Bài tập toán cao cấp A3

Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM
Bài tập toán cao cấp A3
Mục lục
1 Vi phân hàm nhiều biến 3
1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Tích phân bội hai 11
3 Tích phân bội ba 24
4 Tích phân đường 31
4.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Phương trình vi phân 43
5.1 Phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Phương trình vi phân cấp II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Tích phân mặt 56
6.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Chương 1
Vi phân hàm nhiều biến
1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2
Câu 1. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
2xC3y
, chọn đáp án đúng
A. z
.n/
x
n
D 5
n

e
2xC3y
. B. z
.n/
x
n
D 2
n
e
2xC3y
.
C. z
.n/
x
n
D 3
n
e
2xC3y
. D. z
.n/
x
n
D e
2xC3y
.
Câu 2. Cho hàm số z D f .x; y/ D cos.xy/, chọn đáp án đúng
A. z
.n/
y

n
D y
n
cos.xy C n

2
/ . B. z
.n/
y
n
D x
n
cos.xy C n

2
/ .
C. z
.2n/
x
n
y
n
D .xy/
n
cos.xy C n

2
/. D. z
.2n/
x

n
y
D y
n
x cos.xy C n

2
/.
Câu 3. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
xCy
, chọn đáp án đúng
A. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.n/
y
n
C z
.m/
x
m
. B. z
.nCm/
y
n
x

m
D z
.n/
y
n
:z
.m/
x
m
.
C. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.n/
y
n
. D. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.m/
y
m

:z
.n/
x
n
.
Câu 4. Cho hàm số z D f .x; y/ D sin.x C y/, chọn đáp án đúng
A. z
.6/
x
3
y
3
D sin.x C y/. B. z
.6/
x
3
y
3
D cos.x C y/ .
C. z
.6/
x
3
y
3
D sin.x C y/. D. z
.6/
x
3
y

3
D cos.x C y/.
Câu 5. Cho hàm số z D f .x; y/ D x
20
C y
20
C x
10
y
11
, chọn đáp án đúng
A. z
.22/
x
3
y
19
D z
.22/
y
3
x
19
D 1. B. z
.22/
x
7
y
15
D z

.22/
y
6
x
16
D 0 .
C. z
.22/
x
13
y
9
D z
.22/
y
6
x
16
D 2 . D. z
.22/
x
11
y
11
D z
.22/
y
11
x
11

D 3.
Câu 6. Cho hàm số z D f .x; y/ D xy C y cos x C x sin y, chọn đáp án đúng
A. z
.4/
xyx
2
D 0 . B. z
.4/
xyx
2
D cos x .
C. z
.4/
xyx
2
D sin x . D. z
.4/
xyx
2
D 1.
Câu 7. Cho hàm số z D f .x; y/ D xe
y
. chọn đáp án đúng
3
A. z
.5/
y
4
x
D 0. B. z

.5/
y
4
x
D 1 .
C. z
.5/
y
4
x
D x . D. z
.5/
y
4
x
D e
y
.
Câu 8. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
y
ln x, chọn đáp án đúng
A. z
.4/
yxy
2
D e
y
. B. z
.4/
yxy

2
D
e
y
x
.
C. z
.4/
yxy
2
D 
e
y
x
. D. z
.4/
yxy
2
D
1
x
.
Câu 9. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
xy
, chọn đáp án đúng
A. z
.5/
x
5
D y

5
e
xy
. B. z
.5/
x
5
D x
5
e
xy
.
C. z
.5/
x
5
D e
xy
. D. z
.5/
x
5
D 0.
Câu 10. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z
2
xx
của hàm hai biến z D xe
y
C y
2

C y sin x
A. z
2
xx
D y sin x. B. z
2
xx
D e
y
 y sin x .
C. z
2
xx
D e
y
C y cos x . D. z
2
xx
D y sin x.
Câu 11. Tìm vi phân cấp một của hàm z D x
2
C 4
y
A. dz D 2xdx C 4
y
dy. B. dz D 2xdx C 4
y
ln 4dy.
C. dz D 2xdx C y4
y1

dy. D. dz D 2xdx C y4
y
ln 4dy.
Câu 12. Tìm vi phân cấp một của hàm z D ln

p
x  y

A. dz D
dx  dy
x  y
. B. dz D
dy dx
x y
. C. dz D
dx  dy
2.x  y/
. D. dz D
dy  dx
2.x  y/
.
Câu 13. Tìm vi phân cấp một của hàm z D arctan.y  x/
A. dz D
dx C dy
1 C.x y/
2
. B. dz D
dx  dy
1 C.x  y /
2

. C. dz D
dy dx
1 C.x y/
2
. D. dz D
dx dy
1 C.x y/
2
.
Câu 14. Tìm vi phân dz của hàm z D x
2
 2xy C sin.xy/
A. dz D .2x 2y C y cos.xy//dx.
B. dz D .2x C x cos.x y//dy.
C. dz D .2x  2y Cy cos.xy//dx C.2x C x cos.xy//dy.
D. dz D .2x  2y Ccos.xy//dx C.2x C cos.xy//dy.
Câu 15. Tính vi phân cấp 2 của hàm z D sin
2
x C e
y
2
A. d
2
z D 2 sin xdx
2
C 2ye
y
2
d y
2

. B. d
2
z D 2 cos 2xdx
2
C e
y
2
.4y
2
C 2/dy
2
.
C. d
2
z D 2 cos 2xd x
2
C 2ye
y
2
d y
2
. D. d
2
z D cos 2xd x
2
C e
y
2
d y
2

.
Câu 16. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z
00
xx
của hàm hai biến z D xe
y
C y
2
C y sin x
A. z
00
xx
D y sin x. B. z
00
xx
D y sin x.
C. z
00
xx
D e
y
C y cos x. D. z
00
xx
D e
y
 y sin x.
4
Câu 17. Cho hàm hai biến z D e
xC2y

. Kết quả nào sau đây đúng?
A. z
00
xx
D e
xC2y
. B. z
00
yy
D 4:e
xC2y
.
C. z
00
xy
D 2:e
xC2y
. D. Các kết quả trên đều đúng
Câu 18. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D y ln x: Biết x; y là các biến độc lập.
A. d
2
z D
1
y
dxdy C
x
y
2

d y
2
. B. d
2
z D
2
x
dxdy 
y
x
2
d x
2
.
C. d
2
z D
2
y
dxdy C
x
y
2
d y
2
. D. d
2
z D
1
x

dxdy 
y
x
2
d y
2
.
Câu 19. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D x
2
C xsin
2
y: Biết x; y là các biến độc
lập.
A. d
2
z D 2 cos 2ydxdy 2x sin 2yd y
2
. B. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y
2
.
C. d
2
z D 2d x
2

 2sin
2
yd x
2
 2x cos 2ydy
2
. D. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y
2
.
Câu 20. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D x
2
C xcos
2
y: Biết x; y là các biến độc
lập.
A. d
2
z D 2 cos 2xdxdy  2x sin 2yd y
2
. B. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y

2
.
C. d
2
z D 2d x
2
 2 sin 2ydxdy  2x cos 2yd y
2
. D. d
2
z D 2d x
2
 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y
2
.
Câu 21. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D x
2
y
3
: Biết x; y là các biến độc lập.
A. d
2
z D 2y
3
d x
2
C 12xy
2
dxdy C 6x
2

yd y
2
. B. d
2
z D 2y
3
d x
2
 12xy
2
dxdy C 6x
2
yd y
2
.
C. d
2
z D y
3
d x
2
C 6x
2
yd y
2
. D. d
2
z D .2xy
3
dx C 3x

2
y
2
dy/
2
.
Câu 22. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D sin.x Cy/ Ccos.x Cy/: Biết x; y là các biến
độc lập.
A. d
2
z D

dx
2
C dxdy C dy
2

Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/.
B. d
2
z D

dx
2
C 2dxdy Cdy
2

Œsin.x C y/ Ccos.x C y/.
C. d
2

z D

dx
2
C 2dxdy C dy
2

Œsin.x C y/ cos.x C y/.
D. d
2
z D

dx
2
C 2dxdy C dy
2

Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/.
1.2 Cực trị t ự do
Câu 23. Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M.x
0
Iy
0
/. Đặt
A D f
00
xx
.x
0
; y

0
/; B D f
00
xy
.x
0
; y
0
/; C D f
00
yy
.x
0
; y
0
/,  D B
2
 AC . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Nếu  < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M.
B. Nếu  < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M.
5
C. Nếu  > 0 và A > 0 thì f đạt cực t iểu tại M.
D. Nếu  > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M.
Câu 24. Cho hàm z D x
2
 2x C y
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tai M(1, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 0).

C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.
Câu 25. Cho hàm z D x
4
 8x
2
C y
2
C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại I(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2 , 0).
C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0). D. z không có cực trị.
Câu 26. Cho hàm z D x
2
 2xy C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tai M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).
C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z có một điểm dừng là M(0, 0).
Câu 27. Cho hàm z D x
2
C xy Cy
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại O(0, 0). B. z không có cực trị.
C. z đạt cực tiểu tại O(0, 0 ) . D. Các khẳng định trên sai.
Câu 28. Cho hàm z D x
2
 y
2
C 2x  y C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M

1; 

1
2

. B. z đạt cực tiểu tại M

1; 
1
2

.
C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên sai.
Câu 29. Cho hàm z D x
3
C 27x C y
2
C 2y C1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có hai điểm dừng. B. z có hai cực trị.
C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.
Câu 30. Cho hàm z D 2x
2
 6xy C 5y
2
C 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).
C. z không có cực trị. D. z có một cực đại và một cực tiểu.
Câu 31. Cho hàm z D x
3
C y
3
 12x  3y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(2, 1). B. z đạt cực tiểu tại N(-2, 1).
C. z có đúng 4 điểm dừng. D. z có đúng 2 điểm dừng.
Câu 32. Cho hàm z D x
4
 y
4
 4x C 32y C 8. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 2).
C. z không có điểm dừng. D. z không có điểm cực trị.
Câu 33. Cho hàm z D 3x
2
 12x C 2y
3
C 3y
2
 12y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có một cực đại và một cực tiểu. B. z chỉ có một điểm cực đại.
6
C. z không có điểm dừng. D. z chỉ có một cực tiểu.
Câu 34. Cho hàm z D x
3
 y
2
 3x C 6y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(1, 3). B. z đạt cực tiểu tại N(-1, 3).
C. z có hai điểm dừng. D. Các khẳng định trên đều đúng.
Câu 35. Cho hàm z D x
6
 y
5

 cos
2
x 32y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(0, 2). B. z đạt cực tiểu tại N(0, -2).
C. z không có điểm dừng. D. z có một cực đại và một cực tiểu.
Câu 36. Cho hàm z D x
2
 4x C 4y
2
 8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1).
C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.
Câu 37. Cho hàm z D x
2
C 4xy  10y
2
 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(1, 1). B. z đạt cực đại tại M(1, 1).
C. z đạt cực tiểu tại N(-1, -1). D. z đạt cực đại tại N(-1, -1).
Câu 38. Cho hàm z D x
3
 2x
2
C 2y
3
C 7x  8y. Khẳng định nào sua đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.
Câu 39. Cho hàm z D 2x
2

 2y
2
C 12x C8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 40. Cho hàm z D 3x
2
C 2e
y
 2y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 41. Cho hàm z D x
2
 y  ln
j
y
j
 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, -1). B. z đạt cực đại tại M(0, -1).
C. z luôn có các đạo hàm riêng trên R. D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.
Câu 42. Cho hàm z D 3x
3
C y
2
 2x
2
C 2x C 4y C 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z đạt cực tiểu tại M(-1, -2). D. z đạt cực đại tại M(-1, -2).

Câu 43. Cho hàm z D 2x
2
C 8x C 4y
2
 8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1).
7
C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.
Câu 44. Cho hàm z D x
2
C 4xy C 10y
2
C 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(-1, 1). B. z đạt cực tiểu tại M(-1, 1).
C. z đạt cực đại tại N(1, -1). D. z đạt cực tiểu tại N(1, -1).
Câu 45. Cho hàm z D x
3
 2x
2
C 2y
3
C x  8y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.
Câu 46. Cho hàm z D x
2
C 2y
2
C 12x C 8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(6, 2). B. z đạt cực đại tại M(6, 2).

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 47. Cho hàm z D x:e
y
C x
3
C 2y
2
 4y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 1). B. z đạt cực đại tại M(0, 1).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 48. Cho hàm z D 2x
2
 4x C sin y y=2 với x 2 R;  < y < . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. z đạt cực đại tại M .1; =3 /. B. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /.
C. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /. D. Z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 49. Cho hàm z D ln x  x C ln
j
y
j
 y
2
=2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z không có cực trị. B. z có hai điểm cực đại.
C. z có hai điểm cực tiểu. D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 50. Cho hàm z D xy.3  x  y/. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(1,0), C(0,1) và không đạt cực trị tại
D(0,0) .
B. z đạt cực đại tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(3,0), C(0,3) và không đạt cực trị tại
D(0,0).

C. z đạt cực đại tại A(1,1) và không đạt cực trị tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).
D. z đạt cực đại tại A(1,1) và đạt cực tiểu tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).
8
1.3 Cực trị có điều kiện
Câu 51. Tìm cực trị của hàm z D ln.x
2
 2y/ với điều kiện x y  2 D 0. Khẳng định nào sau
đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại M(1, -1). B. z đạt cực tiểu tại M(1, -1).
C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 52. Tìm cực trị của hàm z D ln
ˇ
ˇ
1 Cx
2
y
ˇ
ˇ
với điều kiện x y 3 D 0. Khẳng định nào sau
đây đúng ?
A. z không có cực trị.
B. z có hai điểm dừng là A(0, - 3) và D(3, 0).
C. z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1).
D. z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1).
Câu 53. Tìm cực trị của hàm z D x
2
.y  1/ 3x C 2 với điều kiện x  y C 1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, 2).
B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2).

C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2).
D. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2).
Câu 54. Tìm cực trị của hàm z D 2x
2
Cy
2
 2y 2 với điều kiện x Cy C1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực tiểu tại A .2=3I1=3 /.
B. z đạt cực đại tại A .2=3I1=3 /.
C. z đạt cực đại tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /.
D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /.
Câu 55. Tìm cực trị của hàm z D x
2
.y C 1/ 3x C 2 với điều kiện x Cy C 1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, -2).
B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2).
C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2).
D. z không có cực trị.
Câu 56. Tìm cực trị của hàm z D x
3
=3  3x C y với điều kiện x
2
C y D 1. Khẳng định nào
sau đây đúng ?
9
A. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2).
B. z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2).
C. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2).

D. Các khẳng định trên sai.
10
Chương 2
Tích phân bội hai
Câu 57. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D x C x
2
; y D 2x.
A. I D
0
R
1
dx
x
2
Cx
R
2x
f .x; y/dy. B. I D
0
R
2
dx
2x
R
x
2

Cx
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
x
2
Cx
R
2x
f .x; y/dy. D. I D
1
R
0
dx
2x
R
x
2
Cx
f .x; y/dy.
Câu 58. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D 3x; y D x
2
.

A. I D
3
R
0
dx
x
2
R
3x
f .x; y/dy. B. I D
9
R
0
dx
3x
R
x
2
f .x; y/dy.
C. I D
9
R
0
dy
p
y
R
y=3
f .x; y/dx. D. I D
3

R
0
dy
p
y
R
y=3
f .x; y/dx.
Câu 59. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D 2x
2
 x; y D x
2
C 2x C 4.
A. I D
4
R
1
dx
2x
2
x
R
x
2
C2xC4
f .x; y/dy. B. I D

1
R
4
dx
x
2
C2xC4
R
2x
2
x
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
4
dx
2x
2
x
R
x
2
C2xC4
f .x; y/dy. D. I D
4
R
1
dx
x

2
C2xC4
R
2x
2
x
f .x; y/dy.
Câu 60. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D 2
p
x; y D x.
A. I D
4
R
0
dx
x
R
2
p
x
f .x; y/dy. B. I D
2
R
0
dx
2

p
x
R
x
f .x; y/dy.
C. I D
4
R
0
dx
2
p
x
R
x
f .x; y/dy. D. I D
4
R
0
dy
y
R
p
y
f .x; y/dx.
11
Câu 61. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các

đường y D x
2
; y D x
3
.
A. I D
1
R
0
dx
x
3
R
x
2
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0
dx
x
2
R
x
3
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
1

dx
x
2
R
x
3
f .x; y/dy. D. I D
1
R
1
dx
x
3
R
x
2
f .x; y/dy.
Câu 62. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D x
2
C 2; y D 3x.
A. I D
2
R
1
dx
3x

R
x
2
C2
f .x; y/dy. B. I D
2
R
1
dx
x
2
C2
R
3x
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
2
dx
3x
R
x
2
C2
f .x; y/dy. D. I D
1
R
2
dx

x
2
C2
R
3x
f .x; y/dy.
Câu 63. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường x D 3; x D 5; 3x  2 y C 4 D 0; 3x  2y C 1 D 0.
A. I D
5
R
3
dx
3x C 1
2
R
3x C4
2
f .x; y/dy. B. I D
5
R
3
dx
3x C 4
2
R
3x C1

2
f .x; y/dy.
C. I D
5
R
3
dx
2y  1
3
R
3y  4
3
f .x; y/dy. D. I D
5
R
3
dx
2y  4
3
R
3y  1
3
f .x; y/dy.
Câu 64. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường D W x
2
C y

2
Ä 1; x  0; y  0.
A. I D
1
R
0
dx
p
1y
2
R
0
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0
dx
1
R
0
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
p
1x
2
R

0
f .x; y/dy. D. Các kết quả trên đều sai.
Câu 65. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường D W x C y Ä 1; x  y Ä 1; x  0.
A. I D
1
R
0
dx
1x
R
x1
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0
dx
x1
R
1x
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
1

R
0
f .x; y/dy. D. I D
1
R
0
dx
1
R
1
f .x; y/dy.
12
Câu 66. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường D W y  x
2
; y Ä 4 x
2
.
A. I D
p
2
R

p
2
dx
x

2
R
4x
2
f .x; y/dy. B. I D
p
2
R

p
2
dx
4x
2
R
x
2
f .x; y/dy.
C. I D
2
R
2
dx
4x
2
R
x
2
f .x; y/dy. D. I D
p

2
R

p
2
dx
4
R
0
f .x; y/dy.
Câu 67. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là hình tròn D W .x  2/
2
C
.y  3/
2
Ä 4.
A. I D
2
R
0
dx
3
R
0
f .x; y/dy. B. I D
4
R

0
dx
5
R
1
f .x; y/dy.
C. I D
4
R
0
dx
3C
p
4xx
2
R
3
p
4xx
2
f .x; y/dy. D. I D
4
R
0
dx
3C
p
x
2
4x

R
3
p
x
2
4x
f .x; y/dy.
Câu 68. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là miền g iới hạn bởi các
đường y D x
2
; y D
p
x.
A. I D
1
R
0
dx
x
2
R
p
x
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0

dx
p
x
R
x
2
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
1
R
0
f .x; y/dy. D. Các kết quả trên đều sai.
Câu 69. Xác định cận của tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy trong đó D là elíp
x
2
4
C
y
2
9
Ä 1.
A. I D
2

R
2
dx
3
2
p
4x
2
R

3
2
p
4x
2
f .x; y/dy. B. I D
2
R
2
dx
3
R
3
f .x; y/dy.
C. I D
2
R
0
dx
3

2
p
4x
2
R
0
f .x; y/dy. D . Các kết quả trên đều sai.
Câu 70. Trên miền lấy tích phân D W a Ä x Ä b; c Ä y Ä d, viết tích phân kép thành tích phân
lặp, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
’
D
f .x; y/dxdy D
b
R
a
f .x/dx
d
R
c
f .x; y/dy.
B.
’
D
f .x C y/dxdy D
b
R
a
f .x/dx C
d

R
c
f .y/dy.
C.
’
D
Œf .x/ C g.x/ dxdy D
b
R
a
f .x/dx C
d
R
c
g.y/dy.
13
D.
’
D
Œf .x/g.y/ dxdy D
b
R
a
f .x/dx
d
R
c
g.y/dy.
Câu 71. Đổi thứ tự tính tích phân I D
1=4

R
1
dx
p
x
R
x
f .x; y/dy. Kết quả nào sau đây đúng?
A. I D
1=4
R
1
dy
y
R
y
2
f .x; y/dx.
B. I D
1=2
R
1
dy
y
2
R
y
f .x; y/dx.
C. I D
1=4

R
1
dy
y
R
y
2
f .x; y/dx C
1=2
R
1=4
dy
1=4
R
y
2
f .x; y/dx.
D. I D
1=4
R
1
dy
y
2
R
y
f .x; y/dx.
Câu 72. Đổi thứ tự tính tích phân I D
2
R

1
dx
x
2
R
2
f .x; y/dy.
A. I D
4
R
1
dy
2
R
1
f .x; y/dx. B. I D
2
R
1
dy
2
R
p
y
f .x; y/dx.
C. I D
4
R
1
dy

2
R
p
y
f .x; y/dx. D. I D
4
R
1
dy
p
y
R
1
f .x; y/dx.
Câu 73. Đổi thứ tự tính tích phân I D
2
R
1
dx
4x
R
2
f .x; y/dy.
A. I D
2
R
1
dy
4y
R

2
f .x; y/dx. B. I D
3
R
2
dy
4y
R
1
f .x; y/dx.
C. I D
3
R
2
dy
1
R
4y
f .x; y/dx. D. I D
3
R
1
dy
1
R
4y
f .x; y/dx.
Câu 74. Đổi thứ tự tính tích phân I D
1
R

0
dx
x
3
R
0
f .x; y/dy.
A. I D
1
R
0
dy
3
p
y
R
1
f .x; y/dx. B. I D
1
R
0
dy
1
R
3
p
y
f .x; y/dx.
C. I D
1

R
0
dy
3
p
y
R
0
f .x; y/dx. D. I D
1
R
0
dy
0
R
3
p
y
f .x; y/dx.
Câu 75. Đổi thứ tự tính tích phân I D
1
R
0
dx
e
x
R
1
f .x; y/dy.
A. I D

e
R
0
dy
ln y
R
1
f .x; y/dx. B. I D
e
R
1
dy
ln y
R
1
f .x; y/dx.
14
C. I D
e
R
0
dy
1
R
ln y
f .x; y/dx. D. I D
e
R
1
dy

1
R
ln y
f .x; y/dx.
Câu 76. Đổi thứ tự tính tích phân I D
ln 2
R
0
dx
2
R
e
x
f .x; y/dy.
A. I D
2
R
0
dy
2
R
ln y
f .x; y/dx. B. I D
e
R
1
dy
ln y
R
0

f .x; y/dx.
C. I D
2
R
0
dy
ln y
R
0
f .x; y/dx. D. I D
2
R
1
dy
ln y
R
0
f .x; y/dx.
Câu 77. Cho tích phân I D
2
R
1
dx
p
2xx
2
R
2x
f .x; y/dy. Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:
A. I D

1
R
0
dy
1
R
0
f .x; y/dx. B. I D
1
R
0
dy
1C
p
1y
2
R
2y
f .x; y/dx.
C. I D
1
R
0
dy
2y
R
1C
p
1y
2

f .x; y/dx. D. I D
p
2xx
2
R
2x
dy
2
R
1
f .x; y/dx.
Câu 78. Cho tích phân I D
e
R
1
dx
ln x
R
0
f .x; y/dy. Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:
A. I D
1
R
0
dy
e
y
R
e
f .x; y/dx. B. I D

ln x
R
0
dy
e
R
1
f .x; y/dx.
C. I D
1
R
0
dy
e
R
1
f .x; y/dx. D. I D
1
R
0
dy
e
R
e
y
f .x; y/dx.
Câu 79. Cho tích phân I D
1
R
0

dx
p
x
R
x
f .x; y/dy. Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:
A. I D
1
R
0
dy
y
R
y
2
f .x; y/dx. B. I D
1
R
0
dy
1
R
0
f .x; y/dx.
C. I D
p
x
R
x
dy

1
R
0
f .x; y/dx. D. I D
1
R
0
dy
y
2
R
y
f .x; y/dx.
Câu 80. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D
1
R
1
dx
p
1x
2
R
0
f .x; y/dy.
A. I D
1
R
1
dy
p

1y
2
R

p
1y
2
f .x; y/dx. B. I D
1
R
0
dy
p
1y
2
R

p
1y
2
f .x; y/dx.
C. I D
1
R
0
dy
1
R
1
f .x; y/dx. D. I D

1
R
0
dy
p
1y
2
R
0
f .x; y/dx.
Câu 81. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D
1
R
0
dy
4
p
y
R
p
y
f .x; y/dx.
15
A. I D
1
R
0
dx
x
4

R
x
2
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0
dx
x
2
R
x
4
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
1
dx
x
4
R
x
2
f .x; y/dy. D. I D
1
R
0
dx
x

2
R
x
4
f .x; y/dy.
Câu 82. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D
4
R
1
dy
y
2
R
y
f .x; y/dx.
A. I D
16
R
1
dx
p
x
R
x
f .x; y/dy. B. I D
8
R
1
dx
x

R
p
x
f .x; y/dy C
16
R
8
dx
4
R
2
p
2
f .x; y/dy.
C. I D
4
R
1
dx
x
R
p
x
f .x; y/dy C
16
R
4
dx
4
R

p
x
f .x; y/dy. D. I D
4
R
1
dx
x
R
1
f .x; y/dy C
16
R
4
dx
4
R
p
x
f .x; y/dy.
Câu 83. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D
2
R
1
dx
2x
R
x
f .x; y/dy
A. I D

2
R
1
dy
1
R
y
f .x; y/dx C
4
R
2
dy
y=2
R
2
f .x; y/dx. B. I D
2
R
1
dy
y
R
1
f .x; y/dx C
4
R
2
dy
2
R

y=2
f .x; y/dx.
C. I D
4
R
1
dy
2
R
1
f .x; y/dx. D. I D
4
R
0
dy
2
R
1
f .x; y/dx.
Câu 84. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D
1
R
0
dx
p
2x
2
R
x
f .x; y/dy.

A. I D
1
R
0
dy
p
2y
2
R
y
f .x; y/dx. B. I D
1
R
0
dy
1
R
0
f .x; y/dx C
p
2
R
1
dy
p
2
R
0
f .x; y/dx.
C. I D

1
R
0
dy
p
2y
2
R
0
f .x; y/dx C
p
2
R
1
dy
y
R
0
f .x; y/dx.D. I D
1
R
0
dy
y
R
0
f .x; y/dx C
p
2
R

1
dy
p
2y
2
R
0
f .x; y/dx.
Câu 85. Đặt I D
’
D
f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1,
1) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I D
1
R
0
dx
x
R
0
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx.

B. I D
1
R
0
dx
x
R
0
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
y
R
1
f .x; y/dx.
C. I D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx D
1
R
0
dx

1
R
0
f .x; y/dy.
D. I D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx D
1
R
0
dx
1
R
x
f .x; y/dy.
Câu 86. Đặt I D
’
D
f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(0, 1) và B(1,
1). Khẳng định nào sau đây là đúng?
16
A. I D
1
R

0
dx
1
R
x
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx.
B. I D
1
R
0
dx
1
R
x
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
y
R
0

f .x; y/dx.
C. I D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx D
1
R
0
dx
x
R
0
f .x; y/dy.
D. I D
1
R
0
dy
1
R
y
f .x; y/dx D
1
R
0

dx
1
R
x
f .x; y/dy.
Câu 87. Đặt I D
’
D
f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(0, 1) và B(1,
0). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I D
1
R
0
dy
1y
R
0
f .x; y/dx D
1
R
0
dx
x
R
1
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0

dy
1x
R
0
f .x; y/dx D
1
R
0
dx
1y
R
0
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
1x
R
0
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
y1
R
0
f .x; y/dx.D. I D

1
R
0
dx
1x
R
0
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
1y
R
0
f .x; y/dx.
Câu 88. Đặt I D
’
D
f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1,
1). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I D
1
R
0
dy
1y
R
0
f .x; y/dx D

1
R
0
dx
x
R
1
f .x; y/dy. B. I D
1
R
0
dy
1
R
1x
f .x; y/dx D
1
R
0
dx
1y
R
0
f .x; y/dy.
C. I D
1
R
0
dx
1

R
1x
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
1
R
1y
f .x; y/dx.D. I D
1
R
0
dx
1x
R
0
f .x; y/dy D
1
R
0
dy
1y
R
0
f .x; y/dx.
Câu 89. Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực: I D
’
D

f .x; y/dxdy, trong đó D là hình tròn
x
2
C y
2
Ä 4y. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. I D
2
R
0
d
4
R
0
f .r cos ; r sin /dr. B. I D
=2
R
0
d
4 cos 
R
0
rf .r cos ; r sin /dr.
C. I D

R
0
d
4 sin 
R

0
rf .r cos ; r sin /dr. D. I D

R
0
d
2
R
0
rf .r cos ; r sin /dr.
Câu 90. Cho tích phân I D
’
D
f .x; y/dxdy. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. Với D là hình tròn x
2
C y
2
Ä R
2
.R > 0/ ta có: I D
2
R
0
d
R
R
0
f .r cos ; r sin /rd.
B. Với D là hình tròn x

2
C y
2
Ä ax.a > 0/ ta có: I D
=2
R
=2
d
a cos 
R
0
f .r cos ; r sin /rdr.
C. Với D là hình tròn x
2
C y
2
Ä bx.b > 0/ ta có: I D

R
0
d
b sin 
R
0
f .r cos ; r sin /rdr.
D. Các khẳng định trên đều đúng.
17
Câu 91. Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I D
’
D

f .
p
x
2
C y
2
/dxdy, trong đó D là nửa hình
tròn x
2
C y
2
Ä 1; y  0 ta có:
A. I D
2
R
0
d
1
R
0
rf .r/dr. B. I D
=2
R
0
d
1
R
0
rf .r/dr.
C. I D 

1
R
0
rf .r/dr. D. I D
=2
R
0
d
1
R
0
f .r/dr.
Câu 92. Tính tích phân I D
1
R
0
dy
y
2
R
0
3y
3
:e
xy
dx
A. I = 2 - e. B. I = 0. C. I = e - 2. D. I = e + 2.
Câu 93. Tính tích phân I D
1
R

0
dx
2x
R
0
3.x Cy/dy
A. I = 3. B. I = -3. C. I = -4. D. I = 4.
Câu 94. . Tính tích phân I D

R
0
dx
x
R
0
3x: sin ydy
A. I D 
2
 4. B. I D 
2
 2. C. I D 
2
C 4. D. I D 
2
C 2.
Câu 95. Tính tích phân I D 2
1
R
0
dy

y
R
0
e
xCy
dx
A. I D e
2
C e. B. I D e
2
C e  2. C. I D e
2
 e. D. I D e
2
 2e C 1 .
Câu 96. Tính tích phân I D
=2
R
0
dy
y
R
0
sin.x C y/dx
A. I = 0. B. I = 2. C. I = 1. D. I = 1/2.
Câu 97. Tính tích phân I D
2
R
1
dx

ln x
R
0
6xe
y
dy
A. I = 0. B. I = 1. C. I = 3. D. I = 5.
Câu 98. Tính tích phân kép I D
’
D
.sin x C 2 cos y/dxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 Ä x Ä
=2I0 Ä y Ä 
A. I D . B. I D . C. I D 2. D. I D 2.
Câu 99. Tính tích phân kép I D
’
D
xy
3
dxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 2
A. I = 0. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 8.
Câu 100. Tính tích phân I D
’
D
x
3
.y
2
C 1/dxdy trong đó D là hình chữ nhật m Ä x Ä m I0 Ä
y Ä 1, m là hằng số thực dương.
A. I D 0. B. I D 2m. C. I D 2m

2
. D. I D 3m
2
.
Câu 101. Tính tích phân I D
’
D
xydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 2
18
A. I = 1. B. I = 2. C. I = 1/2. D. I = 1/ 4.
Câu 102. Tính tích phân I D
’
D
x
y
ln ydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 Ä x Ä 2I1 Ä y Ä e
A. I = 1/2. B. I = 1. C. I = 1/4. D. I = 2.
Câu 103. Tính tích phân I D
’
D
sin
5
xcos
10
ydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 Ä x Ä 2I0 Ä
y Ä =4
A. I D 1=2. B. I D
p
2. C. I D
p

2=2. D. I D 0.
Câu 104. Tính tích phân I D
’
D
e
xCy
dxdy trong đó D là hình vuông 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 1
A. I D e
2
. B. I D e
2
 1. C. I D .e  1/
2
. D. I D 2.e  1/.
Câu 105. Tính tích phân I D
’
D
x
2
y
2
C 1
dxdy trong đó D là hình vuông 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 1
A. I D =12. B. I D =4. C. I D . D. I D 
2
=4.
Câu 106. Tính tích phân I D
’
D
dxdy

.x Cy C 1/
2
trong đó D là hình vuông 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 1
A. I = ln3 - ln4. B. I = ln4 - ln3. C. I = ln4. D. I = - ln3.
Câu 107. Tính tích phân I D
’
D
dxdy
.x Cy/
2
trong đó D là hình vuông 1 Ä x Ä 2I0 Ä y Ä 1
A. I = ln3 - ln4. B. I = ln4 + ln3. C. I = ln4 - ln3. D. I = 0.
Câu 108. Tính tích phân I D
’
D
.e
x
C e
y
/dxdy trong đó D là hình vuông 0 Ä x Ä 1I0 Ä y Ä 1
A. I D e
2
. B. I D e
2
 1. C. I D .e  1/
2
. D. I D 2.e  1/.
Câu 109. Tính tích phân I D
’
D

.sin x C cos y/dxdy trong đó miền D định bởi D W 0 Ä x Ä
2I0 Ä y Ä 
A. I D 0. B. I D 1. C. I D 2. D. I D 4.
Câu 110. Tính tích phân I D
’
D
cos y
x
dxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường
x D 1; x D 2; y D 0; y D =2
A. I D ln 2. B. I D

2
ln 2. C. I D . D. I D ln 2.
Câu 111. Tính tích phân I D
’
D
x ln ydxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường
x D 0; x D 2; y D 1; y D e
A. I = 2. B. I = 2e. C. I =2(e-1). D. I = 2(e + 1).
Câu 112. Tính tích phân I D
’
D
.x Cy/dxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường
x D 1; x D 0; y D 0; y D 2
19
A. I = 3. B. I =1. C. I = -1. D. I = -3 .
Câu 113. Tính tích phân I D
’
D

dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 Ä x Ä a; 0 Ä y Ä
p
x
A. I D
3
p
a
2
. B. I D
3
2
p
a
3
. C. I D
2
3
p
a
3
. D. I D
p
a
3
.
Câu 114. Tính tích phân I D
’
D
y
x

dxdy trong đó D là miền định bởi D W 2 Ä x Ä 4; x Ä y Ä 2x
A. I = 1/9. B. I = 3. C. I = 12. D. I = 9.
Câu 115. Tính tích phân I D
’
D
e
x
dxdy trong đó D là miền định bởi D W 1 Ä y Ä 2; 0 Ä x Ä ln y
A. I D 1=2. B. I D 1. C. I D e  1. D. I D e
2
.
Câu 116. Tính tích phân I D
’
D
sin ydxdy trong đó D là miền định bởi D W  Ä x Ä 3;  Ä
y Ä x
A. I D 2. B. I D 2. C. I D 0. D. I D 1.
Câu 117. Tính t ích phân I D
’
D
.x C y/dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 Ä y Ä 1; 0 Ä
0 Ä y
A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3/2. D. I = 1/ 2.
Câu 118. Tính tích phân I D
’
D
2x
2
ydxdy trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(1,
0); B(1, 1).

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 1/5. D. I = 1/ 4.
Câu 119. Tính tích phân I D
’
D
.3x C2/dxdy trong đó D là tam giác OAB với O(0, 0); A(1,
0); B(1, 1).
A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.
Câu 120. Tính tích phân I D
’
D
2.x C y/dxdy trong đó D là tam giác OAB với O(0, 0); A(1,
0); B(0, 1).
A. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/3. D. I = 2/ 3.
Câu 121. Tính tích phân I D
’
D
cos.x Cy/dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
x D 0; y D ; y D x.
A. I = 2. B. I = 1. C. I = -1. D. I = -2 .
Câu 122. Tính tích phân I D
’
D
e
y=x
dxdy trong đó D là tam giác giới hạn bởi các đường
x D 1; y D 0; y D x.
A. I D
e  1
2
. B. I D

e C 1
2
. C. I D 0. D. I không tồn tại.
20
Câu 123. Tính tích phân I D
’
D
xdxdy trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(0, 1);
B(1, 0).
A. I = 1/2. B. I = 0. C. I = 1. D. I = 1/6.
Câu 124. Tính tích phân I D
’
D
2xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y=x và
parabol y D
p
x.
A. I D
1
12
. B. I D
1
6
. C. I D
7
12
. D. I D 0.
Câu 125. Tính tích phân I D
’
D

ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y = x và
parabol y D x
2
.
A. I D 1. B. I D
1
2
. C. I D
8
15
. D. I D
1
15
.
Câu 126. Tính tích phân I D
’
D
Â

1
2
Ã
dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y D x
2
và y D x
2
 2x.
A. I D 
1
6

. B. I D
1
6
. C. I D
5
6
. D. I D 
5
6
.
Câu 127. Tính tích phân I D
’
D
dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y D x
2
2x
và y D 2x
2
 4x.
A. I D 2. B. I D 
4
3
. C. I D
4
3
. D. I D 
4
3
.
Câu 128. Tính tích phân I D

’
D
.x
2
C y
2
/dxdy trong đó D là hình tròn x
2
C y
2
Ä 1.
A. I D =2. B. I D 2=3. C. . D. .
Câu 129. Tính tích phân I D
’
D
.x
2
C y
2
/
2
dxdy trong đó D là hình tròn x
2
C y
2
Ä 1.
A. I D =3. B. I D 2=3. C. I D 2=5. D. I D =3.
Câu 130. Tính tích phân I D
’
D

dxdy
p
x
2
C y
2
trong đó D là hình tròn x
2
C y
2
Ä 9.
A. I D 3. B. I D 6. C. I D 9. D. I D 18.
Câu 131. Tính tích phân kép I D
’
D
p
x
2
C y
2
dxdy trong đó D là hình vành khăn 1 Ä x
2
Cy
2
Ä
4.
A. I D =2. B. I D . C. I D 2. D. I D 14=3.
Câu 132. Tính tích phân I D
1
R

0
dy
p
1y
2
R
0
.x
2
C y
2
/dx
A. I D =6. B. I D 2. C. I D =4. D. I D =8.
Câu 133. Tính tích phân bội hai I D
’
D
p
x
2
C y
2
dxdy trong đó D là phần hình tròn x
2
Cy
2
Ä 4
thuộc góc phần tư thứ nhất.
21
A. I D 4=3. B. I D 2=3. C. I D 8=3. D. I D 3 =4.
Câu 134. Tính tích phân I D

2
R
0
dx
p
4x
2
R

p
4x
2
dy
A. I D =8. B. I D 2. C. I D =4. D. I D .
Câu 135. Tính tích phân I D
’
D
x
2
y
3
dxdy trong đó D là nửa hình tròn x  0; x
2
C y
2
Ä 1.
A. I D 0. B. I D . C. I D =2. D. I D =4.
Câu 136. Tính tích phân I D
’
D

p
x
2
C y
2
dxdy trong đó D là hình tròn D W x
2
C y
2
Ä a
2
.
A. I D 2a
3
. B. I D 2a
2
. C. I D 2a
3
=3. D. I D 2a
2
=3.
Câu 137. Tính tích phân I D
’
D
.x
2
C y
2
/dxdy trong đó D là nửa hình tròn D W x
2

C y
2
Ä
4; y  0.
A. I D 2. B. I D 4. C. I D 8. D. I D .
Câu 138. Tính tích phân I D
’
D
xydxdy trong đó D là miền định bởi D W x
2
C y
2
Ä R
2
; x 
0; y  0.
A. I D 0. B. I D R
4
=4. C. I D R
4
=16. D. I D R
4
=8.
Câu 139. Tính tích phân I D
’
D
e
x
2
Cy

2
dxdy, trong đó D là 1/4 hình vành khăn giữa hai đường
tròn tâm O( gốc toạ độ) có bán kính lần lượt là 1 và 2, thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng Oxy.
A. I D
.e
4
 e
2
/
2
. B. I D
.e
4
 e
2
/
4
. C. I D
e.e
3
 1/
4
. D. I D
e.e
3
 1/
2
.
Câu 140. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y/ D sin x Ccos y trên hình chữ nhật 0 Ä x Ä

2; 0 Ä y Ä 
A.
f D 0. B. f D

2
. C. f D

4
. D. f D
4

.
Câu 141. Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường y D x và y D
p
x. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. S D
1
R
0
dx
p
x
R
x
dy D
1
R
0
dx

x
R
p
x
dy. B. S D
1
R
0
dy
y
R
y
2
dx D
1
R
0
dy
y
2
R
y
dx.
C. S D
1
R
0
dx
1
R

0
dy D
1
R
0
dy
1
R
0
dx. D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 142. Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường y D 3x
2
C x C 1I7x  y C 1 D 0
A. S = 1. B. S = 8. C. S = 4. D. S = 1/2.
Câu 143. Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường y D x
2
C 2x C 1Ix y C 1 D 0
A. S = 1/3. B. S = 3. C. S = 1/6. D. S = 6.
22
Câu 144. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bở i các đường y D
p
x CxIy D 2x
A. S = 1/2. B. S = 1/2. C. S = 1. D. S = 1/3.
Câu 145. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y D e
x
CxIy D e
x
Cx và x
= 1.
A. S = e - 2 + 1/e. B. S = e - 2 - 1/e. C. S = e + 2 + 1/e. D. S = e - 1/e.

Câu 146. Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường x D 2yIx D y
2
=3. Ta có:
A. S = 3. B. S = 6. C. S = 12. D. S = 24.
Câu 147. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bở i các đường y D
p
x; y D x
3
A. S = 1/3. B. S = 2/3. C. S = 5/6. D. S = 5/12.
Câu 148. Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường y D sin x; y D cos x; x D 0; x D =4.
Ta có:
A. S D
p
2 1. B. S D
p
2 C1. C. S D 2 
p
2. D. S D
p
3 1.
Câu 149. Tính diện tích miền giới hạn bở i các đường y
2
D 4  x và 2y
2
D x C 8
A. S = -16. B. S = 16 . C. S = 3 2. D. S = 64.
23
Chương 3
Tích phân bội ba
Câu 150. Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật  W a

1
Ä x Ä a
2
Ib
1
Ä y Ä b
2
Ic
1
Ä z Ä c
2
.
Công thức nào sau đây đúng?
A.
”

f .x; y; z/dxdydz D
a
2
R
a
1
f .x/dx
b
2
R
b
1
f .y/dy
c

2
R
c
1
f .z/dz.
B.
”

f .x/g.y/h.z/dxdydz D
a
2
R
a
1
f .x/dx
b
2
R
b
1
g.y/dy
c
2
R
c
1
h.z/dz.
C.
”


.x Cy C z/dxdydz D
a
2
R
a
1
xdx C
b
2
R
b
1
ydy C
c
2
R
c
1
zdz.
D.
”

xydxdydz D
c
2
R
c
1
xdx
b

2
R
b
1
ydy.
Câu 151. Xác định cận của tích phân
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó là miền giới hạn bởi các
mặt x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0 .
A. I D
1
R
0
dx
2
R
1
dy
2
R
1
f .x; y; z/dz. B. I D
1
R
0
dx
2
R
0

dy
2
R
1
f .x; y; z/dz.
C. I D
2
R
0
dx
2x
R
0
dy
2
R
1
f .x; y; z/dz. D. I D
2
R
1
dx
2
R
0
dy
1x2y
R
1
f .x; y; z/dz.

Câu 152. Xét tích phân bội ba
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó là miền trong không gian được
giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. I D
2
R
0
dx
2
R
0
dy
2
R
0
f .x; y; z/dz. B. I D
2
R
0
dx
2x
R
0
dy
2
R
0
f .x; y; z/dz.

C. I D
2
R
0
dx
2x
R
0
dy
2xy
R
0
f .x; y; z/dz. D. I D
2
R
0
dx
2x
R
0
dy
xCy
R
0
f .x; y; z/dz.
Câu 153. Xét tích phân bội ba
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó là miền trong không gian được
giới hạn bởi các mặt: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 và z = x2 + y2. Đẳng thức nào sau đây

đúng?
24
A. I D
1
R
0
dx
1
R
0
dy
x
2
Cy
2
R
0
f .x; y; z/dz. B. I D
1
R
0
dx
1
R
0
dy
2
R
0
f .x; y; z/dz.

C. I D
1
R
0
dx
1
R
0
dy
1
R
0
f .x; y; z/dz. D. Các đẳng thức trên đều sai.
Câu 154. Xét tích phân bội ba
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó là miền trong không gian được
giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, z = 2 và y + x = 1. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. I D
2
R
0
dz
1
R
0
dy
1y
R

0
f .x; y; z/dx. B. I D
1
R
0
dx
2
R
0
dz
1x
R
0
f .x; y; z/dy.
C. I D
1
R
0
dy
1y
R
0
dx
2
R
0
f .x; y; z/dz. D. Các đẳng thức trên đều đúng.
Câu 155. Xét tích phân bội ba
”


f .x; y; z/dxdydztrong đó là miền trong không gian được
giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, x = 2, y = 0, z = 0 và y + z = 1. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. I D
2
R
0
dz
1
R
0
dy
1y
R
0
f .x; y; z/dx. B. I D
1
R
0
dy
2
R
0
dx
1x
R
0
f .x; y; z/dz.
C. I D
1

R
0
dy
1y
R
0
dz
2
R
0
f .x; y; z/dx. D. Các đẳng thức trên đều sai.
Câu 156. Xác định cận của tích phân
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó  là miền giới hạn bởi các
mặt: x + y + z – 5 = 0, x = 0, y = 0, z = 0.
A. I D
5
R
0
dy
5
R
0
dz
5
R
0
f .x; y; z/dx. B. I D
5

R
0
dy
5y
R
0
dz
5yz
R
0
f .x; y; z/dx.
C. I D
1
R
0
dy
5y
R
0
dz
5zz
R
0
f .x; y; z/dx. D. I D
5
R
1
dy
5z
R

0
dz
5xy
R
0
f .x; y; z/dx.
Câu 157. Xét tích phân
”

f .x; y; z/dxdydztrong đó là tứ diện được giới hạn bởi các mặt
phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. I D
1
R
0
dx
1x
R
0
dy
1xy
R
0
f .x; y; z/dz. B. I D
1
R
0
dy
1y
R

0
dz
1yz
R
0
f .x; y; z/dx.
C. I D
1
R
0
dz
1z
R
0
dx
1zx
R
0
f .x; y; z/dy. D. Các đẳng thức trên đều đúng.
Câu 158. Tính t ích phân
”

2xydxdydz, trong đó  là miền định bởi  W 0 Ä x Ä 1; 0 Ä y Ä
1; 0 Ä z Ä 2:
A. I = 1/2 . B. I = 1. C. I = 1/4. D. I = 2.
Câu 159. Tính tích phân
”

3z
2

dxdydz, trong đó  là hình lập phương  W 0 Ä x Ä 1; 0 Ä y Ä
1; 0 Ä z Ä 1 :
25