(SKKN mới NHẤT) giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học không gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu…………………………………………………………………….......1
1.1. Lý do chọn đề tài ...........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................1
2. Nội dung............................................................................................................1
2.1. Cơ sở lý luận ..................................................................................................1
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài ..............................................................2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề ……………........2
2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất hình học…………………….. …………..2
2.3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản……….. ……………….........6
2.3.3 Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số...….12
2.3.4 Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình…………….... .............................17
2.4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm………….. ............................19
3. Kết luận, kiến nghị..........................................................................................20
Kết luận...............................................................................................................20
Kiến nghị………………………………………………………..………...…....20
Tài liệu tham khảo.............................................................................................. 21

TIEU LUAN MOI download :

0


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Hình học trung học phổ thông, bên cạnh các dạng
toán trong không gian quen thuộc ta còn gặp các bài tốn mà trong u cầu của
nó có yếu tố về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của thể tích khối đa diện, chu vi..…

Đây là lớp các bài toán mà ít tài liệu tham khảo đề cập đến hoặc có đề cập
nhưng chưa thực sự dễ dàng tiếp nhận đối với học sinh do cách viết của nhiều tài
liệu không mang tới tri thức phương pháp, kĩ năng nhận dạng. Thơng thường các
tài liệu thường chỉ trình bày một cách làm.
Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài tốn mà học sinh khó
định hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâm
lý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất (do quan niệm nhất quán
rằng, câu hỏi về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là câu hỏi khó nhất
trong nhiều kỳ thi như học sinh giỏi các cấp, thi THPT quốc gia hay thi ĐH, CĐ
trước đây). Để giải được lớp các bài toán này, chúng ta cần một kiến thức tương
đối tổng hợp về véc tơ, về hình học đơn thuần, về bất đẳng thức, về hàm số….
Với những lý do trên, nhằm giúp học sinh hứng thú hơn với mơn Tốn và
đặc biệt là hình học, góp phần hình thành tư duy quy lạ về quen, vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên
cứu tìm tịi và sáng tạo, tơi trình bày chun đề “ Giúp học sinh lớp 12 hình
thành kĩ năng giải bài tốn cực trị hình học khơng gian liên quan đến khối
chóp và lăng trụ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài tốn cực trị hình học
khơng gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này xoay quanh các dạng
toán cực trị hình học khơng gian như: tìm hoặc xác định các yếu tố của khối
chóp, lăng trụ để thể tích lớn nhất, nhỏ nhất; chu vi một đa giác lớn nhất, nhỏ
nhất.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sau
đây:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp khái quát hóa
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
2.NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phương
pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở
thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán.

TIEU LUAN MOI download :

1


Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nâng
cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới hai cách
làm là phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và phương pháp hàm số.
Chuyên đề cố gắng khắc phục điểm yếu về kĩ năng sử dụng bất đẳng thức Cô-si
cho học sinh.
2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thuận lợi
- Học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức, các bài tập thông thường đã
thành thạo.
- Học sinh hứng thú trong các tiết hình học khơng gian.
2.2.2. Khó khăn
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.
- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian,
không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, bất đẳng thức, hàm số.

- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài tốn có u cầu về giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp sử dụng tính chất hình học
Trong phương pháp này, học sinh cần biết cách sử dụng so sánh độ dài cạnh
trong tam giác vuông. Khoảng cách lớn nhất của một điểm trên cung trịn đến
một đường thẳng…..
Ví dụ 1. Cho hình chóp
có
,
,
. Tính thể
tích lớn nhất
của khối chóp đã cho.
A.

B.

C.

D.

Giải
trên mặt phẳng

Gọi
là hình chiếu của
Ta có
.Dấu
xảy ra khi

A

.
.

Dấu

xảy ra khi

B

S

.

H

Khi đó
Dấu

C

xảy ra khi

đơi một vng góc với nhau.

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là
Ví dụ 2. Cho tứ diện
có

lần lượt là trọng tâm các tam giác
diện
khi thể tích tứ diện
A.

.

B.

Chọn D.
,

. Gọi
,
,
. Tính thể tích
đạt giá trị lớn nhất.
.

C.

,

.

D.

của tứ
.

TIEU LUAN MOI download :

[1].
2


Giải

Theo kết quả của Ví dụ 1:

Vậy:

. Chọn D.

Ví dụ 3. Cho hình chóp

có

đều bằng . Tính thể tích lớn nhất
A.

, tất cả các cạnh cịn lại
của khối chóp đã cho.

B.

C.

D.

[2].

Giải
Ta có tam giác
và
là những tam giác đều cạnh bằng .
Gọi
là trung điểm
. Trong tam giác
, kẻ
.
●

là đường cao của tam giác đều

●
Từ

.
và

, suy ra

Diện tích tam giác đều

S

.
x

là

C

A
H

Dấu

xảy ra

Chọn B.

N

B

Ví dụ 4. Xét khối tứ diện
có cạnh
và các cạnh cịn lại đều bằng
. Tìm để thể tích khối tứ diện
đạt giá trị lớn nhất.
A.
B.
C.
D.
[3].
A
Giải
Cách làm tương tự như bài trên.

x
Tam giác
đều cạnh bằng
C
lớn nhất
. Khi đó
vng.
B
Trong tam giác vng cân
, có
H
N
Chọn A.
D

TIEU LUAN MOI download :

3


Ví dụ 5. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , cạnh
bên
và
. Điểm
thay đổi trên cạnh
,
là hình
chiếu vng góc của

trên
.Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
theo
.
A.

B.

C.

D.

[2].

Giải
Cách 1.
Do

nên H thuộc

đường trịn đường kính AB.
Gọi K là hình chiếu vng góc của H lên cạnh
AB . Dễ dàng suy ra được
.
Do đó để thể tích lớn nhất thì HK lớn nhất. HK lớn nhất khi H là điểm chính
giữa cung
, tức là H trùng với tâm hình vng ABCD hay M trùng với D.
Khi đó

. Vậy

Chọn A.

Nhận xét:
ràng buộc với nhau bởi một đại lượng khơng đổi là
ta có cách giải khác bằng kiến thức bất đẳng thức Cô-si như sau:
Cách 2. Do

nên

.
.
H trùng với tâm đáy hay M trùng với D.

Ví dụ 6. Cho hình chóp đều
bằng

có đáy là tam giác đều cạnh

và O là tâm của đáy. Mặt phẳng

, cạnh bên

thay đổi chứa SO và cắt các

đoạn thẳng AB,AC lần lượt tại các điểm M, N( M,N khác A). Điểm
thay đổi
trên cạnh
,
là hình chiếu vng góc của

trên
. Khi góc tạo bởi
đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính
.
A.

B.

C.

D.

[4].

Giải.
Gọi H là hình chiếu của A trên MN , ta có

.

 H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SMN
 Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng

TIEU LUAN MOI download :

4


SMN là góc
Do
lớn nhất.

nên

lớn nhất khi

Ta có
Vậy
lớn nhất
(P) có số đo lớn nhất khi
Khi đó đường thẳng

,hay góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng
.
đi qua O và song song góc với BC
Chọn D.

Nhận xét: Nếu chỉ là nhận biết nhanh kết quả trong một câu hỏi trắc nghiệm,
giáo viên cũng nên chỉ cho học sinh thấy, MN qua O và cần có một vị trí đặc
biệt thì chỉ có trường hợp MN song song với BC .Từ đó dẫn tới được kết quả.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
vng góc với mặt phẳng (ABC ) tại A ( M khác A ). Gọi H , O lần lượt là trực
tâm tam giác MBC và ABC .Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OHBC bằng:
A.

B.

C.

D.

[5].

Giải

Tương tự:
.
Kẻ

.

Ta có:

, do đó thể tích

khối tứ diện OHBC lớn nhất khi

lớn nhất.

Do H chạy trên đường trịn đường kính OD nên

lớn nhất

. Khi đó
Chọn B.

2.3.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản

TIEU LUAN MOI download :

5

Trong phương pháp này, học sinh cần được rèn luyện kĩ năng sử dụng và
biết cách chọn “điểm rơi” trong khi áp dụng bất đẳng thức Cơ-si.
Ví dụ 1. Trên ba tia
vng góc với nhau từng đơi, lần lượt lấy các
điểm
sao cho
Giả sử
cố định cịn
thay đổi nhưng ln ln thỏa
Tính thể tích lớn nhất
của
khối tứ diện
A.

B.

C.

D.

[2].

Giải
Từ giả thiết ta có

Do

vng góc từng đơi nên

Dấu

xảy ra

Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật
có độ dài đường chéo
Gọi
là diện tích tồn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn
nhất
của .
A.
B.
C.
D.
Giải
Gọi
là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó
Theo giả thiết ta có
Từ bất đẳng thức
, suy ra
Dấu
xảy ra
Chọn D
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng
và độ dài
đường chéo bằng Tính thể tích lớn nhất
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.

B.
C.
D.
[2].
Giải
Giả sử
là các kích thước của hình hộp chữ nhật.Độ dài đường chéo của
hình chữ nhật là
.Tổng diện tích các mặt là
Theo giả thiết ta có
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của
 Ta có
 Ta có
Khi đó
Xét hàm số

với

ta được

Chọn C.

TIEU LUAN MOI download :

6


Nhận xét. Nếu sử dụng

thì sai vì dấu

khơng xảy ra.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , cạnh
bên
và vng góc với mặt đáy
. Trên cạnh
lấy
điểm
và đặt
. Tính thể tích lớn nhất
của khối chóp
biết
A.

B.

C.

D.

Giải
Từ
Diện tích mặt đáy

S

x

y
A

a
a

M

Thể tích khối chóp

B

C

D

Cách 1.Ta có :

.
Nhận xét: Khi dùng BĐT Cơ-si đánh giá theo chiều tích sang tổng thì cần thêm
bớt hệ số để vế bên tổng triệt tiêu biến x.
Cách 2.Xét hàm

trên
.Suy ra

Chọn B.
Ví dụ 5. Cho tứ diện
A.

B.

, ta được
.

có
đơi một vng góc với nhau,
. Tính thể tích lớn nhất
khối tứ diện đã cho.
C.

D.

Giải

TIEU LUAN MOI download :

7


S

Đặt

Ta có

c

z

b
y

A

Khi đó

C

x

a
B

Dấu
xảy ra khi
Chọn D.
Ví dụ 6. Cho tam giác
vng cân tại ,
. Trên đường thẳng qua
vng góc với mặt phẳng
lấy các điểm
khác phía so với mặt
phẳng
sao cho
. Tính thể tích nhỏ nhất
của khối tứ diện
.
A.

B.

C.

D.

[2].

Giải
Đặt

suy ra

Tam giác vng

có

M

Diện tích tam giác vng
A

C

Ta có
B

N

Dấu

xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 7. Cho hình chóp

. Chọn D.
có đáy

. Trên

lần lượt lấy hai điểm

Tính thể tích lớn nhất

A.

hình vng cạnh

B.

,

và

sao cho

của khối chóp

C.

biết

D.

[2].

Giải
Thể tích khối chóp

là

Ta có
Mặt khác

S
M

N

B
A

TIEU LUAN MOI download :
C
D

8


Dấu

xảy ra

Suy ra

.

Chọn B.
Ví dụ 8. Cho hình hộp chữ nhật
có đáy
vng. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng
nhất
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.

B.

C.

là một hình
Tính thể tích lớn
D.

Giải
Gọi là độ dài cạnh hình vuông đáy, là chiều cao của khối hộp với
Cách 1. Theo giả thiết ta có

.

Chọn D.

Cách 2.

Do
Khi đó thể tích của khối hộp là :
Xét hàm

trên

.
, ta được

Ví dụ 9. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích
và có đáy là tam giác đều. Khi
diện tích tồn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao
nhiêu?
A.
B.
C.
D.
[2].
Giải
Gọi
là chiều cao lăng trụ;
là độ dài cạnh đáy.
Theo giả thiết ta có

.

TIEU LUAN MOI download :

9


Diện tích tồn phần của lăng trụ:

.

Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:

Dấu

xảy ra khi

Chọn A.

Ví dụ 10. Cho hình hộp chữ nhật
giữa đường thẳng
và mặt phẳng
chữ nhật có thể tích lớn nhất.
A.

B.

bằng
C.

Tìm

góc
để khối hộp

D.

[2].

Giải
là hình hộp chữ nhật suy ra

Vì
Khi đó

có

là hình chiếu của

trên mặt phẳng

Suy ra

Đặt
D'

C'
B'

A'

h
C

D
3
A

x

B

vng nên
vng có
Thể tích khối hộp chữ nhật

là

Áp dụng BĐT Cơsi, ta có
Dấu

xảy ra

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho tam giác
đều cạnh . Trên đường thẳng
qua
và
vng góc với mặt phẳng
lấy điểm
sao cho
. Gọi
lần

lượt là hình chiếu vng góc của
trên
và
. Gọi
là giao điểm của
và . Tìm để thể tích tứ diện
có giá trị nhỏ nhất.

TIEU LUAN MOI download :

10


A.

B.

C.

D.

[2].

Giải
Do tam giác

đều cạnh

là trung điểm
M

Ta có
Mặt khác,
Suy ra
Suy ra

.
O

nên

A

E
F

.

B
N

Ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi

. Chọn B.

Ví dụ 12. Xét tứ diện ABCD có các cạnh
thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng
A.

B.

C.

D.

Giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đặt
Ta có
Ta có

và AC, BD
[6].
(

)

.
,

,

.
Chọn A.
2.3.3. Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số
Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách xác định đại lượng còn
thiếu, đặt biến và đưa yêu cầu của bài toán về xét cực trị hàm số( nhiều bài có
thể giải bằng cách sử dụng BĐT, thường là BĐT Cô-si).

TIEU LUAN MOI download :

11


Một vài nguyên tắc đặt biến thường gặp như: Nếu tam giác vng biết độ
dài một cạnh thì đặt biến là độ dài một trong hai cạnh còn lại.Nếu tứ giác là
hình chữ nhật, vng, thoi…biết một cạnh thì đặt biến là độ dài cạnh kề với
nó…..
Ví dụ 1. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vng cân tại
cạnh
bên
vng góc với mặt phẳng đáy
Biết
tính thể tích lớn
nhất
của khối chóp đã cho.
A.

B.

C.

D.

Giải

[2].

S

Cách1. Đặt
Diện tích tam giác

1

A

B
x

x

Khi đó

C

Xét hàm số

trên

,

.Chọn D.

Cách 2. (Dùng BĐT Cô-si)

Nhận xét: Do
là tam giác vuông cân tại

nên việc đặt
là gọn gàng nhất cho việc tính tốn so với đặt
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vng tại
.
Cạnh bên
và vng góc với mặt phẳng đáy
Tính thể tích lớn
nhất
của khối chóp đã cho.
A.

B.

C.

D.

Giải
Đặt

Suy ra

S

Diện tích tam giác
B

A

Khi đó

C

Chọn A.
Nhận xét: Trong bài tốn này, do vai trị của
là như nhau nên có thể
đặt
hoặc
Có thể dùng phương pháp hàm số để tìm giá

TIEU LUAN MOI download :

12


trị lớn nhất của

. Tuy nhiên, dùng BDT Cô-si đơn

giản hơn.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
Các cạnh bên
chóp đã cho.
A.

có đáy

B.

là tam giác vng tại
và
Tính thể tích lớn nhất
của khối

C.

D.

[2].

Giải
Gọi là trung điểm của
Suy ra
tiếp tam giác
. Theo giả thiết, ta có
chiếu của trên mặt phẳng
Đặt
Tam giác vng

là tâm đường trịn ngoại
suy ra là hình
S

có
C

B

I

Diện tích tam giác vng
A

Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều và có
. Tính thể tích lớn nhất
của khối chóp đã cho.
A.
Gọi
Vì

B.

C.

D.

Giải
là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đều
là hình chóp đều
.

S

Đặt
Gọi

A

là trung điểm

C
O

M

B

.
Xét hàm

trên

, ta được

Chọn A.

TIEU LUAN MOI download :

13


Cách 2. (BĐT Cô-si cho 3 số ,thêm bớt để triệt tiêu x ở vế tổng)

Ví dụ 5. Cho hình chóp
có đáy

cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy
lớn nhất
của khối chóp đã cho.
A.

B.

là hình chữ nhật với
,
và
. Tính thể tích

C.

D.

Giải
Đặt

S

vng

vng
Diện tích hình chữ nhật
Thể tích khối chóp

[2].

6

là:

A

4

B
x

C

D

Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:
.Suy ra
Dấu

xảy ra

. Vậy

Cách 2. Xét hàm số

trên

Ví dụ 6. Cho hình chóp
có đáy
vng góc với mặt phẳng đáy

của khối chóp đã cho.
A.

. Chọn A.

B.

là hình thoi tâm , cạnh bằng
và
. Tính thể tích lớn nhất
C.

D.

Giải
Đặt
.
Tam giác vng
Suy ra

S

có

1

.Diện tích hình thoi

A

B
O
C

Tam giác vng

x

1

D

có

TIEU LUAN MOI download :

14


Xét hàm

trên

, ta được

Suy ra

. Chọn D.
Cách 2. Áp dụng BDT Cơsi, ta có

Nhận xét: Có thể đặt
ta cũng có lời giải tương tự.
Ví dụ 7. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
.
Các cạnh bên bằng nhau và bằng . Tìm thể tích lớn nhất
của khối chóp đã
cho.
A.

B.

C.

D.

Giải
Gọi
Vì
suy ra hình chiếu của
đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, do đó tứ giác
hình chữ nhật. Gọi
, suy ra
.
Đặt
Tam giác vng
có
S
Tam giác vng

có

6
x

B

Khi đó

Dấu

trên mặt
là

O
C

xảy ra

A
4

D

Suy ra

Chọn B.

Ví dụ 8. Cho hình chóp

có đáy
là hình chữ nhật với
và mặt bên
là tam giác cân tại
và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất
của khối chóp đã cho.
A.

B.

C.

D.

Giải
Gọi

là trung điểm của
Giả sử

Suy ra

.

Tam giác vng

có

TIEU LUAN MOI download :

15


S

Khi đó

A

B

H
C

D

Chọn D.
Ví dụ 9.Cho khối chóp
cách từ
đến mặt phẳng
dài cạnh
để khối chóp
A.
Gọi

có đáy là tam giác vng cân tại
Khoảng
bằng
Xác định độ

có thể tích nhỏ nhất.

B.

C.

D.

Giải
là hình vng.

là điểm sao cho

Ta có

.

Tương tự, ta cũng có
Kẻ

. Từ đó suy ra

.
S

Khi đó
Đặt
Trong tam giác vng

H

có
C

D
A

B

Suy ra
Thể tích khối chóp
Xét hàm

trên

, ta được
Chọn B.

Ví dụ 10. Cho hình chóp
lên

và
A.

có đáy
là tam giác vng tại
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
. Tính thể tích lớn nhất
của khối chóp

.
B.

C.

D.

[2].

Giải

TIEU LUAN MOI download :

16


Đặt
Tam giác

cân tại

trung điểm của
Tam giác vng

nên

, có đường cao

suy ra

.
là

S
K

.

có

A

H

C

B

Ta có

Xét hàm

trên

, ta được

Chọn A.
2.3.4. Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình
Khi giải một bài tốn về hình chóp mà các dữ kiện của nó liên quan đến
tổng các cạnh, hoặc tổng các góc phẳng …thì việc phẳng hố hình chóp (tức là

trải phẳng tứ diện đó lên một mặt phẳng) sao cho phù hợp sẽ cho ta một lời giải
gọn gàng và dễ hiểu.
Ví dụ 1. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều
cạnh bên bằng
, góc
bằng đường gấp khúc dây đèn led vịng
quanh kim tự tháp
.Trong đó điểm
cố định và
(tham khảo hình vẽ).

Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
A.
mét.
B.
mét.
C.
mét.
D.
mét.
[7].
Giải.
Ta sử dụng phương pháp trải đa diện
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

TIEU LUAN MOI download :

17

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng
hình chóp đều
,ta có
.Ta có:

.Từ giả thiết về

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là
mét. Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác
có đáy
vng tại
,
và
; hai điểm
thay đổi sao cho
.Gọi
là các điểm lần lượt di động trên các cạnh
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
chu vi tam giác
.
A.

B.

C.

Giải.
Trên tia

và tia
lần lượt lấy các
điểm
sao cho
.
Gọi
là đỉnh thứ 4 của hình bình hành
. Khi đó
là hình vng
cạnh bằng .
Dễ thấy
,
và
(c.c.c).
Như vậy mặt xung quanh của hình chóp đã
được trải ra trên mặt phẳng chứa đáy.

D.

[8].

EMBED PBrush

Gọi
lần lượt thuộc các đoạn
và
sao cho
,
Khi đó chu vi tam giác
bằng độ dài đường gấp khúc

Ta có
. Dấu bằng xảy ra khi
hàng.
Vậy chu vi tam giác
nhỏ nhất bằng
. Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp đều
có
;
. Lấy
thuộc cạnh
. Tính giá trị nhỏ nhất đó của chu vi
.

.
.
thẳng

lần lượt

TIEU LUAN MOI download :

18


A.

.

B.

.

.

D.

[9].

Giải.
như sau:

Trải tứ diện xuống mặt phẳng

Khi đó, với các điểm:

C.

;

Dấu “=” xảy ra
.Do
cố
định
cố định
cố định
Ta luôn xác định được
nhỏ nhất. Khi đó, ta có:

thỏa mãn chu vi

là
.

Xét

có

Vì

(Vì

cân tại

)

.Do

;
Vậy, giá trị nhỏ nhất của chu vi

là

tại

là giao điểm của

với
. Chọn B.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài này bản thân tôi áp dụng trọng việc dạy và luyện cho học sinh ôn
thi THPT quốc gia và học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh. Đa số học sinh có hứng
thú, vận dụng tốt và phần nào tự tin khi gặp dạng toán này.
Kết quả cụ thể ở các lớp khối 12, sau khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm này vào giảng dạy được thể hiện qua bài kiểm tra như
sau :
Điểm từ 5 đến
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
8
Tổng
Năm học
Lớp
số
Số
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
17,5
32,5
2018-2019
12A3
40
7
20

50 %
13
%
%
40,5
40,5
2019-2020
12B7
42
8
19 %
17
17
%
%

TIEU LUAN MOI download :

19


Như vậy tơi thấy sáng kiến kinh nghiệm trên có hiệu quả. Mặc dù cố gắng
tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn cịn có nhiều thiếu sót. Tơi rất mong được sự
quan tâm, nghiệp bổ sung và góp ý của tất cả các đồng nghiệp. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm này sau khi được áp dụng đã mang lại hiệu quả rõ
rệt, chất lượng làm bài tốn cực trị trong hình học khơng gian của học sinh đã
được nâng lên .Nhiều học sinh từ chỗ khơng biết cách giải dạng tốn này, sau

khi được cung cấp các phương pháp nêu trong sáng kiến kinh nghiệm đã tự
mình giải được các bài tốn cơ bản và dần dần làm được những bài khó hơn.
Riêng những học sinh khá giỏi đã giải được các bài tốn khó. Sáng kiến kinh
nghiệm này góp phần tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra
cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học,
tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Kiến nghị
Nhằm giúp học sinh học tớt hơn về hình học khơng gian, đặc biệt là các
bài tốn có yếu tố lớn nhất nhỏ nhất, bản thân tôi có kiến nghị:
- Trong phân phối chương trình môn Toán lớp 12, các cấp có thẩm qùn
nên tăng cường thêm sớ tiết cho hình học khơng gian.
- Đối với học sinh lớp 12, giáo viên nên dành một số tiết tự chọn để ôn
tập lại cho các em về hình học tổng hợp, rèn luyện thêm kĩ năng vận dụng bất
đẳng thức cơ bản vào giải tốn, thành thạo việc sử dụng bất đẳng thức Cơ-si
trong các bài tốn cực trị đại số cũng như hình học. Giáo viên cần chuẩn bị các
mơ hình thực tế để học sinh dễ quan sát và cũng nên ứng dụng công nghệ thông
tin vào các tiết giảng về nội dung này.
-Vì thời gian trong phân phối chương trình khơng thể đáp ứng được việc
truyền thụ nội dung các phương pháp giải nên cần tổ chức phụ đạo cho học sinh
vào những buổi ngồi thời khố biểu.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, khơng sao chép nội dung của
người khác

TIEU LUAN MOI download :

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đề thi thử lần 3 năm học 2017-2018, THPT Hậu Lộc 2 Thanh Hóa.
[2]. Huỳnh Đức Khánh (chủ biên) , Trắc nghiệm 12 Tuyển chọn luyện thi THPT
Quốc gia, NXB Đồng Nai năm 2019.
[3]. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017.
[4]. Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Nguyễn Thị Vân.
[5]. Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Đồng Anh Tú.
[6]. Đề thi thử THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh Lần 1 năm học 2018-2019.
[7]. Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Nguyễn Văn Oánh.
[8]. Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Lê Thanh Bình.
[9]. Trang web:, tác giả Trần Thị Hiền, THPT Chuyên Hạ
Long.

TIEU LUAN MOI download :

21