Sự hội tụ của dãy lặp ba bước đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 7 trang )
110
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP BA BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
BA ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ
CONVERGENCE OF A THREE-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS
OF THREE ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN
BANACH SPACES WITH GRAPHS
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Trường Đại học Đồng Tháp; ,
Tóm tắt - Trong bài báo này, chúng tơi giới thiệu một dãy lặp ba
bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian
Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tơi ch ứng minh một số kết
quả về sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động
chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian
Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một
số kết quả chính trong tài liệu tham khảo [1, 2]. Đồng thời, chúng
tơi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới
thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến
điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh
hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo [1, 2].
Abstract - In this paper, we introduce a new three step iteration
scheme for three asymptotically G-nonexpansive mappings in
uniformly convex Banach spaces with graphs. We also prove some
weak convergence and strong convergence results to common fixed
points of three asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly
convex Banach spaces with graphs. These results are the extensions
of some results in existing results in the literature [1, 2]. In addition, we
give an example to illustrate the convergence of the introduced iteration
process and also show that the convergence of the introduced iteration
process to common fixed points of three asymptotically Gnonexpansive mappings is faster than the iteration processes in [1, 2].
Từ khóa - ánh xạ G-không giãn tiệm cận; điểm bất động chung;
không gian Banach với đồ thị
Key words - asymptotically G-nonexpansive mapping; common
fixed point; Banach spaces with graph
1. Giới thiệu
cũng được thiết lập. Đến đây, một vấn đề tự nhiên được đặt
ra là tiếp tục xây dựng những dãy lặp hội tụ đến điểm bất
động chung nhanh hơn dãy lặp đã có. Do đó, trong bài báo
này, từ dãy lặp (1.1), nhóm tác giả cũng đề xuất một dãy lặp
ba bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận và chứng
minh một số kết quả về hội tụ của dãy lặp được đề xuất đến
điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận
trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
Ánh xạ không giãn tiệm cận được Goebel và Kirk giới
thiệu năm 1972 và là một mở rộng của ánh xạ không giãn.
Lớp ánh xạ không giãn tiệm cận được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập điều kiện tồn tại điểm
bất động cũng như chứng minh sự hội tụ của những dãy lặp
khác nhau đến điểm bất động. Bên cạnh đó, một số tác giả
cũng quan tâm nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn tiệm
cận theo nhiều cách tiếp cận khác nhau. Năm 2018, sử dụng
ý tưởng được trình bày bởi Jachymski trong bài báo [3] là
kết hợp giữa lí thuyết điểm bất động và lí thuyết đồ thị,
Sangago và các cộng sự [4] đã giới thiệu lớp ánh xạ Gkhông giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị,
đồng thời một số tính chất về điểm bất động và kết quả hội
tụ cho lớp ánh xạ này cũng được thiết lập. Kể từ đó, việc
thiết lập sự hội tụ của những dãy lặp khác nhau đến điểm
bất động chung của những ánh xạ G-không giãn tiệm cận
trong không gian Banach với đồ thị được một số tác giả
quan tâm. Năm 2018, sử dụng dãy lặp Ishikawa,
Wattanataweekul [1] đã giới thiệu dãy lặp hai bước và
chứng minh sự hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động
chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không
gian Banach với đồ thị. Năm 2019, sử dụng ý tưởng dãy
SP-lặp, Wattanataweekul [2] đã giới thiệu dãy lặp ba bước
cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận như sau:
wn
u1
với n
C , vn
un
cn )un
cn H un
bnS nwn
(1
1
(1
, {an },{bn },{cn }
an )vn
anT nvn
Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach
thực X. Kí hiệu G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng với
V (G ) tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao cho V (G ) trùng với
C, E(G ) tập hợp các cạnh của đồ thị G mà (u, u) E(G ) với
u C và G không có cạnh song song.
Định nghĩa 2.1. [5, Definition 4] Cho G (V (G), E(G))
là đồ thị định hướng. Khi đó, G được gọi là có tính bắc
cầu nếu với u, v, w V (G ) sao cho (u, v),(v, w) E(G) thì
(u, w)
(1.1)
[0,1], C là tập lồi trong khơng
gian Banach X và H ,T , S : C C là ba ánh xạ G-không giãn
tiệm cận, đồng thời một số kết quả hội tụ của dãy lặp (1.1)
E(G ).
Định nghĩa 2.2. [4, Definition 3.1] Cho X là không gian
Banach thực và C là tập khác rỗng của X, G (V (G),E(G))
là đồ thị định hướng sao cho V (G) C . Khi đó, ánh xạ
T :C
n
(1 bn )wn
2. Một số khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng
trong bài báo
C được gọi là G-không giãn tiệm cận nếu:
(1) T bảo toàn cạnh của G, tức là với (u, v) E(G ) ta có
(Tu,Tv) E(G).
(2) Tồn tại dãy { n },
|| T nu
T nv ||
n
|| u
v ||
n
1 với lim
n
n
với (u,v) E(G) và n
1 sao cho
1.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020
Định nghĩa 2.3. [4, Definition 1.3] Cho X là không gian
định chuẩn, C là tập con khác rỗng của X, G (V (G), E(G))
là đồ thị định hướng sao cho V (G) C . Khi đó, C được gọi
là có tính chất G nếu với {un } là dãy trong C sao cho
(un , un 1)
*
E(G) với n
và {un } hội tụ yếu đến u C
thì tồn tại dãy con {un(k )} của {un } sao cho (un(k ), u) E(G )
*
với k
.
Định nghĩa 2.4. [5, Definition 6] Cho X là khơng gian
Banach. Khi đó X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial nếu
với {un } là dãy trong X và {un } hội tụ yếu đến u ta có
lim sup || un
u ||
lim sup|| un
n
n
v || với v
X, u
v.
{ n}
(
sao cho
n 1
1)
n
, {un } là dãy hội tụ đến u
E(G) và lim || Tun
(un , un 1)
n
un || 0. Khi đó Tu
C,
(2) {un } là dãy trong X sao cho nlim || un
v || tồn tại với u, v
u || và
X.
(3) {un(k )} và {vn(k )} là dãy con của {un } sao cho {un(k )}
hội tụ yếu đến u, {vn(k )} hội tụ yếu đến v .
Khi đó u
v.
Định nghĩa 2.7. [3, Definition 2.3] Cho ánh xạ
T : X X. Khi đó T được gọi là G-liên tục nếu {un } là dãy
C với (un , un 1) E(G) và lim || Tun
n
.
Bổ đề 2.11. [8, Lemma 2.4] Cho X là không gian
Banach lồi đều và r 0. Khi đó, tồn tại một hàm lồi, tăng
ngặt và liên tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và
t )v ||2
(1
Định nghĩa 2.9. [6, Definition 3.1] Cho X là không gian
vectơ và G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng sao cho
E(G ) X X . Khi đó E (G ) được gọi là lồi theo tọa độ nếu
(1
t )(p, v)
E(G) và t(u, p)
(1
t )(v, p)
E(G ).
Từ Định nghĩa 2.9 ta nhận thấy, nếu E(G ) là tập lồi thì
E (G ) là tập lồi theo tọa độ. Đồng thời, trong [6], các tác
t ) || v ||2
(1
{u
t(1
t ) (|| u
v ||)
X : || u || r }.
Bổ đề 2.12. [9, Lemma 1] Cho {an },{bn } và { n } là dãy
số thực không âm thỏa mãn
an
n 1
(1
1
n
và
n
n 1
)an
bn n
1
. Khi đó lim an tồn tại.
bn
n
3. Kết quả chính
Trong mục này, ta ln xét G (V (G), E(G)) là đồ thị
định hướng, có tính chất bắc cầu với V (G ) C , E(G ) là tập
lồi theo tọa độ và giả sử T , S , H : C C là ba ánh xạ
G-không giãn tiệm cận với ba dãy hệ số tiệm cận lần lượt
là { n },{ n },{ n } sao cho F(T ) F(S ) F (H )
, trong đó
lần
lượt
là
tập
điểm
bất
động
của
ba ánh
F (T ), F (S ), F (H )
xạ T , S , H . Đặt n max { n , n , n } . Giả sử
(
n
1)
.
Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.1), nhóm tác giả giới
thiệu dãy lặp {un } cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận
trong không gian Banach với đồ thị như sau:
wn
u1
n
C , vn
un
cn H nun
(1 cn )un
(1 bn )H wn
n
1
(1 an )S vn
bnS nwn
n
*
(3.1)
anT nvn ,
trong đó, {an },{bn },{cn } [0,1]. Trước hết, nhóm tác giả
chứng minh một số tính chất của dãy lặp (3.1).
Mệnh đề 3.1. Giả sử
(1) X là không gian định chuẩn.
(2) C là tập con lồi, khác rỗng trong X.
(3) Với mỗi p F (T ) F (S ) F (H ), {un } là dãy được
xác định bởi (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ).
Khi đó với n
với (p, u),(p, v),(u, p),(v, p) E(G) và t [0,1] thì
t(p, u)
t || u ||2
với mọi t [0,1] và u, v Br
Tu.
Lưu ý rằng, trong những kết quả của [1, 2], các tác giả
xét đồ thị G (V (G), E(G)) sao cho (u, u) E(G ) với u C
và E(G ) là tập lồi, tức là t(x, y) (1 t )(u, v) E(G ) với mọi
(x, y),(u, v) E(G ) và t [0,1]. Tuy nhiên, tập E (G ) trong
([1], Example 4.5]) và ([2], Example 4.5]) không thỏa mãn
điều kiện (u, u) E(G ) với u C .
C khi
k
n 1
Mệnh đề 2.8. [1, Proposition 3.2] Giả sử
(1) X là khơng gian Banach với đồ thị định hướng G, C
có tính chất G.
(2) T : C C là ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận.
Khi đó T là G-liên tục.
Khi
un || 0 thì tồn tại dãy
con {un(k )} của {un } sao cho {un(k )} hội tụ đến q
trong X sao cho un hội tụ đến u và (un , un 1) E(G) thì
Tun
C.
đó T được gọi là G-nửa compact nếu với {un } là dãy trong
với
(1) X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial.
lim || un
Định nghĩa 2.10. [7, tr.534] Cho ánh xạ T : C
u.
Bổ đề 2.6. [5, Lemma 3] Giả sử
n
giả cũng chỉ ra tồn tại tập E(G ) lồi theo tọa độ nhưng không
là tập lồi (xem Ví dụ 3.5 trong Mục 3).
|| tu
Bổ đề 2.5. [4, Definition 1.4] Cho X là không gian
Banach, C là tập con khác rỗng của X, C có tính chất G,
T : C C là ánh xạ G-không giãn tiệm cận với dãy hệ số
111
*
, ta
có (un , p),(vn , p),(wn , p),(p, un ),
(p, vn ), (p, wn ),(vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G).
Chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng
*
.
minh (un , p) E (G ) với n
(3.2)
112
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Theo giả thiết, ta có (u1, p) E (G ). Suy ra (3.2) đúng với
n 1.
Giả sử (3.2) đúng với n k 1, tức là (uk , p) E (G ). Ta
cần chứng minh (uk 1, p) E(G).
(3) Với mỗi p F (T ) F (S ) F (H ), {un } là dãy được
xác định bởi (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ),
lim inf an
0
n
lim inf cn
và 0
(1) lim || un
(3.3)
(3) nlim || S nwn
H nwn || 0.
Do (uk , p),(H kuk , p) E(G) và E(G ) lồi theo tọa độ nên
từ (3.3), ta có (wk , p) E (G ). Kết hợp H k , S k bảo toàn cạnh
(4) nlim || H nun
un || 0.
ckH kuk , p)
ck (H kuk , p).
(1 ck )(uk , p)
với (wk , p) E (G ), ta được (H kwk , p), (S kwk , p) E(G). Ta
cũng có
((1 bk )H kwk
(vk , p)
bkS kwk , p)
(1 bk )(H kwk , p)
bk (S kwk , p).
(uk 1, p)
((1 ak )S kvk
akT kvk , p)
(1 ak )(S kvk , p)
ak (T kvk , p).
un || lim || Sun
n
n
*
quả H
n
(un , p),(vn , p),(wn , p), (vn , un ),(wn , un ), (un , un 1) E(G).
(H nun , p)
với mọi u C . Khi đó un , vn , wn
p ||2 ||(1 cn )(un
|| wn
(1 cn ) || un
((1 cn )un
ta được
n
cnH un , p)
cn (H un , p).
(3.6)
Kết hợp (3.6) với (un , p),(H nun , p) E(G) và E(G ) lồi theo
tọa độ, ta có (wn , p) E (G ) với n
*
. Do H n , S n bảo toàn
n
n
p ||2 (1 cn ) || un
|| wn
[1 cn (
2
n
1)]|| un
((1 bn )H wn
p ||2
|| vn
(1 bn )(H wn , p)
bn (S nwn , p).
p ||2 cn || H nun
p ||2 cn
E (G ) với n
2
n
.
*
2
n
.
Do (vn , p),(p, un ),(wn , p),(p, un ),(un , p),(p, un 1) E(G) và
(vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G) với n
*
p ||2 bn
.
Mệnh đề 3.2. Giả sử
(1) X là không gian Banach lồi đều.
(2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X.
2
n
p ||2
|| un
un ||). (3.9)
|| wn
[1 cn (
p ||2
2
n
|| wn
p ||2 bn (1 bn ) (|| S nwn
2
n
1)]|| un
bn (1 bn ) (|| S nwn
p ||2
H nwn ||)
H nwn ||)
p ||2
cn n2(1 cn ) (|| H nun
G có tính chất bắc cầu nên
(3.8)
H nwn ||)
bn (1 bn ) (|| S nwn
Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được
(p, un ),(p, vn ),(p, wn )
un ||).
p ||2 bn || S nwn
(1 bn ) n2 || wn
(3.7)
*
p ||2
un ||)
bn (1 bn ) (|| S nwn
Khi đó, từ (3.7), (H nwn , p),(S nwn , p) E(G) và E(G ) lồi
theo tọa độ, ta suy ra (vn , p) E (G ) với n
p) ||2
p ||2 cn (1 cn ) (|| H nun
(1 bn ) || H nwn
n
bnS wn , p)
n
r }.
Lập luận tương tự như trên, theo Bổ đề 2.11 và H , S là
ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (3.9), ta có
cạnh và (wn , p) E (G ) nên (H wn , p), (S wn , p) E(G). Ta có:
n
C : || u ||
Do S là G-khơng giãn tiệm cận nên từ (3.8) ta có
. Tiếp theo, sử dụng kết
n
{u
p) cn (H nun
cn (1 cn ) (|| H nun
(1 cn )(un , p)
(vn , p)
Br
cn (1 cn ) (|| H nun
E(G). Ta có:
(wn , p)
0 sao cho || u || r
Vì C là tập bị chặn nên tồn tại r
(3.5)
bảo toàn cạnh và (un , p) E (G ),
un || 0.
n
Chứng minh (1). Với p F (T ) F (S ) F (H ), theo
Mệnh đề 3.1, ta có
Vì (S kvk , p),(T kvk , p) E(G) và E(G ) lồi theo tọa độ nên
từ (3.5), ta có (uk 1, p) E(G). Do đó, theo ngun lí quy
nạp, ta có (un , p) E (G ) với n
un || lim || Hun
Do đó, theo Bổ đề 2.11, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên tục
: [0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và
bảo toàn cạnh, ta được (S vk , p), (T vk , p) E(G). Ta có
k
k
(5) lim || Tun
(3.4)
Khi đó, từ (3.4), (H kwk , p),(S kwk , p) E(G) và E(G ) lồi
theo tọa độ, ta có (vk , p) E (G ). Kết hợp điều này với S k ,T k
1.
p || tồn tại.
n
S nvn || 0.
((1 ck )uk
1
n
n
(2) nlim || T nvn
(wk , p)
lim sup bn
n
Khi đó
Kết hợp H k bảo toàn cạnh và (uk , p) E (G ), ta được
(H kuk , p) E(G). Ta lại có
lim inf bn
1, 0
n
lim sup cn
n
Vì T , S , H bảo tồn cạnh nên T k , S k , H k bảo toàn cạnh.
lim sup an
un ||)
H nwn ||).
(3.10)
Tương tự, theo Bổ đề 2.11 và S ,T là ánh xạ G-không
giãn tiệm cận, kết hợp với (3.10), với lưu ý n 1, ta có
|| un
1
p ||2 (1 an ) || S nvn
p ||2
an (1 an ) (|| T nvn
an || T nvn
S nvn ||)
p ||2
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020
(1 an ) n2 || vn
p ||2 an
an (1 an ) (|| T nvn
2
n
4
n
2
n
[1 cn (
2
n
1)(
2
n
c (1 cn ) (|| H un
2
n
1)(
2
n
cn (1 cn ) (|| H nun
H nwn ||)
S nvn ||)
4
n n
lim (|| S nwn
H nwn ||)
S vn ||).
4
n n
c )||un
sao cho (
1
(3.11), ta được
|| un
2
p ||
2
p || || un
1
2
p ||
M(
2
n
0
1
2 n(
1) với
n
1
(
n 1
p ||2
2
n
M(
(
và
(3.12)
n 1
2
lim || un
p ||
|| un
|| un
lim || H nun
p ||
M(
n
(5). Từ wn
|| un
p ||
un || || (1 cn )un
lim || wn
p ||
1
lim sup an
n
M(
1
2
n
1).
n0.
m
n
n n0
an )
Từ (3.13), với bất kì số tự nhiên m
(|| T nvn
m
|| un
|| un
n n0
2
p ||
0
p ||2
0
|| um
(
n 1
2
n
1
p ||
1
(
1)
|| un
p ||2
m
M
(
n n0
ta có:
S nvn ||)
M
2
n
1)
(
2
n
với (3.14), ta suy ra
un ||
un || .
(3.20)
n
bnS nwn
n
|| H wn
un || bn || S wn
|| H nwn
H nun ||
|| wn
un ||
(3.21)
bnS nwn và (wn , un ) E (G ), ta được
un || || (1 bn )H nwn
|| vn
H wn ||
|| H nun
|| H nun
un ||
n
un || bn || S nwn
un || bn || S nwn
H nwn ||
H nwn || . (3.22)
Kết hợp (3.17), (3.20), (3.21) và (3.22), ta có
lim || vn
un || 0.
(3.23)
Theo Mệnh đề 3.1, ta được (wn , un ) E (G ). Do đó
1)
1).
cnH nun
un || 0.
(1 bn )H nwn
n
m
n n0
2
n
n 0,
với
Từ vn
n
2
m
M
n n0
Kết hợp
(3.14)
|| S nun
un ||
|| S nun
2
n
S nwn || || S nwn
|| wn
un ||
H nwn || || H nwn
|| S nwn
H nwn ||
H nun || || H nun
|| H nun
un ||
un || . 3.24)
Từ (3.17), (3.20), (3.21) và (3.24), ta nhận được
n
n n0
n n0
0
an ) (|| T nvn
an (1
m
p ||2
|| un
n n0
m
S nvn ||)
(3.13)
nên tồn tại số thực
0 và số tự nhiên n 0 sao cho an (1
n
(3.19)
cnH nun , ta có
(1 cn )un
n
2
(3.18)
Từ (3.19) và (3.20), ta suy ra
S vn ||)
|| un
lim inf an
Vì 0
S vn ||).
n
Do đó an (1 an ) (|| T vn
2
n
1) an (1 an ) (|| T vn
1).
un || 0.
cn || H un
n
2
n
0.
n
2
n
M(
Kết hợp điều này với tính chất của , ta cũng có
nên
|| wn
2
p || || un
1
p ||2
1
un ||)
(2). Từ (3.12), ta có
2
(3.17)
. Do đó,
un ||)
n
p || tồn tại.
n
0.
un ||)
lim (|| H nun
1). Vì
1)
n
(|| H nun
n n0
. Khi đó, theo Bổ đề 2.12, ta suy ra giới hạn
1)
(3.16)
H nwn || 0.
n
2
n
1).
Lập luận tương tự như chứng minh (2), từ (3.18), ta được
m
S nvn ||).
H nwn ||)
cn (1 cn ) (|| H nun
un ||)
H nwn ||)
n
2
n
(4). Từ (3.12), ta có
|| un
1) cn (1 cn ) (|| H un
p ||2 || un
1
0
n
an (1 an ) (||T nvn
Từ (3.12), ta có || un
lim || S nwn
n
1. Khi đó, từ
M với n
bn (1 bn ) (|| S nwn
M(
Sử dụng tính chất của , ta có
(3.11)
2
n
p ||2
1
. Do đó,
H nwn ||)
n
Vì {cn }, { n } và C bị chặn nên tồn tại hằng số M
2
n
(|| S nwn
p ||2
c )||un
n
an (1 an ) (||T vn
m
n n0
un ||) bn (1 bn ) (|| S nwn
n
|| un
Tương tự như chứng minh (2), từ (3.16), ta suy ra
b (1 bn ) (|| S nwn
1
(3.15)
H nwn ||)
p ||2
|| un
p ||
un ||)
Kết hợp với tính chất
S nvn || 0.
bn (1 bn ) (|| S nwn
S nvn ||)
2
n n
an (1 an ) (|| T nvn
p ||2 (
un ||)
2
c )]|| un
n
0.
(3). Từ (3.12), ta cũng có
4
n n
4
n n
1
4
n n
|| un
lim || T nvn
H nwn ||) an (1 an ) (||T nvn
2
n n
S vn ||)
n
S nvn ||)
c (1 cn ) (|| H nun
p ||2
113
n
của , ta nhận được
S nvn ||)
1)]|| un
b (1 bn ) (|| S nwn
Do đó, lim (|| T vn
n
p ||2
|| vn
p ||2 an (1 an ) (||T nvn
|| vn
[1 (
2
n
n
(|| T vn
n
S vn ||)
.
lim || S nun
n
un || 0.
(3.25)
114
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Theo Mệnh đề 3.1, ta có (vn , un ) E (G ). Do đó
|| T nun
|| T nun
Từ (3.19), (3.29) và (3.32), ta có
lim || un
un ||
n
T nvn ||
2 n || vn
|| T nvn
S nvn ||
||T nvn
un ||
|| S nvn
S nvn ||
S nun ||
|| S nun
|| S nun
un ||.
lim || T nun
|| un
(3.26)
un || 0.
(3.27)
un || || (1 an )S nvn
1
anT nvn
un ||
|| S nvn
un || an ||T nvn
S nvn ||
|| S nvn
S nun ||
un || an ||T nvn
n
|| vn
|| S nun
|| S nun
un ||
S nvn ||
un || an || T nvn
S nvn || .
(3.28)
Từ (3.28), (3.15), (3.23) và (3.25), ta được
lim || un
un || 0.
1
n
(3.29)
Vì (un , un 1) E(G) nên
Ta có || un
T nun
1
|| un
1
un ||
|| un
1
un ||
(1
n
) || un
n
1
T nun
|| un
un
un ||
|| T nun
|| T nun
||
1
|| T nun
||
1
0
un ||
lim || un
T n un
1
un || .
(3.30)
1
|| 0.
Tun
1
|| || u n
1
|| un
T
1
n 1
un
T n 1un
1
|| Tun
||
1
||
1
1
S nun
1
|| un
|| un
n 1
un
1
T nun
1
1
||
un ||
|| S nun
1
un ||
|| un
un
||
1
|| S nun
un ||
|| S nun
un || .
lim || un
|| .
n
1
S nun
1
|| S nun
||
n
S un
1
Sun
|| || u n
1
|| un
||
H nun
1
|| .
1
lim inf an
limsup an
n
lim inf cn
limsup cn
n
1, 0
n
lim inf bn
(3.33)
un || 0.
n
limsup bn
1,
n
1.
n
1
un ||
|| un
1
un ||
) || un
1
1
1
(un(k ), un(k ) 1 )
(3.31)
Tu
k
S n 1un
1
n
|| un
|| Sun
||
||
un ||
H nun
un
1
||
n
F (T )
lim || un
1
1
|| un
1
S n 1un
S nun
1
1
|| H un
1
1
||
|| .
un || 0. Tương tự
||
|| H nun
|| H nun
un || .
u, v.
Theo Mệnh
un(k ) ||
un(k ) || 0.
(3.34)
un ||
un ||
(3.32)
E(G).
(3.35)
Do đó, từ (3.34) và (3.35), theo Bổ đề 2.5, ta được
Su Hu u hay u F (T ) F(S ) F(H ).
Tương
|| 0.
S n 1un
|| H nun
1
un(k ) || lim || Sun(k )
lim || Hun(k )
un ||
H nun 1 ||
n
|| un
1
n
lim || Tun(k )
v
, ta suy ra nlim || Sun
|| un
(1
1
H n 1un
trong (3.33), ta được lim || Hun
k
n
1
||
1
Do (un , un 1) E(G) và G có tính chất bắc cầu nên
un ||
Ta có
|| un
1
|| Hun
k
) || un
n
Cho n
H n 1un
||
dãy con của {un } lần lượt hội tụ yếu đến
đề 3.2, ta có
||
1
n
1
1
Chứng minh. Vì X là khơng gian Banach lồi đều nên X
có tính chất phản xạ. Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.2, ta có
lim || un p || tồn tại. Vì vậy {un } bị chặn. Do đó, tồn tại
n
Sử dụng (3.31), (3.25) và (3.29), ta được
|| un
1
H n 1un
T ,S, H .
un || 0. Ta có
1
(1
T
1
|| un
, ta nhận được nlim || Tun
Khi n
|| un
|| un
||
dãy con hội tụ yếu của {un }. Giả sử {un(k )},{vn(k )} là hai
Ta lại có
|| un
1
1
Khi đó {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung của
un ||
Kết hợp (3.30) với (3.27) và (3.29), ta được
n
|| u n
0
|| T nun
|| 0.
Tiếp theo, chứng minh sự hội tụ yếu của dãy lặp (3.1)
đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm
cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
Định lí 3.3. Giả sử
(1) X là không gian Banach lồi đều và thỏa mãn điều kiện
Opial.
(2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X và C
có tính chất G.
(3) {un } là dãy được xác định bởi (3.1) thỏa mãn
(u1, p),(p, u1 ) E (G ) với mọi p F(T ) F(S ) F(H ).
||
1
Hun
1
Cho n
Vì (vn , un ) E (G ) nên
|| un
1
Ta lại có
un ||
Kết hợp (3.15), (3.23), (3.25) với (3.26), ta suy ra
n
H nun
1
tự
F(S )
như
F(H ).
trên, ta chứng minh được
Vì u, v F (T ) F(S ) F(H ) nên
u || và lim || un
n
v || tồn tại. Theo Bổ đề 2.6, ta
được u v. Do đó, {un } hội tụ yếu đến điểm bất động
chung trong F(T ) F(S ) F(H ).
Tiếp theo, nhóm tác giả chứng minh sự hội tụ của dãy
lặp (3.1) đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không
giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
Định lí 3.4. Giả sử
(1) X là khơng gian Banach lồi đều.
(2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X, C có
tính chất G.
(3) Một trong ba ánh xạ T , S , H là G-nửa compact.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020
(4) {un } là dãy được xác định bởi (3.1) thỏa mãn
(u1, p),(p, u1 ) E (G ) với mọi p F(T ) F(S ) F(H ).
lim inf an
0
0
limsup an
n
lim inf cn
limsup cn
n
1, 0
n
lim inf bn
limsup bn
n
1,
n
1.
n
Khi đó {un } hội tụ đến điểm bất động chung của T , S và H .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.2, ta có
lim || un
Tun || lim || un
n
Sun || lim || un
n
n
Hun || 0.
Hơn nữa, {un } là dãy trong C và (un , un 1) E(G). Kết
hợp với giả thiết một trong ba ánh xạ T , S , H là G-nửa
compact, ta suy ra tồn tại dãy con {un(k )} của {un } sao cho
{un(k )} hội tụ đến q
k
k
lim || Tun(k )
Tq || lim || Sun(k )
H
k
Hq || 0.
Ta có
|| q
Tq || || q
un(k ) ||
|| un(k )
Tun(k ) ||
|| Tun(k )
Tq ||,
|| q
Sq || || q
un(k ) ||
|| un(k )
Sun(k ) ||
|| Sun(k )
Sq ||,
|| q
Hq || || q
un(k ) ||
|| un(k )
Hun(k ) ||
Do đó klim || q Tq || klim || q
Sq
Hq
Sq || lim || q
k
q hay q
F (T )
Theo Mệnh đề 3.2, ta có nlim || un
hội tụ đến q
F (T )
F(S )
|| Hun(k )
Hq || .
Hq || 0.
F(S )
F(H ).
q || tồn tại nên {un }
Xét ba ánh xạ T , S , H xác định bởi nếu
5
arcsin(x
8
1)
0
1
tan(x
3
1)
3
khi x
3,
3
khi x
3
x ln x khi x
2
khi x
2.
2
1 khi x
1 khi x
0
Hx
H y ||
n
n
n
|| x
|| x y ||, || S x
Chọn an
n
5n
1, 36
n
n
S y ||
n
|| x
y ||. Do đó, T , S , H
G-khơng giãn tiệm cận.
Ta có F(T ) F(S ) F(H ) {1}
(p, u1 ),(u1, p) E (G ) với p F .
1
,b
3 n
y || và
là ánh xạ
. Chọn u1
n 4
,c
10n 7 n
ta tính
1, 4
n 2
.
8n 5
ta có
Khi đó,
dãy lặp {un } xác định bởi (3.1) có dạng dưới đây hội tụ đến
điểm bất động chung p 1.
wn
u1
1, 4
và vn
un
1
7n
8n
9n
10n
4n
5n
3
n
u
5 n 8n
3 n
H wn
7
2 n
S vn
3
2 n
H un
5
n 4 n
S wn
10n 7
n 1 n
T vn .
5n 3
3, y m
Tuy nhiên, với x t
được | Tx Ty | 1 | x y |,| St Sm |
| Hu
Hv |
1
|u
1 và u
|t
1
m|
(3.36)
2, v
và
1, ta
v |.
Do đó, S ,T , H không là ánh xạ không giãn tiệm cận. Vì
vậy, những kết quả về sự hội tụ đến điểm bất động chung
của ba ánh xạ không giãn tiệm cận sẽ không áp dụng cho
ba ánh xạ này.
Hơn nữa, với cách chọn ba ánh xạ T , S , H như trên thì
các dãy lặp lần lượt trong [2] và [1] có dạng như sau cũng
hội tụ đến điểm bất động chung p 1.
zn
hướng với V (G ) C và (x, y) E(G ) khi và chỉ khi
0, 50 x y 1, 70 hoặc x y C . Khi đó, (u, u) E (G ) với
u C và E (G ) là tập lồi theo tọa độ nhưng không là tập lồi.
Sx
|| H x
n
F(H ).
Cuối cùng, nhóm tác giả đưa ra ví dụ minh họa cho sự
hội tụ của dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung của ba
ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận. Đồng thời, ví dụ này cũng
chứng tỏ rằng dãy lặp (3.1) hội tụ đến điểm bất động chung
nhanh hơn dãy lặp trong bài báo [1, 2].
Ví dụ 3.5. Cho X
là không gian Banach với chuẩn
giá trị tuyệt đối, C [0,2],G (V (G), E(G)) là đồ thị định
Tx
n
n
là G-liên tục.
Sq || lim || Hun(k )
k
Suy ra Tq
được ||T x T y ||
n
k
Theo Mệnh đề 2.8, ta được T , S và
Kết hợp với (3.35), ta được
k
cạnh. Hơn nữa, với (x, y) E(G ) và 1
C . Do đó,
lim || un(k ) Tun(k ) || lim || un(k ) Sun(k ) || lim || un(k ) Hun(k ) || 0.
115
x1
1, 4
và yn
xn
1
mn
t1
1, 4
và
tn
1
7n
8n
9n
10n
4n
5n
9n
10n
4n
5n
3
n 2 n
x
H xn
5 n 8n 5
3
n 4 n
z
S zn
7 n 10n 7
2
n 1 n
y
T yn
3 n 5n 3
(3.37)
n 4 n
S t
10n 7 n
n 1 n
T mn
5n 3
(3.38)
3
t
7 n
2
m
3 n
Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (3.36) đến điểm bất động
chung nhanh hơn sự hội tụ của dãy lặp (3.37) và (3.38) và
được minh họa bởi Bảng 1 và Hình 1.
và
Với (x, y) E(G ) , ta có 0, 50 x , y 1, 70. Suy ra ,
(Tx,Ty),(Sx, Sy),(Hx, Hy) E(G ). Suy ra S ,T , H bảo tồn
Hình 1. Dáng điệu hội tụ của dãy lặp (3.36), (3.37) và (3.38) đến 1
116
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Bảng 1. Số liệu hội tụ của dãy lặp (3.36), (3.37) và (3.38)
n
t n (dãy 3.38)
x n (dãy 3.37)
un (dãy 3.36)
1
2
1,4
1,2943753
1,4
1,2460293
1,4
1,0389924
3
4
1,2035011
1,1385564
1,1378083
1,0776188
1,0001371
1,0000001
5
1,094045
1,0441347
1,
…
…
…
…
32
1,000006
1,0000001
1,
33
1,0000042
1,
1,
…
…
…
…
46
1,0000001
1,
1,
47
1,
1,
1,
4. Kết luận
Trong bài báo này, một dãy lặp cho ba ánh xạ G-không
giãn tiệm cận được đề xuất. Từ đó, một số kết quả về sự
hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động chung của ba ánh
xạ G-không giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ
thị được thiết lập và chứng minh, trong đó giả thiết tập lồi
của E(G ) trong các kết quả của [1, 2] được thay bởi giả
thiết E(G ) là tập lồi theo tọa độ. Đồng thời, một ví dụ được
đưa để chứng tỏ rằng dãy lặp được đề xuất hội tụ đến điểm
bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận
nhanh hơn dãy lặp trong bài báo [1, 2].
Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại
học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học của sinh
viên mã số SPD2019.02.15.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Wattanataweekul, “Approximating common fixed points for two
G-asymptotically nonexpansive mappings with directed grahps”,
Thai J. Math., 16(3), 2018, 817-830.
[2] R. Wattanataweekul, “Convergence theorems of the modified
SP-iteration for G-asymptotically nonexpansive mappings with
directed graphs”, Thai J. Math., 17(3), 2019, 805-820.
[3] J. Jachymski, “The contraction principle for mappings on a metric space
with a graph”, Proc. Amer. Math. Soc., 136(4), 2008, 1359-1373.
[4] M. G. Sangago, T. W. Hunde and H. Z. Hailu, “Demiclodeness and
fixed points of G-asymptotically nonexpansive mapping in Banach
spaces with graph”, Fixed Point Theory, 8(3), 2018, 313-340.
[5] R. Suparatulatorn, W. Cholamjiak, S. Suantai, “A modified
S-iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces
with graphs”, Numer. Algor., 77(2), 2018, 479-490.
[6] N. V. Dung and N. T. Hieu, “Convergence of a new three-step iteration
process to common fixed points of three G-nonexpansive mappings in
Banach spaces with directed graphs”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís.
Nat. Ser. A Math. RACSAM, 24 pages, accepted paper.
[7] N. Shahzad and R. Al-Dubiban, “Approximating common fixed
points of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian
Math. J., 13(3), 2006, 529-537.
[8] N. V. Dung and N. T. Hieu, “A new hybrid projection algorithm for
equilibrium problems and asymptotically quasi-nonexpansive
mappings in Banach spaces”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat.
Ser. A Math. RACSAM, 113(3), 2019, 2017-2035.
[9] K. K. Tan, H. K. Xu, “Approximating fixed points of nonexpansive
mapping by the Ishikawa iteration process”, J. Math. Anal. Appl.,
178, 1993, 301-308.
(BBT nhận bài: 20/02/2020, hoàn tất thủ tục phản biện: 14/4/2020)
