THAM LUẬN CHI BỘ CHỈ ĐẠO CÁC HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG ĐOÀN, XÂY DỰNG MỐI ĐOÀN KẾT TRONG CƠ QUAN

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP: Q trình ngẫu nhiên

(Lớp làm bài Kiểm tra để nộp gồm các bài: 2, 3, 5, 7, 8)
Bài 1. Định nghĩa q trình Poisson? Tính hàm trung bình và hàm tự tương quan của nó.
Q trình này có dừng khơng?


Bài 2. Định nghĩa q trình Wiener? Tính hàm trung bình và hàm tự tương quan của nó?
Q trình này có dừng khơng?


Tốn học, q trình Wiener là một q trình ngẫu nhiên thời gian liên tục, được
đặt tên sau khi Norbert Wiener. Do chuyển động Brown có liên quan chặt chẽ đến
vật lý, cũng thường được gọi là "quá trình chuyển động Brown" hay chỉ đơn giản
là chuyển động Brown. Quá trình Wiener là quá trình Levy (xem giới hạn trái số
gia độc lập văn phịng phẩm q trình ngẫu nhiên phải liên tục) là lớp học trong
những nổi tiếng nhất, trong toán học thuần túy, toán học ứng dụng, kinh tế và
vật lý có ứng dụng quan trọng.
Tình trạng q trình Wiener trong tốn học thuần túy và tốn học ứng dụng là
quan trọng khơng kém. Trong tốn học thuần túy, quá trình Wiener dẫn đến một
martingale liên tục nghiên cứu lý thuyết là rất quan trọng để mô tả các q trình
phức tạp của một loạt các cơng cụ cơ bản. Nó phân tích ngẫu nhiên, q trình
khuếch tán và nghiên cứu lý thuyết tiềm năng trong lĩnh vực này là khơng thể
thiếu. Trong tốn học ứng dụng, q trình Wiener có thể được mơ tả bởi một màu
trắng hình thức thể thiếu tiếng ồn Gauss. Trong kỹ thuật điện, q trình Wiener là
thiết lập một mơ hình tốn học của tiếng ồn là một phần quan trọng. Điều khiển
học, q trình Wiener có thể được sử dụng để đại diện cho yếu tố khơng rõ.

Q trình Wiener và chuyển động Brown có liên quan chặt chẽ đến vật lý. Chuyển
động Brown bị đình chỉ trong một hạt mịn chất lỏng của phấn hoa thực hiện
chuyển động ngẫu nhiên vơ tận. Wiener chuyển động cũng có thể được mơ tả

bằng Fokker - Planck phương trình và phương trình Langevin để xác định chuyển
động ngẫu nhiên khác. Quá trình Wiener tạo thành một con đường cơ khí xây
dựng cơ sở thiếu chặt chẽ lượng tử (theo Feynman - Diễn phương trình, phương
trình Schrưdinger có thể được thể hiện với q trình Wiener). Tốn học tài chính,
q trình Wiener có thể được sử dụng để mơ tả các mơ hình định giá các tùy
chọn như đen - mơ hình Scholes.
Định nghĩa
Nếu một quá trình ngẫu nhiên {X (t), t> = 0} đáp ứng:


⑴ X (t) là độc lập với quá trình gia tăng;
⑵ tùy ý s, t> 0, X (s t)-X (s) ~ N (0, c ^ 2 * t), cụ thể là X (s t)-X (s) là kỳ vọng của
0 và phương sai c ^ 2 * t của phân phối bình thường;
⑶ X (t) là một hàm liên tục trên t.
Được gọi là {X (t), t> = 0} là một q trình Wiener (q trình Wiener) hoặc
chuyển động Brown.
Tính năng
Q trình Wiener được gọi là chuyển động Brown, trong đó có các đặc điểm sau
đây:
⑴ Nó là một q trình Markov. Do đó, giá trị hiện tại của q trình này là để thực
hiện một dự báo tương lai của nó tất cả các thơng tin cần thiết.
⑵ q trình với số gia độc lập Wiener. Quá trình thay đổi trên một khoảng thời
gian độc lập với phân bố xác suất tại bất kỳ khoảng thời gian khác thay đổi xác
suất
⑶ nó ở bất kỳ biến thể hữu hạn thời gian theo một phân bố bình thường, và khơng
đúng với chiều dài của khoảng thời gian tăng tuyến tính.
Thời điểm thứ hai cho quá trình {W (t), t ³ 0}, nếu có đủ
⒈ với số gia độc lập
⒉ cho bất kỳ t> s ³ 0, gia tăng
W (t)-W (s) ~ N (0,62 (t-s)), và s> 0

⒊ W (0) = 0
Thủ tục này được gọi là quá trình Wiener.
Quá trình Wiener là một mơ hình tốn học về chuyển động Brown. Tiếng Anh
thực vật học Brown dưới kính hiển vi, quan sát thấy trôi nổi trên bề mặt các hạt
nhỏ bé bình tĩnh và thấy rằng họ tiếp tục thực hiện các chuyển động hỗn loạn,
hiện tượng này được gọi là chuyển động Brown. W (t) đại diện cho một chuyển
động hạt từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t> 0 chuyển tọa độ (phối cũng được
thảo luận), và để cho W (0) = 0, dựa trên Einstein năm 1905 Về lý thuyết, phong
trào này của các hạt do số lượng lớn các phân tử ngẫu nhiên độc lập với nhau kết
quả của vụ va chạm. Vì vậy, các hạt trong giai đoạn (s, t] di dời có thể được coi là
tổng đại số của nhiều chuyển nhỏ. sau đó W ( t)-W (s) phát hành bình thường.
Gia tăng quá trình Wiener phân phối duy nhất về sự khác biệt thời gian, vì vậy nó
là q trình đồng nhất với số gia độc lập và là thủ tục bình thường. Chức năng
phân phối của họ hoàn toàn bằng trung bình của nó và hàm hiệp phương sai


được xác định từ q trình Wiener. Khơng chỉ mơ hình tốn học của chuyển động
Brown, các linh kiện điện tử của tiếng ồn nhiệt ở một nhiệt độ ổn định có thể là
do q trình Wiener.
Tương lai mơ hình định giá BS mơ hình, giá tương lai và giá của các tài sản cơ
bản phụ thuộc có thể cùng loại của các yếu tố không chắc chắn, cả hai đều là
cũng phải chịu cùng một quá trình Wiener.
Một quá trình tự nhiên chiều Wiener
Thuộc tính cơ bản
Đối với bất kỳ số thực dương một thời gian chiều quá trình Wiener là một biến
ngẫu nhiên, hàm mật độ xác suất của nó là:
Điều này là bởi vì, theo định nghĩa của q trình Wiener, khi phân phối có thể
được giới thiệu:
Kỳ vọng tốn học của nó là số khơng: khơng đúng của nó là:
Q trình Wiener trong định nghĩa của số gia độc lập, vì vậy, sau đó, và là các

biến ngẫu nhiên độc lập với nhau, và
Vì vậy, hai thời điểm khác nhau, và các hiệp phương sai và hệ số tương quan là:
Giá trị trực tiếp nhất
Quá trình Wiener với thời gian phân bố xác suất doanh tối đa là:
Giá trị lớn nhất của phân phối là một thiếu thực tế:
Ngay lập tức tối đa kỳ vọng toán học là:
Như quá trình Wiener theo chiều dọc đối xứng, tức tối thiểu thời gian thực rõ
ràng là trái ngược với số lượng tối đa.
Đối xứng
Một q trình Wiener khơng ngừng mở rộng tương ứng, nó sẽ được trình bày như
là một phần của q trình này trơng giống như một Wiener

Bất biến quy mô: cho bất kỳ số thực dương, một q trình ngẫu nhiên vẫn cịn là
một q trình Wiener.
Thời gian đảo ngược: cho bất kỳ số thực dương, quy trình ngẫu nhiên, và có cùng
tính chất.
Đối xứng khơng gian: q trình ngẫu nhiên là một q trình Wiener.


Thời gian đảo ngược: quá trình ngẫu nhiên là một q trình Wiener.
Thời gian dịch bất biến và tính chất Markov
Q trình Markov với bất động sản, có nghĩa là, bất kỳ lúc nào sau khi xu hướng
và điều này chỉ là giá trị liên quan đến giá trị trước đây khơng liên quan Wiener.
Có nghĩa là, bất kỳ chức năng liên tục bị chặn,
Do đó q trình Wiener với một thời gian tịnh bất biến: quá trình ngẫu nhiên là
một quá trình Wiener. Hơn nữa, quá trình Wiener cũng đáp ứng được các tính
chất Markov mạnh: đối với bất kỳ thời gian dừng lại hữu hạn, các biến ngẫu
nhiên độc lập với các bộ lọc. Có nghĩa là, bất kỳ chức năng liên tục bị chặn,
Wiener q trình tính chất Markov mạnh mẽ, cho thấy rằng ngay cả khi thời gian
nhất định khơng tính thời gian nhưng một thời gian dừng lại, quá trình Wiener

sau khi ngừng xu hướng này vẫn khơng có gì để làm với trước đó. Vì vậy, khi sẽ
dừng lại sau khi quá trình Wiener lộn ngược, vẫn cịn là một q trình Wiener.
Ngơn ngữ tốn học, đó là: Với một thời gian dừng lại, các biến ngẫu nhiên: là một
quá trình Wiener. Khách sạn này cũng được gọi là quá trình Wiener nguyên tắc
phản ánh.
Như một hệ quả, giá trị tối đa có thể được thiết lập ngay lập tức với các mối quan
hệ khác. Dừng lại khi một số thực dương, sau đó. Sử dụng nguyên lý phản ánh có
thể được chứng minh. Tổng quát hơn, nó có, sau đó.

Bài 3. Chứng minh rằng quá trình {Xt } là L2- liên tục khi và chỉ khi hàm trung bình m(t) và
hàm tự tương quan C(t,s) liên tục.

Bài 4. Chứng minh rằng quá trình Poisson khả vi theo nghĩa xác suất nhưng không là L2- khả
vi tại bất kì điểm nào.




Bài 5. Chứng minh rằng quá trình Wiener là L2- liên tục nhưng khơng L2- khả vi tại bất kì
điểm nào.


Nhóm 6- Câu 6. Cho xích Markov {Xn} với khơng gian trạng thái E = {0, 1, 2} và ma
trận xác suất chuyển
P=

a 
 0.3 0
b 0.4 0.2



0
c
1 



a) Tìm giá trị a, b, c?
b) Tìm xác suất để hệ rơi vào trạng thái 2 khi xuất phát từ trạng thái 0.
c) Tìm thời gian trung bình để hệ bị hấp thụ vào trạng thái 2.
Bài làm:
a)

Ta có: 0,3 + 0 + a=1 ⇒ a=1-0,3 = 0,7.
b + 0,4 + 0,2=1 ⇒ b =1-0,4-0,2 =0,4
0 + c + 1 =1 ⇒ c = 0.
Vậy ma trận xác suất chuyển là:
0, 7 
 0,3 0

÷
P =  0, 4 0, 4 0, 2 ÷
0
0
1 ÷



b)

Ta có: E = {0, 1, 2}
-Trạng thái hút 2.
-Xác suất để hệ bị hút vào trạng thái 2 khi xuất phát từ trạng thái 0 là nghiệm của hệ:
u02 = 0, 7 + 0,3.u 02 + 0.u12 (1)
⇔
u12 = 0, 2 + 0, 4.u 02 + 0, 4.u12 ( 2)


Từ (1) suy ra u02= 1.
c)

Thời gian trung bình để hệ bị hút là nghiệm của hệ:
v0 = 1 + 0,3.v0 + 0.v1 (1)
⇔
v1 = 1 + 0, 4.v0 + 0, 4.v1 (2)

Từ (1) suy ra:

v02 =

1 10
=
0, 7 7




Câu 7. Xét mơ hình kiểm kê phụ tùng thay thế với:
Xn: mức hàng còn lại trong kho tại cuối ngày thứ n,
ζn : nhu cầu của khách hàng trong ngày thứ n.

Mức căn cứ để nhập hàng như sau: Nếu trong kho khơng cịn phụ tùng thì sẽ nhập 3 sản
phẩm; nếu trong kho cịn hàng thì sẽ khơng nhập thêm, nhu cầu của khách hàng trong các
ngày là độc lập và có bảng phân bố xácsuất:
ζn

0

1

2

P

0.4

0.5

0.1

Biết rằng {Xn} lập thành xích Markov.
a) Tìm khơng gian trạng thái E và ma trận xác suất chuyển của {Xn}.
b) Tính

p (2)13

và nêu ý nghĩa?

Bài 8. Thả thỏ vào ngăn 6 trong mê cung như hình vẽ.

1

2- thức ăn

3

5- Bẫy

4

6

7

Biết rằng thỏ ln chạy giữa các ngăn và sẽ dừng lại khi gặp bẫy hoặc thức ăn. Gọi Xn: vị trí của thỏ
ở lần di chuyển thứ n. Biết rằng {Xn} lập thành xích Markov.
a) Tìm khơng gian trạng thái E và ma trận xác suất chuyển của {Xn}.
b) Tìm xác suất để thỏ tìm được thức ăn trước khi mắc bẫy.




Ví dụ: Trung bình mỗi phút có 3 cuộc gọi đến tổng đài của
trung tâm đặt phòng khách sạn. Gọi X là số cuộc gọi đến
tổng đài đó trong 1 phút, khi đó X có phân phối Poisson với
trung bình
.
Thực hiện đếm số cuộc gọi đến tổng đài đó 1000 lần,

thống kê như sau:
X
0 1
2
3
4
5
6
7
8 9
10
Tần số
58 148 252 197 172 95 54 13 7 3
Từ đó ta có xác suất thực nghiệm như sau
X
Xác suất

1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

.058 .148 .252 .197 .172 .095 .054 .013 .007 .003 .001


Với hàm xác suất
suất lý thuyết
X

0

1

với
2

3

4

5

ta tính các xác
6

7

8

9

10

Xác suất .0497 .1493 .224 .224 .168 .1008 .0504 .0216 .0081 .
0027 .00081

Ta vẽ hàm xác suất thực nghiệm của X

Hàm phân phối tích lũy thực nghiệm