CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12

CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I

Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
1.Hàm số
()y fx=
được gọi là đồng biến trên D nếu
12 1 2 1 2
, , () ()xx Dx x fx fx∀ ∈ <⇒ <

2.Hàm số
()y fx=
được gọi là nghịch biến trên D nếu
12 1 2 1 2
, , () ()xx Dx x fx fx∀ ∈ <⇒ >

II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số
()y fx=
có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu hàm số
()y fx=
đồng biến trên D thì
'( ) 0,fx xD≥ ∀∈

2.Nếu hàm số
()y fx=
nghịch biến trên D thì
'( ) 0,fx xD≤ ∀∈

III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
1.Định lý 1. Nếu hàm số
()y fx=
liên tục trên đoạn
[
]
,ab
và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại ít nhất một điểm
(,)c ab∈
sao cho:
( ) ( ) '( )( )fb fa f cb a−= −

2.Định lý 2. Giả sử hàm số
()
y fx
=
có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu
'( ) 0,fx xD≥ ∀∈
và
'( ) 0
fx
=
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến
trên D
2.Nếu
'( ) 0,fx xD≤ ∀∈
và

'( ) 0
fx
=
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến
trên D
3.Nếu
'( ) 0,
fx xD= ∀∈
thì hàm số không đổi trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN


*Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số
()
y fx=

1.Tìm tập xác định của hàm số
()y fx=

2.Tính
' '( )
y fx=
và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = 0 )
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ : Xét tính biến thiên của các hàm số sau:
1.y = -x
3
+3x
2

-3x+1 4. y=
32
21
x
x
−+
−

2. y= 2x
4
+5x
2
-2 5.
2
22
1
xx
y
x
++
=
+

3. y= (x+2)
2
(x-2)
2
6.
2
2

23
10
xx
y
x
−−
=
−

7.
2
6 10yxx= −+
8.
2
3
21
xx
y
x
−+
=
+

9.y=
21 3xx++ −
10.y=2x +
2
1x −

Ví dụ:
1.Tìm m để hàm số y= 2x
3
-3mx
2
+2(m+5)x-1 đồng biến trên R
2.Tìm m để hàm số y=
2
1
x xm
mx
++
+
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
3.Tìm m để hàm số y= 3mx+
2
2x +
đồng biến trên R
4.Tìm m để hàm số
32
( ) 3 ( 2) 3y f x mx x m x= = − +− +
nghịch biến trên R
Dạng 1.Xét chiều biến thiên của hàm số
()
y fx=

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước .

Trang 1
5. Tìm m để hàm số
3 22
( ) ( 1) ( 2)y fx x m x m x m
= =−+ + − + +
nghịch biến trên R
6. Tìm m để hàm số
( ) ( )
32
1
() 22 22 5
3
m
y fx x mx mx
−

= = −− +− +


nghịch biến trên R
7. Tìm m để hàm số
( )
( )
32
1
() 1 3 2
3
y f x m x mx m x= = −++−
tăng trên R
8.Tìm m để hàm số y= 3x

3
-2x
2
+mx-4 tăng trên (-1;
+∞
)
9.Tìm m để hàm số y= 4mx
3
-6x
2
+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)
10.Tìm m để hàm số y=
2
62
2
mx x
x
+−
+
giảm trên (1;
+∞
)
11.Tìm m để hàm số y=mx
4
-4x
2
+2m-1 giảm trên (0;3)
12.Tìm m để hàm số y= x
3
+3x

2
+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
13.Tìm m để hàm số y=
2
23
21
x xm
x
− −+
+
giảm trên (
1
;
2
− +∞
)
14.Cho hàm số y=
2
21
2
x mx m
x
−+−
+

Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

32
() 3y f x x x mx m= =+ ++

16. Tìm m để hàm số
(
)
( )
32
1
() 1 3 4
3
y fx x m x m x= =− +− ++ −
tăng trên
(
)
0,3

17. Tìm m để hàm số
(
)
32
() 3 1 4
y fx x x m x m= =+ ++ +
giảm trên
( )
1,1−

18. Tìm m để hàm số
4
()
mx
y fx

xm
+
= =
+
giảm trên khoảng
( )
,1−∞

19. Tìm m để hàm số
( ) ( )
32
11
() 1 3 2
33
y f x mx m x m x= = −− + − +
tăng trên
( )
2,+∞

20. Tìm m để hàm số
(
)
( )
22
1 4 42
()
1
x m xm m
y fx
xm

++ + −−
= =
−−
đồng biến trên
( )
0,+∞



Ví dụ:
1.Giải phương trình
32
3 47xxxx+ =−− +
( ĐK x
3
+3x
≥
0
0x⇔≥
)
2.Giải phương trình x
5
+x
3
-
13x−
+4=0
3.Giải phương trình
2
12

2 2 ( 1)
x xx
x
−−
−=−

4. Giải phương trình sinx =x
5.Tìm m để phương trình có nghiệm
1
xx m+ +=

6.Tìm để phương trình có nghiệm m
2
1x +
- x = 0
7.Chứng minh rằng
2
0:1 cos
2
x
xx∀> − <
(HD xét hàm số
2
( ) 1 cos
2
x
y fx x= =−−
)
8.Chứng minh rằng
2

0: 1
2
x
x
xe x∀> > + +
(HD xét hàm số
2
() 1
2
x
x
y fx e x= = − −−
)
9.Chứng minh rằng
3
(0; ) : tan
23
x
x xx
π
∀∈ > +

10.Chứng minh rằng : Nếu
1xy+=
thì
44
1
8
xy+≥
( HD xét hàm số

44
( ) (1 )y fx x x
= = +−
)
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT


Trang 2
11.Giải hệ phương trình
32
32
32
21
21
21
x yyy
y zzz
z xxx

+= + +

+= + +


+= + +


HD. Xét hàm đặc trưng
32
() ,y f x t t tt= =++ ∈


. Chứng minh hàm số tăng trên R
.ĐS
1
1
xyz
xyz
= = =


= = = −


12.Giải hệ phương trình
3
3
3
sin
6
sin
6
sin
6
y
xy
z
yz
x
zx


= +



= +



= +




Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
R
D ⊂
và
0
xD∈

1.
0
x
được gọi là một điểm cực đại của hàm số
()y fx=
nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm

0
x
sao
cho
(,)ab D
⊂
và
{ }
00
() ( ), (,)\fx fx x ab x< ∀∈
. Khi đó
0
()fx
được gọi là già trị cực đại của hàm số và
00
( ; ( ))Mx fx
được gọi là điểm cực đại của hàm số .
2.
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số
()y fx=
nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm
0
x
sao
cho
(,)ab D
⊂
và

{
}
00
() ( ), (,)\fx fx x ab x> ∀∈
. Khi đó
0
()fx
được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và
00
( ; ( ))Mx fx
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số
()y fx=
có cực trị tại
0
x
.Khi đó, nếu
()y fx=

có đạo hàm tại điểm
0
x
thì
0
'( ) 0fx=
.
III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
1.Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số

()y fx=
liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
00
( , ) và ( , )
ax x b
. Khi đó :
+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x

2.Định lý 2. (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số
()y fx=
có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm
0
x
,

0
'( ) 0fx=
và f(x) có đạo hàm
cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:
+ Nếu
0
''( ) 0fx<
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x

+ Nếu
0
''( ) 0fx>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x

PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN


*Phương pháp1. (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số
()y fx=

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx

và giải phương trình
'( ) 0fx=
tìm nghiệm thuộc tập xác định
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số

Trang 3
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ1: Dùng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. y =
1
3
x
3
+x
2
-3x+2 2.y = x
4
+2x
2
-3
2. y =
31
24
x
x
−
+
4.y =
2

33
1
xx
x
−+
−

3. y=
2
2 45xx−+
6. y=(2x+1)
2
9 x−

7. y =
31xx++ −
8. y=
2
23
1
x
xx
+
++

9. y =
2
22
21
xx

x
− ++
+
10.
42
6 8 25yx x x=− ++

11.
22
( 2) ( 2)yx x
=+−
12.
53
15 15 2yx x=−+

*Phương pháp 2. (Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số
()y fx=

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx
và giải phương trình
'( ) 0fx
=
tìm nghiệm
( 1,2,3 )
i
xi=
thuộc tập xác định
3.Tính

''( ) và ''( )
i
fx fx

4.Kết luận
+Nếu
''( ) 0
i
fx<
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x

+Nếu
''( ) 0
i
fx>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x

Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị của hàm số
1.y= 3x
5
-20x
3
+1 2. y =
2
56 4xx−+

3.y = cos
2
3x 4. y =
sin cos
22
xx
−

5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx 6. y= sin
3
x + cos
3
x (
02x
π
≤≤
)
7.
2
9yx x= −
8.
3
2
9
x
y
x
=
−

9.
3
3
yx x
= −
10.
[ ]
sinx cos , ,y xx
ππ
= + ∈−




VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
1. y= x
3
-mx
2
+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
2. y=
2
1x mx
xm
++
+
đạt cực tiểu tại x=2
3. y=
422
22x mx m− −−

đạt cực đại tại x=
2

VD2:Cho hàm số y=
1
3
x
3
-(7m+1)x
2
+16x-m .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tại x
1
,x
2

(1; )∈ +∞

VD3:Cho hàm số y= x
3
-mx
2
+(m+36)x-5 .Tìm m để
a. Hàm số không có cực trị
b. Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x
1
,x
2
và

12
42xx−=

Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước


Trang 4
VD3:Cho hàm số y=
2
2 21
1
x mx m
x
++−
+
.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
VD4:Cho hàm số y= 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
VD5: Cho hàm số y= x
3
-3x
2
-mx+2 .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
b. Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
VD6:Cho hàm số

2
(3 1) 4
21
x m xm
y
x
− ++
=
−
.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng
: 10xy∆ + +=
.
VD1: Cho hàm số y= x
3
+mx
2
-x
a. CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m
b. Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường
thẳng (d) y=-2x
VD2:Cho hàm số y=
2
(3 2) 4
1
x m xm
x
− + ++
−

a. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng
b. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một
khoảng bằng 3
VD3.Cho hàm số
32
32yx x=−+
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực
tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn :
22 2
24510x y mx my m+ − − + −=
.
VD4.Cho hàm số
42 4
22y x mx m m=− ++
.Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu,
đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
VD5.Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
x
++
=
−
.Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)
2
4yx x= +−

VD6.Cho hàm số
2
( 2) 3 2
1
x m xm
y
x
++ ++
=
+

a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là y
CĐ
, y
CT
. Chứng minh rằng :
22
CD
1
2
CT
yy+>
.
VD7.Cho hàm số
3 22
(2 1) ( 3 2) 4yx m x m m x=− + + −+ +

a. Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

VD8.Cho hàm số
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1yx mx mmx= − + + ++

a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại
12
,xx
và
21
xx−
không phụ thuộc vào tham số m.
b.Tìm m để
1
CD
y >

VD9.Cho hàm số
32
1
() 1
3
y f x x mx x m= = − −+ +
.Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có
cực đại cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
VD10.Cho hàm số
22
2( 1) 4
()
2
x m xm m

y fx
x
+ +++
= =
+
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ( A – 2007)

Trang 5
VD11.Cho hàm số
1
()
y f x mx
x
= = +
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực
tiểu của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng
1
2
.(A – 2005)
VD12.Cho hàm số
32 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1y fx x x m x m
= =−+ + − − −
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O. ( B – 2007)
VD13.Cho hàm số
2
( 1) 1
()

1
x m xm
y fx
x
+ + ++
= =
+
(Cm) . CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu
và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
20
. ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số
32
( ) (2 1) (2 ) 2y f x x m x mx= =− − +− +
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị có hoành độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số
42
2( 1)yx m x m=−++
(1) m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa
độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại .
(B – 2011)
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
RD ⊆

1.Nếu tồn tại một điểm
0
xD∈
sao cho
0
( ) ( ),fx fx x D≤ ∀∈
thì số
0
()M fx=
được gọi là giá trị
lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu
ax ( )
xD
M M fx
∈
=

Như vậy
xD
00
, ()
ax ( )
,()
x Dfx M
M M fx
x Dfx M
∈
∀∈ ≤


= ⇔

∃∈ =


2. Nếu tồn tại một điểm
0
xD∈
sao cho
0
( ) ( ),fx fx x D≥ ∀∈
thì số
0
()m fx=
được gọi là giá trị
nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu
()
xD
m Min f x
∈
=

Như vậy
xD
00
, ()
()
,()
x Dfx m
m Min f x

x Dfx m
∈
∀∈ ≥

= ⇔

∃∈ =


II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số : Cho hàm số
()
y fx=
xác định trên
RD ⊆

Bài toán 1.Nếu
(,)D ab=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx
và giải phương trình
'( ) 0fx=
tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Bài toán 2. Nếu
[ ]
,D ab=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx
và giải phương trình
'( ) 0fx=
tìm nghiệm
12
, xx
thuộc tập xác định
3.Tính
12
( ), ( ), ( ) ( )fa fx fx fb

4.Kết luận: Số lớn nhất là
[ ]
,
ax ( )
x ab
M M fx
∈
=
và số nhỏ nhất là
[ ]
,
()
x ab
m Min f x
∈
=

Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Cauchy, Bunhiacốpxki, …
Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình, tập giá trị của hàm số
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN


Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Trang 6
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
1.
42
() 2y fx x x
= = −
2.
31
()
3
x
y fx
x
−
= =
−
trên
[
]
0;2

3.
2

() 4y fx x x
= =+−
(B-2003) 4.
2
ln
()
x
y fx
x
= =
trên
3
1, e


(B-2004)
5.
2
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
+
trên
[
]

1, 2
−
(D-2003) 6.
2
2
3 10 20
()
23
xx
y fx
xx
++
= =
++

(SPTPHCM2000)
7.
( ) 5cos os5x
y fx x c= = −
trên
,
44
ππ

−


8.
3sin
() 1

2 cos
x
y fx
x
= = +
+

9.
( ) 1 sinx 1 osxy fx c= =+ ++
10.
( ) 2cos2 osx-3y fx x c==−+

11.
2
21 2y x x xx
= −+ +−− ++
12.
2sin .cos sin cosy xx x x= +−

13.
2
21
1
xx
y
x
++
=
+
trên

( 1, )− +∞
14.
2
4 33 1yx x x= − ++ −
trên đoạn
13
0,
4




15.
32
1
3
4
y xx= −
trên
[ ]
2,4−
16.
33
sin os 3sin 2y xc x x=++




VD1 .Cho hàm số
2

24y x xa= + +−
.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên
[ ]
2,1−
đạt GTLN.
VD2. Cho hàm số
44
( ) sin os sin .cosy fx x c x m x x==++
.Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 2.
VD3. Cho hàm số
cos 1
cos 2
kx
y
x
+
=
+
.Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1.
VD4. Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số
2
a +b
()
1
x
y fx
x
= =
+

có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị
nhỏ nhất bằng -1.
VD5.Cho hàm số
2
() 2 4 2 1
y fx x x a
= = +−+
với
34x−≤ ≤
.Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất .



VD1. Một tấm tôn hình vuông cạnh bằng a. Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để
gò thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có thể
tích lớn nhất . ĐS. Cạnh hình vuông cắt đi bằng
6
a

VD2. Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn bán kính R cho
trước.
ĐS.Các kích thước của hình chữ nhật là
2R
(hình vuông)
VD3. Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất .
ĐS.Hình trụ có chiều cao
2
3
R

h =
bán kính đáy
2
2
4
h
rR= −

VD4. Cho đường (C) có phương trình
22 2
xyR+=
.Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó
cắt hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất .
VD5. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước .
Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số
Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 7
VD6. Cho
22
1xy+=
. Tìm Max, Min của biểu thức
2
2
2( )
221
xy y
P
xy x
+

=
++
.
ĐS.
26 26
,
22
MaxP MinP
+−
= =

VD7.Cho
,0xy>
và
1xy+=
.Tìm Min của biểu thức
11
xy
P
xy
= +
−−

VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn
22
2xy+=
.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
33
2( ) 3P x y xy= +−

( CĐ Khối A – 2008)

VD9. Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn
22
1xy+=
.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
2( 6 )
12 2
x xy
P
xy y
+
=
++

( ĐH Khối B – 2008)
VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của biểu thức
22
(4 3 )(4 3 ) 25P x y y x xy= + ++

( ĐH Khối D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d):
0
xx=

được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số
()y fx
=
nếu

0
lim ( )
xx
fx
−
→
= +∞
hoặc
0
lim ( )
xx
fx
+
→
= +∞

Hoặc
0
lim ( )
xx
fx
−
→
= −∞
hoặc

0
lim ( )
xx
fx
+
→
= −∞

2.Đường tiệm cận ngang .
Đường thẳng (d):
0
yy=
được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số
()y fx
=
nếu

0
lim ( )
x
fx y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
fx y
→−∞
=

3.Đường tiệm cận xiên .
Đường thẳng (d)
( 0)y ax b a=+≠
được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số
()y fx=
nếu

[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
−+=
hoặc
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
−+=

Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()y fx=

Đường thẳng (d)
( 0)y ax b a=+≠
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()y fx=

khi và chỉ khi

[
]
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −

PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN



Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
1.
23

()
1
x
y fx
x
+
= =
+
2.
2
2
23
()
4
xx
y fx
x
++
= =
−

3.
3
3
()
27
x
y fx
x
= =

+
4.
2
()
5
y fx
x
= =
−

Dạng 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Trang 8
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
2
() 2 1
1
y fx x
x
= = ++
+
2.
2
3 52
()
31
xx
y fx
x

− +−
= =
+

3.
32
2
251
()
1
xx
y fx
xx
+−
= =
−+
4.
2
2 51
()
23
xx
y fx
x
− +−
= =
−

Ví dụ 3.Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
1.

2
21
()
21
x
y fx
x
+
= =
−
2.
2
21
()
2
x
y fx
xx
−−
= =
++

3.
2
() 2 4 2y fx x x x= = − −+
4.
2
() 3 2 4
y fx x x= = −+

Ví dụ 1.Tìm giá trị của tham số m sao cho:
1.Đồ thị hàm số
221
()
xm
y fx
xm
+−
= =
+
có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)
2.Đồ thị hàm số
2
23 2
()
1
x mx m
y fx
x
+ −+
= =
−
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng 4.
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm):
12
() 3
21
y fx x
mx

= =− ++
−
và đường thẳng (dm)
2
y mx m= −+
. Xác
định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một góc
α
có
1
os
5
c
α
=
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
()
1
xm
y fx
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số
35

()
2
x
y fx
x
−
= =
−
có đồ thị (C). Tìm
()
MC∈
để tổng khoảng cách từ M đến hai
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất ?
Ví dụ 5. Cho hàm số
1
()
1
x
y fx
x
−
= =
+
có đồ thị (C). Tìm
()MC∈
để khoảng cách từ M đến giao điểm hai
tiệm cận là nhỏ nhất ?
Chủ đề 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Bài toán 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

()y fx=
có đồ thị (C) tại một điểm .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
00
(, ) ()
Mx y C∈
có dang :
0 00
'( )( )yy fx xx−= −
.
Trong đó
0
'( )fx
được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
00
(, )Mx y
.
2.Bài toán 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y fx=
có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước.
1.Gọi
00
(, )Mx y
là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
()MC∈
00
()y fx⇒=

Phương trình tiếp tuyến có dạng
0 00

() '()( )y fx f x x x−= −

2.Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên
0
'( )fx k=
, giải PT
0
'( )fx k=
tìm được
00
xy⇒

3.Kết luận .
Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau. Nếu hai đường thẳng vuông
góc thì tích hai hệ số góc bằng -1
3.Bài toán 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y fx=
có đồ thị (C) đi qua một điểm
(, )
AA
Ax y

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d:
()
AA
y kx x y= −+
(1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

Trang 9

() ( )
'( )
AA
fx kx x y
fx k
= −+


=

(I)
3.Giải hệ (I) tìm k. Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN


Ví dụ 1. Cho hàm số
32
() 4 6 4 1y fx x x x= = − +−
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
4 10xy− −=
.
c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 2.Cho hàm số
2
()
1

x
y fx
x
−
= =
−
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)
Ví dụ 3.Cho hàm số
42
() 6y fx x x= =−−+
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
1
1
6
yx= −
( Khối D – 2010)
Ví dụ 4. Cho hàm số
32
() 4 6 1y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số đi qua điểm M(-1, -9). ( Khối B – 2008)
Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
()
1
x

y fx
x
−
= =
−
biết :
b. Tung độ tiếp điểm bằng
5
2

c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 30xy∆ +−=

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
:4 10 0
xy∆ −+ =

e. Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)


Ví dụ 1 Gọi
()
m
C
là đồ thị hàm số
32
11
()
323
m

y fx x x==−+
( m là tham số ). Gọi M là điểm thuộc
()
m
C
có hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của
()
m
C
tại M song song với đường thẳng
50xy−=
.
( Khối D – 2005)
Ví dụ 2.Cho hàm số
32
( ) 3 1 ( )
m
y f x x x mx C= =+ ++
.
a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C
b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau .
Ví dụ 3.Cho hàm số
32
() 3 9 5y fx x x x= =+ −+
(C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
Ví dụ 4.Cho hàm số
1
()
1

x
y fx
x
+
= =
−
(C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số
2
()
1
x
y fx
x
= =
+
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C)
tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng
1
4
. ( Khối D – 2007)
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước

Trang 10
Ví dụ 6.Cho hàm số
2
()
23

x
y fx
x
+
= =
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O. ( Khối A – 2009)
Ví dụ 7. Cho hàm số
2
1
()
2
xx
y fx
x
+−
= =
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. ( Khối B – 2006)
Ví dụ 8.Cho hàm số
2
2
()
1
xx
y fx
x
++

= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
( Đại học An Ninh – 2001)
Ví dụ 9.Cho hàm số
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng
:2dy xm= +
cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
() 3 4y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực
trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng
22yx=−+
( Đại học An Ninh – 1999)
Ví dụ 11. Cho hàm số
32
1

() 3 1
3
y fx x x x= =− ++−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Ví dụ 12. Cho hàm số
43
()
1
x
y fx
x
−
= =
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
0
45
.
Ví dụ 13.Cho hàm số
37
()
25
x
y fx
x
−
= =
−+

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 20xy− +=

b. Tiếp tuyến tạo với
:2yx∆=−
một góc
0
45

c. Tiếp tuyến tạo với
:
yx∆=−
một góc
0
60

Ví dụ 14. Cho hàm số
21
()
1
x
y fx
x
−
= =
−
có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi
c. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Ví dụ 15. Cho hàm số
1
21
x
y
x
−+
=
−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y xm= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A
và B . Gọi
12
,kk
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B .Tìm m để tổng
12
kk+
đạt giá trị
lớn nhất . ( Khối A – 2011)



Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua
(, )
AA

Ax y

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d:
()
AA
y kx x y= −+
(1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

Trang 11

() ( )
'( )
AA
fx kx x y
fx k
= −+


=

(I)
3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số
3
( ) 3 (C)y fx x x
= = −
.Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ

đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
( ) 3 (C)y fx x x= = −
.Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ
đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số
32
() 6 9 1y fx x x x= =− +−
có đồ thị (C). Từ một điểm bất
kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 4.Cho hàm số
32
() 3 2y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó
kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số
42
() 2y fx x x= = −
có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O.
b) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao
cho A là trung điểm của MB.
c) Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Ví dụ 6.Cho hàm số
32
() 3 4y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có
thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 7.Cho hàm số

32
() 3 2 1y fx x x x= =−+ + −
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
21
yx= −
các điểm
kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số
32
() 3 2y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
32yx
=−+
các điểm kẻ
được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
Ví dụ 9. Cho hàm số
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
−
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách
từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
() 3y fx x x= = +

có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ
được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 11. Cho hàm số
()
2
xm
y fx
x
+
= =
−
. Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ
thị hàm số sao cho
ABC∆
đều ( Với B, C là hai tiếp điểm ).
Ví dụ 12.Cho hàm số
3
( ) 1 ( 1)y f x x mx= = +− +
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến
∆
tại giao điểm của (C) và trục Oy.
b.Tìm m để
∆
chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.

Chủ đề 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giao điểm của hai đồ thị. Cho hàm số
()y fx=

có đồ thị
1
()C
và hàm số
()y gx=
có đồ thị
2
()C

+ Hai đồ thị
1
()C
và
2
()
C
cắt nhau tại điểm
00 00
(; ) (;)Mxy xy⇔
là nghiệm của hệ phương trình
()
()
y fx
y gx
=


=


+Hoành độ giao điểm của hai đồ thị
1
()C
và
2
()C
là nghiệm của phương trình
() ()fx gx=
(1)
+Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
1
()C
và
2
()C

+Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
1
()C
và
2
()C


Trang 12
2.Sự tiếp xúc của hai đường cong. Cho hai hàm số
()y fx=
và
()y gx=
có đồ thị lần lượt là

1
()C

và
2
()C
và có đạo hàm tại điểm
0
x
.
+Hai đồ thị
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau tại một điểm chung
00
(, )Mx y
nếu tại điểm đó
chúng có chung cùng một tiếp tuyến . Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm.
+Hai đồ thị
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

() ()

'() '()
fx gx
fx gx
=


=


Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ 1.Cho hàm số
21
()
1
x
y fx
x
+
= =
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d) :
y xm=−+

a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 2.Cho hàm số
32
( ) 6 9 6 (C)y fx x x x= =− +−
.Định m để đường thẳng (d):

24y mx m=−−
cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số
42
( ) 2( 2) 2 3y fx x m x m= =−+ + − −

()
m
C
. Định m để đồ thị
()
m
C
cắt trục Ox tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số
32
() 1y f x x mx m= =−+ −−
cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Ví dụ 5.Cho hàm số
42
( ) (3 2) 3y fx x m x m= =−+ +
có đồ thị
()
m
C
.Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ
thị
()

m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. ( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số
32
() 3 4y fx x x= =−+
(C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2)
với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
AB.
( Khối D – 2008)
Ví dụ 7. Cho hàm số
3
() 3 2y fx x x= =−+
(C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số
góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. ( Khối D – 2006)
Ví dụ 8. Cho hàm số
21
()
1
x
y fx
x
+
= =
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng
2
y xm=−+
cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

3
( O là gốc tọa độ )
( Khối B – 2010)
Ví dụ 9. Cho hàm số
32
( ) 2 (1 )
y f x x x mx m
= = − +− +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
123
;;xxx
thõa mãn điều kiện
222
123
4xxx++<
. ( Khối A – 2010)
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
12
()
33
y f x x mx x m= = − −+ +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
123
;;xxx
thõa mãn điều kiện
222
123

15xxx++>

Ví dụ 11.Cho hàm số
1
()
1
y fx x
x
= = −
+
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y =
m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. (Với O là gốc tọa độ )
Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số
32
( ) axy f x x bx c= =+ ++
(C) cắt trục hoành tại ba điểm
cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
Ví dụ 13. Cho hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho
b. Tìm k để đường thẳng
21y kx k=++

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng
cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( Khối D – 2011)

Trang 13
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
()y fx=

1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
+ Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
+ Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số
3. Đồ thị
+ Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có)
và lấy thêm một số điểm đặc biệt khác)
+ Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét
Lưu ý: Để vẽ tốt đồ thị hàm số ta cần nắm được hình dạng của nó từ bảng biến thiên và các điểm đặc biệt.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN


Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
32
() 3 1y fx x x= =−+
b.
32
( ) 2 3 12 13y fx x x x= =+−−

c.
3
() 3y fx x x= =−+
d.
32
() 3 3 2y fx x x x= =+ ++

e.
32
() 3 5 2y fx x x x= =−+ − +
f.
2
( ) ( 3)y f x xx= = −

g.
32
() 2 4 3y fx x x x= =+ −−
h.
32
() 6 9 8y fx x x x= =+ ++

Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
42
() 3 6 2y fx x x= =−+
b.
24
() 2y fx x x= = −

c.
42
() 2 3y fx x x= =+−
d.
42
() 2 3y fx x x= =−+ +

e.
42
11
()
22
y fx x x
= = −
f.
42
() 5 4y fx x x= =−+

Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
21
()
2
x
y fx
x
+
= =
+
b.

1
()
1
x
y fx
x
+
= =
−

c.
()
1
x
y fx
x
= =
+
d.
1
()
2
x
y fx
x
+
= =
−

Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a.
2
1
()
2
xx
y fx
x
+−
= =
+
b.
2
25
()
1
xx
y fx
x
−+ −
= =
−

c.
2
2
()
1
xx
y fx

x
−−
= =
−
d.
2
33
()
2
xx
y fx
x
−+
= =
−

e.
2
1
()
1
xx
y fx
x
− ++
= =
+
f.
2
26

()
22
xx
y fx
x
−+
= =
+



Ví dụ 1.Cho hàm số
3
() 3 1y fx x x= =−+
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
3
3 10x xk− − +=

Ví dụ 2. Cho hàm số
1
()y f x mx
x
= = +
có đồ thị (Cm)
Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trang 14

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
1
4
m
=

b. Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của
(Cm) bằng
1
2
(Khối A – Năm 2005)
Ví dụ 3.Cho hàm số
32
( ) 2 9 12 4y fx x x x
= =−+−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phận biệt :
3
2
2 9 12x x xm
−+ =

(Khối A – Năm 2006)
Ví dụ 4. Cho hàm số
2
()
1
x
y fx

x
−
= =
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
1. Có tọa độ nguyên
2. Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số
3. Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
4. Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Ví dụ 5.Cho hàm số
32
() 3 6y fx x x= =−−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình:
32
36xx a− −=

Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2 2 32
( ) 3 3(1 )y f x x mx m x m m= =−+ + − + −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)
b. Tìm k để phương trình
3232
3 30xxkk−+ + − =
có ba nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I

TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
Năm học: 2011 – 2012
ĐỀ 02 Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4,0 điểm): Cho hàm số
42
1
21
4
y xx=−+−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) hãy tìm tất cả các số thực m để phương trình sau
42
840xxm−+ − =
có 4
nghiệm thực phân biệt.
Câu 2(3,0 điểm):
a) Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị (H):
21
2
x
y
x
−
=
+
.

b) Cho hàm số
( )
113
23
++−+= xmmxxy
(C
m
).Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đường thẳng (d):
13yx= −
cắt đồ thị (C
m
) tại ba điểm phân biệt A, B và C(0; 1) sao cho
10=AB
.
Câu 3(3,0 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
32
24
+−= xxxf
trên đoạn [0; 2].
ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 15
a) Tìm m để hàm số
2 32
( 5) 6 6 5y m m x mx x
= + − −+
đạt cực tiểu tại x = 1

HẾT

SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I (CB)
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ Năm học: 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 01
Câu 1(6,5điểm)
Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung.
c) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d): y = m – x luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
[ ]
32
( ) 3 9 5 ên 1;4f x x x x tr=−+ + −
.
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho hàm số
42

41
y x mx
=−−
. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành một
tam giác vuông.
HẾT
SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm)
Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+ 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
x
4
- 2x
2
+ 3m – 5 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số
2
2
x
y
x
−

=
−
có đồ thị (H).
1/ Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (H).
2/ Tìm k để đường thẳng d có phương trình y = kx – 2k – 2 cắt đồ thị (H) tại hai
điểm A, B phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 3a (3,0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
() 4 1fx x x=−−
với
[ ]
1;10
x∈
.
2/ Tìm tất cả các số thực m để hàm số y = x
3
– (m + 1)x
2
+ 3mx + 1 có điểm cực đại, điểm cực
tiểu. Xác định m sao cho I(0;1) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 3b (3,0 điểm)
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
xx
y

x
+
=
−
vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
2/ Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình
21x mx m+ ≤ −+
vô nghiệm.

HẾT

Trang 16
SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2009 – 2010
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
– 3x
2
– m = 0.
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số
23
1

x
y
x
+
=
−

1/ Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
2/ Xác định tọa độ điểm A ở trên đồ thị hàm số cách giao điểm của hai đường tiệm cận một đoạn
bằng
26
.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 3a (3,0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
() 25
fx x x=+−
với
[ ]
4;5x∈−
.
2/ Tìm m để hàm số y = x
4
– 2mx
2
nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 3b (3,0 điểm) Cho hàm số

() 25fx x x
=+−

1/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol
2
10
()
2
xx
y gx
−+
= =
tại điểm A(1;5).
2/ Tìm m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.

HẾT

Trang 17






CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
() ()f x gx
aa=
(1)
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
() ()fx gx⇔=

Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì
[ ]
0
(1)
( 1) () () 0
a

a fx gx
>


⇔

− −=


(ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
8 13
24
xx x−+ −
=
ĐS :
{ }
2; 3−−

2.
2
56
51
xx
−−
=

3.

2
5 125
x
=
ĐS:
3
2




4.
31
4 7 16
0
7 4 49
xx−

−=



5.
2
5
6
2
2 16 2
xx−−
=

ĐS :
{ }
1; 7−

6.
3
(322) 3 22
x
−=+
ĐS :
1
3

−



7.
11
5 6.5 3.5 52
x xx+−
+− =
ĐS :
{ }
1

8.
2323 5 5
3 .5 3 .5
x x xx++

=

9.
1
11
5 25
xx
xx
+
−−
=

10.
122 9
3 .2 12
xx x−− −
=

11.
123 12
3 3 3 9.5 5 5
x x x xx x++ + ++
++= ++
ĐS :
{ }
0

12.
1
3 .2 72

xx+
=
ĐS :
{ }
2

13.
12
2 .3 .5 12
xx x−−
=
ĐS :
{ }
2

14.
25
39
xx−−
=

15.
44
1
3 81
x
x
−
−
=

ĐS :
1x ≥

16.
1
22
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
xx x x+−− = +− −
ĐS :
1
2




17.
6 4.3 2 4 0
x xx
− − +=
ĐS :
{ }
0;2

Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
2 2 23
( 1) ( 1)
xx

xx
+
−=−
ĐS :
{ }
2; 3±−

2.
3
( 1) 1
x
x
−
+=
ĐS :
{ }
3

3.
12 12
22 2 33 3
xx x xx x−− −−
++ =−+
ĐS : 2
4.
31
13
( 10 3) ( 10 3)
xx
xx

−+
−+
+=−
ĐS :
5±


Trang 18
5.
8.3 3.2 24 6
xx x
+=+
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS :
{ }
1; 3

6.
22
2
2 4.2 2 4 0
xx xx x
+−
− − +=
(ĐH D-2006) ĐS :
{ }
0;1

Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
()

,0
fx
ta t
= >
với a và
()fx
thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với
biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
9 4.3 45 0
xx
− −=
ĐS : 2
2.
2
2 2 60
xx
+ −=

3.
9 8.3 7 0
xx
− +=

4.
22
4 6.2 8 0
xx
− +=

5.
1
8 6.2 2 0
xx−
− +=
ĐS : 0
6.
11
5 5 26
xx+−
+=
ĐS : 1; -1
7.
1
7 7 60
xx−
− +=
ĐS : 1
8.
22
sin cos
9 9 10
xx
+=
ĐS :
2
k
π

9.
22
4 16 10.2
xx−−
+=
ĐS : 3; 11
10.
22
5 52
42 4
xx xx+− +−+
−=−
(đặt t=
2
5
2
xx+−
) ĐS : 2
11.
2 33
8 2 12 0
x
xx
+
− +=
ĐS : 3;
6
log 8

12.

(7 4 3) (2 3) 2 0
xx
+ + + −=
ĐS : 0
13.
(2 3) (2 3) 14
xx
+ +− =
ĐS : 2
14.
2 22
15.25 34.15 15.9 0
x xx
− +=

15.
1 11
6.9 13.6 6.4 0
x xx
− +=
ĐS : 1; -1
16.
24
3.4 2.3 5.36
xx x
+=
ĐS : 0; 1/2
17.
3
(3 5) 16.(3 5) 2

x xx+
++−=
ĐS :
35
()
2
log 4
+

18.
2 22
2 69 35 2 69
3 4.15 3.5
xx xx xx+− +− +−
+=
ĐS : 1; -4
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
xxxx
+ −− =
(ĐH A-2006) ĐS : 1
2.
22
2
22 3
x x xx− +−
−=
(ĐH D-2003) ĐS : -1; 2
3.

( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
xx
−+ +− =
(ĐH B-2007) ĐS : 1; -1
4.
2
4.3 9.2 5.6
x
xx
−=
(ĐH Hàng Hải-1999) ĐS : 4
5.
22
2 1 22
2 9.2 2 0
x xx x
+ ++
− +=
(ĐH Thủy Lợi-2000) ĐS : -1; 2
6.
25 15 2.9
xx x
+=
(ĐHSP Hải Phòng-2000) ĐS : 0
7.
31
125 50 2
xxx+
+=
(ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0

8.
22 2
32 65 2 37
444 1
xx xx xx−+ ++ ++
+= +
(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS :
1; 2; 5±−

9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
xx
+ +− =
(ĐH Luật HN-1998) ĐS :
k
π

10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
22
xx
xx−
− − +=
(ĐH Y HN-2000) ĐS : 1
Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

•
()
( ) log
fx
a
a b fx b=⇔=


Trang 19
•
() ()
() ()log
fx gx
a
a b f x gx b=⇔=

•
() ()
. ( ) ( )log log
fx gx
aa
a b c fx gx b c=⇔+ =

Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số
mũ.
VD. Giải các phương trình sau
1.
2
3 .2 1
xx

=
ĐS :
3
0; log 2−

2
42
2. 2 3
xx−−
=
ĐS :
3
2;log 2 2−

3.
2
56 3
52
xx x−+ −
=
ĐS :
5
3;2 log 2+

1
4. 3 .4 18
x
x
x
−

=
ĐS :
3
2; log 2−

5.
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+
=
ĐS :
3
4; 2 log 2−−

75
6. 5 7
xx
=
ĐS :
75
5
log (log 7)

7.
5

3 log
5 25
x
x
−
=
ĐS :
5

log 5
43
8. .5 5
x
x =
ĐS :
4
1
;5
5

9.
9
log
2
9.
x
xx=
ĐS : 9
1
10. 5 .8 500

x
x
x
−
=
ĐS :
5
3; log 2−

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fx gx=
(*)
• Bước 1 : Chỉ ra
0
x
là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
()
fx
là hàm đồng biến,
()
gx
là hàm nghịch biến hoặc
()
fx
là hàm đồng
biến,
()gx

là hàm hằng hoặc
()
fx
là hàm nghịch biến,
()gx
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fu fv
=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra
() ()fu fv u v
= ⇔=
.
Ví dụ 1: Giải phương trình
3 40
x
x+−=


Cách 1 :
3 4 0 3 4 (*)
xx
xx+−=⇔ +=

• Ta thấy

1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt :
() 3
() 4
x
fx x
gx

= +

=


Ta có :
'( ) 3 .ln 3 1 >0 x
x
fx= +∀

Suy ra
() 3
x
fx x= +
là hàm đồng biến trên R.
Mà
() 4gx
=
là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x =

Cách 2 :
3 4 0 3 4 (*)
xx
xx+−=⇔ +=

Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Nếu
1x >
, ta có
1
333
1
x
x

>=

>


3 314
x
x⇒ + >+=
(vô lý)
• Nếu
1x <

, ta có
1
333
1
x
x

<=

<


3 314
x
x⇒ + <+=
(vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x =
.

Ví dụ 2: Giải phương trình
2
231
x
x
= +

Ta có :
2
231

x
x
= +
2 ( 3) 1
xx
⇔= +


31
1 ( ) ()
22
xx
⇔= +
(*)
• Ta thấy
2x =
là một nghiệm của phương trình (*)
Ví dụ 3: Giải pt
11
3.9 (3 7).3 2 0
xx
xx
−−
+ − +−=
(1)
Đặt
1
3, 0
x
tt

−
= >
.
Phương trình (1)
2
3. (3 7). 2 0
t xt x⇔ + − +−=

22 2
(3 7) 12(2 ) 9 30 25 (3 5)x xx x x∆= − − − = − + = −

3 73 5 1
63
3 73 5
2
6
xx
t
xx
tx
− ++ −

= =

⇒

− +− +

= =−+





Trang 20
• Đặt :
31
() ( ) ()
22
() 1
xx
fx
gx

= +



=


Ta có :
3 31 1
'( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x
2 222
xx
fx R= + < ∀∈

Suyra
31
() ( ) ()

22
xx
fx= +
là hàm nghịch biến trên R
Mà
() 1gx=
là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
2
x =


1
11
30
33
x
tx
−
•=⇔ =⇔=

1
23 2
x
tx x
−
• =−+ ⇔ =−+
(*)
 Ta thấy
1

x =
là một nghiệm của phương trình (*)
 Đặt :
1
() 3
() 2
x
fx
gx x
−

=

=−+


Ta có :
1
'( ) 3 .ln 3 0
x
fx xR
−
= > ∀∈

Suy ra
1
() 3
x
fx
−

=
là hàm đồng biến trên R

'( ) 1 0 gx x R=−< ∀∈

Suy ra
()gx
là hàm nghịch biến trên R
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x =
.
Vậy pt (1) có 2 nghiệm là
0; 1xx= =
.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
1
2 3 17
xx−
+=
ĐS : 3
2.
345
xxx
+=
ĐS : 2
3.
2
( 3 2) ( 3 2) 10
x

xx
+ +− =
ĐS : 2
4.
22
3.25 (3 10).5 3 0
xx
xx
−−
+ − +−=
ĐS :
{ }
5
2;2 log 3−

5.
2
(2 3) 2(1 2 ) 0
xx
xx+−+− =
ĐS :
{ }
0;2

6.
3
8 .2 2 0
xx
xx
−

− + −=
ĐS : 2
7.
(2.3 1) 3 2
xx
x −= +
ĐS : 1
8.
25 1
11
25 1
xx
ee
xx
−−
−= −
−−
ĐS : 2; 4
9.
32 23
2 3 .2 (1 3 ).2 2 0
xx x
x x xx+ ++ + +−=
ĐS : 0
10.
21 2 21 1 2
2 3 5 23 5
x x x xx x− + ++
++ =+ +
ĐS : 1

Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
(2 3) (2 3) 4
x xx
− ++ =
(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) ĐS : 1
2.
2
12
2 2 ( 1)
x xx
x
−−
−=−
(ĐH Thủy lợi-2001) ĐS : 1
3.
1
24 1
xx
x
+
−=−
(ĐH Bách khoa TPHCM-1995) ĐS : 1
4.
(3 2) (3 2) (5)
x xx
+ +− =
(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) ĐS :
∅

5.
356 2
xx
x+=+
(ĐH Sư Phạm HN-2001) ĐS :
{ }
0;1

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng
•
[ ] [ ]
log ( ) log ( )
aa
fx gx=
01
() () 0
a
fx gx
<≠

⇔

= >


•
[ ]
01

log ( )
()
a
b
a
fx b
fx a
<≠

= ⇔

=


Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (5 1) 4x +=
ĐS : 3
2.
3 9 27
log log log 11xx x++ =
ĐS : 729
3.
33
log log ( 2) 1xx+ +=
ĐS : 1

Trang 21
4.

2
22
log ( 3) log (6 10) 1 0xx− − − +=
ĐS : 2
5.
32
1
log( 1) log( 2 1) log
2
x xx x+− + +=
ĐS : 1
6.
3
22
log (1 1) 3log 40 0xx+ +− − =
ĐS : 48
7.
42
log ( 3) log ( 7) 2 0xx
+ − + +=
ĐS : 1
8.
21
8
log ( 2) 6log 3 5 2xx− − −=
ĐS : 3
9.
3
18
2

2
log 1 log (3 ) log ( 1)x xx+− − = −
ĐS :
1 17
2
+

10.
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2xx− + −=
ĐS : 2
11.
42
21
11
log ( 1) log 2
log 4 2
x
xx
+
−+ =+ +
ĐS :
5
2

Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
22

1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
xx
x
+ ++ =
−
(ĐH D-2007) ĐS :
2
log 3

2.
4
log ( 2).log 2 1
x
x +=
(ĐH Huế-1999) ĐS : 2
3.
22
22 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3xx xx
+++ + + =+
(ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5
4.
2
9 33
2log log .log ( 2 1 1)xx x= +−
(ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4
5.
2 3 23

log log log .logx x xx+=
(ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6
6.
5 3 59
log log log 3.log 225xx+=
(ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3
7.
23
48
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x xx+ += −+ +
(ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS :
2;2 2 6−

8.
22 2
23 23
log ( 1 ) log ( 1 ) 6xx xx
+−
++ + +− =
(ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS :
43

9.
22
93
3
11
log ( 5 6) log log 3
22

x
xx x
−
−+ = + −
(HV BCVT-2000) ĐS :
3
2

Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số
x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
22
log 2log 2 0xx+ −=
ĐS :
1
2;
4

2.
22
3 log log (8 ) 1 0xx− +=
ĐS : 2; 16
3.
21
1 log ( 1) log 4
x
x

−
+ −=
ĐS :
5
3;
4

4.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+=
ĐS :
1
3
4;2
−

5.
22
3
log (3 ).log 3 1
x
x =
ĐS :
12
3
±

6.
2
2
log (2 ) log 2
x
x
xx
+
++ =
ĐS : 2
7.
2
55
5
log log ( ) 1
x
x
x
+=
ĐS :
1
1; 5;
25

8.
2
2
log 2 2log 4 log 8
xx

x
+=
ĐS : 2
9.
1
33
log (3 1).log (3 3) 6
xx+
− −=
ĐS :
33
28
log 10;log
27


Trang 22
10.
22
12 13
log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0
xx
xx xx
−−
− +− − +−=
ĐS :
1
4

11.

2
lg(10 ) lg lg(100 )
4 6 2.3
xx x
−=
ĐS :
1
100

12.
2 22
log 9 log log 3
2
.3
x
xx x= −
ĐS : 2
13. log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (đặt t=
4
log x
)
Bài 2 : Giải các phương trình sau

1.
3
3
22
4
log log
3
xx+=
(ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : 2
2.
2
22
log ( 1) 6log 1 2 0xx+ − ++ =
(Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3
3.
9
4log log 3 3
x
x +=
(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS :
3; 3

4.
4 22 3
log ( 1) log ( 1) 25xx
−+ −=
(ĐH Y HN-2000)
5.
22
log 2 log 4 3

x
x+=
(HV CNBCVT-1999) ĐS : 1; 4
6.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
xx+
− −=
(ĐH Sư Phạm HN-1998) ĐS :
55
26
log 6;log
25

7.
2
22 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
xx
x−=
(ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS :
1
4

8.
22
21 1
log (2 1) log (2 1) 4

xx
xx x
−+
+−+ − =
(ĐH Khối A-2008) ĐS :
5
2;
4

9.
22
37 23
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
xx
xx x x
++
++ + + +=
(ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) ĐS :
1
4
−

10.
22
log log
2
(2 2) (2 2) 1
xx
xx+ +− =+
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0;1

11.
22 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)
xx xx xx−− +−= −−
(ĐHSP Vinh-2001) ĐS :
1;
20
20
log 4
log 4
11
(5 )
25
+

Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau
•
()
01
log () ()
()
a
gx
a
fx gx
fx a
<≠


= ⇔

=


•
log ( ) log ( )
ab
fx gx=
đặt
t
=
suy ra
()
()
t
t
fx a
gx b

=


=


. Khử x trong hpt để thu được phương trình
theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.

3
log (9 8) 2
x
x+=+
ĐS :
3
0;log 8

2.
1
5
log (5 20) 2
x
x
+
+ −=
ĐS : 1
3.
3
32
3log (1 ) 2logxx x++ =
ĐS : 4096
4.
32
2log tan log sinxx=
ĐS :
2
6
k
π

π
+


Trang 23
5.
2
53
log ( 6 2) logxx x−−=
ĐS : 9
6.
4
64
2log ( ) log
xx x
+=
(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (9 2 ) 3
x
x
+ −=
(ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3
2.
57
log log ( 2)xx
= +
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5

3.
73
log log ( 2)xx= +
(ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49
4.
8
4
64
2log ( ) logxx x+=
(ĐH Y HN-1998) ĐS : 256
5.
32
2log cot log cosxx=
(ĐH Y Dược TPHCM-1986) ĐS :
2
3
k
π
π
+

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fx gx=
(*)
• Bước 1 : Chỉ ra
0
x
là một nghiệm của phương trình (*)

• Bước 2 : Chứng minh
()fx
là hàm đồng biến,
()gx
là hàm nghịch biến hoặc
()fx
là hàm đồng
biến,
()gx
là hàm hằng hoặc
()fx
là hàm nghịch biến,
()gx
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fu fv=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra
() ()fu fv u v= ⇔=
.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
5
log ( 3) 4xx−=−
ĐS : 4
2.

2
lg( 12) lg( 3) 5xx x x−− += + +
ĐS : 5
3.
2
22
log ( 3).log 2 0x x xx+ − −+=
ĐS : 2; 4
4.
2
33
(log 3) 4 log 0
x xx x
+ − −+ =
ĐS : 3
5.
2 22
ln( 1) ln(2 1)xx x xx++− + = −
ĐS : 0; 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
22
log ( 1)log 6 2xx x x
+− =−
(ĐH Đông Đô-1997) ĐS :
1
;2
4

2.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 45
xx
xx
xx
++
=++
++
(ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS :
1; 2−−

CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
22
22
22
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
−+

+=+



=


(ĐH A-2009) ĐS : (2;2), (-2;-2)
2.
32
1
25 4
42
22
x
xx
x
yy
y
+

= −


+
=

+
(ĐH D-2002) ĐS : (0;1), (2;4)
3.
14
4

22
1
log ( ) log 1
25
yx
y
xy

−− =



+=

(ĐH A-2004) ĐS : (3;4)

Trang 24
4.
23
93
12 1
3log (9 ) log 3
xy
xy

−+ − =


−=



(ĐH B-2005) ĐS : (1;1), (2;2)
5.
1
32
3918
y
y
x
x
−

+=


+=


ĐS :
3
2
( ;log 4)
3

3
3
3 .2 972
6.
log ( ) 3
xy

xy

=


−=


ĐS :
(5;2)
2
log log 2
7.
12
yx
xy
xy
+=



+=


ĐS : (3;3)
33
4 32
8.
log ( ) 1 log ( )
xy

yx
xy xy
+


=


+=− −

ĐS :
(2;1)
4
1 log
9.
4096
y
yx
x
= +


=

ĐS : (16;3), (1/64;-2)
42
4 30
10.
log log 0
xy

xy

− +=


−=


ĐS : (1;1),
(9;3)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :
1.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
xy
xy
−

=


+=


ĐS : (-2;7)
2.
22
11
11

log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
xy
xy
yy xx
yx
+−
+−

−++ ++=


++ +=


ĐS :
22
( ;)
55
−

3.
33
log ( ) log 2
22
4 2()
3 3 22
xy
xy
xy xy


= +


+++=


ĐS : (1;3), (3;1)
4.
22
1
22
xy x
x yy x
xy
+−

+= +


−=−


ĐS : (-1;-1), (1;0)
5.
22
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y xy
x xy y

+− +=−


−+ =

ĐS : (0;0)
6.
21
21
2 23 1
2 23 1
y
x
xx x
yy y
−
−

+ − += +


+ − += +


ĐS : (1;1)
CHUYÊN ĐỀ:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất :
• Nếu
1a >

thì
() ()
() ()
fx gx
a a fx gx
>⇔>

• Nếu
01a
<<
thì
() ()
() ()
fx gx
a a fx gx>⇔<

Tổng quát :
[ ]
() ()
0
( 1) () () 0
fx gx
a
aa
a fx gx
>


>⇔


− −>



II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
2
2
3 27
xx+
<
ĐS :
31x−< <

2.
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
+ ≥−
ĐS :
[

)
[
)
2; 1 1;− − ∪ +∞

3.
2
2 16
11
() ()
39
xx x+−
<
ĐS :
84xx<− ∨ >


Trang 25