Phương pháp bài giảng và đề bài tập trên lớp

Chương 1
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1



Nội dung chính:
1.1. Bổ túc về giải tích tổ hợp
1.2. Phép thử và biến cố, mối quan hệ giữa các biến cố
1.3. Xác suất của biến cố
1.4. Các cơng thức tính xác suất

BM Toán-HVTC


1.1. BỔ TÚC VỀ GiẢI TÍCH KẾT HỢP
2

1.1.1. Cơng thức cộng
1.1.2. Cơng thức nhân
1.1.3. Hốn vị
1.1.4. Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp
1.1.5. Tổ hợp
1.1.6. Luyện tập

BM Toán-HVTC


1.1.1. CƠNG THỨC CỘNG
3



Giả sử một cơng việc nào đó có thể được thực hiện
theo một trong k phương án: A1 , A2 ,..., Ak
Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách
Phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách …
Phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách



Số cách để có thể thực hiện cơng việc đó là:
n1  n2  ...  nk

BM Tốn-HVTC


1.1.2. CƠNG THỨC NHÂN
4



Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm k công đoạn:
A1 , A2 ,..., Ak

Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách.
Cơng đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách …
Cơng đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách


Số cách để có thể thực hiện cơng việc đó là:

n1  n2  ...  nk

BM Toán-HVTC


1.1.3. HOÁN VỊ
5







Mỗi cách sắp sếp các phần tử của một tập hợp gồm
n phần tử khác nhau gọi là một hốn vị của n phần
tử ấy.
Ví dụ 1.1: Một bàn có 3 chỗ ngồi. Có bao nhiêu
cách sắp sếp 3 sinh viên vào bàn đó?
Số các hốn vị của n phần tử được ký hiệu là: Pn
Pn  n(n  1)...2.1  n !
BM Toán-HVTC


1.1.4. CHỈNH HỢP, CHỈNH HỢP LẶP
6



Chỉnh hợp:

 Chỉnh

hợp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm có
thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho
(k ≤ n).
 Ví dụ 1.2: Cho tập hợp gồm 3 chữ số 1,2,3. Hỏi có thể
tạo nên bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau từ 3 chữ số
đó?
k
 Số các chỉnh hợp chập k của n được ký hiệu là: An

n!
A  n(n  1)....(n  k  1) 
(n  k )!
k
n

BM Toán-HVTC


1.1.4. CHỈNH HỢP, CHỈNH HỢP LẶP
7



Chỉnh hợp lặp:
 Chỉnh

hợp lặp chập k của n phần tử đã cho là một
nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho

trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,…,k lần.
dụ 1.3: Cho tập hợp gồm 3 chữ số 1,2,3. Hỏi có thể
tạo nên bao nhiêu số có 2 chữ số từ 3 chữ số đó.

 Ví

 Số

các chỉnh hợp chập k của n được ký hiệu là: Ank

A  n.n....n  n
k
n

BM Toán-HVTC

k


1.1.5. TỔ HỢP
8







Tổ hợp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm
khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau

lấy từ n phần tử đã cho (k ≤ n).
Ví dụ 1.4: Có 3 người A,B,C. Hỏi có bao nhiêu
cách cử 2 người đi cơng tác?
Số các tổ hợp chập k của n được ký hiệu là:
k
A
n
(
n

1)....(
n

k

1)
n!
Cnk 
 n 
k!
k ! k ! n  k !

BM Toán-HVTC

Cnk


1.1.6. LUYỆN TẬP
9



Ví dụ 1.5: Thang máy của một tịa nhà có 8 tầng,
xuất phát từ tầng 1 với 5 người khách. Có bao
nhiêu khả năng:
 Mỗi




người ra ở một tầng khác nhau?
Năm người ra một cách tùy ý?

Ví dụ 1.6: Có 15 khách vào một khu mua sắm có
10 quầy. Có bao nhiêu khả năng:
Mười năm khách vào các quầy một cách bất kỳ?
 Mười năm khách vào cùng một quầy?


BM Toán-HVTC


1.1.6. LUYỆN TẬP
10



Ví dụ 1.7: Một tập gồm 6 tờ mệnh giá 10 nghìn
đồng, 8 tờ mệnh giá 20 nghìn đồng. Hỏi có bao
nhiêu cách rút ra:

 Ba tờ tiền cùng mệnh giá?
 Ba tờ tiền mệnh giá 10 nghìn đồng?
 Ba tờ tiền trong đó có ít nhất một tờ mệnh giá 10
nghìn đồng?

BM Tốn-HVTC


1.2. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
11

1.2.1. Phép thử và biến cố
1.2.2. Mối quan hệ giữa các biến cố
1.2.3. Luyện tập

BM Toán-HVTC


1.2.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
12





Phép thử là việc thực hiện một nhóm các điều kiện
xác định để quan sát một hiện tượng nào đó.
Một phép thử có thể có nhiều kết cục khác nhau.
Các kết cục đó được gọi là biến cố hay sự kiện

BM Toán-HVTC


1.2.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
13



Ví dụ 1.8: Gieo một con xúc sắc (6 mặt) - là một
phép thử
 “Xuất

hiện mặt 4 chấm” - là một biến cố
 “Xuất hiện mặt có số chấm là chẵn” - là một biến cố


Ví dụ 1.9: Một cơng ty đầu tư vào một dự án - là
một phép thử
 “Dự

án có lãi” - là một biến cố
 “Dự án khơng có lãi” – là một biến cố

BM Toán-HVTC


1.2.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
14



Các loại biến cố:
 Biến

cố chắc chắn: là biến cố nhất định xảy ra sau
phép thử, ký hiệu là U.
 Biến cố khơng thể có: là biến cố nhất định không xảy
ra sau phép thử, ký hiệu là V.
 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc
khơng xảy ra sau phép thử, thường được ký hiệu là
A,B,C… hay A1 , A2 , …

BM Toán-HVTC


1.2.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
15

Ví dụ:


Trong phép thử ở VD1.8:
 “Xuất

hiện mặt 4 chấm” - là biến cố ngẫu nhiên
 “Xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6” - là biến cố chắc chắn
 “Xuất hiện mặt 7 chấm” - là biến cố khơng thể có


Trong phép thử ở VD1.9 hãy xác định: Biến cố

ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn, biến cố khơng thể
có.
BM Tốn-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
16










Biến cố kéo theo
Biến cố tương đương
Tổng của các biến cố
Tích của các biến cố
Biến cố xung khắc
Biến cố đối lập
Hiệu của hai biến cố
Hệ đầy đủ các biến cố
BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
17



Biến cố kéo theo:
 Biến

cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra
thì B cũng xảy ra, ký hiệu A  B



Biến cố tương đương:
 “Xuất

Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố
B nếu A kéo theo B và B cũng kéo theo A ký hiệu A  B



A  B
A B
B  A
BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
18



Ví dụ 1.10: Gieo một con xúc sắc

Gọi A là biến cố “ Xuất hiện mặt 1 chấm”
B là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”
C là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 2”
Ta có:

A  B, C  B, A  C

BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
19



Tổng của các biến cố :
của 2 biến cố A, B là một biến cố, ký hiệu là A  B
 Biến cố A  B xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong
hai biến cố A,B xảy ra
Biến cố A  B khơng xảy ra khi nào?
 Tổng



Tích của các biến cố :
 Tích

của 2 biến cố A, B là một biến cố, ký hiệu là A.B

 Biến cố A.B xảy ra khi và chỉ khi đồng thời 2 biến cố
A,B cùng xảy ra.
Biến cố A.B không xảy ra khi nào?
BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
20



Chú ý: Khái niệm tổng và tích của các biến cố có
thể mở rộng cho n biến cố (n  2)
cố A1  A2  ...  An xảy ra khi và chỉ khi ít nhất
một trong n biến cố A1 , A2 ,...., An xảy ra
 Biến cố A1 A2 .... An xảy ra khi và chỉ khi các biến cố
A1 , A2 ,..., An cùng xảy ra
 Biến

BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
21



Ví dụ 1.11: Gieo con xúc sắc:

Gọi Ai là biến cố “ Xuất hiện mặt i chấm” ( i  1, 6)

A là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”
B là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết
cho 3”
Ta có: A  A  A  A
2

4

6

B  A3  A6
A.B  A6
A  B  A2  A3  A4  A6
BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
22



Biến cố xung khắc :
 Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc với nhau nếu
chúng không đồng thời xảy ra sau phép thử
 Ta có: AB  V



Các biến cố xung khắc từng đôi:
 Các

biến cố A1 , A2 ,...., An được gọi là xung khắc từng
đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó xung
khắc với nhau. Tức là:
Ai Aj  V i  j; i, j  1, n
BM Toán-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
23



Ví dụ 1.12:

Trong ví dụ 1.11 ta có:
 Hai biến cố A1 , A2 xung khắc với nhau.
 Sáu biến cố A1 , A2 ,..., A6 xung khắc từng đơi.

BM Tốn-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
24



Biến cố đối lập :
 Hai biến cố A, B được gọi là đối lập nếu có một và chỉ
một biến cố xảy ra sau phép thử

 Tức là: A  B  U

A.B  V
hiệu: A  B hoặc B  A
 Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi biến cố A khơng xảy
ra
 Ký

BM Tốn-HVTC


1.2.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
25



Ví dụ 1.13: Gieo con xúc sắc:
A là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”
A là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ”



Ví dụ 1.14: Một công ty đầu tư vào một dự án.
A là biến cố “ Cơng ty có lãi”

A là biến cố “ Cơng ty khơng có lãi”

BM Tốn-HVTC