Giai tích 2 Chương 1: Hàm số nhiều biến

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Không gian Rn
1.1.1.1. Định nghĩa. Không gian Euclide n chiều Rn (nN*) là tập hợp các bộ có thứ tự của n số
thực x1, x2, …, xn tức là Rn = {(x1,x2, …,xn) | xiR}.
Khi n = 1 thì R1 là tập hợp các số thực R.
Khi n = 2 thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1,x2) hay tập hợp các điểm của mặt phẳng. Theo thói
quen từ trước, các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x,y) thay cho (x1,x2).
Khi n = 3 thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1,x2,x3) hay tập hợp các điểm của khơng gian. Theo
thói quen từ trước, các điểm của R3 thường được ký hiệu là (x,y,z) thay cho (x1,x2,x3).
Vì R1 là tập hợp các điểm của trục số, R2 là tập hợp các điểm của mặt phẳng, R3 là tập hợp các
điểm của không gian thực nên R1, R2 và R3 được gọi lần lượt là “không gian Euclide 1 chiều”, “không
gian Euclide 2 chiều” và “không gian Euclide 3 chiều”. Tổng quát, Rn được gọi là “không gian Euclide n
chiều” hay ngắn gọn “khơng gian Rn” và mỗi phần tử của nó được gọi là một điểm, còn (x1,x2,…,xn)
được gọi là tọa độ của một điểm của không gian Rn.
1.1.1.2. Khoảng cách trong Rn
Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1) và M2(x2) trên trục số (R1) được định nghĩa là
d ( M1 , M 2 )  x 1  x 2  ( x 1  x 2 ) 2 .

Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) trong mặt phẳng (R2) được định nghĩa là
d(M1 , M 2 )  ( x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 .

Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1,y1,z1) và M2(x2,y2,z2) trong không gian (R3) được định nghĩa là
d(M1 , M 2 )  ( x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  (z1  z 2 ) 2 .

Tổng quát, khoảng cách giữa hai điểm M1(x1,x2,…,xn) và M2(y1,y2,…,yn) trong không gian Rn được
định nghĩa là d(M1 , M 2 )  ( x1  y1 ) 2  ( x 2  y 2 ) 2  ...  ( x n  y n ) 2 .
Theo định nghĩa, khoảng cách giữa hai điểm trong Rn là ánh xạ từ Rn vào R+ (Rn  R+).
Khoảng cách giữa hai điểm được định nghĩa như trên được gọi là khoảng cách Euclide. Cũng như
trên trục số, trong mặt phẳng và trong không gian thực, khoảng cách Euclide trong Rn có các tính chất:
(1) d(M1,M2)  0 và d(M1,M2) = 0  M1  M2

(2) d(M1,M2) = d(M2,M1)
(3) d(M1,M2)  d(M1,M3) + d(M3,M2) – bất đẳng thức tam giác
với M1, M2, M3 là 3 điểm bất kỳ của Rn.
1.1.1.3. Lân cận, tập mở, tập đóng và tập bị chặn trong Rn
Giả sử Mo là một điểm của không gian Rn,  là một số thực dương, khi đó tập hợp tất cả các điểm
MRn sao cho d(M0,M) <  được gọi là -lân cận của điểm M0. Mọi tập hợp chứa một -lân cận nào đó
của điểm M0 được gọi là lân cận của điểm M0.
Giả sử tập hợp E  Rn, điểm ME được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một -lân cận nào đó
của điểm M nằm hồn toàn trong E. Tập hợp E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Giả sử tập hợp E  Rn, điểm NRn được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi -lân cận của
điểm N vừa chứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có
thể thuộc E cũng có thể khơng thuộc E. Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của nó.
Tập hợp E  Rn được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.
1


Ví dụ 1.1. Giả sử E là tập hợp tất cả các điểm MRn sao cho d(M0,M) < r với M0Rn là một điểm
cố định và r là một số thực dương, là một tập hợp mở.
Chứng minh. Giả sử M là một điểm bất kỳ của E, do đó d(Mo,M) < r. Đặt  = r – d(M0,M), khi đó
-lân cận của M nằm hồn tồn trong E vì nếu P là một điểm của lân cận ấy thì ta có d(M,P) < , do đó
theo bất đẳng thức tam giác d(M0,P)  d(M0,M) + d(M,P) < d(M0,M) +  = r.
Tập hợp E nói trong Ví dụ 1.1. được gọi là quả cầu mở tâm M0 bán kính r. Biên của tập hợp E này
gồm các điểm M sao cho d(M0,M) = r được gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r. Tập hợp các điểm M sao
cho d(M0,M)  r là một tập hợp đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm M0 bán kính r.
Tập hợp E  Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.
Tập hợp E  Rn được gọi là liên thơng nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của nó bởi một đường liên
tục nằm hoàn toàn trong E. Tập hợp liên thơng được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín,
được gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một.
1.1.2. Hàm số nhiều biến, hàm véc tơ
1.1.2.1. Hàm số nhiều biến

Xét không gian Euclide n chiều Rn, giả sử D  Rn. Khi đó ánh xạ f: D  R được xác định bởi {x =
(x1,x2, …,xn)D}  {y = f(x)  f(x1,x2, …,xn)R} được gọi là hàm số n biến xác định trên D; D được
gọi là tập xác định của hàm số f, ký hiệu là D(f); còn x1, x2, …, xn được gọi là các biến số độc lập. Tập tất
cả các giá trị của hàm số y = f(x1,x2, …,xn) trên tập xác định D(f) được gọi là tập giá trị của hàm số f, ký
hiệu là R(f).
Như vậy, hàm số y = f(x1,x2, …,xn) là ánh xạ f: D(f)  R(f).
Theo thói quen từ trước, với n = 1 người ta dùng ký hiệu y = f(x) đối với hàm số 1 biến, với n = 2
người ta dùng ký kiệu z = f(x,y) đối với hàm số 2 biến và với n = 3 người ta dùng ký hiệu u = f(x,y,z) đối
với hàm số 3 biến.
Cũng như đối với hàm số 1 biến, hàm số 2 biến và hàm số 3 biến, tập xác định D(f) của hàm số n
biến là tập hợp tất cả các điểm xRn sao cho biểu thức của hàm số y = f(x)  f(x1,x2, …,xn) có nghĩa, tức
là biểu thức này phải xác định được.
Từ đây về sau (trong Bài giảng học phần này), các vấn đề liên quan đến hàm số nhiều biến được
trình bày cho trường hợp n = 2 (hàm số 2 biến) hoặc n = 3 (hàm số 3 biến). Các vấn đề ấy được mở rộng
hoàn toàn tương tự đối với số nguyên dương n ≥ 4 (hàm số n biến) bất kỳ, nếu khơng lưu ý gì thêm.
Ví dụ 1.2. Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau đây
(a) z  f ( x, y)  4  x 2  y 2

(b) z  f ( x , y) 

(c) z = f(x,y) = xln(y2 – x)

(d) u  f ( x , y, z) 

x  y 1
y 1
x
1  x 2  y2  z2

Bài giải

(a) Đối với hàm số f ( x, y)  4  x 2  y 2 xét biểu thức 4  x 2  y 2 , để biểu thức này có nghĩa
hay xác định được thì biểu thức dưới căn bậc hai phải khơng âm, tức là 4 – x2 – y2  0, nên tập xác định
D(f) = {(x,y)R2|x2 + y2  22}. Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy thì D(f) là
các điểm thuộc hình trịn đóng tâm O(0,0) có bán kính r = 2.

2


x  y 1
x  y 1
xét biểu thức
, để biểu thức này có nghĩa hay
y 1
y 1
xác định được thì biểu thức dưới căn bậc hai ở tử số phải không âm (x + y + 1 ≥ 0) và biểu thức ở mẫu số
phải khác không (y – 1 ≠ 0), nên tập xác định D(f) = {(x,y)R2| x + y +1 ≥ 0 và y – 1 ≠ 0}. Trên mặt
phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy thì D(f) là các điểm thuộc nửa mặt phẳng phía trên
đường thẳng y = – x – 1 (kể cả các điểm nằm trên đường thẳng này), nhưng không nằm trên đường thẳng
y = 1.

(b) Đối với hàm số f ( x , y) 

(c) Đối với hàm số f(x,y) = xln(y2 – x), xét biểu thức xln(y2 – x), để biểu thức này có nghĩa hay xác
định được thì đối số của hàm số loga phải dương, tức là y2 – x > 0 hay x < y2, nên tập xác định D(f) =
{(x,y)R2|x < y2}. Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy thì D(f) là các điểm
nằm bên trái đường parabol x = y2

(d) Đối với hàm số f ( x , y, z) 

x

, xét biểu thức

x

, để biểu thức
1  x 2  y2  z2
1  x 2  y2  z2
này có nghĩa hay xác định được thì biểu thức trong căn bậc hai ở mẫu số phải dương, tức là 1 – x2 – y2 –
z2 > 0, nên tập xác định D(f) = {(x,y,z)R3|x2 + y2 + z2 < 12}. Trong không gian tọa độ của hệ tọa độ
Descartes vng góc Oxyz thì D(f) là các điểm thuộc quả cầu mở tâm O(0,0,0) có bán kính r = 1.

Cũng như hàm số 1 biến, một hàm số nhiều biến thường được mô tả bằng 4 cách: (1) bằng công
thức, (2) bằng đồ thị, (3) bằng lời, (4) bằng bảng các giá trị.
1.1.2.2. Hàm véc tơ
Giả sử Rn, Rm tương ứng là không gian Euclide n, m chiều. Ánh xạ f: D  Rm, trong đó D  Rn
được gọi là hàm véc tơ n biến. Giá trị của hàm véc tơ f có m thành phần f = (f1,f2, …,fm-1,fm)  Rm.
Trường hợp riêng, khi n = 1 và m = 1, hàm véc tơ chính là hàm số 1 biến đã được nghiên cứu trong
học phần Giải tích 1; khi n > 1 và m = 1, hàm véc tơ chính là hàm số nhiều biến vừa được định nghĩa ở
trên và sẽ được nghiên cứu trong học phần Giải tích 2 này.
1.2. Giới hạn và tính liên tục
1.2.1. Giới hạn
Ta nói rằng dãy điểm {Mn(xn,yn)} tiến đến điểm M0(x0,y0) trong R2 và viết Mn  M0 khi n  +
 lim x n  x 0
nếu lim d(M 0 , M n )  0  lim ( x n , y n )  ( x 0 , y 0 )  n 
.
n 
n 
lim
y


y
n
0
n 

3


Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0,y0) (có thể khơng xác
định tại M0). Ta nói rằng hàm số f(x,y) có giới hạn L (L là số thực hữu hạn) khi điểm M(x,y) tiến đến
điểm M0(x0,y0) (M  M0) và viết lim f ( x, y)  L nếu với mọi dãy điểm Mn(xn,yn) (khác M0) thuộc
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

lân cận V tiến đến M0, ta đều có lim f ( x n , y n )  L .
n 

Nói cách khác (bằng ngôn ngữ “-”): Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào
đó của điểm M0(x0,y0) (có thể khơng xác định tại điểm M0). Ta nói rằng hàm số f(x,y) có giới hạn L khi
điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (M  M0) và viết lim f ( x, y)  L nếu với  > 0 bé tùy ý cho
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

trước,  = () > 0 sao cho với (x,y)V thỏa mãn 0  d(M, M 0 )  ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   thì

f (x)  L   .
Nhận xét. f ( x)  L là khoảng cách giữa các số f(x,y) và L, còn

( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 là khoảng

cách giữa điểm (x,y) và điểm (x0,y0); do đó, định nghĩa giới hạn bằng ngơn ngữ “-” nói lên rằng:

Khoảng cách giữa f(x,y) và L có thể được làm nhỏ tùy ý bằng cách làm cho khoảng cách từ điểm (x,y)
đến điểm (x0,y0) đủ nhỏ (nhưng không bằng khơng).
Lưu ý.
1. Giá trị của x0, y0 có thể nhận các giá trị thuộc tập {-, <hữu hạn>, +}.
2. Các định lý về giới hạn của tổng/hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn đối với hàm số một biến (n = 1)
trong học phần Giải tích 1 vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1). Cụ thể là:
Cho các hàm số f(x,y), g(x,y) và giả sử 

lim

( x , y )( x 0 , y0 )

f ( x , y)  L , 

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

g( x, y)  M (các số hữu

hạn M, LR), khi đó
+ lim f ( x, y)  g( x, y)  L  M
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

+
+
+
+
+

lim

cf ( x, y)  cL (hằng số cR)

lim

f (x, y)g(x, y)  LM

( x , y )( x 0 , y0 )

( x , y )( x 0 , y0 )

f ( x , y) L
(M ≠ 0)

( x , y )( x 0 , y0 ) g ( x , y)
M
lim

lim

f (x, y)n  Ln (nN*)

( x , y )( x 0 , y0 )

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

n

f ( x, y)  n L (nN*, nếu n là số chẵn thì thêm giả thuyết

lim

( x , y )( x 0 , y0 )

f ( x, y)  0)

3. Nguyên lý kẹp vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến. Cụ thể là:
Cho các hàm số h(x,y), f(x,y), g(x,y); giả sử h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) với mọi điểm (x,y) trong một
lân cận nào đó của điểm (x0,y0) và lim h ( x, y)  lim g( x, y)  L (hằng số LR)
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

thì

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

f ( x , y)  L .

4. Tích của một vơ cùng bé (VCB) với một hàm số/biểu thức giới nội là một VCB.
5. Theo định nghĩa giới hạn của hàm số nhiều biến thì giá trị giới hạn L khơng phụ thuộc vào cách
thức của điểm M tiến đến điểm M0. Do đó, nếu M  M0 theo các cách thức khác nhau mà hàm số tiến
đến các giá trị khác nhau thì hàm số khơng tồn tại giới hạn tại điểm M0 khi M  M0.
Do đó, đối với hàm số 2 biến f(x,y), để chứng minh hàm số này không tồn tại giới hạn tại điểm M0
khi M  M0, thường có 4 cách sau đây:

4






(1) Nếu chỉ ra được hai dãy điểm x (n1) , y (n1) , x (n2 ) , y (n2 )  cùng tiến đến điểm (x0,y0)
x (n1) , y (n1)  (x 0 , y 0 ) và x (n2) , y (n2)  ( x 0 , y 0 ) khi n+∞, đồng thời khi đó lim f x (n1) , y (n1)   L1 và







( 2)
n

lim f x , y

n 

mà

( 2)
n

 L



2







mà L1 ≠ L2 thì

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

n 

f ( x, y) không tồn tại.

(2) Nếu chỉ ra được hai đường (thẳng/cong) và nếu M(x,y)  M0(x0,y0) dọc trên hai đường này
lim f ( x, y) tương ứng nhận hai giá trị khác nhau thì lim f ( x, y) không tồn tại. Cụ thể là, ta

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

chỉ ra được hàm số y = g(x) và hàm số y = h(x) thỏa mãn lim g( x )  lim h ( x )  y 0 , đồng thời khi đó
lim f x, g( x )   L1 và lim f x, h ( x )   L 2 mà L1 ≠ L2 thì

x x 0

x x 0

x x 0

x x 0

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

f ( x, y) không tồn tại. Ở đây, x và y

có vai trị như nhau.
x  x 0  r cos 
(3) Nếu đổi từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,) 
và khi đó
 y  y 0  r sin 
( x, y)  (x 0 , y0 )  r  0 , mà f(x,y) = g() - chỉ phụ thuộc vào góc   lim f ( x, y)  lim g()
( x , y )( x 0 , y0 )

 g() thì

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

r 0

f ( x, y) không tồn tại.

(4) Nếu chỉ ra được dãy điểm (xn,yn) tiến đến điểm (x0,y0) [(xn,yn)  (x0,y0) khi n+∞] mà
f(xn,yn)  -∞/+∞ thì lim f ( x, y) không tồn tại.
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

Ví dụ 1.3. Tìm các giới hạn sau đây
2 x 4  x  xy  y 4
(a) lim
( x , y )(1, 0 )
x 2  y2
x sin y
(c) lim
( x , y )(1, 6 ) x 2  1
Bài giải

(b)
(d)

lim

( x  y )e  ( x

lim

e  xy cos(x  y)

( x , y ) (  ,  )

( x , y )(1, 1)

2

 y2 )

2x 4  x  xy  y 4
là D(f) = R2\{(0,0)}.
x 2  y2
lim (2x 4  x  xy  y 4 )  3 và lim ( x 2  y 2 )  1

(a) Tập xác định của hàm số f ( x, y) 
Ta có

( x , y ) (1, 0 )

( x , y ) (1, 0 )

2x 4  x  xy  y 4 )
 lim f ( x , y)  lim

( x , y )(1, 0 )
( x , y )(1, 0 )
x 2  y2

(b) Tập xác định của hàm số f (x, y)  (x  y)e ( x

2

lim (2x 4  x  xy  y 4 )

( x , y )(1, 0 )

 y2 )

2



lim

ye ( x

lim ( x  y )
2

3
3
1

( x , y )(1, 0 )

là D(f) = R2.


x
x
( x 2  y 2 )
 x 2  y2  x 2  0 khi x  
0  xe

e
e
Vì e > 1 nên 
y
0  ye( x 2  y2 )  2 2  y2  0 khi y  
e x y
ey



lim

( x , y ) (  ,  )

f ( x , y) 

lim

( x , y )(  , )

( x  y )e  ( x

2

 y2 )



lim

( x , y ) (  ,  )

xe  ( x

2

 y2 )



( x , y ) (  ,  )

x sin y
là D(f) = R2.
2
x 1

1 1
Ta có
lim ( x 2  1)  12  1  2
lim x sin y  1. sin  1.  và
(
x
,
y
)
(1, 6 )
( x , y )(1, 6 )
6
2 2

x sin y 1 2 1
x sin y ( x , y )lim
(1, 6 )
 lim f ( x, y)  lim



( x , y )(1, 6 )
( x , y )(1, 6 ) x 2  1
lim ( x 2  1)
2
4

(c) Tập xác định của hàm số f ( x, y) 

( x , y )(1, 6 )

(d) Tập xác định của hàm số f ( x, y)  e

 xy

cos(x  y) là D(f) = R2.

5

2

 y2 )

000

Ta có



lim

( x , y )(1, 1)

lim

( x , y )(1, 1)

e  xy  e 1.( 1)  e và

f ( x, y) 

Ví dụ 1.4. Tìm
(a) f ( x , y) 

lim

( x , y )(1, 1)

lim

( x , y )( 0 , 0 )

lim

( x , y )(1, 1)

cos(x  y)  cos(1  1)  cos 0  1

e xy cos(x  y)   lim e xy . lim cos(x  y)   e.1  e
 ( x ,y )(1, 1)
  ( x ,y )(1, 1)


f ( x, y) của các hàm số sau đây

x 2  y2
x 2  y2  1  1

(c) f ( x, y)  ( x  2 y) cos

xy

(b) f ( x , y) 

x  2y
x 2  2y 2

(d) f ( x, y) 

x 2  y2

sin( x 3 )  sin( y 3 )
x 2  y2

Bài giải
x 2  y2

(a) Tập xác định của hàm số f ( x , y) 
0
.
0
Theo

x  y 1 1
2

2

là D(f) = R2\{(0,0)} và giới hạn này có dạng

vơ định

định

nghĩa,

khoảng

cách

từ

điểm

M(x,y)

đến

điểm

O(0,0)

là

d(O, M)  ( x  0)  ( y  0)  x  y  d  0  M(x,y)  O(0,0)  (x,y)  (0,0).
2

 f ( x , y) 



lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

2

2

x 2  y2
x  y 1
2

2





2

d2
d 1 1
2



d

d2
2

d

2

 d

1 1



1 1

2

d 0

xy
x y
2

2

là D(f) = R2\{(0,0)} và giới hạn này có dạng vơ

0
.
0

Vì x 2  x 2  y 2 

x
x 2  y2

 1 với (x,y) ≠ (0,0) nên f ( x , y) 

0  f ( x, y)  y  0 khi (x,y)  (0,0). Theo nguyên lý kẹp thì
(c) Tập xác định của hàm số f ( x, y)  ( x  2 y) cos
Ta có f ( x, y)  ( x  2 y) cos
cos



1 1

 d2  1  1

f ( x , y)  lim d 2  1  1  2 .

(b) Tập xác định của hàm số f ( x , y) 
định



lim

( x , y )( 0 , 0 )

x
x 2  y2

y  1. y  y do đó

f ( x , y)  0 .

x  2y
là D(f) = R2\{(0,0)}.
2
2
x  2y

x  2y
x  2y

 x  2 y cos 2
 x  2 y .1  x  2 y  2 x  y  vì
2
2
x  2y
x  2y 2

x  2y
 1 và x  2 y  x  2y  2 x  2 y  2 x  y  với (x,y)D(f).
x 2  2y 2

 0  f ( x, y)  2 x  y   0 khi (x,y)  (0,0). Theo nguyên lý kẹp thì

(d) Tập xác định của hàm số f ( x, y) 

lim

( x , y )( 0 , 0 )

f ( x , y)  0 .

sin( x 3 )  sin( y 3 )
là D(f) = R2\{(0,0)}.
x 2  y2

 sin( x 3 )  x 3  x 3

Vì sin    khi α  0 nên 
khi (x,y)  (0,0)
3

3
3
 sin( y )  y  y
3
3
3
3
3
3
sin( x 3 )  sin( y 3 ) sin( x )  sin( y ) sin( x )   sin( y ) sin( x )  sin( y )
 0  f ( x , y) 



x 2  y2
x 2  y2
x 2  y2
x 2  y2

6


3



kẹp thì

x y
2

x y
lim

( x , y )( 0 , 0 )

3
2



x

3

2

x y

2



y
2

3

x y

2



x
x

3
2



y
y

3
2

 x  y  0 khi (x,y)  (0,0). Theo nguyên lý

f ( x , y)  0 .

Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng, khơng tồn tại giới hạn
x 2  y2
(a) z  f ( x, y)  2
x  y2
Bài giải

f ( x, y) của các hàm số sau đây

2x 2 y
(b) z  f ( x, y)  4
x  y2

(a) Tập xác định của hàm số f ( x , y) 
định

lim

( x , y )( 0 , 0 )

x 2  y2
là D(f) = R2\{(0,0)} và giới hạn này có dạng vô
x 2  y2

0
.
0
2 1
Cách 1. Xét dãy điểm ( x n , y n )   ,  với nN*, khi đó ( x n , y n )  (0,0)  n  
n n
2

2

2

2

2 1

3
   
2
3
3 3
n
n
 f ( x n , y n )    2   2  n   lim f ( x , y)  lim f ( x n , y n )  lim 
( x , y ) ( 0 , 0 )
n 
n  5
5
5
5
2 1
2
   
n
n n
1 2
Tương tự, xét dãy điểm ( x ,n , y ,n )   ,  với nN*, khi đó (x ,n , y,n )  (0,0)  n  
n n
1 2
3
   
 2
3
3
n
n

 3
 f ( x n , y n )    2   2  n    lim f ( x , y)  lim f ( x n , y n )  lim     
( x , y ) ( 0 , 0 )
n 
n 
5
5
5
 5
1 2
2
   
n
n n
x 2  y2
Do đó, theo định nghĩa thì lim
khơng tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2

Cách 2. Khi (x,y)  (0,0) dọc theo trục hoành Ox (y = 0) thì f ( x,0) 


x 2  02 x 2

 1 với x ≠ 0
x 2  02 x 2

x 2  y2
 lim f ( x,0)  1 , còn khi (x,y)  (0,0) dọc theo trục tung Oy (x = 0) thì
( x , y )( 0 , 0 ) x 2  y 2

x 0
lim

f (0, y) 

02  y2  y2
x 2  y2



1
với
y
≠
0

lim
 lim f (0, y)  1 nên, theo định nghĩa thì
( x , y )( 0 , 0 ) x 2  y 2
x 0
02  y2
y2

không tồn tại

x 2  y2
.
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2
lim

x  0  r cos   r cos 
Cách 3. Đổi tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,): 
 y  0  r sin   r sin 
r  0
, khi đó D(f )  (r, )  R 2 r  0,0    2 và (x,y)  (0,0)  r  0+.

0    2





x  r cos 
Bây giờ, thay 
vào biểu thức của hàm số f(x,y) thì ta được
 y  r sin 
x 2  y 2 (r cos ) 2  (r sin ) 2 r 2 (cos 2   sin 2 )
f ( x , y)  2

 2
 cos 2   sin 2 
2
2
2
2
2
x y
(r cos )  (r sin )
r (cos   sin )

7

với




lim

( x , y )( 0 , 0 )

f ( x, y)  lim (cos 2   sin 2 )  cos 2   sin 2  , nên khi  nhận các giá trị khác nhau
r 0

x 2  y2
thì f(x,y) dần đến các giới hạn khác nhau. Do đó, theo định nghĩa thì lim
khơng tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2

(b) Tập xác định của hàm số f ( x , y) 
định

2x 2 y
là D(f) = R2\{(0,0)} và giới hạn này có dạng vơ
4
2
x y

0
.

0
1 1 
Cách 1. Xét dãy điểm ( x n , y n )   , 2  với nN*, khi đó ( x n , y n )  (0,0)  n  
n n 
2

1 1
2
2  . 2
n n
n 4  1  lim f ( x , y)  lim f ( x , y )  lim 1  1
 f (x n , y n ) 

n
n
4
2
( x , y ) ( 0 , 0 )
n 
n 
2
1  1 
4
   2 
n
n n 
1 
1
Tương tự, xét dãy điểm ( x ,n , y ,n )   , 2  với nN*, khi đó (x ,n , y,n )  (0,0)  n  
n n 

2

1  1 
2
2  .  2 
 4
n  n 

,
,
 f (x n , y n ) 
 n  1  lim f ( x , y)  lim f ( x ,n , y ,n )  lim (1)  1
4
2
( x , y ) ( 0 , 0 )
n 
n 
2
1  1 
4
    2 
n
n  n 
2x 2 y
Do đó, theo định nghĩa thì lim
không tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 4  y 2
Cách 2. Nếu cho (x,y)  (0,0) dọc theo đường parabol y = kx2 với tham số k ≠ 0 thì ta được
2x 2 (kx 2 )
2kx 4

2k
2k
2k
nên
f ( x, kx 2 )  4


 lim f ( x, y)  lim f ( x, kx )  lim

2 2
2
4
2
2
(
x
,
y
)

(
0
,
0
)
x

0
x


0
x  (kx )
1 k x
1 k
1 k
1 k2
giới hạn này sẽ thay đổi khi k thay đổi; chẳng hạn, nếu (x,y)  (0,0) dọc theo đường parabol y = x2 (k =
4
1) thì lim  1, còn nếu (x,y)  (0,0) dọc theo đường parabol y = 2x2 (k = 2) thì lim  . Do đó,
( x , y ) ( 0 , 0 )
( x , y ) ( 0 , 0 )
5
2
2x y
theo định nghĩa thì lim
khơng tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 4  y 2





Ví dụ 1.6. Cho hàm số f ( x , y) 

xmy
với x > 0 và tham số m > 0. Tìm lim  f ( x , y) khi
( x , y ) ( 0 , 0 )
2x 2  y 2

m  1

(đề thi Giải tích 2 năm học 2020-2021).

0  m  1
Bài giải

Tập xác định của hàm số f(x,y) là D(f) = {(x,y)R2 | x > 0}. Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ
Descartes vng góc Oxy thì D(f) là nửa mặt phẳng bên phải trục tung Oy, không kể trục tung Oy.
Cách 1.
- Trường hợp m > 1:
xmy
xmy

Ta có 0  f ( x , y) 
(do BĐT Cauchy 2x 2  y 2  2 2x 2 y 2  2 2 xy )
2
2
2x  y
2 2 xy



thì

1

x m1  0 khi x  0+ (do m > 1  m – 1 > 0) nên theo nguyên lý kẹp

2 2
lim  f ( x, y)  0 .

( x , y )( 0 , 0 )

8


- Trường hợp 0 < m ≤ 1:
Nếu cho (x,y)  (0+,0) dọc theo đường thẳng/cong y = kxm với tham số k ≠ 0 thì
x m (kx m )
kx 2 m
k
.
f ( x, y)  f ( x, kx m )  2

 2(1m )
m 2
2
2 2m
2x  (kx )
2x  k x
2x
 k2
Xét giới hạn lim x 2(1m ) :
x 0

+ Khi m = 1 thì lim x 2(1m )  lim x 0  lim 1  1 ,
x 0



x 0

x 0

lim  f ( x , y)  lim f ( x , kx 1 ) 

( x , y ) ( 0 , 0 )

x 0

k
2 lim x

2 (1 m )

x 0

k

2



k
k

2
2. 1  k
2  k2

k

thay đổi khi k thay đổi, theo định nghĩa thì lim  f ( x, y) khơng tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 )
2  k2
2 (1 m )
+ Khi 0 < m < 1  0 < 2(1–m) < 2 thì lim x
0

Giá trị

x 0



lim  f ( x , y)  lim f ( x , kx m ) 

( x , y ) ( 0 , 0 )

x 0

k
2 lim x
x 0

Giá trị

2 (1 m )

k

2



k
1

2
k
2 .0  k

1
thay đổi khi k thay đổi, theo định nghĩa thì lim  f ( x, y) không tồn tại.
( x , y ) ( 0 , 0 )
k

Cách 2.

r

cos 
r  0
x 
Đổi tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng 
với 
, khi đó
2
0    2
 y  r sin 

0  cos   1






.
D(f )  (r, )  R 2 r  0,     và khi     thì 
2
2
2
2

 1  sin   1
Đồng thời (x, y)  (0  ,0)  r  0  vì


2
r

cos  
x

x

cos

2x 2  y 2
2x 2  y 2



2
2
r

 cos   sin  

 1  2x 2  y 2  r 2
2

2
2
r
r
 y  r sin 
sin   y

r

r

cos 
x 
Bây giờ thay 
vào biểu thức của hàm số f(x,y) ta được
2
 y  r sin 

m

 r


cos   r sin 

m
x y
 2

f ( x , y)  2

 r m 1 cos m  sin 
2
2
2x  y
 r

2
cos    (r sin ) 2
 2

m 1
m
 lim  f ( x, y)  lim r cos  sin 
( x , y )( 0 , 0 )

r 0

- Trường hợp m > 1:
m > 1  m – 1 > 0  lim r m1  0 , mặt khác cos m  sin   1 nên lim r m1 cos m  sin   0
r 0



lim

( x , y )( 0 , 0 )

r 0

f ( x , y)  0

- Trường hợp 0 < m ≤ 1:
+ m = 1  lim  f ( x, y)  lim r m1 cos m  sin   lim 1. cos1  sin   cos  sin  , giá trị này
( x , y )( 0 , 0 )

r 0

thay đổi khi  thay đổi, theo định nghĩa thì

r 0

lim

( x , y ) ( 0  , 0 )

f ( x , y) không tồn tại.

9


+ 0 < m < 1  1 – m > 0  lim r m1  lim

r 0


 

lim r m 1 cos m  sin    0
r 0 

 

thay đổi, theo định nghĩa thì

Kết luận:

lim

( x , y )( 0 , 0 )

r 0

1
1m

  , mặt khác cos m  sin   1 nên

r

khi     0
2
khi

  0 vì 0 < cosm ≤ 1. Như vậy, giới hạn này thay đổi khi 

khi 0   
2
m 1
m
lim r cos  sin  không tồn tại, tức là lim  f ( x , y) không tồn tại.

r 0

( x , y ) ( 0 , 0 )

f ( x, y)  0 khi m > 1 và

lim

( x , y ) ( 0  , 0 )

f ( x , y) không tồn tại khi 0 < m ≤ 1.

1.2.2. Tính liên tục
1.2.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số hai biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2, ta nói hàm số f(x,y) liên tục tại điểm
M0(x0,y0)D(f) nếu tồn tại giới hạn lim f ( x, y) và giá trị của giới hạn này bằng giá trị của hàm số
( x , y )( x 0 , y0 )

f(x,y) tại điểm (x0,y0), tức là

lim

( x , y )( 0 , 0 )

f ( x, y)  f ( x 0 , y 0 ). Khi đó, điểm M0(x0,y0) được gọi là điểm liên tục

của hàm số f(x,y).
Hàm số f(x,y) được gọi là hàm số liên tục trên tập xác định D(f) nếu nó liên tục tại mọi điểm của
tập xác định D(f).
Lưu ý. Các tính chất liên tục đối với hàm số một biến (n = 1) đã học trong học phần Giải tích 1 vẫn
đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1).
Ví dụ 1.7. Xét tính liên tục của các hàm số f(x,y) sau đây, trên tập xác định D(f) của nó
 x 2  y2

khi ( x , y)  (0,0)
(a) z  f ( x , y)   x 2  y 2

khi ( x , y)  (0,0)
0
 xy 

(b) z  f ( x, y)   x 2  y 2 khi ( x, y)  (0,0) với tham số R
0
khi ( x, y)  (0,0)

Bài giải
 x 2  y2

khi ( x , y)  (0,0)
(a) Tập xác định của hàm số f ( x , y)   x 2  y 2
là D(f) = R2.


khi ( x , y)  (0,0)
0
x 2  y 2 x 02  y 02
lim f ( x, y)  lim
 2
 f ( x 0 , y 0 ) nên hàm số
- Tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) thì
( x , y )( x 0 , y0 )
( x , y )( x 0 , y0 ) x 2  y 2
x 0  y 02
liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0).
- Tại điểm O(0,0) ta có f(0,0) = 0 nhưng

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

f ( x, y) không tồn tại.

x  p n
Thật vậy, nếu chọn dãy điểm M n ( x n , y n ) với  n
với p, q là các tham số không đồng thời
y n  q n
x n  0
 n    M n ( x n , y n )  O(0,0)  n   .
bằng khơng và nN* thì 
y n  0

x 2  y 2n p n   q n 
p2  q2



 lim f ( x , y)  lim f ( x n , y n ) 
Khi đó f ( x n , y n )  2n
( x , y ) ( 0 , 0 )
n 
x n  y 2n p n 2  q n 2 p 2  q 2
2

2

10


p2  q2
p2  q2
nên
khi
p
và
q
nhận
các
giá
trị
khác
nhau
thì
nhận các giá trị khác
lim

f
(
x
,
y
)

( x , y )( 0 , 0 )
p2  q2
p2  q2
nhau, suy ra lim f ( x, y) không tồn tại, theo định nghĩa, hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0).
( x , y )( 0 , 0 )

 xy 

(b) Tập xác định của hàm số f ( x, y)   x 2  y 2
0


khi ( x, y)  (0,0) với R là là D = R2.
khi ( x, y)  (0,0)

- Tại điểm (x0,y0) = (0,0)
Theo
xy



x y
2

2



BĐT

Cauchy





1 2
x  y2

2

 1

(x,y)R

với

2

có

2

với (x,y)R2\{(0,0)}.
xy

+ Nếu  – 1 > 0   > 1 thì 0  f ( x , y 
theo nguyên lý kẹp

ta

x 2  y2
1
x y 
 xy  ( x 2  y 2 ) 
2
2
2

lim

( x , y )( 0 , 0 )



x y
f ( x, y)  0 mà f(0,0) = 0 
2

2

1 2
( x  y 2 )  1  0 khi ( x , y)  (0,0) , do đó

2
lim f ( x, y)  f (0,0) nên theo định nghĩa, hàm



( x , y )( 0 , 0 )

số f(x,y) liên tục tại điểm O(0,0).
+ Nếu  = 1 thì f ( x, y) 

xy

1

x y
2

2



xy
x  y2
2

kx (với tham số k ≠ 0) thì f ( x, y)  f ( x, kx ) 


tại

lim

lim

x.kx
x  (kx )
2

2



k x2
x k x
2

2

2



k x2
x (1  k )
2

2



k
(1  k 2 )

k

giá trị này thay đổi khi k thay đổi, do đó khơng tồn
1 k2
f ( x, y) nên theo định nghĩa, hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0).

( x , y )( 0 , 0 )

( x , y )( 0 , 0 )

f ( x, y)  lim f ( x, kx ) 

, bây giờ cho (x,y)  (0,0) dọc theo đường thẳng y =

x 0

+ Nếu  – 1 < 0  1 –  > 0, bây giờ cho (x,y)  (0,0) dọc theo đường thẳng y = x thì

khơng tồn tại



x 2 1
1
1
1
 . 2(1 )  lim f ( x, y)  lim f ( x, x )  lim 2 (1 )   tức là

2
2
2
( x , y )( 0 , 0 )
x 0
x x
2x
2 x
2 x 0 x
lim f ( x, y) nên theo định nghĩa, hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0).

f ( x , y)  f ( x , x ) 

x.x



( x , y )( 0 , 0 )

- Tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) thì

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

f ( x , y) 

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

xy



x 2  y2



x 0 y0



x 02  y 02

 f ( x 0 , y 0 ) nên theo

định nghĩa, hàm số f(x,y) liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0).
1.2.2.2. Điểm gián đoạn của hàm số
Hàm số f(x,y) được gọi là gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu nó khơng liên tục tại điểm đó và điểm
M0(x0,y0) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
Như vậy, khái niệm hàm số gián đoạn tại một điểm là phủ định khái niệm hàm số liên tục tại điểm
đó, tức là hàm số f(x,y) gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu:
(1) hoặc nó khơng xác định tại điểm M0(x0,y0);
(2) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) nhưng khơng tồn tại giới hạn
(3) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) và tồn tại giới hạn
không bằng nhau, tức là

lim

( x , y )( x 0 , y0 )

lim

lim

( x , y )( x 0 , y0 )

( x , y )( x 0 , y0 )

f ( x , y) ;

f ( x, y) nhưng hai giá trị này

f ( x, y)  f ( x 0 , y 0 ).

Ví dụ 1.8. Xác định các điểm gián đoạn và các điểm liên tục của các hàm số sau đây
11


(a) z  f ( x, y) 

x 2  2xy  5
y 2  2x  1

Hàm số f ( x , y) 

x 2  2xy  5
y2 1
2

xác
định
được
khi
y
–
2x
+
1
≠
0
x
 nên miền xác định
2 2
y 2  2x  1


y2 1 
  . Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vng góc
của nó là D(f )  ( x , y)  R 2 x 
2
2

y2 1
Oxy thì D(f) là các điểm trừ các điểm nằm trên đường parabol x 
 . Theo định nghĩa, các điểm
2 2
y2 1
(x,y)R2 nằm trên đường parabol x 
 là các điểm gián đoạn của nó.

2 2
y2 1
Tại điểm (x0,y0) khơng nằm trên đường parabol x 
thì
lim f ( x, y) 

( x , y )( x 0 , y0 )
2 2
x 2  2xy  5 x 02  2x 0 y 0  5
lim

 f ( x 0 , y 0 ) nên hàm số liên tục tại mọi điểm không nằm trên
( x , y ) ( x 0 , y 0 ) y 2  2 x  1
y 02  2 x 0  1

y2 1
đường parabol x 
 .
2 2

Như vậy, đối với hàm số f ( x , y) 

x 2  2xy  5
, các điểm (x,y)R2 nằm trên đường parabol
y 2  2x  1

y2 1
x
 là các điểm gián đoạn của nó. Các điểm gián đoạn này thuộc trường hợp (1).
2 2

 x 2  y2

khi ( x , y)  (0,0)
(b) z  f ( x , y)   x 2  y 2
0
khi ( x , y)  (0,0)
 x 2  y2

khi ( x , y)  (0,0)
Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f ( x , y)   x 2  y 2
là D(f) = R2.
0
khi ( x , y)  (0,0)
Hàm số f(x,y) đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0. Tuy nhiên, như đã chứng minh ở
Ví dụ 1.5. (a), hàm số này khơng tồn tại giới hạn khi (x,y)  (0,0), nên điểm (0,0) là điểm gián đoạn của
nó.

Hơn nữa, cũng theo chứng minh ở Ví dụ 1.5. (a), tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0) hàm số f(x,y) đang xét
là liên tục.
 x 2  y2

khi ( x , y)  (0,0)
Như vậy, đối với hàm số f ( x , y)   x 2  y 2
, điểm gián đoạn duy nhất của nó
0
khi ( x , y)  (0,0)
là điểm gốc tọa độ O(0,0). Điểm gián đoạn này thuộc trường hợp (2).

x 2  y2
khi ( x, y)  (0,0)


(c) z  f ( x, y)   x 2  y 2  1  1
0
khi ( x, y)  (0,0)


x 2  y2
khi ( x, y)  (0,0)
 2
Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f ( x, y)   x  y 2  1  1
là D(f) = R2.
0
khi ( x, y)  (0,0)


12


Hàm số f(x,y) đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0; tuy nhiên, như đã chứng minh ở Ví
dụ 1.4.(a), hàm số này có lim f ( x, y)  2 , do đó lim f ( x, y)  f (0,0) nên theo định nghĩa, điểm
( x , y )( 0 , 0 )

( x , y )( 0, 0 )

gốc tọa độ O(0,0) là điểm gián đoạn của nó.
Hơn nữa, hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0). Thật vậy, ta có
x 02  y 02
x 2  y2
lim f ( x , y)  lim


 f (x 0 , y0 ) .
( x , y )( x 0 , y0 )
( x , y )( x 0 , y0 )
x 2  y2  1  1
x 02  y 02  1  1

x 2  y2
khi ( x, y)  (0,0)
 2
Như vậy, hàm số f ( x, y)   x  y 2  1  1
có điểm gián đoạn duy nhất của
0
khi ( x, y)  (0,0)

nó là điểm gốc tọa độ O(0,0), điểm gián đoạn này thuộc trường hợp (3).

1.3. Phép tính vi phân
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm riêng, đạo hàm riêng của hàm hợp
1.3.1.1. Đạo hàm riêng
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2, giả sử điểm M0(x0,y0)D(f).
Cho y = y0 thì hàm số hai biến z = f(x,y0)  g(x) trở thành hàm số một biến đối với x, khi đó nếu
hàm số g(x) có đạo hàm tại x = x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x,y) tại
f ( x 0 , y 0 )
z
điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là z 'x ( x 0 , y 0 ) hoặc
tùy từng
( x 0 , y 0 ) hoặc f x' ( x 0 , y0 ) hoặc
x
x
trường hợp, nếu không gây ra bất kỳ sự hiểu nhầm nào.

g( x )  g( x 0 )
f ( x, y 0 )  f ( x 0 , y 0 )
Như vậy, f x' ( x 0 , y 0 )  lim
, nếu ký hiệu x = x – x0 thì x =
 lim
x x 0
x x 0
x  x0
x  x0
x0 + x và gọi x là số gia của đối số x thì x  0 khi x  x0.
Suy ra hiệu g(x)  g(x 0 )  f (x, y0 )  f (x 0 , y0 )  f (x 0  x, y0 )  f (x 0 , y0 ) được gọi là số gia riêng
của hàm số f(x,y) theo biến x tại điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là xf(x0,y0).
Do đó ta có thể viết f x' ( x 0 , y0 )  lim

x  0

 x f ( x 0 , y0 )
f ( x 0  x, y0 )  f ( x 0 , y0 )
.
 lim

x

0
x
x

Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f(x,y) tại điểm M0(x0,y0) là
 f (x , y )
f ( x 0 , y)  f ( x 0 , y 0 )

f ( x 0 , y0  y)  f ( x 0 , y0 )
f y' ( x 0 , y 0 )  lim
 lim y 0 0  lim
.
yy0
y  0
y  0
y  y0
y
y
Nhận xét.
(1) Định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến f(x1,x2,…,xn) theo một biến xi (1 ≤ i ≤ n) chính
là định nghĩa đạo hàm của hàm số một biến, khi coi các biến x 1,x2,…,xi-1,xi+1,…,xn là các hằng số. Do đó,
khi tính đạo hàm riêng của một hàm số nhiều biến theo một biến nào đấy, ta coi các biến cịn lại là hằng
số và tính đạo hàm thông thường như đối với hàm số một biến.
(2) Vì (x0,y0) là một điểm bất kỳ thuộc tập xác định D(f) nên ta có thể dùng (x,y) thay cho (x0,y0)
và để tiện sử dụng, người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng của hàm số f(x,y) tại điểm (x,y) bằng một
z
f ( x, y)
trong các biểu thức z 'x ( x , y) hoặc
tùy từng trường hợp, nếu không
( x, y) hoặc f x' (x, y) hoặc
x
x
gây ra bất kỳ sự hiểu nhầm nào.
f ( x 0 , y 0 ) f ( x, y)
 '

f x ( x 0 , y 0 ) 


x
x ( x , y )( x 0 , y0 )

Khi đó 
f ' ( x , y )  f ( x 0 , y 0 )  f ( x, y)
 y 0 0
y
y ( x , y )( x 0 , y0 )


13


f ( x, y) f ( x, y)
,
của hàm số z = f(x,y) xác định
y
x
trên tập mở D(f)R2, tại một điểm M0(x0,y0)D(f) thì ta thực hiện các bước sau đây:
 x  x  x 0
  f ( x , y )  f ( x  x , y )  f ( x , y )
 x
0
0
0
0
0
0
Bước 1. Lập các số gia 
 y  y  y 0

  y f ( x 0 , y 0 )  f ( x 0 , y 0  y )  f ( x 0 , y 0 )

 x f (x 0 , y 0 )
f ( x 0  x , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )

 lim
 f x' ( x 0 , y 0 )
lim
x 0

x

0
x
x
Bước 2. Tìm các giới hạn 
 f (x , y )
 lim y 0 0  lim f ( x 0 , y 0  y)  f ( x 0 , y 0 )  f y' ( x 0 , y 0 )
y0
y0
y
y

Nếu dùng định nghĩa để tính các đạo hàm riêng

f ( x, y) f ( x, y)
,
của hàm số z = f(x,y) xác định
y
x

trong xác định trên tập mở D(f)R2, tại nhiều điểm (x,y)D(f) thì ta thực hiện các bước sau đây:
 x f ( x, y)  f ( x  x, y)  f ( x , y)
Bước 1. Lập các số gia 
 y f ( x , y)  f ( x , y  y)  f ( x, y)
 x f ( x , y)
f ( x  x , y)  f ( x , y)

 lim
 f x' ( x , y)
lim
x 0

x

0
x
x
Bước 2. Tìm các giới hạn 
 f ( x , y)
f ( x , y  y)  f ( x , y)
 lim y
 lim
 f y' ( x , y)
y 0
y0
y
y

Nếu dùng định nghĩa để tính các đạo hàm riêng

Bước 3. Các đạo hàm riêng

f ( x, y) f ( x, y)
,
của hàm số f(x,y) tại điểm (x0,y0)D(f) là
y
x

 f ( x 0 , y 0 )
 f x' ( x 0 , y 0 )  f x' ( x , y)

( x , y ) ( x 0 , y 0 )
x
 f ( x , y )
0
0

 f y' ( x 0 , y 0 )  f x' ( x, y)
( x , y ) ( x 0 , y 0 )

y
f ( x, y) f ( x, y)
Ví dụ 1.9. Tính các đạo hàm riêng
,
của hàm số z = f(x,y) = x3 – 2xy2 + y tại
y
x
điểm (x0,y0) = (1,2) bằng 2 cách: (1) dùng định nghĩa, (2) dùng các cơng thức tính đạo hàm đã biết.

Bài giải

- Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f(x,y) = x3 – 2xy2 + y là D(f) = R2.
- Điểm cần tính đạo hàm riêng có hồnh độ x0 = 1 và tung độ y0 = 2 và là một điểm thuộc D(f).
- Tính bằng định nghĩa
f ( x 0  x, y 0 )  f ( x 0 , y 0 )
f (1  x,2)  f (1,2)
 '
 '
f x (1,2)  lim
f x ( x 0 , y 0 )  lim

x 0

x

0
x
x



f y' ( x 0 , y 0 )  lim f ( x 0 , y 0  y)  f ( x 0 , y 0 )
f y' (1,2)  lim f (1,2  y)  f (1,2)
y0
y0


y
y
f (1  x ,2)  (1  x ) 3  2(1  x ).2 2  2  5  5.x  3(x ) 2  (x ) 3


Ta có f (1,2  y)  13  2.1.( 2  y) 2  (2  y)  5  7.y  2(y) 2

3
2
f (1,2)  1  2.1.2  2  5

14


 '
f (1  x ,2)  f (1,2)
 5  5.x  3(x ) 2  (x ) 3  (5)
f
(
1
,
2
)

lim

lim

 x
x 0
x 0
x
x



2
f ' (1,2)  lim f (1,2  y)  f (1,2)  lim  5  7.y  2(y)  (5) 
y0
y0
 y
y
y





 lim  5  3.x  (x ) 2  5  3.0  0 2  5
x 0

 7  2.y  7  2.0  7
lim
y 0

- Tính bằng quy tắc
 '
f ( x , y)  ( x 3  2 xy 2  y)
f
(
x
,
y
)



 3x 2  2.1.y 2  0  3x 2  2 y 2
 x
x
x


3
2
f ' ( x , y)  f ( x , y)   ( x  2 xy  y)  0  2 x.2 y  1  4 xy  1
 y
y
y
 '
f ( x, y)
 3x 2  2 y 2
 3.12  2.2 2  5
f x (1,2)  x
( x , y ) (1, 2 )
( x , y ) (1, 2 )


f ' (1,2)  f ( x, y)
  4 xy  1( x , y )(1, 2 )  4.1.2  1  7
 y

y
( x , y ) (1, 2 )

Nhận xét.





(1) Bản chất của việc tính đạo hàm là tìm giới hạn, nhưng việc tìm giới hạn của một biểu thức tốn
học, nói chung là khơng đơn giản.
(2) Qua Ví dụ 1.9. ta thấy rằng việc tính đạo hàm riêng bằng cách dùng các cơng thức tính đạo hàm
đã biết đơn giản hơn rất nhiều so với việc tính nó bằng cách dùng định nghĩa.
cos( y 2 )
f ( x, y) f ( x, y)
Ví dụ 1.10. Tính các đạo hàm riêng
,
của hàm số z  f ( x, y) 
tại điểm
x
y
x

1,  .

Bài giải

f ( x, y) f ( x, y)
,
của hàm số f(x,y) bằng cách dùng các
y
x
công thức tính đạo hàm đã biết tại điểm bất kỳ (x,y) thuộc tập xác định D(f), và sau đó thay giá trị cụ thể
tại điểm yêu cầu tính đạo hàm riêng.
cos( y 2 )

Hàm số f ( x, y) 
xác định được khi x  0 nên tập xác định của nó là
x
D(f )  {( x, y)  R 2 x  0} . Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy thì D(f) là các

Để đơn giản, ta sẽ tính các đạo hàm riêng





điểm nằm ngồi trục tung Oy, do đó điểm 1,   D(f ).

 cos( y ) 



2
x

f
(
x
,
y
)

  cos( y 2 ). d  1   cos( y 2 )  1    cos( y )
'
f ( x , y) 






2
 x
x
x
dx  x 
x2
 x 

 cos( y 2 ) 




x  1 d cos( y 2 ) 1
f ( x , y)
2 y sin( y 2 )

'
2
f y ( x , y) 


 2 y  sin( y )  

y

y
x
dy
x
x
2



15












 '
f ( x , y)
cos( y 2 )
cos 
f
1
,





  2 1
 x
2
x ( x , y )1,  
x
1
( x , y )  1,  


2 y cos( y 2 )
2  sin 
f ' 1,   f ( x , y)




0
y

y ( x , y )1,  
x
1
( x , y )  1,  

1.3.1.2. Đạo hàm riêng của hàm hợp

 x  x ( u , v)

Cho z = f(x,y) trong đó x, y là các hàm số của hai biến độc lập u, v: 
, khi đó
 y  y( u , v)
z  f x (u , v), y(u , v)  được gọi là hàm hợp của hai biến độc lập u, v.
x (u, v) x (u, v) y(u, v) y(u, v)
Giả sử các hàm số x(u,v), y(u,v) có các đạo hàm riêng
,
,
,
tại
u
v
u
v
f ( x, y) f ( x, y)
điểm (u,v) và hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng tương ứng
,
tại điểm
y
x
 f (u , v) f ( x , y) x (u , v) f ( x, y) y(u , v)

 u  x
u
y
u

( x , y)  x ( u , v), y(u , v)  thì 
 f (u , v)  f ( x , y) x (u , v)  f ( x, y) y(u , v)
 v

x
v
y
v
f x (u, v), y(u, v)  f x (u, v), y(u, v) 
Ví dụ 1.11. Tính các đạo hàm riêng
,
của hàm hợp z = f(x,y)
u
v
x  x (u , v)  3u  v
= xlny với 
2
2
 y  y(u , v)  ln u  v 

Bài giải
Hàm số f(x,y) = xlny xác định được khi y > 0 nên tập xác định của nó là D(f )  {( x, y)  R 2 y  0} .
Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy thì D(f) là các điểm thuộc nửa mặt phẳng
nằm phía trên trục hồnh Ox và khơng kể các điểm thuộc trục hồnh Ox.
Sử dụng cơng thức trên ta tính được









f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v)  ( x ln y)  (3u  v)  ( x ln y)  ln( u 2  v 2 )





u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
1
x 2u
2(3u  v)u
(ln y).3 
2u  3 ln y 
 3 ln ln( u 2  v 2  2
2
2
2
2
y u v
y u v
(u  v 2 ) ln( u 2  v 2 )





f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v)  ( x ln y)  (3u  v)  ( x ln y)  ln( u 2  v 2 )





v
x
v
y
v
x
v
y
v
x
1
x 2v
2(3u  v) v
(ln y).( 1) 
2v   ln y 
  ln ln( u 2  v 2  2
2
2
2
2

y u v
y u v
(u  v 2 ) ln( u 2  v 2 )
 x  x ( u , v)  x
Hệ quả 1. Nếu hàm số z = f(x,y) với 
thì nó là hàm hợp của biến x, tức là z =
 y  y( u , v)  y( x )
df x, y( x )  f ( x, y)
f ( x, y)
f ( x, y)
f ( x, y)
f(x,y(x)), khi đó f ' x, y( x )  

x '
y' ( x ) 
.1 
y' ( x ) 
dx
x
y
x
y
f ( x, y) f ( x, y)

y' ( x ) .
x
y
Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm theo biến độc lập x của hàm hợp z  f (x, y)  xey với y  y( x )  2 x



Bài giải

16




Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f(x,y) = xey là D(f) = R2, còn tập xác định của hàm số y(x) =
2x là D(y) = R.
- Nếu tính đạo hàm theo biến x của hàm số f (x, y)  xe y với y  y( x )  2 x theo công thức
f ( x, y) f ( x, y)
 ( xe y )  ( xe y )
f ' x, y( x )  

.y' ( x ) 

.( 2x )'  e y  xe y .2  (1  2x )e y  (1  2x )e 2 x
x
y
x
y
y
- Nếu thay y = 2x vào hàm số f (x, y)  xe  xe2 x trước khi tính đạo hàm thì

d( xe 2 x )
 x ' e 2 x  x (e 2 x )'  1.e 2 x  xe 2 x (2x )'  e 2 x  2x 2 e 2 x  (1  2x )e 2 x
dx
x  x ( t )
Hệ quả 2. Nếu hàm số z = f(x,y) có 

thì nó là hàm hợp của biến t, tức là z  f x ( t ), y( t )  ,
 y  y( t )
khi đó
df x ( t ), y( t )  f ( x, y) dx f ( x, y) dy f ( x, y)
f ( x, y)
f ' x ( t ), y( t )  



x' (t) 
y' ( t ) .
dt
x
dt
y dt
x
y
f ' x, y( x )  

x  x ( t )  te
Ví dụ 1.13. Tính đạo hàm theo biến t của hàm hợp z  f ( x, y)  x y 2  1 với 
 y  y( t )  e t
Bài giải

2t

Dễ thấy rằng tập xác định của hàm số f(x,y) là D(f) = R2, còn tập xác định của các hàm số x(t) và
y(t) tương ứng là D(x) = R và D(y) = R.
2t
f ( x, y)

f ( x, y)
x  x ( t )  te
2
Tính f ' x ( t ), y( t )  
x' (t) 
y' ( t ) với f ( x, y)  x y  1 và 
x
y
 y  y( t )  e t









 f ( x , y)  x y 2  1

 y 2  1  (e  t ) 2  1  e  2 t  1

x
 x
Ta có 
2
2 t t
te t
 f ( x , y)   x y  1  x 1 2 y  xy  te .e


2
t 2
 y
y
2 y2  1
y

1
(
e
)

1
e 2 t  1

2t
2t
2t
2t

te t
x ' ( t )  ( te )'  e  t.e .2  (2 t  1)e
2 t
2t
và 



f
'

x
(
t
),
y
(
t
)

e

1
(
2
t

1
)
e

( e  t ) 
t
t
2 t

y
'
(
t
)


(
e
)'


e
e 1

2 t
2t
t
t
(e  1)( 2 t  1)e  te (e ) (2 t  1)(e 2 t  1)  t

e 2 t  1
e 2 t  1
1.3.2. Khái niệm vi phân toàn phần, gradient

1.3.2.1. Vi phân toàn phần
Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2 đối với hai biến độc lập x và y, có các đạo
hàm riêng tại điểm M0(x0,y0)D(f), khi đó biểu thức
f x' ( x 0 , y 0 )dx  f y' ( x 0 , y 0 )dy 

f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
dx 
dy  df ( x 0 , y 0 ) được gọi là vi phân toàn
x
y

phần của hàm số f(x,y) tại điểm M0.
Ta có thể dùng điểm M(x,y)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0)D(f) nếu hàm số f(x,y) có các đạo hàm
riêng tại điểm M, khi đó biểu thức
df ( x, y)  f x' ( x, y)dx  f y' ( x, y)dy 

f ( x, y)
f ( x, y)
dx 
dy được gọi là vi phân toàn phần của
x
y

hàm số f(x,y) tại điểm M.

17




 f ( x, y)

dy
dx   f ( x, y)
 df ( x 0 , y 0 )  
 x ( x ,y )( x ,y ) 
 y ( x ,y )( x ,y ) 
0 0 

0 0 


 x  x ( u , v)
Giả sử x, y là các hàm số của hai biến độc lập u và v: 
, khi đó ta có hàm hợp
 y  y( u , v)
z  f x (u , v), y(u , v)  đối với hai biến độc lập u và v. Bây giờ ta tìm vi phân tồn phần của hàm số
f x (u , v), y(u , v)  đối với hai biến độc lập u và v theo định nghĩa trên thì được

f x (u, v), y(u, v) 
f x (u, v), y(u, v) 
du 
dv
u
v
 f x (u , v), y(u , v)  f ( x , y) x (u , v) f ( x , y) y(u, v)



u
x
u
y
u

mà 
 f x (u , v), y(u , v)   f ( x , y) x (u , v)  f ( x , y) y(u, v)

v
x
v

y
v
df x (u, v), y(u, v)  

 f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u , v) 
du 
 df x (u, v), y(u, v)   

u
y
u 
 x
 f ( x , y) x (u, v) f ( x , y) y(u , v) 

dv 

v
y
v 
 x
f ( x , y) x (u , v)   f ( x, y) y(u, v)
f ( x, y) y(u, v) 
 f ( x, y) x (u, v)
du 
dv   
du 
dv  

u
x

v
u
y
v
 x
  y

f ( x, y)  x (u, v)
x (u, v)  f ( x, y)  y(u, v)
y(u, v) 
du 
dv  
du 
dv  


x  u
v
y  u
v


x (u, v)
 x (u, v)
du 
dv  dx

f ( x, y)
f ( x, y)
 u

v
dx 
dy  df ( x, y) vì 
x
y
 y(u, v) du  y(u, v) dv  dy
 u
v


Như vậy df x (u , v), y(u , v)  df ( x , y) , đẳng thức này chứng tỏ dạng vi phân toàn phần của hàm số
f(x,y) không thay đổi khi x và y là các biến độc lập hay là các biến phụ thuộc, điều này được gọi là tính
bất biến của dạng vi phân tồn phần.

1.3.2.2. Gradient
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng tại điểm M0(x0,y0)D(f). Biểu thức
f ( x 0 , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )   
i
j ( i , j là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục tọa độ Ox, Oy của hệ tọa độ
x
y
Descartes vng góc Oxy) được gọi là gradient của hàm số z = f(x,y) tại điểm M0, tức là véc tơ đi qua
điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y) tại điểm M0 và được ký hiệu là
gradf(x0,y0).
Ta có thể dùng điểm M(x,y)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0)D(f) và khi đó gradient của hàm số
f ( x, y)  f ( x, y) 
f(x,y) tại điểm M là véc tơ gradf ( x, y) 
i
j nếu hàm số f(x,y) có các đạo riêng tại
x

y
điểm M.

 f ( x, y)
   f ( x, y)
j
 i
 gradf ( x 0 , y 0 )  
 x ( x ,y )( x ,y )   y

( x , y ) ( x 0 , y 0 ) 
0 0 


Tương tự, đối với hàm số 3 biến u = f(x,y,z) có các đạo hàm riêng tại điểm M 0(x0,y0,z0)D(f). Biểu
f ( x 0 , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )    
thức
i
j
k ( i , i , k là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục tọa độ
x
y
z
18


Ox, Oy, Oz của hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz) được gọi là gradient của hàm số u = f(x,y,z) tại
điểm M0(x0,y0,z0), tức là véc tơ đi qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y,z)
tại điểm M0 và được ký hiệu là gradf(x0,y0,z0).
Ta có thể dùng điểm M(x,y,z)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0,z0)D(f) và khi đó gradient của hàm

f ( x, y, z)  f ( x, y, z)  f ( x, y, z) 
số f(x,y,z) tại điểm M là véc tơ gradf ( x, y, z) 
i
j
k nếu hàm số
x
y
z
f(x,y,z) có các đạo hàm riêng tại điểm M. Khi đó
   f ( x, y, z)
 f ( x, y, z)
   f ( x, y, z)

 j 
 i
k
gradf ( x 0 , y 0 , z 0 )  







x

y

z
( x , y ,z ) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 

( x , y , z ) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 
( x , y , z ) ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 



Ví dụ 1.14. Cho u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính gradf(1,2,-1)
f ( x, y, z)
f ( x, y, z)
f ( x, y, z)
 3y 2  3zx ,
 3x 2  3yz ,
 3z 2  3xy
y
x
z
f ( x, y, z)  f ( x, y, z)  f ( x, y, z) 
 gradf ( x, y, z) 
i
j
k
x
y
z

Ta có







(3x 2  3yz) i  (3y 2  3zx ) j  (3z 2  3xy) k

 gradf (1,2,1)  gradf ( x, y, z) ( x , y,z )(1, 2, 1) 
(3x 2  3yz)

3.1

2


( x , y , z ) (1, 2 , 1)

i  (3y 2  3zx )

 


( x , y , z ) (1, 2 , 1)

j  (3z 2  3xy)

 








( x , y , z ) (1, 2 , 1)







k


 3.2.( 1) i  3.2 2  3.( 1).1 j  3.( 1) 2  3.1.2 k  3 i  9 j  9 k .

1.3.3. Định nghĩa đạo hàm theo hướng, ý nghĩa và cơng thức tính
1.3.3.1. Định nghĩa
Cho hàm số 2 biến z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2, giả sử điểm M0(x0,y0)D(f). Từ điểm


M0 vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là e , giả sử điểm M(x,y)D(f) là một điểm trên

x  x 0  x
đường thẳng này và là điểm lân cận của điểm M0(x0,y0), tức là 
, do đó M 0 M  . e với
 y  y 0  y
  d(M 0 M)  ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  (x ) 2  (y) 2 . Bây giờ, cho M(x,y)  M0(x0,y0) dọc theo

x  0
đường thẳng định hướng trên thì   0  

khi đó, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
y  0
f ( x , y)  f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0  x , y 0  y)  f ( x 0 , y 0 )
f
thì giá trị này được gọi là
lim
 lim
 lim
0 
 0
( z ,y )( 0 , 0 )

(x ) 2  (y) 2

đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướng của véc tơ M 0 M tại điểm M0 và ký hiệu là

f ( x 0 , y 0 )


.

e
Tương tự, đối với hàm số 3 biến u = f(x,y,z) xác định trên tập mở D(f)R3, giả sử điểm


M0(x0,y0,z0)D(f). Từ điểm M0 vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là e , giả sử điểm
x  x 0  x

M(x,y,z)D(f) là một điểm trên đường thẳng này và là điểm lân cận của điểm M0, tức là  y  y 0  y ,

z  z  z
0



do đó M 0 M  . e với   d(M 0 M)  ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  (z  z 0 ) 2  (x ) 2  (y) 2  (z) 2 . Bây

19


x  0

giờ, cho M(x,y,z)  M0(x0,y0,z0) dọc theo đường thẳng định hướng trên thì   0  y  0 khi đó,
z  0

nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
f ( x, y, z)  f ( x 0 , y 0 , z 0 )
f ( x 0  x, y 0  y, z 0  z)  f ( x 0 , y 0 , z 0 )
f
lim
 lim

lim
0 
0
(

z
,


y
,

z
)

(
0
,
0
,
0
)

(x ) 2  (y) 2  (z) 2

thì giá trị này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x,y,z) theo hướng M 0 M tại điểm M0 và ký hiệu là
f ( x 0 , y 0 , z 0 )
.

e
Đối với hàm số n biến cũng có định nghĩa hồn tồn tương tự.
Nhận xét. Việc tính đạo hàm theo hướng của một hàm số bằng cách dùng định nghĩa là không đơn
giản.
1.3.3.2. Ý nghĩa và cơng thức tính
Ý nghĩa. Đạo hàm của hàm số f theo hướng của véc tơ M 0 M biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số
đó theo hướng của véc tơ M 0 M .
Cơng thức tính. Nếu hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f) có các đạo hàm riêng tại điểm
M0(x0,y0)D(f) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng M 0 M và được tính bằng cơng thức
f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )

f ( x 0 , y 0 )

cos  
cos  ; trong đó cos và cos là các thành phần của véc tơ đơn


x

y
e




vị e ( e là véc tơ đơn vị của véc tơ M 0 M ) trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, tức là








e  (cos ) i  (cos ) j . Người ta gọi cos và cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị e , các
cosin chỉ phương có tính chất: Tổng các bình phương của cosin chỉ phương bằng 1, tức là cos2α + cos2β =
1.

Nhận xét. Đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướng M 0 M tại điểm M0(x0,y0) của hàm số f(x,y) tại




điểm M0 chính là tích vơ hướng của véc tơ e ( e là véc tơ đơn vị của véc tơ M 0 M ) với véc tơ
gradf(x0,y0).



e

(cos

)
i

(cos

)
j

Thật vậy, ta có 
f ( x 0 , y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) 
i
j
gradf ( x 0 , y 0 ) 
x
y



  f ( x , y )  f ( x , y )  



0
0
0
0
 e .gradf ( x 0 , y 0 )   (cos ) i  (cos ) j .
i
j  
x
y





f ( x 0 , y 0 )  
f ( x 0 , y 0 )  
f ( x 0 , y 0 )  
f ( x 0 , y 0 )   
 (cos )
( i . i )  (cos )
( i . j )  (cos )
( j . i )  (cos )
( j . j )  
x
y
x
y



f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
cos  
cos  

x
y
e
 

 

 

 

vì các tích vơ hướng i . i  1 , i . j  j . i  0 và j . j  1 .




 

 

Tích vơ hướng của véc tơ a với véc tơ b tạo thành với nhau một góc  là a . b  a b cos 

20

 
 
 
 
 
 
  0
, do đó từ nhận
 a . b  a b cos   a b .1  a b  max a . b  a b khi cos   1  
  

f ( x 0 , y 0 )
xét trên ta thấy
đạt giá trị lớn nhất và bằng gradf ( x 0 , y 0 ) khi véc tơ e cùng phương và cùng

e
f ( x 0 , y 0 ) 
 e gradf ( x 0 , y 0 )  1. gradf ( x 0 , y 0 ) 
chiều với véc tơ gradf ( x 0 , y0 ) . Khi đó max

e
2

 (x 0 , y 0 )   (x 0 , y 0 ) 
 .
gradf ( x 0 , y 0 )  
  
x

y

 

2

Kết quả tương tự cũng đúng đối với hàm số 3 biến trở lên.
Đối với hàm số n biến cũng có ý nghĩa, cơng thức tính, nhận xét và kết quả tương tự. Chẳng hạn,
đối với hàm số 3 biến, nếu hàm số z = f(x,y,z) xác định trên tập mở D(f) có các đạo hàm riêng tại điểm


M0(x0,y0,z0)D(f) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng e và được tính bằng công thức
f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 )

cos  
cos  
cos  ; trong đó cos, cos và cos là các


x

y

z
e




thành phần của véc tơ đơn vị e ( e là véc tơ đơn vị của véc tơ M 0 M ) trong hệ tọa độ Descartes vng








góc Oxyz, tức là e  (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k . Người ta gọi cos, cos và cos là các cosin chỉ


phương của véc tơ đơn vị e , các cosin chỉ phương có tính chất: Tổng các bình phương của cosin chỉ
phương là bằng 1, tức là cos2α + cos2β + cos2 = 1.
Ví dụ 1.15.


(a) Tìm đạo hàm của hàm số z = f(x,y) = x2 – y2 tại điểm M0(1,1) theo hướng của véc tơ e lập với
hướng dương của trục Ox (trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy) một góc  = 60o.
(b) Tìm đạo hàm của hàm số u = f(x,y,z) = xy2z3 tại điểm M0(3,2,1) theo hướng của véc tơ
M 0 M với M(5,4,2).

f (M 0 )
(c) Cho hàm số u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính
nếu e là véc tơ đơn vị của véc tơ

e
M 0 M với M0(1,2,–1) và M(2,0,1).
Bài giải

(a) Tập xác định của hàm số f(x,y) = x2 – y2 là D(f) = R2.




Nếu e lập với hướng dương của trục Ox một góc  = 60o thì e sẽ lập với hướng dương của trục Oy
o

cos 60  1 2
o
một góc  = 30 , suy ra các cosin chỉ phương của e là 
.
cos 30 o  3 2
 f ( x , y)  ( x 2  y 2 )
 f (1,1)

 2x

 x  2 x ( x , y )(1,1)  2.1  2
x
 x
Ta lại có 

2
2
 f ( x , y)   ( x  y )  2 y  f (1,1)   2 y
 2.1  2
( x , y ) (1,1)
 y
 y

y


f (1,1)




f (1,1)
f (1,1)
1
3
cos  
cos   2.  (2).
1 3
x
y
2
2

e
(b) Tập xác định của hàm số f(x,y,z) = xy2z3 là D(f) = R3.

21




- Xác định véc tơ đơn vị e của véc tơ M 0 M và các cosin chỉ phương của nó:
Vì điểm M có tọa độ (5,4,2) và điểm M0 có tọa độ (3,2,1) nên véc tơ M 0 M có các thành phần







5  3,4  2,2  1  2,2,1  M 0 M  2 i  2 j  k 




M 0 M  2 2  2 2  12  3







2 i  2 j k 2  2  1 
e

 i  j  k , mặt khác e  (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k với
3
3
3
3
M0M


M0M



cos, cos, cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị e

cos   2 3
2 2 1 
 (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k  i  j  k  cos   2 3
3
3
3
cos   1 3







 f ( x , y, z)  ( xy 2 z 3 )
 f 2,2,1

 y2z3
 y2z3
 2 2.13  4

 x
( x , y ,z ) ( 3, 2 ,1)


x

x


 f ( x , y, z)  ( xy 2 z 3 )
 f 2,2,1
3
- Ta có 

 2 xyz  
 2 xyz3
 2.3.2.13  12
( x , y ,z ) ( 3, 2 ,1)

y

y

y


 f ( x , y, z)  ( xy 2 z 3 )
 f 2,2,1
 3xy 2 z 2
 3.3.2 2.12  36

 3xy 2 z 2



(
x
,
y
,
z
)

(
3
,
2
,
1
)
 z
z
z

f (3,2,1) f (3,2,1)
f (3,2,1)
f (3,2,1)
2
2
1
2


cos  
cos  

cos   4.  12.  36.  22 .

x
y
z
3
3
3
3
e

(c) Tập xác định của hàm số f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz là D(f) = R3. a – b


- Xác định véc tơ đơn vị e của véc tơ M 0 M và các cosin chỉ phương của nó:
Vì điểm M có tọa độ (2,0,1) và điểm M0 có tọa độ (1,2,–1) nên véc tơ M 0 M có các thành phần

2  1,0  2,1  (1)   1,2,2  M 0 M 










i  2 j  2 k  M 0 M  12  ( 2) 2  2 2  3







i  2 j 2 k 1  2  2 
e

 i  j  k , mặt khác e  (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k với
3
3
3
3
M0M


M0M



cos, cos, cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị e

cos   1 3
1 2 2 
 (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k  i  j  k  cos    2 3
3
3
3
cos   2 3


3
3
3
 f ( x , y, z)  ( x  y  z  3xyz)

 3x 2  3yz


x

x

 f ( x , y, z)  ( x 3  y 3  z 3  3xyz)
- Ta có 

 3y 2  3xz
y
y

3
3
 f ( x , y, z)  ( x  y  z 3  3xyz)

 3z 2  3xy

z
z







22


 f (1,2,1)
 (3x 2  3yz)
 3.12  3.2.( 1)  3

( x , y ,z ) (1, 2 , 1)

x

 f (1,2,1)

 (3y 2  3xz)
 3.2 2  3.1.( 1)  9
( x , y ,z ) (1, 2 , 1)

y

 f (1,2,1)
 (3z 2  3xy)
 3.( 1) 2  3.1.2  9

(
x

,
y
,
z
)

(
1
,
2
,

1
)
z

f (1,2,1) f (1,2,1)
f (1,2,1)
f (1,2,1)
1
2
 2


cos  
cos  
cos   3.  9.    9.  1 .

x
y

z
3
3
 3
e

Ví dụ 1.16.
(a) Tìm đạo hàm của hàm số z = f(x,y) = ln(x2 + y2) tại điểm M(3,4) theo hướng gradient của hàm
số f(x,y).
(b) Tìm giá trị và hướng của gradient của hàm số u = f(x,y,z) = tanx – x + 3siny – sin3y + z + cotz
tại điểm M 4 ,  3 ,  2  .
Bài giải
(a) Tập xác định của hàm số f(x,y) = ln(x2 + y2) là D(f) = R2.
 f (3,4)
2x
2.3
6
 f ( x , y)  ln( x 2  y 2 ) 
2x
 2
 2




2
2

x  y ( x , y )  ( 3, 4 ) 3  4
25

x
x 2  y2
 x
 x
Ta có 


2
2
2.4
8
 f ( x , y)   ln( x  y )   2 y
 f (3,4)  2 y
 2

2
2
2
2
2
 y

y
x y
x  y x , y )  ( 3, 4 ) 3  4
25
 y

f (3,4)
Vì véc tơ e cùng hướng với véc tơ gradf(x,y) nên giá trị

đạt cực đại và

e
2

2
 f (3,4)   f (3,4) 
 6   8 
        .
 gradf (3,4)  
  

5
 x   y 
 25   25 
e
3
(b) Để hàm số f(x,y,z) = tanx – x + 3siny – sin y + z + cotz xác định được thì

x  (1  2k ) 2
cos x  0
x  (1  2k ) 2
với k, n  Z nên tập xác định D(f )  ( x , y, z)  R 3 



 z  n
sin z  0
 z  n



với k, n  Z.
 f ( x , y, z)  (tan x  x  3 sin y  sin 3 y  z  cot z)
1


 1  tan 2 x

2
x
x
cos x

3
 f ( x , y)  (tan x  x  3 sin y  sin y  z  cot z)
Ta có 

 3 cos y  3 sin 2 y cos y  3 cos 3 y

y

y

 f ( x , y, z)  (tan x  x  3 sin y  sin 3 y  z  cot z)
1

1
  cot 2 z

z

z
sin 2 z

2
 f ( 4 ,  3 ,  2)


2
2
 tan x
 1 1

       tan
( x , y , z )  , , 

x
4


4 3 2


3
3

3
 f ( 4 ,  3 ,  2)

1
3


 3 cos y
 3.  

      3 cos
( x , y , z )  , , 
y
3
8

2
4 3 2

2



2
 f ( 4 ,  3 ,  2)   cot 2 z
  0  0
       cot
(
x
,
y
,
z
)

,

,



z
2

4 3 2
f  4 ,  3 ,  2  f  4 ,  3 ,  2  f  4 ,  3 ,  2   3 
 gradf  4 ,  3 ,  2 
i
j
k  i  j và
x
y
z
8
2

f (3,4)

23

2

2


2

 f ( 4 ,  3 ,  2)   f ( 4 ,  3 ,  2)   f ( 4 ,  3 ,  2) 
  
gradf ( 4 ,  3 ,  2)  
  
 
x
y
z

 

 
2

2

2

73
3
12     0 2 
.
8
8



Ta có e 

gradf ( 4 ,  3 ,  2)


gradf ( 4 ,  3 ,  2)

3
j





8  8 i  3 j  (cos ) i  (cos ) j  (cos  ) k
73 8
73
73

i

cos   8 73

Suy ra hướng của véc tơ gradf  4 ,  3 ,  2  được xác định bởi các cosin chỉ phương cos   3 73
cos   0

1.3.4. Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao, công thức Taylor

1.3.4.1. Đạo hàm riêng cấp cao
Giả sử hàm số 2 biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2, có các đạo hàm riêng

f ( x, y) f ( x, y)
,
x

y

các đạo hàm riêng này được gọi là các đạo hàm riêng cấp một của hàm số f(x,y).
f ( x, y) f ( x, y)
là các hàm số của 2 biến (x,y), nếu các đạo hàm
,
x
y
riêng cấp một này lại có đạo hàm riêng thì được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai, …

Nói chung, các đạo hàm riêng

Trong trường hợp tổng quát nhất, hàm số f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai
  f ( x, y)    f ( x , y) 

 và

,
y  x  x  y 
  f ( x, y)   2 f ( x, y)


x  x 
x 2
  f ( x, y)   2 f ( x , y)


x  y 
yx

  f ( x, y) 

,
x  x 

  f ( x , y) 

 tương ứng được ký hiệu là
y  y 

 f xx" ( x, y)  f x"2 ( x, y),
"
 f yx
( x, y),

  f ( x, y)   2 f ( x, y)
 f xy" ( x, y) ,


y  x 
xy

  f ( x, y)   2 f ( x , y)
"


 f yy
( x , y)  f y"2 ( x , y) .
y  y 
y 2

Ví dụ 1.17. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = f(x,y) = x2y3 + x4
Bài giải
Tập xác định của hàm số f(x,y) = x2y3 + x4 là D(f) = R2.
Bước 1. Tính các đạo riêng cấp một
 '
f ( x , y)  ( x 2 y 3  x 4 )
f
(
x
,
y
)


 2 xy 3  4 x 3
 x
x
x


2 3
4
f ' ( x , y)  f ( x , y)   ( x y  x )  3x 2 y 2
 y
y
y
Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp hai

24

 "
  f ( x , y)   (2 xy 3  4 x 3 )
f
(
x
,
y
)

 2 y 3  12 x 2


 xx
x  x 
x

 "
  f ( x , y)   ( 2 xy 3  4 x 3 )
 6 xy 2


f xy ( x , y) 
y  x 
y


2 2
f " ( x , y)    f ( x , y)    (3x y )  6 xy 2

 yx
x  y 
x

  f ( x , y)   (3x 2 y 2 )
 "

 
f
(
x
,
y
)

 6x 2 y
 yy
y  y 
y

"
"
Nhận xét. Trong ví dụ này, ta thấy f xy ( x, y)  f yx ( x, y) , liệu điều này có ln ln đúng với mọi

hàm số 2 biến khơng? Trả lời cho câu hỏi này, nhà tốn học Schwarz đã chứng minh định lý sau đây.
Định lý. Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M(x,y)D(f) mà hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm
riêng đến cấp hai f xy" ( x, y) , f yx" ( x, y) ; đồng thời các đạo hàm riêng này liên tục tại điểm M thì
"
"
f xy

( x, y)  f yx
( x, y) tại điểm M.

Tiếp tục định nghĩa tương tự, nếu đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại thì được gọi
là các đạo hàm riêng cấp ba, …
1.3.4.2. Vi phân toàn phần cấp cao
Xét hàm số 2 biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2 và (x,y) là các biến độc lập, vi phân toàn
phần của hàm số f(x,y) tại điểm M(x,y)D(f) là
f ( x, y)
f ( x, y)
df ( x, y)  f x' ( x, y)dx  f y' ( x, y)dy 
dx 
dy
x
y
còn được gọi là vi phân toàn phần cấp một của hàm số f(x,y) tại điểm M. Vì (x,y) là các biến độc lập nên
f ( x, y)
f ( x, y)
dx và dy trong biểu thức
dx 
dy là các hằng số không phụ thuộc vào các biến x và y,
x
y
f ( x, y) f ( x, y)
còn các đạo hàm riêng
là các hàm số của 2 biến (x,y) nên vi phân tồn phần cấp một
,
x
y
df(x,y), nói chung là hàm số của 2 biến (x,y).

Bây giờ ta coi df(x,y) là một hàm số của 2 biến (x,y) độc lập và tính vi phân tồn phần cấp một của
 f ( x , y)
f ( x , y) 
nó ddf ( x, y)   d
dx 
dy  
y
 x

  f ( x , y)
f ( x , y) 
  f ( x , y)
f ( x, y) 


dx 
dy dx 
dx 
dy dy 
x  x
y
y  x
y



  2 f ( x , y)
  2 f ( x , y)
 2 f ( x , y) 
 2 f ( x , y) 


dx 
dy dx  
dx 
dy dy 
yx
yy
 xx

 xy

2
2
2
2
  f ( x , y)
   f ( x , y)

 f ( x , y)
 f ( x , y)

(dx ) 2 
dydx   
dxdy 
(dy) 2  
yx
yy
 xx
  xy


  2 f ( x , y) 2  2 f ( x , y)
   2 f ( x , y)
 2 f ( x , y) 2 



dx

dxdy

dxdy

dy  
2
  xy
yx
y 2
 x
 

2
2
2
2
 f ( x , y) 2  f ( x , y)
 f ( x , y)
 f ( x , y) 2
dx 
dxdy 
dxdy 

dy
2
x
yx
xy
y 2

25