(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN kỹ NĂNG sử DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, đồ THỊ để GIẢI một số bài TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ lớn NHẤT của hàm số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.25 MB, 54 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 3
-------------------------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA
HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Mơn Tốn
Nhóm tác giả:
1. Trịnh Văn Thạch.
2. Trần Thị Lương.
Số điện thoại: 0944 365 889.
Đơn vị: THPT Thanh Chương 3.
Tổ: Toán – Tin - Văn phòng.
TIEU LUAN MOI download :
MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ..........................................................................................................1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .................................................................................................1
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU .................................................................................................1
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU. ..........................................................................1
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. .......................................................................................1
6. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. .........................................................................................2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN. .......................................................................................................2
1.
CƠ SỞ KHOA HỌC. .........................................................................................................2
1.1. Cơ sở lý luận. ...................................................................................................................2
1.2. Cơ sở thực tiễn. ...............................................................................................................3
2.
KHẢO SÁT, PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG. .......................................4
2.1.
Khảo sát thực trạng.....................................................................................................4
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài. ..........................................................................6
3.
GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. ...............................................................................6
3.1. Bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) | trên đoạn , . .........................6
3.2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ; . 10
3.2.1. Tìm tham số a để GTLN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ; bằng K . ....14
3.2.2. Tìm tham số a để GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ; bằng k . .....19
3.2.3. Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ;
không vượt quá số K . .........................................................................................................22
3.2.4. Tìm tham số a để GTLN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ; đạt GTNN.
...............................................................................................................................................25
3.2.5. Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn ; thỏa
mãn điều kiện P nào đó. ......................................................................................................29
4. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH. ........................................................................................................................................37
4.1 Thi đua giải toán trắc nghiệm trực tuyến trên Quizizz.com .....................................37
4.2 Sáng tạo bài toán mới. ...................................................................................................38
4.3 Thử thách với bài toán mới. .........................................................................................39
4.4 Ứng dụng phần mềm Geogrebra để vẽ đồ thị. ............................................................41
4.5 Bài tập tự luyện ..............................................................................................................42
TIEU LUAN MOI download :
5. THỰC NGHIỆM. ................................................................................................................48
III. KẾT LUẬN ............................................................................................................................49
I. NHỮNG KẾT LUẬN ...........................................................................................................49
II. KIẾN NGHỊ. .......................................................................................................................49
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................51
TIEU LUAN MOI download :
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình hướng dẫn học sinh luyện tập phần giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của hàm số, chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn với các bài
tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các
em đặc biệt lúng túng với các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của hàm số vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối vừa chứa tham số. Vì vậy, chúng tơi chọn
đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình:“Rèn luyện kỹ năng sử dụng
bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các phương án sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải
quyết vấn đề liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số vừa chứa dấu
giá trị tuyệt đối, đặc biệt là các bài toán chứa tham số.
- Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh và giáo viên khi tiếp cận bài
toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đề xuất hệ thống bài tập luyện tập nhằm rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến
thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
- Thiết kế một số trò chơi lồng ghép các bài tập liên quan đến giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của hàm số nhằm gia tăng sự chủ động và hứng thú học tập của học
sinh.
- Tìm hiểu và áp dụng một số phương pháp dạy học, phương pháp đánh giá
bám sát chương trình phổ thơng mới.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Học sinh lớp 12 THPT.
Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, phương pháp dạy học theo phát triển
năng lực.
- Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
- Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Thanh Chương 3. Phối hợp với giáo
viên mơn Tốn trường THPT trong huyện Thanh Chương để dạy thử nghiệm tại các
lớp 12.
1
TIEU LUAN MOI download :
6. ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI.
Tiếp cận bài tốn liên quan giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối theo hướng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị.
Thiết kế một số hoạt động luyện tập nhằm gia tăng sự chủ động và hứng thú
học tập của học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.
1. CƠ SỞ KHOA HỌC.
1.1. Cơ sở lý luận.
- Quan niệm về kỹ năng và kỹ năng giải toán: Theo Từ điển Từ và Ngữ Việt
Nam của GS. Nguyễn Lân: Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực
tiễn. Trong đề tài này, chúng tôi quan niệm kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng
các tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt
ra trong toán học.
- Điều kiện để có kỹ năng: Muốn có kỹ năng về hành động nào đó học sinh cần
phải: Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách
thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động; tiến hành hành động đó với yêu cầu
của nó; đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra; có thể hành động có hiệu
quả trong những điều kiện khác nhau; có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành
kỹ năng.
- Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT: Kỹ năng
là một thành tố cấu thành nên năng lực của người học; Việc rèn luyện kỹ năng giải
toán giúp học sinh phát triển các năng lực toán học gồm năng lực tư duy và lập luận,
năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học tốn, năng
lực giao tiếp tốn học.
- Quy trình hình thành kỹ năng: quy trình hình thành kỹ năng giải tốn nói
chung, kỹ năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau:
Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài tốn mẫu ở trên lớp, có phân tích phương
pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết.
Bước 2: HS tự rèn luyện kỹ năng giải tốn theo hệ thống bài tốn có chủ định
của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót cho HS.
Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn.
Như vậy, để rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số
bài toán GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, cần xây dựng một hệ
thống bài tập từ dễ đến khó liên quan đến chủ đề GTLN, GTNN của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối, hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải cho các bài tốn
tổng quát dựa vào bảng biến thiên và đồ thị, sử dụng hệ thống bài tập tự luyện theo
mẫu hoặc không theo mẫu để rèn luyện kỹ năng vừa học.
2
TIEU LUAN MOI download :
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số bắt đầu xuất hiện nhiều trong
các đề thi minh họa, đề thi thử THPT quốc gia và được rải đều ở các mức độ đánh
giá năng lực tốn học: nhận biết, thơng hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Trong số đó,
các bài tốn liên qua đến GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường
xuất hiện ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao:
Ví dụ 1: [Câu 36– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2018]
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của
hàm số y | x 3 3x m | trên đoạn 0; 2 bằng 3. Số phần tử của S là
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 6.
Ví dụ 2: [Câu 49 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2019]
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y | x 2 2x m 4 | trên đoạn 2;1 đạt giá
trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Ví dụ 3: [Câu 48– Trung tâm luyện thi Thanh Tường (Nghệ An) lần 1 năm
2020]
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trị nhỏ nhất của M bằng
f (x ) | 2 4x x 2 mx |, m là
tham số. Giá
A. 4 2.
B. 2.
C. 3 2.
D. 2.
Ví dụ 4: [Câu 42– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 1]
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của
hàm số y | x 3 3x m | trên đoạn 0; 2 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là
A. 16 .
B. 16 .
C. 12 .
D. 2 .
Ví dụ 5: [Câu 48– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 2]
Cho hàm số f (x )
của tham số thực
A. 6.
m
x m
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị
x 1
f (x ) min f (x ) 2 . Số phần tử của
sao cho max
0;1
B. 2.
0;1
C. 1.
S
là
D. 4.
Các câu hỏi trên gây ra rất nhiều khó khăn cho giáo viên và học sinh. Có rất
nhiều cách giải đã được đưa ra. Một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm cũng đã viết về
lớp bài tốn này. Điển hình như sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển năng lực toán
học cho học sinh thơng qua bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
chứa dấu giá trị tuyệt đối” của thầy giáo Trần Đình Hiền. Đó là một đề tài viết rất
đầy đủ và công phu về GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối theo
hướng tiếp cận là sử dụng các lập luận tốn học, chứng minh các cơng thức ở các
3
TIEU LUAN MOI download :
bài toán tổng quát rồi áp dụng. Đề tài của thầy Hiền đã giải quyết trọn vẹn hầu hết
các bài tốn liên quan. Tuy nhiên, trong q trình học hỏi, nghiên cứu kiến thức từ
đề tài đó và giảng dạy trực tiếp trên lớp, nhóm tác giả nhận thấy rằng việc ghi nhớ
và áp dụng các công thức của nhiều dạng toán, dù đã được chứng minh, cũng gây ra
một số khó khăn nhất định cho các em học sinh.
Ở đề tài này, nhóm tác giả cũng viết về bài toán GTLN, GTNN của hàm số
chứa dấu giá trị tuyệt đối nhưng theo một hướng tiếp cận khác. Với mong muốn
học sinh có cái nhìn trực quan hơn, dễ thực hiện hơn về bài tốn đang nghiên cứu,
chúng tơi chọn hướng tiếp cận là sử dụng bảng biến thiên và đồ thị hỗ trợ trong việc
giải quyết vấn đề.
2. KHẢO SÁT, PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG.
2.1. Khảo sát thực trạng.
Nhóm tác giả thực hiện khảo sát tại các lớp 12A1,12A2, 12A3, 12B, 12D1 ở
trường THPT Thanh Chương 3.
Hình thức khảo sát: Học sinh làm bài trắc nghiệm trên kết
hợp với quan sát của giáo viên.
Link đề kiểm tra: />Link rút gọn: />Đề khảo sát như sau:
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2x 2 trên đoạn 1; 2 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
y x 2 2x 2
2x
x 3
2x
x 3
A.
1
.
B.
2
.
2x
x 3
C.
3
D.
max f (x )
và
1;2
1; 2
0
min
f (x )
1;2
2; 3
.
và
.
là
min
f (x )
1;2
.
là
D. 4.
max f (x )
2;3
trên đoạn
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1;2
trên đoạn
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y
max f (x )
trên đoạn
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được
Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y
D. 4.
2; 3
là
D.
.
và
0
min f (x )
2;3
trên đoạn
2; 1
.
D.
0
max f (x )
và
2;3
min f (x )
2;3
.
.
là
.
4
TIEU LUAN MOI download :
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được
a
Câu 6. Có bao nhiêu giá trị của tham số
f (x ) x 2 2x 2 a trên đoạn 1;2 bằng 5?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được
1;2
a
và
min f (x )
2;1
.
để GTLN của hàm số
max f (x )
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị của tham số
f (x ) x 2 2x 2 a trên đoạn 1;2 bằng 3?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được
min f (x )
2;1
D. 4.
theo a .
để GTNN của hàm số
min f (x )
1;2
D. 4.
theo a .
Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTLN của
hàm số f (x ) x 3 3x 1 a trên đoạn 1;1 không vượt quá 5 . Số phần tử của tập
S
là
A. 9.
B. 7.
C. 5.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được
max f (x )
1;1
D. 8.
theo a .
Câu 9. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTNN của
hàm số f (x ) x 3 3x 1 a trên đoạn 1;1 không vượt quá 3 . Số phần tử của tập
S
là
A. 9.
B. 10.
C. 11.
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được
Câu 10. Cho hàm số
trên đoạn
1;1
f (x ) x 3 3x 1 a
min f (x )
. Tìm
1;1
a
D. 8.
theo a .
sao cho GTLN của hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 1 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được GTNN của max
1;1
f (x )
.
Một số hình ảnh khi khảo sát tại các lớp.
Ảnh khảo sát tại lớp 12A3
Bảng kết quả khảo sát tại lớp 12A1
5
TIEU LUAN MOI download :
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài.
a. Kết quả khảo sát.
Sau khi khảo sát ở các lớp nói trên, nhóm tác giả thu được kết quả như sau:
Thứ tự
Lớp
Số học sinh
Điểm trung bình
1
12A1
39
5.9
2
12A2
36
5.1
3
12A3
38
4.7
4
12B
36
4.4
5
12D1
41
4.5
b. Phân tích, đánh giá thực trạng.
Trường THPT Thanh Chương 3 đóng trên một địa bàn rất rộng với 9 xã thuộc
cụm Cát Ngạn. Nhiều xã cịn khó khăn về kinh tế, đường giao thơng đi lại cịn nhiều
khó khăn. Việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan
tâm từ các bậc học Tiểu học, Trung học cơ sở. Vì vậy, kiến thức cơ sở về mơn Tốn
của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá.
Đối với bài tốn liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối, kết quả khảo sát ở bảng trên cho thấy các em chưa thực sự tự tin trong việc tiếp
cận bài toán, nhiều em chưa giải quyết được các bài toán cơ bản (câu 1, 2, 3, 4, 5).
Qua việc quan sát các em khi làm bài khảo sát, chúng tôi nhận thấy chỉ có khoảng
30% học sinh hứng thú với các câu từ câu 5 đến câu 7, chỉ khoảng 10% học sinh
thực sự hứng thú với các câu số 8, 9, 10.
3. GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Qua trao đổi với các em học sinh và giáo viên dạy Toán khối 12, chúng tơi nhận
thấy rằng khó khăn lớn nhất mà các em gặp phải khi giải các bài toán chứa tham số
là các em không biết phân chia các trường hợp như thế nào, từ đó chúng tơi đề xuất
sử dụng bảng biến thiên và đồ thị trong việc giải quyết các bài tốn.
3.1. Bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) | trên đoạn , .
Bài toán tổng quát số 1: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên
, .
quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y | f (x ) | trên đoạn
Nêu
, .
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính f '(x ) .
Bước 2: Giải phương trình f '(x ) 0 trên đoạn
, .
6
TIEU LUAN MOI download :
Tìm các điểm
x 1, x 2 , ..., x n trên
đoạn
, ,
tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên hàm số y f (x ) trên đoạn
, .
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, vẽ bảng biến thiên hàm số
.
Vẽ thêm đường thẳng
f x
y 0 Ox .
y f (x )
trên đoạn
,
Coi bảng biến thiên của f x như là đồ thị hàm số
thu nhỏ. Giữ nguyên phần đồ thị phía trên đường thẳng
phần đồ thị phía dưới đường thẳng
thiên hàm số y f (x ) .
y0
qua đường thẳng
Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận
y 0.
y0
Lấy đối xứng
ta được bảng biến
max | f (x ) | , min | f (x ) | .
;
;
Sau đây là một số bài tập ví dụ:
Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y x 2 3x 1
trên đoạn
0; 3 .
Hướng dẫn giải:
Đặt f x x 2 3x 1 f x 2x 3 .
Bảng biến thiên f x trên đoạn
Bảng biến thiên của
f x
0; 3 :
trên đoạn
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
f x 0 x
0; 3 :
Max f x
0;2
3
0; 3 .
2
5
4
;
Min f x 0 .
0;2
Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y | x 3 6x 2 9x 1 |
trên đoạn 0, 4 .
7
TIEU LUAN MOI download :
Hướng dẫn giải:
Đặt f x x 3 6x 2 9x 1 f x 3x 2 12x 9.
Bảng biến thiên của f x trên đoạn
Bảng biến thiên của
f x
0; 4 :
trên đoạn
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
x 1
f x 0
x 3
0; 4
Max f x 3 ; Min f x 0 .
0;4
0;4
Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
2x 1
x 2
trên đoạn
4; 3 .
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D 2 . Dễ thấy
Đặt f x
2x 1
5
f x
2
x 2
x 2
2 4; 3 .
.
Bảng biến thiên của hàm số f x trên đoạn
Bảng biến thiên của hàm số
4; 3 :
f x trên
đoạn
4; 3 :
8
TIEU LUAN MOI download :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
f x
Max f x 7 ; Min
4;3
4;3
9
.
2
Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y sin 3x 6 sin x 2 .
Hướng dẫn giải:
Ta có sin 3x 6 sin x 2 3 sin x 4 sin3 x 6 sin x 2 4 sin3 x 6 sin x 2
Đặt t sin x 1 t 1 , f t 4t 3 9t 2
f t 12t 2 9. f t 0 t
Bảng biến thiên của f t trên đoạn
Bảng biến thiên của hàm
f t
3
2
.
1;1 :
trên đoạn
1;1 :
f t 2 3 3 ;
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max
1;1
Min f t 0 .
1;1
Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
2x x 2 2x
.
Hướng dẫn giải:
9
TIEU LUAN MOI download :
Tập xác định:
D 0;2
1x
Đặt f x 2x x 2 2x f x
f x 0
2x x 2
2.
x 1
2 1 x 2 2x x 2
1 2x x 2 4 2x x 2
2x x 2
1x
x 1
52 5
2
x
5x 10x 1 0
5
.
Bảng biến thiên của f x trên đoạn
Bảng biến thiên của
f x
0; 2 :
trên đoạn
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
0; 2 :
Max f x 4 ; Min f x 0 .
0;2
0;2
3.2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
; .
Bài toán tổng quát số 2: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên đoạn
Giả sử
max f x M , min f x m .
;
;
Tìm
max f x
;
và
min f x
;
; .
.
Hướng dẫn giải
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: M .m 0
Có hai khả năng trong trường hợp này:
10
TIEU LUAN MOI download :
M , m 0, f x 0 x ;
M , m 0, f x 0x ;
Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:
max f x max M ; m
;
min f x min M ; m
;
Trường hợp 2:
M .m 0
Vì f x là hàm liên tục trên đoạn
nhất một nghiệm thuộc đoạn
;
và
M .m 0
; .
nên phương trình f x 0 có ít
Cũng có hai khả năng xảy ra trong trường hợp này:
M 0, m 0, M m
M 0, m 0, M m
(Chú thích: hai hình vẽ này minh họa chiều biến thiên của hàm số f (x ) nhằm giúp
học sinh phát hiện ra min
f (x ) 0 , giáo viên và học sinh có thể lấy ví dụ cụ thể hơn
;
để có một bảng biến thiên chính xác)
Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:
max f x max M ; m
;
min f x 0
;
.
Bài toán tổng quát số 3: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
tham số a .
;
; .
theo
Các bước thực hiện:
11
TIEU LUAN MOI download :
Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) .
Bước 2: Tìm các điểm
x 1, x 2 ,... trên
đoạn
định.
Bước 3: Tính giá trị
trên đoạn
, .
, ,
f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),...
tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc khơng xác
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f (x )
max f (x ) , min f (x ) .
Bước 4: Tìm
;
Bước 5: Tìm
;
max | f (x ) a |, min | f (x ) a | .
;
;
nhất của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
Từ đó tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
;
theo tham số a . Cụ thể:
Giả sử
M max f x , m min f x .
Khi đó
max f (x ) a M a, min f (x ) a m a .
;
;
;
Hiển nhiên ta có
M m.
;
Vận dụng bài tốn tổng qt số 2, ta có kết quả sau:
Trường hợp 1: M a m a 0 a ; M m;
Trường hợp 2: M
.
max f x a max M a ; m a
;
min f x a min M a ; m a
;
a m a 0 a M ; m
max f x a max M a ; m a
;
min
f x a 0
;
.
Sử dụng kết quả ở hai trường hợp trên, học sinh đã có thể giải quyết được khá nhiều
các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng
trong quá trình giải quyết vấn đề, học sinh chắc chắn phải so sánh hai giá trị M a
và
m a
. Bằng cách vẽ đồ
thị
của
hai hàm số
và y m a lên
y M a
cùng một hệ trục tọa độ, kết
quả sẽ chi tiết hơn như sau:
Để tìm hồnh độ điểm
A,
học sinh chỉ cần giải phương trình:
12
TIEU LUAN MOI download :
a m a M a
m M
2
Dựa vào đồ thị và kết quả ở hai trường hợp nêu trên, học sinh có thể đưa ra được
kết quả sau đây:
m M
a m a
2
max f x a max M a ; m a
m M
;
a M a
2
.
min M a ; m a a ; M m;
min f x a
;
a M , m
0
a M x (; M )
min f x a 0
x M ; m
;
a m x m;
Kết quả trên có thể minh họa bằng đồ thị như sau:
Học sinh thường nhầm lẫn khi tìm
f (x ) a
min
;
là các đường vẽ nét đứt ở
trên hình vẽ. Vì vậy khi vẽ phác họa đồ thị để tìm GTLN và GTNN, hai đoạn này nên
được gạch đi hoặc vẽ nét đứt để tránh nhầm lẫn.
Khi minh họa kết quả
max | f (x ) a |, min | f (x ) a | bằng
;
;
đồ thị, học sinh sẽ
dễ dàng hơn trong việc tìm giá trị của tham số a trong các bài toán liên quan giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Học sinh cần giải thích được tại sao đường thẳng
y a m, y a M lại
song song với nhau, tương tự với y a m, y a M . Điều này rất quan trọng
trong việc tăng tốc độ xử lí các bài toán đặc biệt là khi M , m có giá trị lớn. Khi đó,
học sinh chỉ cần vẽ phác họa như sau để hình dung ra kết quả:
13
TIEU LUAN MOI download :
Với việc không phải vẽ hệ trục tọa độ, học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc vẽ
đồ thị, tăng được tốc độ xử lý các bài toán trong khi kết quả vẫn không hề thay đổi.
Kỹ thuật này sẽ được áp dụng hầu hết ở các bài toán sau đây.
3.2.1. Tìm tham số
a
để GTLN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
K.
Bài toán 2.1: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên đoạn
a
để giá trị lớn nhất của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
;
bằng
;
; .
bằng
Tìm tham số
K.
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) .
Bước 2: Tìm các điểm
x 1, x 2 ,... trên
đoạn
định.
Bước 3: Tính giá trị
trên đoạn
, .
Bước 4: Tìm
, ,
f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),...
tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f (x )
M max f (x ) , m min f (x ) .
;
;
Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số
tọa độ. Vẽ đường thẳng
y K
y M a
và
y m a
lên cùng một hệ trục
từ đó tìm ra tham số a .
Từ hình vẽ, học sinh có thể nhận thấy ngay:
14
TIEU LUAN MOI download :
- Nếu
K
Cụ thể
M m
2
thì sẽ có hai giá trị của tham số
a
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
a M K
a K M
a m K
a K m .
- Nếu
K
M m
2
thì có duy nhất một giá trị
- Nếu
K
M m
2
thì khơng có giá trị
Bằng cách thay hàm số
a
a
M m
2
thỏa mãn.
thỏa mãn yêu cầu.
f (x ) bởi các hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm
số phân thức hữu tỷ bậc 1 trên bậc 1, hàm số lượng giác, hàm số vô tỷ, hàm số mũ,
hàm số logarit … giáo viên và học sinh có thể sáng tạo được các bài tốn tương tự
hóa. Các bài tốn này có thể được sáng tạo bằng cách thay đổi các cách hỏi khác
nhau như: “Có bao nhiêu giá trị của tham số a …”, “Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số a …”,“Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a [10;10] …”, “Tổng
của các giá trị tham số a …”.
Sau đây là một số bài tập vận dụng:
Bài 1. Tìm
a
để giá trị lớn nhất của hàm số
y x 2 4x 3 a
trên đoạn
1; 4
bằng
5.
Hướng dẫn giải: Đặt
f (x ) x 2 4x 3 f (x ) 2x 4, f (x ) 0 x 2 1; 4 .
f (1) 0, f (2) 1, f (4) 3 max
f (x ) 3, min
f (x ) 1 .
1;4
Phác họa đồ thị hàm số
1;4
y 3 a , y 1 a
:
Tọa độ điểm A :a 3 a 1 a 1 A 1;2 . Vẽ đường thẳng y 5 .
15
TIEU LUAN MOI download :
Dựa vào đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số
khi
1 a 5
a 3 5
y x 2 4x 3 a
trên đoạn
a 4
a 2 .
Bài 2. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y | x 3 3x 2 9x a | trên đoạn
8.
1; 4
bằng 5
2; 4
bằng
Hướng dẫn giải:
Đặt
x 1 2; 4
.
f (x ) x 3 3x 2 9x f (x ) 3x 2 6x 9, f (x ) 0
x 3 2; 4
f (x ) 5, min f (x ) 27 .
f (2) 2, f (1) 5, f (3) 27, f (4) 20 max
2;4
Phác họa đồ thị hàm số
Để vẽ đường thẳng
Từ phương trình
y 5 a , y 27 a
y8
2;4
:
thì học sinh cần tìm được tọa độ điểm
a 27 a 5 a 11 A 11;16 .
Vẽ thêm đường thẳng
Dựa vào đồ thị, ta thấy khơng có giá trị nào của tham số
đề ra.
a
y 8.
thỏa mãn yêu cầu của
là tập hợp các giá trị của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số
x 4 4x 2 a trên đoạn 2; 3 bằng 30 . Tính tổng các giá trị của tập hợp S .
Bài 3. Gọi
y
A.
S
Hướng dẫn giải:
Đặt f (x ) x 4 4x 2 f (x ) 4x 3 8x .
x 0 2; 3
.
f (x ) 0
x 2 2; 3
f (x ) 45, min f (x ) 4 .
f (2) 0, f (0) 0, f ( 2) 4, f (3) 45 max
2;3
2;3
16
TIEU LUAN MOI download :
Phác họa đồ thị hàm số
Từ phương trình:
y a 45 , y a 5
:
a 5 a 45 a 20 A 20; 25 .
Vẽ thêm đường thẳng
y 30 :
Dựa vào hình vẽ ta có, giá trị lớn nhất của hàm số
bằng
30
khi
a 5 30
a 45 30
y x 4 4x 2 a
a 25
a 15 S 25; 15 .
Tổng các phần tử của tập hợp
f 1 sin x a
2; 3
S : 25 15 40 .
Bài 4. Cho hàm số f x x 2 2x . Có bao nhiêu giá trị
số
trên đoạn
a
để giá trị lớn nhất của hàm
bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đặt
u 1 sin x u 0; 2 . f (u ) u 2 2u f (u ) 2u 2. f (u ) 0 u 1 0; 2 .
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0 max f (u ) 0, min f (u) 1 .
0;2
Phác họa đồ thị hai hàm số
0;2
y a ,y a 1 :
17
TIEU LUAN MOI download :
1 1
1
Từ phương trình a a 1 a A ; . Vẽ thêm đường thẳng
2 2
2
y 5:
Dựa vào hình vẽ, giáo viên và học sinh có thể thấy ngay có 2 giá trị của
mãn yêu cầu của bài toán.
Bài 5. Tìm các giá trị của tham số
y
x ax a
x 1
2
trên đoạn
1;2
a
a
thỏa
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 2.
Hướng dẫn giải:
Đặt
f (x )
x 2 ax a
x2
x 2 2x
a f (x )
0 x 1; 2 .
2
x 1
x 1
x 1
4
1
1
4
f (x ) a , min f (x ) a .
f (1) a , f (2) a max
1;2
1;2
3
2
2
3
4
3
1
2
Phác họa đồ thị hai hàm số y a , y a :
1
2
4
3
Từ phương trình a a 2a
thẳng
11 5
11
11
a A ; .
12 12
6
12
Vẽ thêm đường
y 2:
18
TIEU LUAN MOI download :
u cầu của bài tốn
3.2.2. Tìm tham số
a
a 1 2
2
a 4 2
3
a 5
2.
a 2
3
để GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
Bài toán 2.2: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên đoạn
số
a
để giá trị nhỏ nhất của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
;
;
; .
bằng k .
Tìm tham
bằng k .
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) .
Bước 2: Tìm các điểm
x 1, x 2 , ... trên
đoạn
, ,
tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc khơng
xác định.
Bước 3: Tính giá trị
y f (x )
trên đoạn
, .
Bước 4: Tìm
f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),...
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số
M max
f (x ) , m min
f (x ) .
;
;
Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số
hệ trục tọa độ. Vẽ đường thẳng
y k
y M a
và
y m a
lên cùng một
từ đó tìm ra tham số a .
Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán
tổng quát số 2. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
1
4
Bài 1. Cho hàm số y x 4 2x 2 a . Gọi
tham số
a
để GTNN của hàm số trên đoạn
1; 3
S
là tập hợp tất cả các giá trị của
bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đặt
x 0 1; 3
1 4
f (x ) x 2x 2 f (x ) x 3 4x , f (x ) 0 x 2 1; 3 .
4
x 2 1; 3
19
TIEU LUAN MOI download :
9
7
9
f (x ) , min
f (x ) 4 .
f (0) 0, f (1) , f (2) 4, f (3) max
1;3
4 1;3
4
4
Phác họa đồ thị hai hàm số y
9
a , y 4 a
4
9
7
:
7 25
. Vẽ
8
Từ phương trình: a 4 a a A ;
8
4
8
1
4
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 2x 2 a trên đoạn
a 9 5
4
a 4 5
1
3
a
S
A. 38.
Hướng dẫn giải:
f (x )
bằng
S
5
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
phần tử của tập
Đặt
1; 3
y 5.
a 29
4 .
a 9
Bài 2. Cho hàm số y x 3 2x 2 3x a . Gọi
của tham số
thêm đường thẳng
là
B.
C.
36.
1 3
x 2x 2 3x f (x ) x 2 4x 3, f (x ) 0
3
f (3) 36, f (1)
3; 4
39.
bằng 0. Số
D.
40.
x 1 3; 4
.
x 3 3; 4
4
4
4
f (x ) , min
f (x ) 36 .
, f (3) 0, f (4) max
3;4
3 3;4
3
3
Phác họa đồ thị hai hàm số y
4
a , y 36 a
3
:
20
TIEU LUAN MOI download :
Dựa vào hình vẽ, u cầu của bài tốn
Vậy tập hợp
S
4
a 36 S 1; 0;1;...; 35; 36 .
3
có 38 phần tử.
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị của tham số
y
2x 1
a
x 2
trên đoạn
1;2
a
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đặt f (x )
2x 1
5
f (x )
0x 1;2
x 2
(x 2)2
max f (x ) f (2)
1;2
3
, min f (x ) f (1) 3 .
4 1;2
Phác họa đồ thị hai hàm số y
3
a , y 3 a
4
và đường thẳng
Dựa vào hình vẽ, ta thấy ngay có hai giá trị của tham số
a
y 3:
thỏa mãn yêu cầu đề ra.
Hai giá trị của tham số a chính là hồnh độ của hai giao điểm của đường thẳng
y3
và phần đồ thị màu xanh.
21
TIEU LUAN MOI download :
3.2.3. Tìm tham số
a
để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
không vượt quá số K .
Bài toán: Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên đoạn
để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) a | trên đoạn
;
; .
;
Tìm tham số
khơng vượt q số
K
a
.
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) .
Bước 2: Tìm các điểm
x 1, x 2 , ... trên
đoạn
định.
Bước 3: Tính giá trị
trên đoạn
, .
Bước 4: Tìm
, ,
f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),...
tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f (x )
M max f (x ) , m min f (x ) .
;
;
Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số
tọa độ. Xác định
y M a
max f (x ) a , min f (x ) a
;
;
và
y m a
. Vẽ đường thẳng
lên cùng một hệ trục
y K
từ đó tìm ra tham
số a .
Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài tốn tổng qt
số 3. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Bài 1. Cho hàm số
y x 3 3x a
nhất của hàm số trên đoạn
0; 2
. Tìm các giá trị của tham số
a
sao cho giá trị lớn
không vượt quá 3 .
Hướng dẫn giải:
Đặt
x 1 0;2
.
f (x ) x 3 3x f (x ) 3x 2 3, f (x ) 0
0; 2
x
1
f (x ) 2, min f (x ) 2 .
f (0) 0, f (1) 2, f (2) 2 max
0;2
Phác họa đồ thị
y a 2 ,y a 2
0;2
:
22
TIEU LUAN MOI download :
