�
�
Trong đẳng thức
3 � e
của
2
1
cos 2 x
2
3
cho x 0 ta được
1
f x e2
cos 2 x
�
e
1
2
cos 2 x
với
� 12 cos 2 x
��
e
�
1
f x e2
cos 2 x
1
f 0 e 2 C � e
1
2
e
1
cos 2 x
2
C 3
.
1
e2 e 2 C � C 0
f x =ecos 2 x � f x e2cos 2 x
3
dx 3t 2 2 dt
x
t
2
t
1
Câu 38. Đặt
, ta có
.
3
3
Đởi cận: x 1 � t 2t 1 1 � t 2t 0 � t 0 .
x 2 � t 3 2t 1 2 � t 3 2t 3 0 � t 1 .
Lúc đó ta có
1
2
1
1
1
0
0
f t 3 2t 1 . 3t 2 2 dt �
2t 3 . 3t 2 2 dt
�f x dx �
�4
�1
�
6t 3 9t 2 4t 6 dt �32t 3t 3 2t 2 6t �0 112
�
�
0
.
408 | Phan Nhật Linh
được:
�
1
cos 2 x
�
f x � sin 2 x.e 2
�
4
�2 � 2cos 3 1
� f � � e
; 0.367 � 0;1
e
�3 �
.
I
ta
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
Câu
39. Ta có
CHUN ĐỀ:
6 x. f x 2 5 f 1 x 1 x 2
1
1
1
1
1
� 3.�
2 x. f x dx 5�
f 1 x dx �1 x dx � 3 A 5 B �1 x dx * A �
2 x. f x 2 dx
0
0
0
0
0
.
2
Đặt t x � dt 2 xdx ; x 0 � t 0; x 1 � t 1 .
2
2
1
1
0
0
A�
f t dt �
f x dx
2
.
1
B�
f 1 x dx
0
1
1
0
0
. Đặt t 1 x � dt dx; x 0 � t 1, x 1 � t 0 .
B�
f t dt �
f x dx
.
1
Do đó
1
1
f x dx 5 �
f x dx �1 x
* � 3�
0
0
0
2
1
1
0
0
dx � 8.�
f x dx �1 x 2 dx
.
� �
x sin t � dx costdt , t ��
; �
; x 0 � t 0, x 1 � t
2.
� 2 2�
Đặt
2
2
1 cos 2t
1 � 1
�
� �1 x dx �1 sin t .cos tdt �
dt . �
t sin 2t �2
2
2 � 2
�0 4
0
0
0
.
1
2
1
Vậy
2
f x dx
�
32
0
.
ln 3
Câu 40. Ta có
�
�
I �
x 1 f �
.e x dx
e x 3 �
�
�
0
ln3
ln 3
�
x 1 .e dx �f �
e
�
x
0
x
0
3 .e x dx
.
Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta có
ln 3
I1
x 1 .e dx x 1 .e
�
x
x ln 3
0
0
ln 3
I2
Xét
�
e
�f �
0
x
3 .e x dx
ln 3
e dx 3 1 ln 3 1 e
�
x
0
Vì
y f x
0
4 3ln 3
.
x
x
. Đặt t e 3 � dt e .dx . Đổi cận: x 0 � t 2 .
0
x ln 3 � t 0 . Suy ra
x ln3
I2
�
t .dt = f �
t
�f �
2
0
2
f�
0 f �
2
.
f�
2 0 .
là hàm đa thức bậc bốn và đạt cực trị tại điểm x 2 nên
Giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
với trục tung có hồnh độ x 0 .
Phương trình của đường thẳng d có dạng 3x y 2021 0 � y 3x 2021 .
0 3 .
d là tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục tung � f �
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 409
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ:
� I 2 3 0 3 . Vậy I I1 I 2 7 3ln 3 .
Câu 41.
�π
�
f x f � x � sin 2 x
f 0
f 0 0
2
�
�
Theo giả thiết:
và
nên
Ta có:
π
2
π
2
0
0
nên
Câu 42.
2
0
�sin 2 x dx
2
cos 2 x
1
2 0
và
�π �
f � � 0
�2 � .
π
2
I �
x. f �
xd �
xf x �
f x dx �
f x dx
x dx �
�f x �
� �
�
��
�π
�
f x f � x � sin 2 x �
�2
�
Mặt khác:
Ta có:
π
2
π
2
0
�π �
f � � 0 �
�2 �
0
0
2
0
2
0
�
.
2
0
�
x�
dx �sin 2 x dx
�f x dx �f �
�2
�
.
2
0
�
�
2
x�
dx �
f x dx
t x
�f �
0
�2
�
2
(Đặt
).
π
2
2
0
�f x dx
1
1
I �
x. f �
x dx
2
0
2 . Vậy
Lấy tích phân hai vế với cận dưới bằng 0 , cận trên bằng 1 của đẳng thức
f 2 x xf x 2 5 x 2 x3 1
Đặt
t 2 x � dt 2dx � dx
ta được:
Đặt t x
1
� dt 2 xdx � xdx
xf x 2 dx
�
�0
1
Thay vào
11
f x dx
2�
0
ta được
1
0
0
1
12
12
f
t
d
t
f x dx
2 0�
2 0�
f 2 x dx �
xf x 2 dx 1
�
.
1
dt
2 ;
Đổi cận x 0 � t 0 , x 1 � t 2
2
1
��
f 2 x dx
0
.
dt
2 ; đổi cận x 0 � t 0 , x 1 � t 1 .
.
2
1
2
0
0
1
�f x dx �f x dx 2 � �f x dx 2
.
f 2 x xf x 2 5 x 2 x 3 1
f 2 3
x
1
Đồng thời thay
vào biểu thức
ta có
.
2
Xét
I �
xf �
x dx
1
2
ux
du dx
�
�
2
��
� I xf x |1 �
f x dx
�
dv f �
x dx �
v f x
�
1
=3.
đặt
Câu 43. Cách 1: Từ giả thiết
2 f ( 4 - x) - 3 f ( x) =- x 2 - 6 x +16 " x �[ 0; 4]
f 0 0; f 2 0; f 4 8
Xét hàm số
f x
410 | Phan Nhật Linh
là bậc hai,
ta tính được
(*).
f x ax 2 bx c
, từ (*) tìm được
f x x2 2x
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
4
Suy ra
I �
x3 2 x 2 dx
0
64
3
CHUYÊN ĐỀ:
.
Cách 2:
4
4
4
0
0
0
16
3
2 �f ( 4 - x) dx - 3�f ( x) dx = �
( - x 2 - 6 x +16) dx =-
+) Ta có:
.
Đặt t 4 x , có dx dt ; x 0 � t 4; x 4 � t 0.
4
0
Khi đó
0
4
4
Suy ra
4
0
4
0
4
16
2�f ( 4 - x ) dx - 3�f ( x ) dx =- �f ( x ) dx =3
0
0
0
+) Từ giả thiết ta có
Suy ra
4
2 �f ( 4 - x ) dx =- 2 �f ( t ) dt = 2�f ( t ) dt = 2�f ( x ) dx
.
4
. Từ đó
16
�f ( x) dx = 3
0
.
2 x. f ( 4 - x ) - 3x. f ( x ) =- x3 - 6 x 2 +16 x " x �[ 0; 4]
4
4
4
0
0
0
2�
x. f ( 4 - x) dx - 3�
x. f ( x ) dx = �
( - x3 - 6 x 2 +16 x) dx =- 64
(1).
Đặt t 4 x , có dx dt ; x 0 � t 4; x 4 � t 0.
4
0
4
4
2�
x. f ( 4 - x ) dx =- 2 �
( 4 - t ) . f ( t ) dt = 8�f ( t ) dt - 2�t. f ( t ) dt = 128 - 2 I
3
4
0
0
Khi đó 0
.
128
64
- 5 I =- 64 � I =
3 .
Thế vào (1) ta có: 3
Câu 44. Ta có
x 6 f �
x f x 2 � f x x. f �
x 6 x 2 � x. f x � 6 x 2
Suy ra
x. f x �
6 x 2 dx 3x 2 2 x C
.
.
1. f 1 1 C � 3 1 C � C 2
Thay x 1 vào ta được:
.
Do đó:
x. f x 3x 2 2 x 2 � f x 3x 2
2
2
�
f x dx �
3x 2
�
�
�
1
1
Câu 45.
2
x.
�2
2 � �3 x 2
dx � 2 x 2ln x � 5 2ln 2
�
x � �2
�1 2
.
�
u f x
�
du f �
x dx
��
�
dv dx
� v x 1
Đặt �
1
f x dx x 1 f x
�
Khi đó
0
1
0
1
1
0
0
�
x x 1 6 12 x e x dx 3e1
x 1 f ' x dx f 0 �
.
Câu 46. Thay x 0 ta được f (0) f (2) 2 � f (2) 2 f (0) 2 3 1 .
Ta có:
2
2
0
0
f ( x)dx �
f (2 x )dx
�
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 411
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
TÍCH PHÂN
2
2
0
0
f ( x) f (2 x) dx �
x 2 2 x 2 dx
�
Từ hệ thức đề ra:
Ta có :
2
sin 2 x. f �
2sin x dx
�
0
Câu 47:
Ta có :
CHUYÊN ĐỀ:
2
8
4
��
f ( x)dx .
3
3
0
2
2
� 1�
2
1
1�
4� 5
�
t
.
f
t
dt
t
.
f
t
f t dt � �
2. 1 �
�
�
�
0
20
2�
3� 3
0
� 2�
f x xf �
x ln x
.
x .x f x . x �
ln x f �
�
� ln x f �
x .x f x . x � x 2
x2
� ln x
�f x �
��
� 2
x
�
� x . Lấy tích phân cận từ 1 đến e cả 2 vế ta được :
e
�
�f x �
f x e f e f 1
ln x
2
d
x
�
�dx � 1
2
�
�
x
x �
e
x 1
e
1 � f e 2
1
1�
.
e
Câu 48.
Ta có:
I
Xét
y f x
0
� f x f x , x ��
là hàm số chẵn và liên tục trên �
.
f x
dx
�
2 1
x
3
. Đặt t x � dx dt , đổi cận x 3 � t 3 ; x 0 � t 0 .
0
3
3 t
3 x
f t
f t
2 f t
2 f x
� I � t dt = � dt = �t
dt = � x
dx
1
2
1
2
1
2
1
3
0
0
1 0
2t
.
3
3
f x
� �x dx �x dx �x dx � x
dx �x dx �
f x dx
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
3
3
0
0
0
0
3
f x
0
1
3
0
1
f x
f x
3
�
f x dx �
f x dx 3 9 12
3
2x f x
.
.
2
2 x2 1 f x �
�f ' x �
� 4 �
�f ' x �
� 4 f x 8 x 4
�
�� �
Câu 49. Theo giả thiết ta có �
2
Lấy tích phân hai vế của biểu thức
2
*
* .
ta được
1
1
1
�
� 20
2
2
1
2
�
f
'
x
�
4
f
x
d
x
8
x
4
d
x
�
�
f
'
x
�
d
x
4
xf
x
x. f ' x .dx �
� 0 �
� �
� �
�
�
�
0
0
0
0
�
� 3
1
1
1
1
1
1
2
2
4
��
�
f
'
x
�
d
x
4
x
.
f
'
x
.d
x
0
�
�
f
'
x
�
d
x
4
x
.
f
'
x
.d
x
4 x 2dx 0
�
�
�
�
�
�
�
�
3
0
1
0
0
0
0
2
��
�
�f ' x 2 x �
�dx 0 � f ' x 2 x � f x x C.
2
0
1
Vì
f 1 2 � C 1 � f x x 2 1
412 | Phan Nhật Linh
. Vậy
1
4
x. f x .dx �
x. x 2 1 .dx .
�
3
0
0
