PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ một SỐBÀI TOÁN cơ HỌC

Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN
TR

NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM

NGUYỄNăTHỊ ăTHUăPH

NG

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC
V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC

LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨ ăKHOAăḤCăTOANăHỌC

TH́IăNGUYÊN - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN
TR

NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM

NGUYỄNăTHỊ ăTHUăPH

NG

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC
V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC

ωhuyên nganh: TOÁN GI I TÍωH
M̃ ś: 60.46.01.02

LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨ ăKHOAăḤCăTOANăHỌC

Ngươi hương dẫn khoa học: GS. TSKHăHaăHuyăKhoai

TH́IăNGUYÊNă- 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

M căl c
Mởăđầu

iii

1.ăăăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ăC PăC ăB̉N. . .1

1.1. Khái niệm về phép biến hình b o giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1. Đị nh nghĩ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Phép biến hình thực hiện b i hàm gi i tích. . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. ψổ đề Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Nguyên lí đ́i x ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2. Phép biến hình b o giác qua một ś hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2.1. Phép biến hình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2.2. Phép biến hình nghịch đ o w =

1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
z

1.2.3. Phép biến hình Giucovski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.ăăăB̀IăTÓNăTH MăPH NG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Phương trình chuyển động nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1.1. Khái niệm về nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Vận t́c thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3. Định luật Darcy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4. Phương trình thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. ψài toán thấm phẳng đồng chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Thế vị ph c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2. Đư ng dòng và đư ng thế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3. Điều kiện biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3.1. ψiên không thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.3.2. ψiên thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ii
2.2.3.3. Biên rỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2.3.4. Đư ng b̃o hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.ăăăPH
D

NGăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăB̀IăTÓNăTH MăCĨắP
IăĆCăCƠNGăTR̀NHăTH YăLỢi.ă.ă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.1. ψiến hình đa giác thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.1. M đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.2. ωông th c Schwart – Christoffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3. ψiến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . .23
3.1.4. Các hàm Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Thấm dưới cơng trình th y lợi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1. Hình chữ nhật cơ s c a bài tốn thấm có áp. . . . . . . . . . . 28
3.2.2. Hộ đê phẳng trên lơp thâm sâu vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . .30
3.2.3. Hộ đê phẳng trên lơp thâm hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.2.4. Hộ đê phẳng trên lơp thâm hữu hạn co vach cư. . . . . . . . . .37
4. PH

NGăPHAPăBIÊNăHINHăBẢ OăGIACăTRONGăBAIăTOANăTHỂM

KHÔNGăAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Hàm Giucovski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Vách c̀ Giucovski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.3. Thâm qua mang lươi co lọc đôi xưng.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kếtăluậnă

52

T̀IăLI UăTHAMăKH̉O

53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iii

M ̉ ăĐỂU
1.ăLỦădoăchọnăđ ătƠi
Khái niệm ánh x b o giác là một trong những khái niệm quan trọng nhất
c a toán học và là một trong những phần lý thú c a lý thuyết hàm biến ph c.
ψài toán cơ b n và khó nhất c a lý thuyết ánh x b o giác là tìm hàm chỉnh
hình thực hiện ánh x b o giác miền cho trước lên miền cho trước. ψài tốn
này có ý nghĩa thực hành rất lớn, tuy nhiên cho đến ngày nay ngư i ta chưa
có những phương pháp đ hiệu lực để gi i nó, nhưng trong nhiều trư ng hợp
đơn gi n nhất (nhưng cũng đầy thú vị) bài tốn có thể gi i nh các hàm ś sơ
cấp biến ph c.
Đặc biệt năm 2005, GS. Darren ωrowdy đ̃ có một cơng trình đột phá về
việc ánh x b o giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng ph c (công th c
Schwart-Christoffel cho trư ng hợp đa liên), một công cụ vơ cùng quan trọng
cho tất c các nhà tốn học, kỹ sư cũng như các nhà khoa học khi mún chiếu
các thơng tin về hình kh́i ph c t p thành các hình d ng đơn gi n như hình
trịn để dễ dàng hơn trong việc phân tích. Kết qu trên còn được sử dụng trong
nhiều lĩnh vực khác, chẳng h n trong mơ hình hóa và trực quan hóa các cấu
trúc ph c t p c a hệ thần kinh. Trong luận văn này, chúng ta mới sử dụng
công th c Schwart-ωhristoffel cho miền đơn liên.
Và nếu như trước đây một ś các kỹ thuật gi i tích được giới sinh viên
toán ng dụng dùng đến nhiều hơn so với phương pháp chiếu b o giác, ví dụ
như các phương pháp cổ điển để gi i các bài toán cơ học continuum, tĩnh

điện, hay các lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace và Poission hai chiều,
nhưng với những gì mà tính chất phép biến hình b o giác và nh các hàm ś

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iv
sơ cấp biến ph c thì chúng ta đ̃ gi i quyết được nhiều bài toán ng dụng
trong trư ng tĩnh điện và cơ học chất lỏng,...
Xuất phát t̀ thực tế đó, sau khi tiến hành nghiên c u về một vài ng
dụng c a phép biến hình b o giác, tôi đ̃ chọn đề tài với một vài bài tốn ng
dụng phép biến hình b o giác đ̃ được m rộng, mô phỏng lên phần nào các
chuyển động c a dòng nước trong cơ học chất lỏng.
2.ăPh

ngăphápănghiênăcứu

Sưu tầm và đọc tài liệu t̀ các t p chí, giáo trình trong nước và qúc tế có
liên quan đến phép biến hình b o giác và các ng dụng c a phép biến hình
b o giác trong chuyển động cơ học. T̀ đó, tìm hiểu m rộng để nghiên c u
vấn đề c a đề tài này
3.ăM căđíchăc aăluậnăvĕn
Mục đích c a luận văn này là trình bày một ś ng dụng c a phép biến
hình b o giác trong một ś lớp bài toán quan trọng c a cơ học, cụ thể là bài
toán chuyển động c a nước ngầm dưới các cơng trình th y lợi. T̀ đó có thể
giúp các nhà nghiên c u, làm thế nào để xây dựng được một cơng trình th y
lợi đ t chất lượng t́t nhất.
4.ăN iădungăc aăluậnăvĕn

Luận văn gồm b́n chương
Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình b o giác và một ś phép
biến hình b o giác quan trọng trong gi i tích ph c.
Chương 2: Giới thiệu về phương trình chuyển động nước thấm và các
vấn đề liên quan như vận t́c thấm, quy luật thấm. T̀ đó đưa ra bài tốn thấm
phẳng đồng chất.
Chương 3: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i quyết
bài tốn thấm có áp dưới các cơng trình th y lợi bằng cách tìm hàm biến hình
b o giác miền thế vị ph c lên miền thấm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




v
Chương 4: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i quyết
bài tốn thấm khơng áp dưới các cơng trình th y lợi. Trong bài tốn này do
miền thấm chưa xác định nên ph i sử dụng hàm Giućpxki sao cho miền giá
trị c a nó là xác định. Sau đó ta tìm hàm biến hình b o giác miền thế vị ph c
lên miền xác định đó. T̀ đó ta tìm được quan hệ giữa miền thấm và hàm thế
vị ph c.
Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và
biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH Hà Huy Khối, người thầy đã hướng dẫn và
tận tình chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong trường Đại
học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng
dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.
Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo
tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên
Quang, các bạn trong lớp cao học K18B, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã

tạo điều kiện về mọi mặt để giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và
hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên tháng 08 năm 2012
Tác gi
Nguyễn Thị Thu Phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Ch

ngă1

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ă
CỂPăC ăBẢN
1.1 KH́IăNI MăV̀ăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC
1.1.1. Đị nhănghĩ a:
Một phep biên hinh được gọi la bảo giac nêu no co cac tinh chât sau:
- ψ o tồn góc giữa hai đư ng cong bất kì đi qua z (kể cả đợ lơn va
hương)
- ωó hệ ś co d̃n khơng đổi t i điểm đó, nghĩa là mọi đư ng cong đi qua
z đều có hệ ś co d̃n như nhau qua phép biến hình.
Nếu phép biến hình là b o giác t i mọi điểm c a miền G thì nó được gọi
là b o giác trong miền G.
1.1.2.ăPhépăbiếnăhìnhăthựcăhi năbởiăhƠmăgi iătích:
ωho hàm w = f(z) đơn diệp, gi i tích trong miền G. Do ý nghĩa hình học

c a f '(z) ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện b i hàm w = f(z) là b o

giác t i mọi điểm mà f '(z)  0 .

Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ c a điểm z, thì phép biến hình b o
giác là một phép đồng d ng do tính chất b o tồn góc. ωác góc tương ng
trong hai hình là bằng nhau. Mặt khác nếu xem hệ ś co d̃n là khơng đổi thì
tỉ ś giữa hai c nh tương ng là không đổi.
Ngược l i ngư i ta ch ng minh được rằng phép biến hình w = f(z) đơn
diệp là b o giác trong miền G thì hàm w = f(z) gi i tích trong G và có đ o
hàm f '(z)  0 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2
1.1.3.ăBổăđ ăSchwarz:

Gi sử hàm f(z) gi i tích trong hình tròn | z | < R và f(0) = 0. Nếu | z | 

M với mọi z mà | z | < R thì ta có:
f (z) 

M
z,
R

z R

Mei
z,  thực.
trong đó đẳng th c x y ra t i z1 với 0 < | z | < R chỉ khi f (z) 
R

1.1.4.ăNguyênălíăđ iăxứng:
Trước hết ta th̀a nhận một tính chất đặc biệt c a hàm biến ph c mà hàm
biến ś thực khơng có, đó là tính duy nhất, được phát biểu như sau: Giả sử
hai hàm f(z) và g(z) cùng giải tích trong miền D và thoả mãn f(z) = g(z) trên
một cung L nào đó nằm trong D, khi đó f(z) = g(z) trên tồn miền D.
Gi sử D1 và D2 nằm kề nhau và có biên chung là L

x

Hìnhă1.1
Gi sử f1(z) gi i tích trong D1 và f2(z) gi i tích trong D2. Nếu f1(z) = f2(z)
trên L thì ta gọi f2(z) là thác triển gi i tích c a f1(z) qua L sang miền D2. Theo
tính duy nhất c a hàm gi i tích nếu f3(z) cũng là thác triển gi i tích c a f1(z)
qua L sang miền D2 thì ta ph i có f3(z) = f2(z) trong D2. ωách nhanh nhất để
tìm thác triển gi i tích c a một hàm cho trước là áp dụng nguyên lí đ́i x ng
sau đây:
Giả sử biên của miền D1 chứa một đoạn thẳng L và f1(z) biến bảo giác
D1 lên B1 trong đó L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên của B1. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

tồn tại thác triển giải tích f2(z) của f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với
D1 đối với L. Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2 nằm đối xứng với B1 đối với T
và hàm:

trong D1
 f1(z)

f(z)=  f1(z)= f 2 (z) trên L
 f (z)
trong D2
 2

biến bảo giác D thành B.
Nguyên lí đ́i x ng thư ng dùng để tìm phép biến hình b o giác hai
miền đ́i x ng cho trước.
1.2. PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăQUAăṂTăŚăH̀MăS ăC P
1.2.1. Phépăbiếnăhìnhătuyếnătính

Xét hàm tuyến tính w = az + b trong đo a, b la cac hằng ś ph c, a  0 .

Nếu a  a ei thì w = a ei z + b. Phép biến hình tuyến tính là b o giác trong
tồn mặt phẳng ph c vì f '  z   a  0 vơi mọi z ฀ . Hàm tuyến tính có thể
coi là hợp c a 3 hàm sau:

  kz (k  a  0)

  ei . (  Arga)
w=+b

Nếu biểu diễn các điểm , , w trong cùng

một mặt phẳng thì dựa vào ý nghĩa hình học c a
phép nhân và phép cộng các ś ph c ta suy ra rằng:

- Điểm  nhận được t̀ điểm z bằng phép co

d̃n với hệ ś k

Hìnhă1.2

- Điểm  nhận được t̀ điểm  bằng phép quay tâm O, góc quay .

- Điểm w nhận được t̀ điểm  bằng phép tịnh tiến xác định b i vectơ
biểu diễn ś ph c b.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4
Như vậy mún được nh w c a z ta ph i thực hiện liên tiếp một phép co
d̃n, một phép quay và một phép tịnh tiến. Tích c a 3 phép biến hình trên là
một phép đồng d ng. Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép đồng d ng.
Nó biến một hình bất kì thành một hình đồng d ng với hình ấy. Đặc biệt, nh
c a một đư ng tròn là một đư ng tròn, nh c a một đư ng thẳng là một
đư ng thẳng.
Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vuông cân A(3 + 2i), B(7 + 2i),
C(5 + 4i) thành tam giác vng cân có đỉnh t i O1, B1(– 2i) và C1 (1 – 2i)
y

y

C

2

A

O

3

O1

B

x
C1

B1

7 x

Hìnhă1.3
Vì các tam giác χψω và tam giác O 1B1C1 đông dạng nên phep biên hinh
này được thực hiện bằng một hàm bậc nhất w = az + b. Phép biến hình này có
thể phân tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây:
- Phép tịnh tiến t̀ χ về ǵc, xác định bằng vec tơ (–3 – 2i). Phép tịnh

tiến này được xác định b i hàm   z  (3  2i)



i

- Phép quay quanh ǵc một góc  , ng với hàm   e 2
2

- Phép co d̃n tâm O , hệ sô k 

O1B1 2 1
  , được thực hiện băng ham
AB 4 2

1
w 
2


i
1
i
i
3
Vậy w  (z  3  2i)e 2   (z  3  2i)   z  i  1
2
2
2
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5

1
1.2.2. Phépăbiếnăhình nghịchăđ o w = :
z

Phép biến hình này đơn diệp, biến mặt phẳng

1

ph c m rộng z (t c mặt phẳng ph c có bổ sung

thêm điểm z = ) lên mặt phẳng ph c m rộng w.

nh c a điểm z = 0 là điểm w = . Ngược l i nh

c a điểm z =  là điểm w = 0. Vì w '  
phép biến hình b o giác t i z  0 và z  .

1
nên
z2

Hìnhă1.4

Ta sẽ nêu ra cach tim ảnh của một điểm z bât ki . ωhú ý là hai điểm z và
1
 w đôi x ng nhau qua đư ng trịn đơn vị vì

z

khác z .

1
Arg   Argz  Argz . Mặt
z

1
 1 . Vậy mún được w, ta dựng w đ́i x ng với z qua đư ng tròn
z

đơn vị rồi lấy đ́i x ng qua trục thực. Nói khác đi, phép biến hình w 

1
là
z

tích c a hai phép đ́i x ng:
- Phép đ́i x ng qua đư ng tròn đơn vị
- Phép đ́i x ng qua trục thực.
Tínhăch tă: Phép biến hình w 

1
biên:
z

- Một đư ng tròn đi qua ǵc to độ thành một đư ng thẳng.
- Một đư ng trịn khơng đi qua ǵc to độ thành một đư ng tròn
- Một đư ng thẳng đi qua ǵc to độ thành một đương thẳng

- Một đư ng thẳng không đi qua ǵc to độ thành một đư ng tròn đi qua
ǵc to độ.
Nếu coi đư ng thẳng là một đư ng tròn có bán kính vơ h n thì tính chất

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6
trên được phát biểu gọn l i là: Phép biến hình w 

1
biến một đư ng trịn
z

thành một đư ng trịn.
Chứng minh: Xét đư ng cong ω’ có phương trình:
A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = 0
trong đó χ, ψ, ω, D là những hằng ś thực.
Viết phương trình ấy dưới d ng ph c ta có:

Azz  Ez  Ez  D  0

trong đó E = ψ – iC

Nếu χ  0, D = 0 thì ω’ là đư ng trịn đi qua ǵc to độ.

Nếu χ = 0 thì ω’ là đư ng thẳng.
Nếu χ = D = 0 thì ω’ là đư ng thẳng đi qua ǵc to độ.

nh c a ω’ qua phép biến hình w 

A
hay:

1
là đư ng cong L có phương trình:
z

1 1 E E
.   D0
w w w w

Dww  Ew  Ew  A  0
Nếu D = 0 thì L là đư ng thẳng. Nếu D = χ = 0 thì L là đư ng thẳng đi

qua ǵc to độ. Nếu χ = 0 thì L là đư ng trịn đi qua ǵc to độ.
1.2.3. Phépăbiếnăhình Giucovski:

1
1
Ta gọi ham phưc w   z   là hàm Giucovski. Hàm này có rất nhiểu
2
z

ng dụng trong kĩ thuật mà chương sau ta s̃ biết một phần ng dụng c a nó.
Hàm Giucovski có một điểm bất thư ng hữu h n là z = 0. Đạo ham của

11 1 
nó là w '    2  , w '  0 t i các điểm z

2 2 z 

= ± 1. Vậy phep biên hinh

Giucovski bảo giac tại mọi điểm z hữu hạn khac vơi điểm 0 và ± 1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7
Ta đi tim miên đơn diệp của ham. Gi sử z1  z2 nhưng


1
1  1
1
1 
 z1     z 2   hay  z1  z 2  1 
0
2
z1  2 
z2 
z
z
1 2 


(1.1)

Ta thây đẳng thưc (1.1) x y ra khi z 1z2 = 1. Vậy phep biên hinh sẽ đơn
diệp trong mọi miên không chưa hai điểm nghị ch đảo nhau . ωhẳng hạn miên

z  1 là miền đơn diệp c a hàm ś ; miên z  1 cũng là một miền đơn diệp

khác.
Ví dụ : Tìm nh c a phép biến hình Giucovski c a
i, Đư ng trịn z  h, 0  h  1

Ta đặt z = rei. Hàm Giucovski được viêt thanh:

1
1  1
1

w  u  iv   rei  i    r  cos   isin     cos   isin   
2
re  2 
r


Tách phần thực và phần o ta có

1 1
u   r   cos 
2
r
1 1
v   r   sin 

2
r

Tư đo suy ra ảnh của đương tron z  r  h có phương trình tham ś là

1
1
u  2  h  h  cos 




 v  1  h  1  sin    1  1  h  sin 





2
h
2 h


Đo la mợt elip

,  là tham ś

(), có tâm O và các bán trục

1 1


b     h  , tiêu cự
2 h


2c  a 2  b2  2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
1
a   h   và
2
h

1
1  1
1
 h     h    2 . ωác
4
h  4
h




8
tiêu điểm của elip la F 1(– 1; 0) và F2(1; 0). Khi  biên thiên tư 0 đến 2, điểm

z chạy dọc đương tron z  h theo hương dương trong khi ảnh w tương ưng

c a nó ch y trên elip theo hướng âm c a mặt phẳng.

Vì khi 0 <  <  thì v < 0 và khi  <  < 2 thì v > 0 nên nh c a nửa

đương tron trên la nửa elip
trên.

dươi, nh c a nửa đư ng tròn dưới là

nửa elip

ωhú ý là khi h  0 thì các bán trục a , b của elip dân ra , nghĩa là nếu

đương tron z  h càng nhỏ thì nh c a nó có các bán trục càng lớn . Khi h 
1 thì a  1 và b  0, nghĩa là nếu đư ng tròn z  h càng dần vào đư ng tròn
đơn vị thi elip ảnh dẹt dân va tiên tơi đoạn kep F 1F2 (sở dĩ gọi la đoạn kep vi
F1F2 đông thơi la ảnh nửa cung tron đơn vị trên va la ảnh nửa cung tron đơn
vị dưới). Ta quy ươc bơ trên của đoạn thẳng la ảnh nửa cung tron đơn vị năm
trong nửa mặt phẳng dươi ; bơ dươi của đoạn thẳng la ảnh nửa cung tron đơn
vị nằm trong nửa mặt phẳng trên.

ii, Đoạn thẳng Argz  , z  1

Nêu gọi L la ảnh của đoạn thẳng:

 Argz  

 z 1

thì phương trinh tham sơ của L la:

1 1

u

 r   cos 

2
r


 v  1  r  1  sin 



2
r

(1.2)

Khử r trong các phương trình c a (1.2) ta co

u2
v2

1
cos 2  sin 2 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.3)

9
Đây la phương trinh của một hyperbol co cac tiêu điểm trung vơi F

1

và

F2.

Hìnhă1.5

Nêu 0   


thì nh L là nhánh hyperbol (1.3) năm trong goc phân tư
2

thư tư. Khi điểm z chạy trên đoạn ban kinh tư gôc tọa đợ tới đư ng trịn đơn
vị thì nh w c a nó ch y trên nhánh hyperbol nằm trong góc phần tư th tư t̀
 tới trục thực O1u.

iii, Hình trịn đơn vị z  1

Khi cho h biến thiên t̀ 0 đến 1 thì đư ng trịn |z| = h s̃ qt nên hình
trịn |z| < 1. nh () c a L trong mặt phẳng w s̃ quét nên mặt phẳng w, bỏ đi
lát cắt dọc đo n F1F2. ψ dưới c a lát cắt là nh c a cung tròn đơn vị trên. ψ

trên c a lát cắt là nh c a cung tròn đơn vị dưới. Nửa hình trịn đơn vị trên có
nh là nửa mặt phẳng dưới. Ngược l i nửa hình trịn đơn vị dưới có nh là
nửa mặt phẳng trên
iv, Nửa mặt phẳng trên, năm ngoai hinh tron đơn vị tâm O.
Tương tự như ở y i, nh c a nửa đương tron trên:
r = h (h > 1), 0 <  < 

có phương trình tham ś là:

1
1

u
h



 cos 

2
h

,0

1
1
 v   h   sin 




2
h

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10
Đây la một cung elip năm trong nửa mặt phẳng trên , có các bán trục là

1
1
1
1
a   h   và b   h  
2
h
2
h

Khi nửa đương tron trên tâm O, bán kính h quét nên phần nửa mặt phẳng
trên năm ngoai đương tron đơn vị thi ảnh của no quet nên nửa mặt phẳng trên
Imz > 0 (hình 1.6)

v



x

-1

O1



1

Hìnhă1.6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



u


11

Ch

ngă2

BÀI TÓNăTH MăPH NG
2.1.ăPH

NGăTR̀NHăCHUY NăĐ̣NGăN

2.1.1.ăKháiăni măv ăn

CăTH M

căth m

Hiện tượng thấm có liên quan với tính x́p c a đất. Tính chất x́p này
được đặc trưng b i độ x́p. Ta xét một mẫu đất x́p có thể tích V và gọi V 1 là
tổng thể tích c a các lỗ hổng. Tỉ ś giữa V1 và V gọi là độ x́p c a mẫu đất.

Ta kí hiệu độ x́p là  :



V1
V

(2.1)

Nước có thể tồn t i trong đất x́p dưới nhiều tr ng thái như hơi nước,
nước bám chặt vào mặt ngồi các h t, nước dính vào đất do lực phân tử
.v.v…, nhưng quan trọng đ́i với vấn đề

đây là tr ng thái nước tự do,

chuyển động dưới tác dụng c a trọng lực và áp suất th y động. Hiện tượng
thấm là hiện tượng nước tự do ch y trong đất x́p.
2.1.2.ăVậnăt căth m
Vận t́c thấm là hiện tượng nước ch y qua một đơn vị diện tích c a mơi
trư ng x́p trong một đơn vị th i gian.
Gi thiết có một dịng chất lỏng ch y qua một diện tích S c a mơi trư ng


x́p. Gọi S1 là diện tích phần lỗ hổng trong S, u là vận t́c trung bình c a chất

lỏng qua phần lỗ hổng, Un là phần chiếu c a u lên pháp tuyến c a S và gọi tỉ
lệ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

m

S1
S

(2.2)

là độ x́p mặt. Lưu lượng qua S trong một đơn vị th i gian bằng
Q = S1Un = S.mUn

(2.3)

T̀ đó ta suy ra rằng lưu lượng qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị
th i gian là mUn, đó là vận t́c thấm và vectơ vận t́c thấm là:


V  mU

(2.4)

Lấy một mẫu đất hình trụ có độ cao h, gọi S1(z) là diện tích lỗ hổng trên
tiết diện S c a mẫu đất

độ cao z. Độ x́p c a mặt tiết diện ấy s̃ là

m(z) 

S1 (z)
S

Giá trị trung bình c a độ x́p mặt trong mẫu đất được tính theo cơng
th c:

1
m   m  z dz
h0
h

ψiểu th c này có thể viết

1
1
m   S.m  z dz   S1  z dz
hS 0
V0
h

h

đây V là thể tích c a mẫu đất, cịn  S1  z dz chính là thể tích lỗ hổng
h

0

trong mẫu ấy, t c là V1. Vậy ta có

m

V1

V

Vậy độ x́p mặt bằng độ x́p (thể tích) và vận t́c thấm
viết là

(2.4) có thể



V  U

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.5)

13
2.1.3.ăĐịnhăluậtăDarcy
Ta xác định mỗi điểm M c a môi trư ng thấm bằng ba tọa độ x, y, z :
M = M(x, y, z) và gọi u, v, w là các thành phần c a vận t́c thấm:

V   u, v, w  , p  p  x, y,z  là áp suất nước t i M.
Ta kí hiệu:

h  h  x, y,z  

p
z
g

(2.6)

trong đó  là tỉ trọng c a nước (hay chất lỏng thấm nói chung), g là gia t́c
trọng trư ng và gọi h là áp suất th y lực t i điểm M. Ta h̃y lấy một cung con
s theo hướng c a vận t́c thấm, giới h n

J

dh
h
  lim
s0 s
ds

gọi là độ dốc thủy lực t i M (hình 2.1)

Hình 2.1
ĐịnhăluậtăDarcy: Tốc độ thấm V chỉ phụ thuộc vào độ dốc thủy lực J. Đối với
những trường hợp thường gặp, sự phụ thuộc ấy là tuyến tính:

V  kJ  k

dh
ds

(2.7)

trong đó k được gọi là hệ số thấm, cơng th c (2.7) được gọi là công thức
Dupuy.
T̀ công th c (2.7) ta rút ra các phần chiếu c a vectơ vận t́c thấm lên
các trục tọa độ:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Vx  u  k

h
h
h
, Vy  v  k , Vz  w  k

x
y
z

(2.8)

Định luật Darcy phù hợp với thực tế khi tích V.d c a t́c độ thấm và
đư ng kính trung bình c a h t đất là khá bé, cụ thể là nằm dưới một giới h n
nào đó (ch̀ng 0,7cm2/giây). Khi đó hệ ś thấm k có những giá trị t̀ 1 đến 102

đ́i với cát, t̀ 5.10-4 đến 5.10-5 đ́i với đất sét. Hệ ś thấm đ́i với các lo i

đất sét pha cát năm giữa hai kho ng đó.
Trong mơi trư ng thấm, hệ ś k có thể thay đổi theo t̀ng điểm, t c là
một hàm ś c a x, y, z: k = k (x, y, z)
Trong trư ng hợp k là một hằng ś thì mơi trư ng thấm được gọi là đồng
chất.
2.1.4.ăPh

ngătrìnhăth m

Ta lấy một kh́i nước thấm hình lập phương với kích thước dx, dy, dz, có
các mặt song song với các mặt tọa độ. Lưu lượng chất lỏng qua các mặt thẳng
góc với trục Ox cách ǵc một kho ng x là:
udydz = u (x, y, z) dydz
Lưu lượng qua mặt như thế cách ǵc một kho ng x + dx là:
u 

 u  dx  dydz
x 



Vậy hiệu ś giữa lưu lượng nước ch y vào và lưu lượng nước ch y ra là:

u
dxdydz .
x

ωũng vậy hiệu ś ấy đ́i với hai hướng y và z là:

u
u
dzdxdy
dydzdx và
z
y

Vậy gi thiết là chất lỏng không nén được, thì lượng nước ch y vào kh́i
lập phương bằng lượng nước ch y ra, cho nên ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15


u v w
 

 0 , hay divV  0
x y z

(2.9)

Phương trình (2.9) gọi là phương trình liên tục.

Lấy biểu th c c a V (2.8) đặt vào phương trình liên tục (2.9) ta s̃ được
phương trình thấm:

div  k grad h  

  h    h    h 
 k   0
k
k  
x  x  y  y  z  z 

(2.10)

Trong trư ng hợp môi trư ng thấm là đồng chất, nghĩa là k là một hằng
ś, thì ta có thể rút k ra ngồi và gi n ước, khi đó phương trình thấm s̃ tr
thành


 2h  2h  2h
divgrad h  h  2  2  2  0
x
y
z

(2.11)

Vậy trong trư ng hợp đồng chất, áp lực th y lực là một hàm điều hòa c a
 
các biến x, y, z đồng th i vận t́c thấm có một thế vị, t c là V  grad  , với

 p

  kh  k   z 
 g


(2.12)

2.2.ăB̀IăTÓNăTH MăPH NGăĐ NGăCH T
2.2.1.ăThếăvịăphức
Ta nói bài tốn thấm là phẳng nếu các đ i lượng thấm (áp lực, vận t́c
thấm v.v…) không phụ thuộc vào một chiều nào đấy, Oz chẳng h n. Thí dụ
trong sự thấm qua một đập đất dài, thì hiện tượng thấm đều hầu như nhau
mỗi tiết diện c a đập thẳng góc với chiều dài và bài tốn thấm qua đập là
phẳng. Mỗi tiết diện như thế c a đập được gọi là mặt phẳng thấm.
Trong mặt phẳng thấm ta chọn hai trục tọa độ Ox ngang và Oy dọc
hướng lên trên. Lúc ấy phương trình chuyển động thấm phẳng s̃ có d ng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16


h

h
 k , v 
 k
x
x
y
y

(2.13)

 p

p
 y,   kh  k   y 
g
 g


(2.14)

u
với

h

trong đó k là hằng ś. Hàm  =  (x, y) gọi là hàm thế. Theo (2.11), ta có
 2  2
  2  2  0
x
y

(2.15)

Hàm thế là một hàm điều hịa c a hai biến x, y.
Phương trình liên tục tr thành

u v

0
x y

(2.16)

d = – vdx + udy

(2.17)



, v
y
x

(2.18)

Theo đó thì –vdx + udy là một vi phân đúng d c a một hàm  = (x, y)
gọi là hàm dịng:

Ta có

u
T̀ (2.13) và (2.18) ta rút ra

   


;
x y y x

(2.19)

T c là hai hàm (x, y) và (x, y) thỏa m̃n điều kiện ωauchy – Riemann.
Vậy chúng là các hàm điều hòa liên hợp và là phần thực và phần o c a một
hàm ph c, gi i tích (z) c a biến ph c z = x + iy:
 =  + i

Hàm  = (z) gọi là thế vị phức c a sự thấm. Đ o hàm c a nó bằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

d  

i
 u  iv  W(z)
x
dz x

(2.20)

trong ấy W(z) = u + iv là vận t́c thấm.
Vậy đ o hàm c a thế vị ph c bằng liên hợp c a vận t́c thấm. Và như thế
liên hợp c a vận t́c W(z) là một hàm gi i tích và b n thân vận t́c W(z) là
một hàm nghịch gi i tích.
2.2.2.ăĐ ờngădịngăvƠăđ ờngăthế
Đường dịng thấm là đư ng tiếp xúc với vectơ vận t́c thấm t i mỗi điểm
c a nó. Phương trình c a một đư ng như vậy là

dx dy

u
v
hay

0  vdx  udy  



dx 
dy  d
x

y

Vậy trên đư ng dịng ta có:  = hằng ś. Đó là lí do vì sao ta gọi hàm

(x, y) là hàm dòng.

Quỹ đ o trực giao c a đư ng dòng rõ ràng là

những đư ng  = hằng ś, mà ta gọi là đường thế.

Gi sử ta có hai đư ng dịng ω1 và C2 (hình 2.2)
C1:   1 hằng ś

C2:   2 hằng ś

Ta h̃y xét ý nghĩa c a hiệu 2  1 . Ta ńi một

Hình 2.2

điểm M1 trên C1 với một điểm M2 trên C2 bằng một đư ng L kh vi. Ta có:
 2  1   d  



dx 
dy     vdx  udy 


x
y

L
L

L

Nếu ta gọi Vn là phần chiếu c a vận t́c thấm lên pháp tuyến c a L và ds
là vi phân cũng c a L thì ta có

vdx  udy  Vn ds  dQ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18
trong đó dQ là lưu lượng nước thấm qua cung vi phân ds. Lấy tích phân, ta có
 2  1   Vn ds  Q12

(2.21)

L

Như vậy hiệu 2  1 chính bằng lưu lượng Q12 nước thấm giữa hai

đư ng dòng   1 và   2 trên một bề dày đơn vị.
2.2.3.ăĐi uăki năbiên

Miền thấm được giới h n b i những đư ng gọi là biên hay đư ng viền

(hình 2.3). Thế vị ph c (z) là một hàm gi i tích trong miền ấy. Nó thỏa m̃n
một ś điều kiện trên các đư ng viền gọi là điều kiện biên. Những điều kiện
này tùy thuộc vào lo i biên mà sau đây ta s̃ lần lượt xét.

Hình 2.3
2.2.3.1.ăBiênăkhơngăth m
Đó là biên giới h n những kh́i khơng thấm nước, như cơng trình bằng
bê – tơng hay nền đá rắn (ví dụ FNF

hình 2.3)

ψiên như thế rõ ràng ph i là một đư ng dòng, t c là dọc theo đư ng biên
không thấm ta có điều kiện

 = const

(2.22)

2.2.3.2.ăBiênăth m
Đó là biên giới h n một kh́i nước (ví dụ các biên Fχ, χψ, DE, EF trong
hình 2.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên