Giáo trình Các phương pháp Toán kinh tế: Phần 1

ĐẶNG VÀN THOAN

CÁC PHỬƠNG PHÁP

TOÁN KINH TẾ

St bản giáo dục -1998


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

ĐẶNG VÀN THOAN

CÁC PHƯƠNG PHÁP

TORN KINH TẾ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1998


thêm trong "giáo trình bài tập các phương pháp tốn kinh tế" se
xuất bản trong thời gian gàn đây.
Đối tượng phục vụ chính của giáo trình là sinh viên hệ đào tạo
chính quy của Trường Đại học Thương mại, song nó vẫn có thể có
ích cho những ai muốn tìm hiểu và vận dụng các phương pháp toán
kinh tế trong nghiên cứu và hoạt động thực tiễn trong lĩnh vực quản
lý và kinh doanh.
Trong quá trình biên soạn, tác giả đã nhận được những ý kiên
đóng góp quý báu của các địng nghiệp ở bộ mơn Tốn Trường Đại
học Thương mại. Tác già cũng nhận được những góp ý và những
gợi ý để giáo trình có chất lượng tốt hơn của PGS. - Tiến sĩ Nguyễn

Xuân Tấn (Viện toán học) và của PTS. Nguyễn Xuân Viên (Học
viện kỹ thuật quân sự). Tác giả chán thành cảm ơn tất cả những
đóng góp chân tình dó. Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót trong nội dung và cách diễn giải ở các chương,
mục. Tác giả mong nhận dược những ý kiến nhận xét của bạn đọc,
để tiếp tục hồn thiện nội dung giáo trình trong những Tân xuất
bản sau.
Hà Nội, tháng 9 năm 1998
Tác gia

4


CHƯƠNG I
Cơ SỞ TỐN CỦA QUI HOẠCH
TUYẾN TÍNH

1.1. VÉC Tơ
Ta gọi một bộ n số thực {xx, x2,... xn) -được sắp xếp theo
một thứ tự nhất định là một véc tơ n - chiều. Nếu sắp
xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới thì ta gọi là véc tơ cột
và ký hiệu:
X1
x2

xn

Nếu sắp theo thứ tự
*T» từ trái sang phải thì ta gọi
* là véc

tơ hàng và ký hiệu X = [xx, x2,..., xn].
Số Xj (i = 1,2,... ,n) gọi là thành phần (hay toạ độ) thứ
i của véc tơ X.

2
là một véc tơ cột hai chiều, [-3, 5, -1, -4] là
3
một véctơ hàng bơn chiều.

Ví dụ:

5


Các véc tợ mà sau này chúng ta thường nói tới, là các
véc tơ cột. Để chỉ các véc tơ hàng, ta dùng chỉ số T (chuyển
vị) ghi ở góc trên bên phải, chẳng hạn AT = [-5, 4, 2, 6].
Hai véc tơ n chiều X = [xx, x2,...,rXn]T và Y = [yx, y2,...yn]T
được gọi là bằng nhau nếu các thành phần tương ứng của
chúng bằng nhau, tức là
X = Y nếu Xị = y¡, Vị = 1,2,...,n

Đối vối hai véc tơ n chiều
A = [ax, a2,..., an]T và B = [bi, b2,.... bn]T
Ta ký hiệu A < B (đọc là A nhỏ hơn B)

nếu xảy ra đồng thời ax < bx, a2 < b2,..., an < bn
Ta kí hiệu: A < B
nếu ax < bx, a2 < b2(...., an < bn

Tương tự, chúng ta đưa ra các ký hiệu:
A > B (đọc A lớn hơn B)
A > B

- Một véc tơ mà tất cả các thành phần của nó đều bằng
0, ta gọi là véc tơ không, ký hiệu 0T = [0, 0,...., 0],

1.2. CÁC PHÉP TÍNH VÉC Tơ
1. Phép nhân véc tơ với một số thực

Ta gọi tích của một véc tơ n chiều A vởi một số thực
k là một véc tơ n chiều, ký hiệu là kA, mà các thành phần
của nó là tích của sơ k với các thành phần ứng của véc
tơ A. Như vậy:
k.A = [kax, ka2,...., kan]T

6


Nếu ta nhân véc tơ A với -1 ta nhận được véc tơ -A, là
một véc tơ mà toạ độ của nó sai khác về dấu so với toạ
độ của A. Véc tơ -A gọi là véc tơ đối của véc tơ A.
2. Tổng của hai véc tơ

Tổng của hai véc tơ n chiều AT = [ab a2,...., an] và BT
= [bj, b2,.... bn] là một véc tơ n chiều, ký hiệu AT + BT
mà các thành phần của nó là tổng của các thành phần
tương ứng của AT và BT. Như vậy
AT + BT = [ai + b1( a2 + b2,..... , an + bn]

Chúng ta định nghĩa hiệu của hai véc tơ A và B như
là tổng của véc tơ A và véc tơ -B. Như vậy
A - B = [ax - b1; a2 - b2,...., an - bn]

Phép nhân véc tơ với một số và phép cộng vộỗ t cú cỏc
tớnh cht sau:
a. Tớnh giao hoỏn

A + B = B + A
b. Tính kết hợp

t(kA) = (tk)A; A + (B + C) = (A + B) + c
c. Tính phân bố

(t + k)A = tA + kA; k(A + B) = kA + kB

Vởi mỗi véc tơ A = [a1; a2,...., an] đều tồn tại một véc
tơ đối -A = [-ax, -a2,...., -an] để cho
. A + (-A) = 0
7


3. Tích vơ hướng của hai véc tơ
Ta gọi tích vô hướng của hai vềctơ n chiều X và Y là
một số thực, được xác định bỏi tổng các tích của các thành
phần tương ứng của X và Y, ký hiệu là (X,Y) hay X.Y
Như vậy nếu X = [xx, x2,...., xn]T và Y = [yx, y2,...., yn]T
thì (X,Y) = ỈVi
i=l

Ví dụ: Cho X = [-2, 3, -1, 0]T, Y = [4, -1, 5, 2]T thì (X,Y)
= -8 - 3 - 5 + 0 = -16
Tích vơ hướng có các tính chất sau:

a. (X,Y) = (Y,X)
b. (kX,Y) = (X,kY) = k(X,Y)
c. (X + Y,Z) = (X,Z) + (Y,Z)
d. (X,X) > 0. Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi X = 0

1.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC
TUYẾN TÍNH
1. Tổ hợp tuyếi* tính của các véc tơ

Cho.m véc tơ n chiều Ax, A2,..., Am khi đó véc tơ
A = kxAx +k2A2+.... + kjjAn

Vởi kx, k2,..., km là các sô thực, được gọi là tổ hợp tuyến
tính của m véc tơ đã cho hay A biểu diễn tuyến tính qua
các véc tơ Ax, A2,....,Am
Ví dụ-. Cho Ax = [-2, 1, 0], A2 = [1, 3, 2], A3 = [4, -1, 1]
thì A = 2AX + 5A2 - 3Ag = [-11, 20, 7] là một tổ hợp tuyêh
tính của Ax, A2 và A3

8


- Tổ hợp tuyến tính được gọi là khơng âm nếu kj > 0
với mọi: i = 1, 2,...., m
- Ta gọi tổ hợp tuyến tính:
klAl + k2A2 +...... + kmAm

là tổ hợp lồi nếu:
kl + k2 +...... + km = 1

kị > 0 (i = 1, 2,...., m)

2. Các véc tơ Ax, A2,
Ajn được gọi là độc lập tuyến
tính nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng véc tơ không
chỉ khi tất cả các hệ số đệu bằng 0, tức là hệ thức
kiAi + k2A2 +.... + kujAnj = 0 (1.1)

chỉ khi kx = k2 =.... km = 0 (1.2)
- Nếu hệ thức (1.1) xẩy ra khi có ít nhất một hệ số kj
khác khơng thì các véc tơ Ax, A2,...., Ajn được gọi là phụ
thuộc tuyến tính

3. Điều kiện cần và đủ để hệ véc tơ Ax, A2,.... Aja phụ
thuộc tuyến tính là có ít nhất một véc tơ của hệ biểu diễn
tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
Thật vậy, nếu các véc tơ Ax, A2,....., Anj phụ thuộc tuyến
tính thì hệ thức (1.1) xẩy ra với ít nhất một hệ số khác
không, chẳng hạn kj * 0, khi‘đó từ (1.1) ta có
kl
ko
kj_x
kj + x
4 = - ^A!-^A2 -••• "k^-i" 1(^ + 1

tức là A¿ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ cịn lại

9


Ngược lại nếu ít nhất một véc tơ của hệ, chẳng
hạn Ax biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại,
nghĩa là:
Ax = a2A2 + Œ3A3 +.... + amAm
thế thì
Ax - a2A2 - a3A3 - .... - amAm = 0
Với ít nhất hệ sơ của Ax khác khơng. Điều đó chứng tỏ
hệ Ax, A2,...., Am phụ thuộc tuyến tính.

Từ đây, ta suy ra mệnh đề tương tự cho hệ véc tơ độc
lập tuyến tính:

Điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ độc lập tuyến
tính là bất kỳ véc tơ nào của hệ cũng không thể biểu diễn
tuyến tính qua những véc tơ cịn lại.

Từ định lý trên, ta dễ thấy nếu một trong các véc tơ
Ax, A2, ....Am là véc tơ khơng thì hệ là phụ thuộc tuyến
tính. Chẳng hạn Ax = 0 thì Ax có thể biểu diễn tuyến tính
qua các véc tơ cịn lại
Ax = O.A2 + O.A3 +.... + O.Ajn

Ví dụ: Các véc tơ: AT = [3, 2, -4], B1' = [2, -1, 3],
CT = [0, -7, 17]
là phụ thuộc tuyến tính vì 2AT - 3BT + CT =0
Nhưng các véc tơ

AT = [3, 2, -4], BT = [2, -1, 3], DT = [2, 2, 2] là độc lập
tuyến tính vì khơng một véc tơ nào trong chúng có thể
biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ kia.

10


1.4. HẠNG CỦA HỆ VÉC Tơ
1. Định nghĩa hệ con độc lập tuyến tích cực đại

Cho một hệ véc tơ (có thể gồm một số hữu hạn hay vơ
hạn các véc tơ). Giả sử, hệ này có một hệ con gồm h véc
tơ độc lập tuyến tính sao cho nếu thêm vào đó bất kỳ một
véc tơ nào của hệ đã cho, ta đều được hệ (h + 1) véc tơ
phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta nói hệ h véc tơ ấy là hệ
con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ đã cho.
Ví dụ: Xét hệ gồm ba véc tơ: AT = [1, -2, 3],
BT = [4, 2, -1] và CT = [6, -2, 51.
Ta thấy AT và BT là hai véc tơ độc lập tuyến tính, nhưnạ
c có thê biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ A và B : c
= 2A + BT, nên hệ con độc lập tụ^ến tính cực đại của hệ
ba véc tơ đã cho gồm hai véc tơ AT và BT.
- Đối với một hệ véc tơ đã cho, mọi hệ con độc lập tuyến
tính cực đại của nó có sơ lượng véc tơ bằng nhau.

2. Hạng của hệ véc tơ
Định nghĩa: số lượng các véc tơ trong hệ con độc lập tuyến
tính cực đại củạ một hệ véc tơ, được gọi là hạng của hệ
véc tơ ấy.
Định lý: Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng h thì mỗi

véc tơ của hệ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến
tính của h véc tơ độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ và cách
biểu diễn đó là duy nhất.
Chứng minh:

Phần một của định lý là hiển nhiên. Thật vậy vì hệ véc
tơ có hạng bằng h, nên ta có thể chọn ra h véc tơ độc lập
tuyến tính A1; A2,..... , Ajj.
11


Giả sử một véc tơ B khác của hệ không có thể biểu diễn
tuyến tính qua h véc tơ trên. Điều này có nghĩa (h + 1)
véc tơ A1; A2,...., Ah, B lập thành hệ con độc lập tuyến
tính - mâu thuẫn với giả thiết hạng của hệ véc tơ bằng
h, nên B phải là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ A1( A2,....,
Ah. Ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn. Giả sử
B có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của A1;
A2,...., Ah theo hai cách, tức là:

B = (XjAi + a2A2 +.... + ttjjAjj
B = ßjAi + ß2A2 +.... + ßhAh
Trừ hai phương trình cho nhau ta được
0 = (et} - ßi)Ar + ( a2 - ß2)A2 +..... + (

_ ßh)Ah

Vì A1; A2,.... Ah độc lập tuyến tính nên hệ thức trên chỉ
xẩy ra khi tất cả các hệ số đều bằng 0, tc l:

ôi = òi>

Vi = 1, 2, ...., h

Nh vy cách biểu diễn của B là duy nhất. Từ định lý
trên ta có thể suy ra hai hệ quả quan trọng, chứng minh
chúng nhường cho độc giả:

Hệ quả 1.
Ta loại ra từ hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợp
tuyến tính của các véc tơ cịn lại thì hạng của hệ khơng
thay đổi.
Hệ quả 2'.

Ta đưa vào hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợp tuyến
tính của các véc tơ của hệ thì hạng của hệ không thay đổi.

12


1.5. CÁC KHÔNG GIAN VÉC Tơ
1. Định nghĩa 1

Tập hợp tất cả các véc tơ n chiều vởi hai phép tính cộng
và nhân véc tơ với một số đã nêu ở 1.2, được gọi là một
không gian véc tơ n chiều trên trưịng số thực (cịn gọi là
khơng gian tuyến tính n chiều), ký hiệu Rn. Như vậy, nếu
X G Rn, Y G Rn và a là một số thực thì:
X + Y G Rn,

aX G Rn

Khơng gian véc tơ Rn có hạng hằng bằng n:
Từ hình học giải tích chúng ta biết rằng: Khoảng cách
từ điểm A = [a17 a2J đến gốc toạ độ được cho bỏi biểu thức

+ a2. Sau khi đưa vào khái niệm tích vơ hưởng thì
biểu thức trên có thể viết dưới dạng >/( A, A ). Chúng ta
gọi số này là chuẩn (hay độ dài) của véc tơ A và ký hiệu
là |A|.
Khoảng cách giữa hai điểm A = [ab a2] và B = [bp b2]
ký hiệu là p(A, B) được cho bởi biểu thức:
^(ai - bi)2 + (a2 - b2)2

Khoảng cách đó có thể viết dưới dạng tích vơ hướng
p(A, B) = V(A-B,A-B)
Khái niệm nêu trên về khoảng cách có các tính chất sau:
Nếu A, B G Rn thì:

1. p(A, B) = p(B, A)
2. p(A, B) > 0, p(A, B) = 0 <-> A = B

3. p(A, B) < p(A,C) + p(C, B) (qui tắc tam giác)
13


Nếu chúng ta đưa vào không gian véc tơ khái niệm độ
dài của véc tơ theo nghĩa trên, thì ta sẽ có khái niệm chặt
hơn - khơng gian ơ-cờ-lít. Tổng quát chúng ta đưa vào không
gian véc tơ Rn khái niệm chuẩn bằng cách định nghĩa tích

vơ hướng và ta gọi |A I = >/( A, A ) là chuẩn (hay độ dài)
của véc tơ A và |A - B I gọi là khoảng cách giữa véc tơ
A và B.
2. Định nghĩa 2

Nếu trong không gian véc tơ n chiều ta định nghĩa tích
vơ hướng thì sẽ nhận được khơng gian ơ-cờ-lít n chiều, ký
hiệu là En.
3. Định nghĩa 3

Hệ n véc tơ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở
của khơng gian n chiều.
Khi đã có một cơ sỏ thì mỗi phần tử của khơng gian có
thể biểu diễn một cách duy nhất dưởi dạng tổ hợp tuyến tính
của các phần tử thuộc cơ sở.

Dễ dàng thấy rằng tập hợp tất cả các véc tơ n chiều

đã được định nghĩa ỏ 1.1 tạo nên một không gian ơ-cờ-lít
n chiều.
Trong tập hợp này chúng ta đã định nghĩa các phép tính
với các tính chất thoả mãn theo yêu cầu của khơng gian ơcờ-lít. Ta chỉ cần chỉ ra tập hợp này có hạng bằng n.

Ta có n véc tơ đơn vị thuộc tập hợp các véc tơ n chiều

14


1
0

>

Ei

0
0

0
1
E2 -

0

, ■ ■ ■ ,

En =

0

Các véc tơ này có một
phần cịn lại bằng 0. Các
tơ độc lập tuyến tính (đọc
n chiều bất kỳ đều có thể
tơ đơn vị vì

1

thành phần bằng 1, các thành
véc tơ này lập thành hệ n véc

giả tự chúng minh). Một véc tơ
biểu diễn tuyến tính qua n véc

*1
a2

- a]Ex + a2E2 + . . . + anEn

Vì khi thêm vào các véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì
hạng của hệ khơng thay đổi, từ đó suy ra hệ tất cả các
véc tơ n chiều có hạng bằng n và như vậy khơng gian tương
ứng là n chiều.
Việc xác định cơ sỏ trong không gian ơ-cờ-lít ứng với
việc thiết lập hệ toạ độ trực giao (tức là thiết lập các trục
toạ độ và các độ dài đơn vị)

Việc chuyển từ một cơ sở này sang một cơ sở khác ứng
với việc thay đổi hệ toạ độ. ở phần sau (mục 1.13), chúng
ta sẽ nghiên cứu việc xác định toạ độ của véc tơ trong một
cơ sở bất kỳ.
Nếu chúng ta chọn trong En một hệ véc tơ xác định và
lập tất cả các tổ hợp tuyến tính của chúng thì chúng ta
15


cũng nhận được một khơng gian ơ cờ lít. Điều này là hiển
nhiên vì các véc tơ tạo nên như vậy là đóng đối với phép
cộng và phép nhân véc tơ với một số, tức là tổng của hai
tổ hợp tuyến tính hoặc bội bất kỳ của tổ hợp tuyến tính
cũng là những tổ hợp tuyến tính của các véc tơ này. Các

địi hổi khác của khơng gian ơ cờ lít cũng thoả mãn
chúng là các phần tử của En.
Một không gian được tạo nên như vậy là một bộ phận
của En và gọi là không gian con của En

Ví dụ về khơng gian con: Tập hợp tất cả các tổ hợp
tuyến tính của hai véc tơ đơn vị n chiều tạo nên không
gian con của En. Mỗi mặt phẳng là một không gian con 2
chiều của không gian 3 chiều,...

1.6. MA TRẬN
1. Định nghĩa 1
- Ta gọị một bảng gồm m.n số thực, được sắp xếp thành
m hàng và n cột la một ma trận cấp m.n, ký hiệu là Amn
Mỗi sô nằm trong cấu thành của ma trận gọi là một
phần tử của ma trận. Phần tử nằm ố hàng i cột j của ma
trận A ký hiệu là aịj. Như vậy ma trận A cấp m.n có dạng:
all a12 • ■ • aln

a21 a22 • • • a2n
aml am2 ■ ■ • amn _

Thường để chọn gọn khi viết ma trận ta chỉ cần ghi
phần tử tổng quát và cấp của nó:

16


A - [a ij] m . n

Cần nhấn mạnh rằng ma trận là một bảng được sắp
xếp của các phần tử, còn bản thân m.n số thực chưa xác
định một ma trận. Ma trận được xác định khi biết thứ tự
của các phần tử trong cấc hàng và các cột. Từ đây ta suy
ra khái niệm bằng nhau của ma trận.
2. Định nghĩa 2:
Hai ma trận A và B bằng nhaú (ký hiệu A = B) khi và
chỉ khi hai-ma trận cùng cấp và các phần tử tương ứng
của chúng bằng nhau.

3. Định nghĩa 3:

Cho A là một ma trận cấp m.n, nếu ta đổi hàng thành
cột và cột thành hàng thì được ma trận AT cấp n.m, gọi
là ma trận chuyển vị của ma trận A.
Như vậy:
all a21 • • •

AT =

a12 a22 ■ • • am2

aln a2n ■ • • amn

Một Số dạng đặc biệt của ma trận đóng vai trị quan
trọng trong các ứng dụng của ma trận:
Ma trận A có Số hàng bằng Số cột, tức là m = n thì
ta gọi A là ma trận vuông cấp n.
17

all a12 • • • aln

a21 a22 •• • a2n

A

^1 an2 • • • ann

Các phần tử an, a22,..., ann gọi là các phần tử đường
chéo. Các phần tử đường chéo tạo nên đường chéo chính
của ma trận.
- Ma trận vng mà tất cả các phần tử nằm ngồi đưịng
chéo chính đều bằng 0, tức là ma trận có dạng:
an 0 . . . 0
0 a22 ... 0

0

0 . . .

ann

Gọi là ma trận đưòng chéo.
- Ma trận chéo mà tất cả các phần tử nằm trên đưịng
chéo chính đều bằng một, gọi là ma trận đơn vị, thường
ký hiệu là I (hay E). Đôi khi ta dùng chỉ số để chỉ cấp
của ma trận đơn vị, chẳng hạn:
•I3

=

10 0
0 10
0 0 1

Trong các phép tính về ma trận, ma trận đơn vị đóng
vai trị tương tự như sơ một trong các sơ thực.
Khi giải cầc phương trình tuyến tính, các ma trận tam
giác có vai trị quan trọng. Đó là các ma trận vuông mà
tất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính hoặc
phía dưới nó đều bằng khơng.
Chẳng hạn ma trận tam giác (dưới) có dạng:

18


\all

0

a21

a22

a31

a32

a41

a42

ất cả các

- Ma trận có m hàng và chỉ một cột là một véc tơ cột
m chiều. Ma trận chỉ có một hàng và n cột là một véc tơ
hàng n chiều.
- Hàng của một ma trận cấp m.n là một véc tơ n chiều
(gọi là véc tơ hàng).
Cột của ma trận cấp m.n là một véc tơ m chiều (gọi là
véc tơ cột).

1.7. MA TRẬN KHỐI
Với một ma trận đã cho ta có thể tách nó ra thành một
sô ma trận thánh phần - ma trận khối bỏi các đường nằm
ngang và thẳng đứng.
Việc tách (phân chia) ma trận đã cho thành ma trận
khối có thể tiên hành theo nhiều cách khác nhau tuỳ thuộc
vào mục đích của việc sử dụng. Chẳng hạn đối với ma trận
A cho dưới đây, ta có một trong các cách tách như sau:
all

a12

a13

a14

a15

a21

a22

a23

a24

a25

a31

a32

a33

a34

a35

a41

a42

a43

a44

a45

ở đây A được tách thành bốn ma trận khối.
19


Nêu chúng ta ký hiệu các ma trận khối bởi An, A12, A21,
A22 thì ma trận A có thể viết dưới dạng:

A_

An

A12

Aỉi a22
Việc tách ma trận thành các ma trận khối là rất thuận
lợi vì với một số phép tính về mặt hình thức ta xem chúng
như các phần tử của ma trận. Đặc biệt mỗi hàng của ma
trận A = 1 aịj m n ta coi như một ma trận hàng (véc tơ hàng)
và toàn bộ ma trận A có thể xem như tạo nên từ các véc tơ
hàng, tức l'à:

ở đây a = [a^, ai2,...,ain] , (i = 1,2,...,m)

Tương tự ma trận A có thể xem như tạo nên bỏi các véc
tơ cột, tức là:
A = [ A1; A2, . . . An ]
aij

a2j

trong đó:

(j= l,2,...,n)

=
amj

20


Tương tự với việc tách ma trận thành các ma trận con
bởi các đường nằm ngang và thẳng đứng, ta cũng có thể
gộp các ma trận bằng cách gắn một số ma trận vởi số lượng
thích hợp các hàng và các cột trong một ma trận duy nhất.

1.8. CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN
1. Tổng (hiệu) của hai ma trận
Tổng (hiệu) của hai ma trận A và B cùng cấp m.n là
ma trận cấp m.n mà các phần tử của nó là tổng (hiệu)
các phẩn tử tương ứng của A và B tức là:
all

a12 •

a21

a22 • • ■ a2n

• aln

+

b11

b12 ... bln

'D21

b22 • • ■ b2n

aml bm2 • • • bmn

aml am2

■ • amn _

a11 ± bn

a12 ± t>!2 • • •

aln i bln

a21± ^21

a22 ± ^22 • • •

a2n ± ^2n

aml — bjni am2 ± ^m2 •

• amn ± ^mn

Ví dụ:
3-10
0 4 2

3-10
.0 4 2

2 13
3 -4 -2

-2 1
3
3 -4 -2.

5 0 3
3 0 0

1 -2-3
.-3 8
4

2. Tích của ma trận với một hằng sơ

Ta gọi tích của ma trận A cấp m.n với một hằng số k
là ma trận cấp m.n, ký hiệu là kA mà các phần tử của
21

nó là các phần tử tương ứng của A được nhân lên với k.
Như vậy:

au

k.an k.a12 .. • k.aln
k.a21 k.a22 .. • k.a2n

a12 • • • aln

a21 a22 • • • a2n

k.

--

_ aml am2 • • • amn _

.k-a«! k-am2 • • k-a^

Ví dụ

[•3 - 6
6
1-2
2
■
[9
-3

-12.
-3 -1 -4.
Cũng như các phép tính véc tơ ta dễ thấy hai phép tính
ma trận trên có các tính chất sau:
- Giao hốn:
A + B = B + A

kA = Ak
- Kết hợp:
A + (B + C) = (A + B) + c

k (rA) = (kr) A

- Phân bố:
k (A + B) = kA + kB
(k +r) A = kA + rA

ở đây các ma trận A, B, c đều cùng cạp.
3. Nhân ma trận

Phép nhân ma trận được định nghĩa như sau:
Cho ma trận A câp m.n và ma trận B cấp n.p thì tích
A.B = c là ma trận cấp .m.p. Phần tử tổng quát của tích
Cịj (tức là phần tử nằm ở'hàng i, cột j của C) là tổng các
22


tích giữa các phần tử nằm à. hàng i của ma trận A vởi các
phần tử tương ứng nằm ở cột j của ma trận B . Nói cách
khác phần tử Cjj của tích A.B là tích vơ hướng giữa hàng

i của ma trận A và cột j của ma trận B. Như vậy nếu:
aii a12 • • • aln

A =

a21 a22 • • • a2n

B =

,

bu bi2 •

• blp'

^21 ^22 •

• b2p

. bnl t>n2 •

_ aml am2 • • • amn _

■ bnp _

thì
ỉ

aii bii

X aii bi2

i=l

i=l

ỉ

ẳ a2j bi2

• •

• Zj aii bip
i=l

. . •

ẳ a2i bịp

a2i bji

i=l

i=l

i=l
ỉ ami bi2

ỉ

• • •

ỉ ami bịp

ami bịi

i=l

i=l

i=l

Đối vối phép nhân ma trận vẫn có tính chất kết hợp
và phân bố khi các má trận tham gia phép tính thoả mãn
điều kiện nhân được:
Nếu A cấp m.n, B cấp n.p, c cấp p.q thì
A.(B.C) = (A.B). c

Nếu A cấp m.n, B cấp m.n, c cấp n.p thì
(A + B). c = A.c + B.c

Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn, tức
là nói chung khơng xẩy ra đảng thức:
23


A.B = B.A
Như vậy trong phép nhân thứ tự của các nhân tử khơng
được thay đổi cho nhau vì theo định nghĩa của phép nhân,
ma trận A nhân được với B chưa hẳn B đã nhân được vởi

A; ngay trong trường hợp nhân được thì kết quả nói chung
khác nhau.
Ngồi ra còn một trường hợp đặc biệt là với một ma trận
A cấp m.n bao giờ cũng tồn tại hai ma trận đơn vị thích hợp
sao cho
EmA = A = A.En, tuy nhiên đây khơng phải là tính chất
giao hốn vì hai ma trận Em và En khơng cùng cấp.

Chúng ta cần phân biệt nhân bên phải hay nhân bên
trái đối vởi phép nhân ma trận.
Các ví dụ:

3 3 1
-2 4 _

1 0 ’
-1 2 _
-<
3 3
-2 4 .

r

1 0
-1 2 _

0 6
-6 8

nhưng

1
3 3
-7 5 .

1.2
-1
3

24

2
2

3
1

1 -1
0- 1
1 1

2 6
4 0

nhưng


1.3
[2 1 4],

3
1
2

3
1
_ 2

= [15] = 15 (quy ưởc), nhưng

.[2 14] =

6 3 12
2 14
4 2 8

1.4
10 0
-100
10 0

110
0 1
1
10-1

1
10
-1 -1 0
1

10

'11 0
0 1 1
10-1

.10 0
-10 0
10 0

0 0 0
0 0 0
0 0 .0

, nhưng

Khi nhân ma trận thường sử dụng cách tách ma trận
thành các ma trận khối một cách thích hợp. Chẳng hạn
cho hai ma trận

5
3
-4
3
2

8 1 0
6
1 -2 0 1
1 0 0 , B =

2
4 0 0 '
3
6 -1 0 0

2
2
1
3
4

0
0
0
2
3

0
0
0
1
2

Để tính A.B, ta có thể tách A, B theo sơ đồ sau:

25


5
3

-4
3
2

6
8
1 -2
2
1
3
4
6 -1

2
2
1
3
4

1
0
0
0
0

0
0
0
2
3

0
1
0
0
0

Aụ Aị2
A2i A22

Bịi B12
B21 B22

Ta tính A.B theo hệ thức

Au A^
Aa A22

Bu B]2
Ba B22

Au Bu + A]2 Ba Au Bj2 + A]2 Ba
AaBu + A22 Ba Aa Bjj + A^ B^

Vì A12 là ma trận đơn vị và A22
trận không, nên ta nhận được:

A.B

Aịị Bịị + B

A21 B

là những ma
33
10
-3
16

2
3
0
0

1
2
0
0

Việc tách hai ma trận phải được thực hiện sao cho việc
nhân các ma trận con tương ứng là thực hiện được. Như
vậy việc tách các cột của ma trận bên trái tương ứng với
cách tách các hàng của ma trận bên phải.

Ví dụ 1.5. Một xí nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm từ
bốn loại nguyên liệu. Định mức tiêu thụ nguyên liệu đối
vởi từng loại sản phẩm được cho ở bảng 1.1
26