(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN tư DUY học SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC các bài TOÁN cực TRỊ HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:
RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI
THÁC CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ

LĨNH VỰC: MƠN TỐN HỌC

Diễn Châu, tháng 04 năm 2022

TIEU LUAN MOI download :


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THƠNG QUA KHAI
THÁC CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ

LĨNH VỰC: MƠN TỐN HỌC

Người thực hiện: NGUYỄN VĂN DŨNG
Tổ bộ mơn: Tốn - Tin
Điện thoại: 0349734147
Email:

Diễn Châu, tháng 04 năm 2022

TIEU LUAN MOI download :


MỤC LỤC
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang 1

1. Lý do chọn đề tài

Trang 1

2. Tính cấp thiết của đề tài

Trang 2

3. Tính mới của đề tài

Trang 2

4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài

Trang 2

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trang 2

6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 3

Phần II. NỘI DUNG

Trang 3

1. Cơ sở khoa học

Trang 3

1.1. Cơ sở lý luận

Trang 3

1.2. Cơ sở thực tiến

Trang 3

2. Thực trạng về các bài toán cực trị trong không gian Oxyz

Trang 5

3. Phương hướng và giải pháp

Trang 6

3.1. Bài tốn cực trị về khoảng cách trong khơng gian Oxyz

Trang 7

3.1.1. Giải pháp chung

Trang 7

3.1.2. Ví dụ áp dụng

Trang 9

3.1.3. Bài tập tham khảo

Trang 23

3.2. Bài toán cực trị về góc trong khơng gian Oxyz

Trang 24

3.2.1. Giải pháp chung

Trang 24

3.2.2. Ví dụ áp dụng

Trang 25

3.2.3. Bài tập tham khảo

Trang 34

3.3. Bài tốn cực trị về diện tích, thể tích trong khơng gian Oxyz

Trang 35

3.3.1. Giải pháp chung

Trang 35

3.3.2. Ví dụ áp dụng

Trang 36

3.3.3. Bài tập tham khảo

Trang 40

3.4. Bài tốn cực trị khác trong khơng gian Oxyz
3.4.1. Giải pháp chung

Trang 41
Trang 42

TIEU LUAN MOI download :


3.4.2. Ví dụ áp dụng

Trang 42

3.4.3. Bài tập tham khảo

Trang 51

Phần III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trang 53

1. Kết luận về quá trình nghiên cứu

Trang 53

1.1. Về quá trình nghiên cứu và triển khai

Trang 53

1.2. Phân tích kết quả thực nghiệm

Trang 57

1.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

Trang 57

2. Ý nghĩa của đề tài

Trang 57

3. Đề xuất và kiến nghị

Trang 58

PHỤ LỤC

Trang 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 69

TIEU LUAN MOI download :


Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Tư duy có vai trị đặc biệt quan trọng đối với hoạt động thực tiễn cũng như đối
với hoạt động nhận thức của con người. Tư duy giúp con người nhận thức được quy
luật khách quan từ đó có thể dự kiến một cách khoa học xu hướng phát triển của sự
vật, hiện tượng và có kế hoạch biện pháp cải tạo hiện thực khách quan.
Có thể nói, khả năng tư duy là một trong những kỹ năng có giá trị nhất, có tính
ứng dụng cao nhất mà mỗi người cần có để học tập, làm việc có hiệu quả. Bởi ngày
này với sự phát triển của công nghệ và tri thức cao, người ta làm việc dựa trên kỹ
năng tư duy, mà không dung nhiều cơ bắp vào công việc. Mỗi người cần vận dụng
những tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân vào cơng việc của mình làm để
mang lại kết quả tốt hơn, có hiệu quả cao hơn.
Tư duy giúp con người thu thập, phân tích và sử dụng thông tin, ra quyết định
cũng như hợp tác với người khác để giải quyết vấn đề, đóng góp ý tưởng, phát triển
bản thân.
Tiềm năng của bộ não con người là rất lớn. Do đó, mỗi người hãy để cho não bộ
làm việc thường xuyên, luôn rèn luyện kỹ năng tư duy cho bản thân để học tập làm
việc có hiệu quả, đem đến năng suất cao.
Những người khơng có thói quen đặt câu hỏi, khơng có khả năng khám phá, lựa

chọn sẽ khó có thể tiến lên trong cuộc sống. Khả năng suy nghĩ, tư duy tốt sẽ giúp
cho những người trẻ, đặc biệt là các em học sinh phát triển bản thân, đạt được những
thành tích, thành công trong hiện tại và tương lai.
Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia (TN
THPT QG) ln xuất hiện bài tốn cực trị hình học trong khơng gian Oxyz. Chẳng
hạn: Câu 49, đề 104, đề thi TN THPT QG năm học 2020-2021: “Trong không gian
Oxyz  , cho hai điểm A2;1; 3 , B 1; 3; 2 . Xét hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt
phẳng Oxy  sao cho MN  3 . Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng
A. 65 .

B. 29 .

C. 26 .

D. 91 .

Trong quá trình dạy, nhận ra khi các em học sinh gặp bài chủ đề này đa số các
em, đặc biệt các em có học lực Khá, khá hoang mang, lo lắng, chưa biết định hướng
giải bài này như thế nào? Các em thường bỏ qua không làm mà cũng không phân
tích bài tốn, đặt câu hỏi. Ngun nhân một phần bởi thời gian chương trình, bài tập
về chủ đề này rất là ít và hạn chế, một phần bởi độ khó của bài tập, bài tập đưa ra
chưa hệ thống và chưa có giải pháp, định hướng, một phần bởi khả năng tư duy các
em học sinh.
Với những điều nhận ra, tôi mong muốn giúp các em rèn luyện tốt khả năng tư
duy, giúp các em có tâm lí tốt, biết cách đặt câu hỏi, phân tích khi gặp bài tốn khó
để từ đó giải quyết được nó. Tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện tư duy

TIEU LUAN MOI download :

1

học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài tốn cực trị hình học khơng gian
Oxyz ’’.
2. Tính cấp thiết của đề tài
- Các bài tốn cực trị hình học không gian Oxyz là một nội dung ôn thi THPT QG
mà các em học sinh khối 12 rất quan tâm, lo lắng, đặc biệt là các em học lực Khá,
Giỏi.
- Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập cịn ít và đang ở mức vận dụng, thậm
chí vận dụng cao, chưa trình bày giải pháp, chưa được hệ thống dẫn tới tâm lí hoang
mang, lo lắng, khơng định hướng được để giải quyết bài tốn.
3. Tính mới của đề tài
- Rèn luyện tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh khi gặp bài toán cực trị
hình học khơng gian Oxyz .
- Các bài tập được xây dựng theo mức độ và hệ thống, bên cạnh đó nêu giải pháp
phù hợp cho từng dạng tốn giúp các em học sinh học tập theo năng lực, phát huy
khả năng của mình, khơng gây tâm lí hoang mang, lo lắng khi giải quyết bài toán.
- Đặt các câu hỏi định hướng để các em dần có thói quen đạt câu hỏi để giải quyết
bài toán cực trị hình học khơng gian Oxyz , giải quyết bài tốn cũng như giải quyết
các vấn đề trong cuộc sống.
- Nhiều bài tập ở mức độ thông hiểu được bản thân xây dựng nhằm giúp các em học
sinh có hứng thú tìm hiểu, để từ đó có thể giải quyết bài toán ở mức độ vận dụng,
vận dụng cao.
4. Khả năng ứng dụng và triển khai của đề tài
Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ
thơng và các thầy cơ dạy Tốn THPT tham khảo. Vì đề tài xây dựng
bài tốn theo các mức độ, do đó hồn tồn phù hợp với các
đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh khá, học sinh giỏi (HSG), học sinh ôn thi
TN THPT QG.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh THPT
- Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
- Các bài tốn về cực trị hình học không gian Oxyz và các vấn đề liên quan.
5.2. Phạm vi nghiên cứu.
- Bám sát nội dung chương trình tốn THPT.
- Mở rộng nội dung phù hợp với ôn thi HSG và ôn thi TN THPT QG.

TIEU LUAN MOI download :

2


6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp và phân tích các bài tốn trong kì thi
TNTHPT QG những năm gần đây, trong sách giáo khoa, sách bài tập.
- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán tạo ra, đặc biệt là hệ thống bài tập
theo mức độ, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và phổ biến cho đồng nghiệp sử
dụng để khảo nghiệm đề tài, rút ra kết luận, bổ sung vào đề tài.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp bài toán theo dạng, theo
giải pháp phù hợp, bài tập phân theo mức độ.
6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng phương hướng giải quyết bài tốn cực trị hình học không gian Oxyz.
- Đưa ra một số nhận xét, câu hỏi định hướng, phân tích lời giải cho từng bài toán.
- Sáng tác các bài toán ở mức độ thơng hiểu, vận dụng để các em học sinh có thể
tiếp cận và giải quyết, định hướng khai thác, mở rộng thêm.
Phần II. NỘI DUNG
1. Cơ sở khoa học
1. 1. Cơ sở lí luận

- Bài tốn cực trị là một trong những nội dung khó trong chương trình tốn THPT,
nó gắn liền với các chủ đề dạy học, đòi hỏi tư duy logic cao, việc nắm vững phương
pháp giải, cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề không những giúp học sinh
học tốt bộ mơn tốn nói riêng mà cịn có khả năng tư duy logic với các môn học
khác.
- Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn tốn nói
chung và giải các bài tốn cực trị nói riêng. Trong đó có bài tốn cực trị hình học
trong khơng gian Oxyz . Qua q trình giảng dạy mơn tốn, tơi đã tìm hiểu, hệ thống
bài tốn tìm cực trị, tìm cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề cho học sinh.
Từ đó, hình thành kỹ năng và phát triển tư duy cho các em học sinh.
1.2. Cơ sở thực tiễn
- Đề tài mục đích xây dựng hệ thống bài tập cực trị hình học khơng gian Oxyz theo
các mức độ, có phân tích, đặt câu hỏi định hướng. Điều này bắt nguồn từ một thực
tiễn là đề thi TN THPT QG những năm gần đây đều xuất hiện bài tốn cực trị hình
học khơng gian Oxyz ở mức độ vận dụng, thậm chí vận dụng cao làm nhiều em học
sinh, đặc biệt học sinh có học lực khá lo lắng, quan tâm nhưng chưa giải quyết được.
Câu 48, Đề tham khảo BGD&ĐT năm 2017:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  3  0 và mặt


cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0. Giả sử M   P và N   S  sao cho MN

TIEU LUAN MOI download :

3




cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN .

B. MN  1  2 2 .

A. MN  3 .

C. MN  3 2 .

D. MN  14 .

Câu 48, Mã đề 105, Đề thi TNTHPT QG năm 2017:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu

2
2
2
 S  :  x 1   y  2   z  3  25 . Mặt phẳng  P : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và
cắt  S  theo giao tuyến là đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c

A. T  3 .
B. T  4 .
C. T  5 .
Câu 44, Mã đề 123, Đề thi TNTHPT QG năm 2017:

D. T  2 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  9 , điểm
M (1;1;2) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  4  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua M , thuộc
(P) và cắt ( S ) tại 2 điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng  có một vectơ chỉ

phương là u (1; a ; b) , tính T  a  b .
A. T  0 .

B. T  1 .

C. T  2 .

D. T  1 .

Câu 47, Mã đề 103, đề thi TNTHPT QG Năm 2018:
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1;2;3 và đi qua điểm A5;2;1

. Xét các điểm B, C, D thuộc  S  sao cho AB, AC , AD đơi một vng góc với nhau.
Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng.
A. 256

B. 128

C.

256
3

D.

128
.
3

Câu 45, Đề tham khảo BGD&ĐT 2019:
Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng  P : 2 x  2 y  z  3  0 và mặt
cầu  S  :  x  3   y  2   z  5  36 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong

2

2

2

 P và cắt  S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  là
 x  2  9t

A.  y  1  9t .

 z  3  8t

 x  2  5t

B.  y  1  3t .

 z  3

 x  2  t

C.  y  1  t .

 z  3

 x  2  4t

D.  y  1  3t .

 z  3  3t

Câu 45, Mã đề 102, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;4;  3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song
song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d
lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. P 3;0;  3 .

B. Q 0;11;  3 .

C. N 0;3; 5 . D. M 0;  3; 5 .

TIEU LUAN MOI download :

4


Câu 45, Mã đề 104, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;3; 2. Xét đường thẳng d thay đổi, song song
với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn
nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. Q 2;0;  3 .

B. M 0;8; 5 .

C. N 0;2; 5 . D. P 0; 2; 5 .

Câu 49, Mã đề 104, Đề thi THPT QG năm 2021:
“Trong không gian Oxyz , , cho hai điểm A2;1;3 , B 1;3;2 . Xét hai điểm M , N
thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho MN  3 . Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng
A. 65 .

B. 29 .

C. 26 .

D. 91 .

Từ các cơ sở thực tiễn đó và trên việc phân tích các đê thi thử của các Sở, các
trường trên cả nước, đề tài hướng tới xây dựng hệ thống các bài tập tương tự và mở
rộng, phát triển bài tập theo các mức độ, phù hợp với đối tượng học sinh.
2. Thực trạng về các bài tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz
- Các bài tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz xuất hiện rất ít trong tài liệu tham
khảo, cụ thể:
 Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản có đưa ra bài tốn:
Bài 4, trang 99: Trong không gian Oxyz  , cho hai điểm A1; 2;1 , B 7; 2;3 và
đường thẳng d có phương trình:

x  1  3t



 y  2  2t




 z  2  2t

Tìm điểm I trên d sao cho AI  BI nhỏ nhất.
 Sách bài tập hình học 12 cơ bản xuất hiện hai bài toán.

Bài 3.30, trang 99: Lập phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M 1;2;3 và cắt
ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
 x  1  t
x y2 z
 và 2 :  y  2  t .Cho
Bài 3.46, trang 115: Cho hai đường thẳng 1: 

2
3
4
 z  1  2t
điểm M 2;1;4 , tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH

có độ dài nhỏ nhất.
 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao có đưa ra bài tốn:
Bài 40, trang 125: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M 0 1;1;1 cắt ba tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

TIEU LUAN MOI download :

5


Bài 74, trang 134: a. Cho hai điểm A3;1;0 , B 9;4;9 và mặt phẳng
 : 2 x  y  z  1  0 . Tìm M thuộc mặt phẳng  thỏa mãn MA  MB lớn nhất.
b. Cho hai điểm A3;1;1, B 7;3;9 và mặt phẳng  : x  y  z  3  0 . Tìm M thuộc




mặt phẳng  thỏa mãn MA  MB nhỏ nhất.
Bài 28, trang 147: Cho hai điểm
:

A1;4;2 , B 1;2;4 và

đường thẳng

x 1 y  2 z

 . Điểm M thuộc  mà MA2  MB 2 min có tọa độ là:
1
1
2

A. 1;0;4 .

B. 0; 1;4 .

C. 1;0; 4 .

D. 1;0; 4 .

Bài 15, trang 226: Trong không gian Oxyz , Cho hai điểm A3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt
phẳng  P : x  y  z  7  0 .
a. Viết phương trình đường thẳng d nằm  P mà mọi điểm của d đều cách đều A, B.
b. Tìm điểm C  d sao cho S ABC nhỏ nhất.
 Sách bài tập hình học 12 nâng cao chỉ đưa ra một bài toán:
Bài 6, trang 116: Cho hai điểm A1;6;6, B 3;6; 2 . Tìm M thuộc mặt phẳng
Oxy  sao cho MA  MB nhỏ nhất.

Phần nào có thể thấy, tài liệu có đề cập đến các bài tốn cực trị hình học không
gian Oxyz , tuy nhiên bài tập chưa được hệ thống, chưa có giải pháp và số lượng bài
tập khơng nhiều. Cần xây dựng thành các dạng tốn theo mức độ, bên cạnh đó là các
giải pháp, các câu hỏi định hướng, phân tích lời giải,…để phần nào rèn luyện tư duy
cho các em học sinh khối 12. Qua đó dần hình thành một số kĩ năng giải quyết vấn
đề trong học tập cũng như thực tiễn cuộc sống.
3. Phương hướng và giải pháp
Đối với bài toán cực trị hình học khơng gian Oxyz , chúng ta thường xử lí theo
hai hướng.
Hướng Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng
các bất đẳng thức Cô-si, bunhia cốpxki hoặc khảo sát hàm số để giải quyết bài tốn.
Hướng Hình học: Sử dụng kết quả một số bài tốn cực trị trong hình học khơng
gian, các bất đẳng cơ bản trong hình học để đánh giá từ đó giải quyết bài tốn.
Mỗi hướng đều có ưu, nhược điểm nên chúng ta cần phân tích để chọn hướng phù
hợp cho từng dạng tốn, bài toán ngay từ ban đầu để giải quyết được bài tốn một
cách hiệu quả, khơng mất nhiều thời gian.
Với hướng giải đại số thì ít cần đến trí tưởng tượng khơng gian mà u cầu tính tốn
nhiều hơn, tuy nhiên lại mất nhiều thời gian và dễ dẫn đến sai sót trong q trình
tính tốn.

TIEU LUAN MOI download :

6


Với hướng Hình học thì cần học sinh tưởng tượng khơng gian tốt hơn nhưng có lời
giải khá ngắn gọn, mất ít thời gian hơn.
Với hướng giải nào cũng cần các em nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng
thức đại số, khảo sát hàm số và các bất đẳng thức hình học. Những vấn đề này sẽ
được đề cập lại trong các dạng toán dưới đây.

3.1. Bài tốn cực trị về khoảng cách trong khơng gian Oxyz
3.1.1. Giải pháp chung
Về khoảng cách trong hình học khơng gian Oxyz xoay quanh qua ba đối tượng
cơ bản: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
 Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A xA ; y A ; z A  ,
B  xB ; yB ; z B  . Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  .
2

2

2

 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng:
Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là khoảng cách
giữa hai điểm A và M , trong đó M là hình chiếu của điểm A tren đường thẳng d .
Kí hiệu: d  A, d   AM .
A

d

M

P

Chú ý: d  A, d   AM  AK , K  d .

Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho điểm A xA ; y A ; z A  , d có vectơ chỉ


phương u u1; u2 ; u3  . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là d  A, d  :
 
 AM , u


Cách 1. d  A, d     với điểm M bất kì thuộc d .
u

Cách 2. Bước 1: Gọi M là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Tham số hóa điểm
M theo t .






 

Bước 2: Tìm tọa độ AM theo t , vì AM vng góc với u nên AM .u  0 , từ đó tìm t .
Bước 3: Biết t , tìm tọa độ M , từ đó tìm được d  A, d   AM .
 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng:
Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P là khoảng cách
giữa hai điểm A và M , trong đó M là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng  P .
Kí hiệu: d  A, P  AM .

TIEU LUAN MOI download :

7

A

M
K

P

Chú ý: d  A, P  AM  AK , K   P  .

Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; y A ; z A  ,
 : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  là:
d  A, 

Ax A  By A  Cz A  D
A2  B 2  C 2

.

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khía cạnh hình học: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng độ
dài đoạn vng góc chung MN của hai đường thẳng ấy.
M
a

b
N

Δ

Ký hiệu: d a, b  MN .

Chú ý: d a, b  MN  PQ , Với mọi P  a , với mọi Q  b .
Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt có các
 

vectơ chỉ phương u1 , u2 .
Cách 1. Bước 1: Lấy tọa độ điểm M  a và N  b .
  
u , u  .M M
 1 2  1 2
Bước 2: d a, b 
.
 
u , u 
 1 2 

Cách 2. Bước 1: Tham số hóa điểm M  a theo t , tham số hóa điểm N  b theo t ' .


Lập vectơ MN theo t , t ' .

 
Bước 2: Vì MN vng góc với cả u1 , u2 nên

 


MN .u1  0 từ đó tìm được t , t ' .
  




MN .u2  0

Bước 3: Từ t , t ' tìm được tọ độ hai điểm M , N . Tính d a, b  MN .

TIEU LUAN MOI download :

8


Đề giải quyết bài toán dạng này, chúng ta cần phân tích đề bài và vận dụng các
giải pháp ở trên để xử lí.
3.1.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3 và điểm M di động trên
 P : x  2 y  2 z  5  0 . Giá trị nhỏ nhất của AM là
A.

2 6
.
6

B.

1
.
3

C.

6

.
6

D.

2
.
3

 Phân tích:
Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào?
Hs: M  x0 ; y0 ; z0    P  x0  2 y0  2 z0  5  0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của T   x0 1   y0  2   z0  3 .
2

2

2

Bài toán này gần như học sinh trung bình, khá khơng giải quyết được.
Gv: Vậy hướng hình học?
Hs: Dễ dàng phát hiện được AM nhỏ nhât chính là khoảng cách từ A đến  P .
 Lời giải:
Chọn A.
Ta có: AM  d  A,  P  . Nên giá trị nhỏ nhất của AM bằng
d  A,  P  

1  2  2.3  5

12  12  2

2



2 6
.
6

Ví dụ 2. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A4;5;1 và điểm M di động trên
 x  1  t
 :  y  2  3t . Giá trị nhỏ nhất của AM là

 z  5  t

A.

590
.
11

B.

590
.
11

C.

590

.
11

D.

590
.
11

 Phân tích: - AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng  .
Hướng 1: AM là chiều cao trong hình bình hành.
Hướng 2: Tìm tọa độ điểm M , từ đó tìm độ dài AM .
 Lời giải:
Chọn D.
Cách 1: Giá trị nhỏ nhất của AM bằng d  A,  .



 đi qua M 1; 2;5 và có vectơ chỉ phương u  1;3;1 .

TIEU LUAN MOI download :

9



 
Ta có: AM  5;7;4 , u, AM   5;9;22 .




 
u, AM 


52  9 2  22 2
590
.
d  A,  

  
2
11
u
12  32  1



Cách 2: Vì M   , giả sử M 1  t ; 2  3t;5  t  suy ra AM  5  t ; 7  3t;4  t  .
AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vng góc của A lên  .
 
20
Do đó: AM .u  0  15  t   37  3t  1 4  t   0  11t  20  t  .
11



 75 17 24 

590
.
11

Vậy AM   ;
;  nên AM 
 11 11 11 
Từ đó, nêu bài tốn tổng qt.

Bài tốn 1. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A x0 ; y0 ; z0  cố định và điểm M di
động trên hình  H  ,(  H  là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM .
Lời giải. Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên hình  H  , khi đó trong tam giác
AHM vng tại M , ta có: AM  AH .
Đẳng thức xảy ra khi M  H .

Do đó, AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc của A lên hình  H  .
Phát triển bài toán 1. Bằng cách thay đổi dữ kiện: Điểm M di động trên một mặt
cầu  S  hoặc điểm A di động trên một mặt cầu  S  , chúng ta có thêm các lớp bài tốn
khác.
Ví dụ 3. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;0 và mặt cầu
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và điểm M di động trên mặt cầu  S  . Giá trị lớn
nhất của AM là
B. 17  3 .

A. 17 .

D. 17  3 .

C. 20 .

 Phân tích: Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào?

M

Hs: M  x0 ; y0 ; z0    S   x  y  z  2 x0  4 y0  2 z0  3  0 .
2
0

2
0

2
0

Tìm giá trị lớn nhất của T   x0  1   y0  2  z02 .
2

M2
I

2

A

M1

Bài tốn này gần như học sinh trung bình, khá khơng giải quyết được.
Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S  ?
Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM 1 , AM , AM 2 .
Hs: Điểm A nằm ngoài mặt cầu  S  và AM1  AM  AM 2 , từ đó giải quyết bài toán.

TIEU LUAN MOI download :

10


 Lời giải:
Chọn D.
 S  có tâm I 1;2;1 , R  3 .


IA  0;4;1 , IA  17  3 nên điểm A nằm ngoài mặt cầu  S  .

Ta có: AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của AM là AI  R  17  3 .
Ví dụ 4. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1;1; 2 và mặt cầu
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và điểm M di động trên mặt cầu  S  . Giá trị nhỏ
nhất của AM là
A. 17 .

B. 17  3 .

D. 17  3 .

C. 3 .

 Phân tích: Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào?
Hs: M  x0 ; y0 ; z0    S   x02  y02  z02  2 x0  4 y0  2 z0  3  0 .
Tìm giá trị lớn nhất của T   x0 1   y0  1   z0  2 .
2

2

2

Bài toán này gần như học sinh trung bình, khá khơng giải quyết được.
Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S  ?
Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM1 , AM , AM 2 .
Hs: Điểm A nằm trong mặt cầu  S  và AM1  AM  AM 2 , từ đó giải quyết bài tốn.
 Lời giải:

M

M2

Chọn B
 S  có tâm I 1;2;1 , R  3 .


IA  0;1;1 , IA  2  3 nên điểm A nằm trong mặt cầu  S  .

Ta có: AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 .

I
A
M1

Vậy giá trị nhỏ nhất của AM là AM1  AI  R  17  3 .
Từ đó, yêu cầu học sinh nêu được bài toán tổng quát và lời giải.
Bài tốn 2. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A x0 ; y0 ; z0  , mặt cầu  S  có tâm I ,

bán kính R , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của AM .

TIEU LUAN MOI download :

11


Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt càu  S  . Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường
thẳng AI và mặt cầu  S   AM 1  AM 2  và  P là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng
AI . Khi đó  P cắt  S  theo một đường trịn C  . Ta có M 1MM 2  90 nên
AMM 2 , AM 1M  90 nên trong các tam giác AMM 2 , AM 1M , ta có:
AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 .

Tương tự với A nằm trong mặt càu  S  , ta có:
R  AI  AM 1  AM  AI  R  AM 2 .

Vậy: min AM = R  AI  AM 1 , max AM  AI  R  AM 2 .
Ví dụ 5. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x  3   y  2   z 1  9
và mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  4  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng
2

A. 0 .

B.

5
.
3

2

C. 3 .

2

D.

4
.
3

 Phân tích: Hướng đại số, học sinh khơng giải quyết được.
Hướng hình học: - mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là một đường tròn.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 0 .

M2

 Lời giải:

I

Chọn A

M

 S  có tâm I 3;2;1, R  3 .
d  I , P  

3  2.2  2.1  4
1 2 2
2

2

2

K

P

O

H

M1

5
  R nên mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo giao
3

tuyến là một đường tròn C  có tâm O . (Hình vẽ).
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 0 xảy ra khi M nằm trên
đường tròn C  đó.
Ví dụ 6. (Mức độ 2) Trong khơng gian Oxyz , cho  S  : x  3   y  2   z  1  9
và mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  11  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng
2

A. 0 .

B. 1 .

2

C. 5 .

2

D. 6 .

 Phân tích: -  P cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là một đường tròn.
- Dễ thấy, 0  d  M ,  P  d  I ,  P   R  d  M 2 , P .

M2

I

 Lời giải:

M

Chọn C
P

K

H

O

TIEU LUAN MOI download :

M1

12


 S  có tâm I 3;2;1 , R  3 .
d  I , P  

3  2.2  2.1  11
12  2 2  2 2

 2  R nên mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo

giao tuyến là một đường trịn C  có tâm O . (Hình vẽ).
Dễ thấy, 0  d  M ,  P   d  I , P  R  d  M 2 , P .

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng d  I ,  P   R  2  3  5 .
Ví
dụ
7.
(Mức
độ
2)
Trong
khơng
gian

Oxyz ,
cho
2
2
2
 S  : x  y  z  2 x  2 y  2 z  6  0 và mặt phẳng  P :2 x  2 y  z  7  0 , điểm M di
động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng
A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 4 .

 Phân tích: - mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  .

- Quan sát hình vẽ suy ra: M 1H  d  I , P   R  d  M ,  P   d  I , P  R  M 2 H .
M2

 Lời giải:
I

Chọn A
 S  có tâm I 1;1;1 , R  3 .

M
M1

K

d  I , P  

2.1  2.1  1.1  7
2 2  2 2  12

H

N

P

 4  R nên mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  .

Đường thẳng đi qua I , vuông góc với mặt phẳng  P cắt  S  tại hai điểm M1 , M 2
(hình vẽ).
Lần lượt xét tam giác IHK và tam giác M 2 HN , ta có:
M 1H  d  I , P  R  d  M ,  P   d  I , P   R  M 2 H .

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng d  I , P  R  4  3  1 .
Ví dụ 8. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x 1   y  2   z  3  4
và mặt phẳng  P :2 x  2 y  z  3  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng
2

A. 10 .

B. 7 .

C. 5 .

2

2

D. 3 .

 Phân tích: - mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  .

Từ hình vẽ chứng minh được: M 1H  d  I , P  R  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H .

TIEU LUAN MOI download :

13


M2

 Lời giải:
I

Chọn B
M

M1

 S  có tâm I 1;2;3 , R  2 .
d  I , P  

2.1  2.2  3  3

2 2  2  12
2

K

N

H

P

 5  R nên mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu  S  .

Đường thẳng đi qua I , vng góc với mặt phẳng  P cắt  S  tại hai điểm M1 , M 2
(hình vẽ).
Lần lượt xét tam giác IHK và tam giác M 2 HN , ta có:
M 1H  d  I , P  R  d  M ,  P   d  I , P   R  M 2 H .

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng d  I ,  P   R  4  3  7 .
Từ ví dụ 5, 6, 7, 8 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng qt và lời giải.
Bài tốn 3. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và mặt
phẳng  P , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P .
M2

M2

I

I

M

M

M1

K

N

H

P

K

H

O

M1

P

Lời giải. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .
Gọi d  là đường thẳng qua I và vng góc với mặt phẳng  P . d  cắt mặt cầu  S 
tại hai điểm M1; M 2 .
Xác định d  I , P .

+ Nếu d  I , P   R , mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  .

Ta có: M 1H  d  I , P  R  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H .

Nên min d  M , P  M 1H  d  I ,  P   R ; max d  M ,  P   M 2 H  d  I , P  R .

+ Nếu d  I , P   R , mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo đường trịn C  có tâm O .
Ta có: 0  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H .

Nên min d  M , P  0 , đạt được khi M nằm trên đường tròn C  ;
max d  M ,  P   M 2 H  d  I , P  R .

TIEU LUAN MOI download :

14


Ví

dụ

9.

(Mức

độ

2)

Trong

khơng

gian

Oxyz ,

cho

 x  1  t
 S  : x  y  z  2 x  4 y  2 z  5  0 và đường thẳng d  :  y  t t    , điểm M di

 z  1
động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  lớn nhất bằng
2

2

2

A. 2 .

C. 2  1 .

B. 2 .

D. 2 1 .

 Phân tích:
Hướng hình học: đường thẳng d  khơng cắt mặt cầu  S  .

M2

Quan sát hình vẽ: d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H .

I

 Lời giải:
M

Chọn C

M1

 S  có tâm I 1;2;1 , R  1 .

N

K

H

P


d  đi qua A1;0;  1 và có vectơ chỉ phương u  1;1;0 .
 
 IA, u 


d  I , d      2  R nên đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  .

u

Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d  . Đường thẳng IH cắt mặt
cầu  S  tại hai điểm M1 , M 2 (Hình vẽ).
Ta có: d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H nên max d  M ,d   d  I ,d   R  2  1 .
Ví

dụ

10.

(Mức

độ

2)

Trong

khơng

gian

Oxyz ,

cho

 x  1  2t

 S  :  x  3   y  1   z  2  25 và đường thẳng d  :  y  2  t t    , điểm M di


 z  1  2t
động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng d  nhỏ nhất bằng
2

2

A. 0 .

2

B. 5 .

C.

5
.
3

D. 5 

5
.
3

 Phân tích:
Hướng hình học: đường thẳng d  cắt mặt cầu  S  nên min d  M ,d   0 .
M2
M

 Lời giải:
Chọn A
 S  có tâm I 3;1;2 , R  5 .

I

d
A



P

d  đi qua A1; 2;1 và có vectơ chỉ phương u  2;1; 2 .

H

B

M1

TIEU LUAN MOI download :

15


 
 IA, u 



53
d  I , d      
 R nên đường thẳng d  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A, B .
3
u

Ta có: 0  d  M , d  nên min d  M ,d   0 đạt được khi M  A hoặc M  B .
Ví dụ 11. (Mức độ 2) Trong khơng gian Oxyz , cho  S  :  x 1   y  2   z  3  4
2

2

2

 x  5  t
và đường thẳng d  :  y  4  t t    , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách

 z  1
từ điểm M đến mặt phẳng d  nhỏ nhất bằng

A. 2 .

C. 2  1 .

B. 2 .

D. 2 1 .

 Phân tích: Hướng hình học: đường thẳng d  khơng cắt mặt cầu  S  .
M2

Quan sát hình vẽ: M 1H  d  I ,d   R  d  M , d  .
 Lời giải:

I

Chọn C
 S  có tâm I 1;2;3 , R  2 .

M
M1



K

d  đi qua A5;4;1 và có vectơ chỉ phương u  1; 1;0 .

N

P

H

 
 IA, u 


d  I ,  d      3 6  R nên đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  .
u

Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d  . Đường thẳng IH cắt mặt
cầu  S  tại hai điểm M1 , M 2 (Hình vẽ)
Ta có: M 1H  d  I , d   R  d  M ,d  nên min d  M ,d   d  I , d   R  3 6  2 .
Từ các ví dụ 9,10,11 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng qt và lời giải.
Bài tốn 4. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và đường
thẳng d  , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  .

Lời giải. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .

TIEU LUAN MOI download :

16


Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d  .
Đường thẳng IH cắt mặt cầu  S  tại hai điểm M1; M 2 .
Xác định d  I , d   IH .

+ Nếu d  I ,d   R , đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  . (Hình vẽ)
Ta có: M 1H  d  I , d   R  d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H .

Nên min d  M , d   M 1H  d  I , d   R ; max d  M ,d   M 2 H  d  I , d   R .
+ Nếu d  I ,d   R , đường thẳng d  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A, B
Ta có: 0  d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H .

Nên: min d  M , P  0 , đạt được khi M  A hoặc M  B .
max d  M ,d   M 2 H  d  I , d   R .

Lời bình: Ở bài tốn 2,3,4 ta có thể hồn tồn xác định được tọa độ điểm M hoặc
các đường thẳng đi qua điểm M thỏa mãn cực trị khoảng cách nên ta có thể phát
triển thành bài tốn khác.
Ví dụ 12. (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x 2  y 2  z 2  1  0 và A1;1;0
. Tọa độ điểm M   S  để MA đạt giá trị lớn nhất là
 1 1 
A.  ; ;0 .
 2 2 

 1 1 
B. 0; ;  .



 1
1
1 
1 
C. 0; ;  . D.  ; ;0 .


2
2
2
2 

2

2

 Phân tích: Vận dụng bài tốn 2.
- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của đường thẳng AI và mặt cầu  S  .
 Lời giải:
Chọn D



Cách 1:  S  có tâm I 0;0;0 , R  1 , IA  1;1;0 , IA  2 .
x  t


Phương trình đường thẳng AI :  y  t t    . Giả sử AI   S   M 1; M 2  . Ta có:




z  0


1
t 

2 .
t 2  t 2  0 2  1  0  2t 2  1  

1
t  

2
 1

1





1

1



Suy ra: M 1  ; ;0 , M 1 A  2  1 và M 2  ; ;0, M 2 A  2  1 .
 2 2 

2
2 

TIEU LUAN MOI download :

17





Nên max MA  2  1 khi M  M 2 

1

1 
;
;0 .
2
2 

Cách 2: Thử đáp án xem có thuộc  S  khơng? Và khoảng cách lớn nhất ta cũng
chọn được đáp án D.
Ví

dụ

13.

(Mức

độ

3)

Trong

khơng

gian

Oxyz ,

cho



 x  1  t
2
2
2
 S  : x  y  z  2 x  4 y  2 z  5  0 và d  :  y  2  t t    . Tọa độ điểm

1

 z   2

M  x0 ; y0 ; z0    S  thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng  d  đạt giá trị lớn

nhất. Tính P  x0  y0  z0
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

 Phân tích: Vận dụng bài toán 4.
- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của đường thẳng IH và mặt cầu  S  với H
là hình chiếu của I lên đường thẳng d  .
 Lời giải:
Chọn C



 S  có tâm I 1;2;1 , R  1 . d  có vectơ chỉ phương a  1;1;0 .


1  



1

Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên d  . Gọi H 1  t ; 2  t ;  , IH  t;t;  .


2
2
Ta có:

 
 

1
1  
1
1
IH  a  IH .a  0  t.1  t 1  .0  0  t  0  H 1;2;  , IH  0;0;  , IH   R


2
2 
2

2
 x  2
Phương trình IH :  y  2
t    . Giả sử IH   S    M 1; M 2  . Ta có:

 z  1  t

t  1
2
.
12  22  1  t   2.1  4.2  2.t 1  5  0  t 2  1  
t  1


Suy ra: M 1 1;2;0 , M1H 
Nên max MH 

1
3
và M 2 1;2;2, M 2 H  .
2
2

3
khi M  M 2 1;2;2 . Vậy P  x0  y0  z0  1 .
2

Ví
dụ
14.

(Mức
độ
3)
Trong
khơng
gian
Oxyz ,
cho
2
2
2
 S  : x  y  z  2 x  2 y  2 z 1  0 và  P : x  2 y  2 z  4  0 . Tọa độ điểm

TIEU LUAN MOI download :

18


M  x0 ; y0 ; z0    S  sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  P đạt giá trị nhỏ

nhất. Tính P  5 x0  2 y0  2 z0
A.

2
.
3

B.

1

.
3

1
3

2
3

C.  .

D.  .

 Phân tích: Vận dụng bài tốn 3.
- Xét vị trí tương đối của mặt phẳng  P và mặt cầu  S  .
- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của d  và mặt cầu  S  . Trong đó, d  là
đường thẳng đi qua I và vng góc với  P .
 Lời giải:
Chọn B
Mặt cầu  S  có tâm I 1;1;1 , R  2 .
d  I , P 

1 2  2  4

12  2 2  2 2

 3 R .

 x  1  t
Gọi d  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  P .Phương trình d  :  y  1  2t


 z  1  2t

Giả sử d    S    M 1; M 2  . Ta có:


2
t 

2
2
2
1  t   1  2t   1  2t   2.1  t   2.1  2t   2.1  2t   1  0  9t 2  4  0   3
2

t  

3
 5 7 7 
 1 1 1 
Suy ra: M 1  ; ; , d  M 1 , P   5 và M 2  ; ; , d  M 2 , P   1 .
3 3 3
 3 3 3

1 1 1
1
Nên min d  M , P  1 khi M  M 2  ; ;   . Vậy P  5x0  5 y0  5z0  .
3

3

3

3

Một số ví dụ khác:
Ví dụ 15. (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1; 0; 1 , B 1;  2;3 .
 

Điểm M thỏa mãn MA.MB  1 , điểm N thuộc mặt phẳng  P : 2 x  y  2 z  4  0 . Tìm
giá trị nhỏ nhất độ dài MN
A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .

 

D. 5 .

 Phân tích: Gv: Yêu cầu học sinh khai thác MA.MB  1 .
 
MA.MB  1  1  x1  x   y 2  y   1  z 3  z   1

 x2  y2  z 2  2 y  4 z 1  0

Bài toán trở thành bài toán 3.

TIEU LUAN MOI download :

19


 Lời giải:
Chọn B





Gọi M  x; y; z  . Ta có: MA  1  x; y;1  z ; MB  1 x; 2  y;3  z  .
 
MA. MB  1  1  x 1  x   y 2  y   1  z 3  z   1
 x2  y2  z2  2 y  4z 1  0

Suy ra M thuộc mặt cầu  S  tâm I 0;1;2 , bán kính R  2 .
Mặt khác N   P : 2 x  y  2 z  4  0 .
d  I ; P  3  R   S    P   .

Khi đó MN ngắn nhất bằng d  I ; P  R  3  2  1 .
Ví dụ 16. (Mức độ 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm
A3;0;0 , B 1;4; 2 . Mặt phẳng  P  qua B cách A một khoảng lớn nhất có một vectơ


pháp tuyến n a; b;1 . Tính tích T  a.b ?
A. T  2 .

B. T  8 .

C. T  2 .

D. T  4 .

 Phân tích: Gv: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua B ?
Hs: Vơ số.
Gv: Vẽ hình và so sánh d  A,( P )  AH với AB .
Hs: d  A,( P)  AH  AB . Từ đó phát hiện, giải quyết bài tốn.
 Lời giải:
Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng  P ta có d  A,( P )  AH  AB .
d  A,( P) lớn nhất  d ( A,( P ))  AB  AB vng góc với mặt phẳng  P .


 AB 2;4; 2 hay n(1;2;1) là một vectơ pháp tuyến của  P .

 a  1; b  2  a.b  2 .

Ví dụ 17. (Mức độ 4, Đề thi thử SGD Thái Nguyên 2020-2021) Trong không gian
Oxyz , cho điểm A3;3; 3 và đường thẳng d :

x 1 y  2 z  9


. Gọi  P  là mặt
2
3
10

TIEU LUAN MOI download :

20


phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  P lớn nhất. Điểm nào
dưới đây thuộc  P ?
A. A1;1;7 .

B. D 1;1;7 .

C. B 1;1; 7 .

D. C 1;1;7 .

 Phân tích: Gv: Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng d  ?
Hs: Vô số.
Gv: Vẽ minh họa, Yêu cầu học sinh so sánh AH và AK với H là hình chiếu của A
lên mặt phẳng  P . K là hình chiếu của A trên d  .
Hs: Ta có AH  AK  d  A,( P )  max d  A,( P ) . Phát hiện vấn đề:  P đi qua K và


A

nhận AK làm vectơ pháp tuyến.
 Lời giải:

H

Chọn A

Gọi K là hình chiếu của A trên đường thẳng d .

(P
d

K



Ta có K  d  K 1  2t ; 2  3t ;9  10t   AK  2t  2;3t  1;10t  12 .


Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud  2;3;10 .




 

Ta có AK  ud  AK .ud  0  2 2t  2  33t 1  10 10t  12  0  t  1


Với t  1 , ta có K 1;1;1 và AK  4; 4;2; AK  16  16  4  6 .
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng  P .
Ta có AH  AK  d  A,( P)  6  max d  A,( P )  6.
Đạt được khi H  K . Khi đó AK  ( P) .
Mặt phẳng

 P

đi qua


1 
n P   AK  2;2;1 .
2

K 1; 1;1

và có một vectơ pháp tuyến

Do đó phương trình  P là: 2  x  1  2  y  1   z  1  0  2 x  2 y  z  3  0 .
Thay tọa độ các điểm trong các phương án vào phương trình mặt phẳng  P ta thấy
có điểm A1;1;7 thỏa mãn. Do đó chọn đáp án A.
Ví dụ 18. (Mức độ 4) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2
điểm
mặt
phẳng
A2;  1;8 ,
 S  :  x  1  ( y  1)2  z 2  9 ,
 P : a  1 x  2b  2 y  a  b  2 z  c  0 a, b, c    tiếp xúc với mặt cầu  S  .

TIEU LUAN MOI download :

21