TỔNG hợp lý THUYẾT và DẠNG bài tập OXYZ

PHẦN 1: TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN

TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT:
Trong không gian Oxyz cho: A  xA ; y A ; zA  , B  xB ; yB ; zB  và a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1 ; b2 ; b3  , k 
Khi đó:

x

 x A    yB  y A    zB  z A 

1. AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  zA 

2. AB  AB 

3. a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 

4. k.a   ka1 ; ka2 ; ka3 

5.

2
2

2
3

7. a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3

a
9. a, b    2

  b
 2

a3 a3
;
b3 b3

(k

2

2

)

a1  b1

6. a  b  a2  b2
a  b
3
 3

a  a a a
2
1

2

B

a1 a1
;
b1 b1

m
o
.c

8. a  b  a.b  0  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3  0
a, b  a

Tính chất:   
  a , b   b


a2 

b2 

3
2
1

và

u, v   u . v .sin  u, v 

a
a
a

10. a cùng phương b  a  k.b  a , b   0  1  2  3
 
b1 b2 b3

p
ta

i
a
b

11. a , b, c đồng phẳng  m, n 

: a  mb  nc hay  a , b  .c  0
 

12. a , b, c không đồng phẳng  m, n 

: a  mb  nc hay  a , b  .c  0
 

 x  kxB y A kyB z A kzB 
;
;
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k  1  MA  kMB  M  A
.
1

k
1


k
1

k


 x  xB y A  y B z A  z B 
;
;
Đặc biệt: M là trung điểm AB : M  A
.
2
2 
 2
 x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC 
;
;
14. G là trọng tâm tam giác ABC : G  A

3
3
3



 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD 
;
;
15. G là trọng tâm tứ diện ABCD : G  A


4
4
4


16. Vectơ đơn vị: i  (1; 0; 0); j  (0;1; 0); k  (0; 0;1)
17. Điểm trên các trục tọa độ: M( x; 0; 0)  Ox; N(0; y; 0)  Oy; K(0; 0; z)  Oz
18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M( x; y; 0)  Oxy  ; N(0; y; z)  Oyz  ; K( x; 0; z)  Oxz  .
(C{ch nhớ phần 17 v| 18: Thiếu tọa độ n|o cho tọa độ đó bằng 0, cịn lại giữ nguyên.
Ví dụ (Oxy) thiếu z nên tọa độ M  (Oxy) sẽ có z  0 , tức l| M( x; y; 0) )


19. Diện tích tam giác: SABC 

1
AB, AC 

2

20.

bình

Diện

tích

hình

hành ABCD :

S

ABCD

  AB, AC 



21. Thể tích khối tứ diện ABCD :
1
AB, AC  .AD

6
22. Thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' :
VABCD 

VABCD. A' B'C ' D'   AB, AD  .AA '


II.

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1.

A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương   AB, AC   0 .



Dạng 2.

A, B, C là ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không cùng phương

  AB, AC   0 .



m
o
.c

Dạng 3.

G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC thì:

Dạng 4.

x  xB  xC
y  yB  yC
z z z
xG  A
; yG  A
; zG  A B C
3
3
3
Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài góc A của ABC trên
EB  

BC . Ta có:

3
2
1

p
ta

AB
.EC ,
AC

FB 

i
a
b

AB
.FC
AC

1
  AB, AC   diện tích của hình bình hành ABCD là: SABCD   AB, AC 



2

Dạng 5.

SABC

Dạng 6.

Đường cao AH của ABC : SABC 

Dạng 7.

Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau AB  DC



2.SABC  AB, AC 
1

AH.BC  AH 
BC
BC
2

hoặc AD  BC...  tọa độ D .

Dạng 8.

Chứng minh ABCD là một tứ diện  AB; AC; AD không đồng phẳng   AB, AC  .AD  0 .



Dạng 9.

G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tứ diện ABCD thì:

xA  xB  xC  xD
y  yB  yC  yD
z z z z
; yG  A
; zG  A B C D
4
4
4
1
Dạng 10. Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD   AB, AC  .AD

6
1
3V
Dạng 11. Đường cao AH của tứ diện ABCD : V  S BCD .AH  AH 
3
S BCD
xG 

Dạng 12. Thể tích hình hộp: VABCD. A' B'C ' D'   AB, AD  .AA ' .




Dạng 13. Hình chiếu của điểm A  xA ; y A ; z A  lên các mặt phẳng tọa độ và các trục:
Xem lại mục 1, công thức 17, 18.

Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm A  x A ; yA ;z A  qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa
độ:
(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để ngun tọa độ đó)

OXY  : A  x ; y ; z 
OX  : A  x ; y ; z 
Qua gốc O : A  x ;  y
1

4

A

A

7

A

A

A

A

A

OXZ  : A  x
OY  : A  x
2

5

A

A

; yA ; zA 

A

; y A ; z A 

OYZ  : A  x ; y
OZ  : A  x ; y
3

6

A

A

A

; zA 

A

; zA 

; zA 

MẶT CẦU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

Dạng 1.

S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2

Dạng 2.

x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 ĐK : a2  b2  c 2  d  0




2

2

2

1

m

o
.c





Tâm I  a , b, c  : Tính a, b, c bằng cách lấy hệ số của x, y , z chia cho 2 .

3
2
1

Bán kính R  a2  b2  c 2  d .

Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 với a2  b2  c2  d  0

p
ta
2

2

2

thì  S  có tâm I  – a; –b; –c  và bán kính R =

i
a
b

a2  b2  c2  d .

2. Vị trí tương đối giữa một điểm với một mặt cầu
Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và điểm A .
 Điểm A thuộc mặt cầu

 IA  R .

 Điểm A nằm trong mặt cầu  IA  R .
 Điểm A nằm ngoài mặt cầu  IA  R .
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2 và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 .
2

2

2

Tính: d  d  I ;   

Aa  Bb  Cc  D
A 2  B2  C 2



d  R : mặt cầu  S  và mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung.



d  R : mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu  S  tại H .



-

Điểm H được gọi là tiếp điểm.

-

Mặt phẳng ( ) được gọi là tiếp diện.

d  R : mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn.


Chú ý:
Tìm tiếp điểm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ( ) :


Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc mp ( ) : ta có ud  n .



Tọa độ H là giao điểm của d và ( ) .

Tìm bán kính r và tâm H đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu:


Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc mp ( ) : ta có ud  n .



Tọa độ H là giao điểm của d và ( ) .



Bán kính r  R2  d2 với d  IH  d  I ;   .

4. Vị trí tương đối của hai mặt cầu:
đựng nhau

cắt nhau

|R1 - R2|

tiếp
xúc
ngoài

tiếp
xúc
trong

I1 I2

I1

I2

I1 I2

m
o
.c
I1

I2

I1

I2

I1

I2

3
2
1



TH1: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu đựng nhau (nằm trong nhau).



TH2: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc trong.



TH3: R1  R2  I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu cắt nhau.



TH4: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.



TH5: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu ngoài nhau.

II.

ngoài nhau

R1 + R2

p
ta

i
a
b

CÁC DẠNG TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1.

Biết trước tâm I  a; b; c  và bán kính R : Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2

Dạng 2.

Tâm I và đi qua điểm A :

2



Bán kính R  IA



Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .
2

Dạng 3.

2

2

Mặt cầu đường kính AB
xA  xB

yA  yB



Tâm I là trung điểm AB : xI 



Bán kính R  IA 



Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .

2

; yI 

2

; zI 

AB
2
2

2

2

zA  zB
2

2

2

Dạng 4.

Mặt cầu tâm I  a; b; c  tiếp xúc mặt phẳng   :
Aa  Bb  Cc  D



Bán kính R  d  I ;   



Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .

A 2  B2  C 2
2

Dạng 5.

2

2

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua 4 điểm A, B, C , D )



Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0  2 



Thế tọa độ của điểm A, B, C , D vào phương trình (2) ta được 4 phương trình



Giải hệ phương trình tìm a, b, c , d rồi viết phương trình mặt cầu.

Dạng 6.

Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I    : Ax  By  Cz  D  0 :



Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0  2 



Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2) ta được 3 phương trình



I  a; b; c      Aa  Bb  Cc  D  0



Giải hệ 4 phương trình tìm a, b, c , d



Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 7.

m
o
.c

Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

3
2
1

Cách 1:


Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t )



Ta có A, B  (S)  IA  IB  R  IA  IB . Giải pt tìm ra t  tọa độ I , tính được R .

p
ta
2

Cách 2:

i
a

b

2



Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P  của đoạn thẳng AB .



Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I )



Bán kính R  IA . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.
(Chú ý: Nếu d   P  thì khơng sử dụng được c{ch 2 n|y)

Dạng 8.

Mặt cầu  S  có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước:



Xác định tâm J và bán kính R ' của mặt cầu T 



Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  S  .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Dạng 9.

Mặt cầu  S '  đối xứng Mặt cầu  S  qua mặt phẳng  P 



Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp  P  (xem cách làm ở phần mặt phẳng)



Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R .

Dạng 10. Mặt cầu  S '  đối xứng mặt cầu  S  qua đường thẳng d


Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua đường thẳng d (xem cách làm ở phần đường thẳng)



Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R .


MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp ( ) : n  0 là véctơ pháp tuyến của    n    .
Nếu n là một vtpt của ( ) thì kn  k  0  cũng là vtpt của ( ) .
2. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng ( ) : hai vectơ không cùng phương a , b là cặp vtcp của mặt
phẳng    a, b có giá song song hoặc nằm trên ( ) .
3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a, b : n   a , b  .
 

4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  0

( A2  B2  C 2  0)





Mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì có vtpt n   A ; B ; C  .



Mặt phẳng ( ) qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A ; B ; C  :



( ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0



Các trường hợp riêng:
Các hệ số

m
o
.c

D0

Phƣơng trình mặt phẳng ()

Ax  By  Cz  0

( ) đi qua gốc tọa độ O

A0

By  Cz  D  0

( ) / /Ox hoặc ( )  Ox

B0

Ax  Cz D  0

3
2
1

p
ta

i
a
b

Tính chất mặt phẳng ()

( ) / /Oy hoặc ( )  Oy

Ax  By  D  0

( ) / /Oz hoặc ( )  Oz

Cz  D  0

( ) / / Oxy  hoặc ( )  Oxy 

AC 0

By  D  0

( ) / / Oxz  hoặc ( )  Oxz 

BC 0

Ax  D  0

( ) / / Oyz  hoặc ( )  Oyz 

C0
AB0

Chú ý: Nếu trong phương trình của ( ) khơng chứa ẩn n|o thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng.
5. Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  :
x y z
   1 , abc  0
a b c

6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: Oyz  : x  0;

Oxz  : y  0; Oxy  : z  0.

7. Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử     '   d trong đó: ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .
Pt mp chứa d có dạng: m  Ax  By  Cz  D   n  A ' x  B ' y  C ' z  D '   0 (với m2  n2  0) .

8. Vị trí tương đối của hai mp   và  '  :


Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .

( )  ( ')  A : B : C  A ' : B ' : C ' 
( )  ( ')  AA ' BB ' CC '  0
A B C
D



A' B' C ' D'
A B C
D
( ) / /( ') 



A' B' C ' D'
( )  ( ') 

A B

B C
C
A

hay

hay

A' B'
B' C '
C ' A'

(trường hợp mẫu là 0 thì ta có quy ước...)

9. Khoảng cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến ( ) : Ax  By  Cz  D  0



Ax0  By0  Cz0  D



d M ,   

A 2  B2  C 2

Chú ý:


Khoảng c{ch giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng c{ch từ một điểm bất kì trên mặt phẳng n|y đến

mặt phẳng kia.



Nếu hai mặt phẳng khơng song song thì khoảng c{ch giữa chúng bằng 0 .

m
o
.c

10. Góc giữa hai mặt phẳng:

cos( ,  ) 

n1 . n2
n1 . n2



AA ' BB ' CC '



Góc giữa ( ),(  ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt n1, n2 .



00  ( ),( )  900 .





11. Các hệ quả hay dùng:

với n1 , n2 là các vtpt của ( ),(  ) .

3
2
1

A 2  B2  C 2 . A ' 2  B ' 2  C ' 2

p
ta

 ( )  (  )  n1  n2  AA ' BB ' CC '  0

i
a
b



Mặt phẳng   //    thì   có một vtpt là n  n với n là vtpt của mặt phẳng    .



Mặt phẳng   vng góc với đường thẳng d thì   có một vtpt là n  ud với ud là vtcp của
đường thẳng d .



Mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng  Q   n P   nQ ; n P   uQ ; nQ  u P 



Mặt phẳng  P  chứa hoặc song song với đường thằng d  n P   ud ; u P   ud



Hai điểm A, B nằm trong một mặt phẳng  P   AB  n P  u P   AB
(trong c{c công thức trên đều ngầm quy ước n là vtpt, u là vtcp).

II. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Muốn viết phương trình mặt phẳng cần x{c định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.

Dạng 1.

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A; B;C 

(): A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 hay Ax  By  Cz  D  0 với D    Ax0  By0  Cz0  .


Dạng 2.

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp vtcp a , b



Khi đó một vtpt của () là n   a , b 
 



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 3.

Mặt phẳng ( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C



Cặp vtcp: AB, AC



Mặt phẳng ( ) đi qua A (hoặc B hoặc C ) và có vtpt n   AB, AC 





Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 4.

Mặt phẳng trung trực đoạn AB



Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)



Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  AB



Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 5.


Mặt phẳng ( ) qua M và vng góc đường thẳng d (hoặc AB )

Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d

m
o
.c

(hoặc n  AB )


Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 6.

Mặt phẳng ( ) qua M và song song (  ) : Ax  By  Cz  D  0

3
2
1



Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  n   A; B; C 



Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 7.

p
ta

Mặt phẳng   đi qua M , song song với d và vng góc với   

i
a
b



  có một vtpt là n  u , n    với u



Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

d

Dạng 8.

d

là vtcp của đường thẳng d và n   là vtpt của    .

Mặt phẳng ( ) chứa M và đường thẳng d không đi qua M



Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0    d 



Tính MM0 . Xác định vtcp ud của đường thẳng d



Tính n   MM0 , ud 





Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc M0 ) và có vtpt n

Dạng 9.

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau (  ) , (  ) :



Xác định các vtpt n , n của (  ) và (  )



Một vtpt của ( ) là: n  u , n   





Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 10. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 :


Xác định các vtcp a , b của các đường thẳng d1 , d2




Một vtpt của ( ) là: n   a , b 
 



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 11. Mặt phẳng ( ) qua M , N và vng góc (  ) :


Tính MN



Tính n   MN , n 





Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc N ) và có vtpt n



Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 12. Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vng góc với   



  có một vtpt là n  u , n  với u là vtcp của d
Lấy điểm M  x ; y ; z   d  M  x ; y ; z   ( )



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .



d

d

0

0

0

0

0

0

0

0

 

Dạng 13. Mặt phẳng ( ) chứa  d  và song song d / (với (d),(d ') chéo nhau)

m

o
.c



Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0   d  M0  x0 ; y0 ; z0   ( )



Xác định vtcp ud ; ud ' của đường thẳng d và đường thẳng d '



Mặt phẳng ( ) đi qua M0 và có vtpt n  ud , ud ' 





Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

3
2
1

p
ta

Dạng 14. Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1 ,  2

i
a
b



Chọn điểm M1  x1 ; y1 ; z1   1 và M2  x2 ; y2 ; z2   2



Tìm vtcp u1 của đường thẳng  1 hoặc vtcp u2 của đường thẳng  2



Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n  u1 , M1 M2  hoặc n  u2 , M1 M2 







Sử dụng bài tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 15. Mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1 , d2 :


Xác định các vtcp a , b của các đường thẳng d1 , d2



Một vtpt của ( ) là: n   a , b 
 



Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ( )



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 16. Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k
khơng đổi:


Giả sử ( ) có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B2  C 2  0



Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  ( ) (ta được hai phương trình (1), (2))



Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( ))  k , ta được phương trình (3)




Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn cịn lại).

Dạng 17. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm H :


Giả sử mặt cầu  S  có tâm I và bán kính R . Vì H là tiếp điểm  H  ( )




Một vtpt của ( ) là: n  IH
Sử dụng dạng tốn 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 18. Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( P)


TH1: ( )  ( P)  d :
- Tìm M , N là hai điểm chung của ( ),( P)
- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P)
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’, M , N .



TH2: ( ) / /( P)
- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P)
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’ và song song với ( P) .

m
o
.c

III. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng 1.


Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của M lên ( )

- H là hình chiếu của điểm M trên  P  
- Giải hệ tìm được H .


3
2
1

Cách 1:

Cách 2:

i
a
b

p
ta

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
{

- Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc với ( ) : ta có ud  n

- Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d  và ( )

Dạng 2.

Tìm điểm M ’ đối xứng M qua ( )



Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của M lên ( )



H là trung điểm của MM / (dùng công thức trung điểm)  tọa độ H .

Dạng 3.


Viết phương trình mp ( P ') đối xứng mp ( P) qua mp  Q 

TH1: (Q)   P   d
- Lấy hai điểm bất kỳ  A, B  ( P)  (Q) (hay A, B  d )
- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua d và M ' .



TH2: (Q) / /  P 
- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua M ' và song song ( P) .

ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT:
1) Vecto chỉ phương của đường thẳng


Vectơ u  0 là véctơ chỉ phương của d  u / / d hoặc u nằm trên d .



Nếu u là một vtcp của d thì ku  k  0  cũng là vtcp của d .

2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc.


Đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp u   a; b; c  có:


 x  xo  at

Phương trình tham số:  y  y0  bt (t  R)
 z  z  ct
0




Phương trình chính tắc:

x  x0 y  y0 z  z0



a
b
c

( a.b.c  0)

3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và d ' đi qua M0  x '0 ; y '0 ; z '0  có phương trình tham

 x  x0  a1t

số lần lượt là: d :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3




 x  x '0  a '1 t '

và d :  y  y '0  a '2 t '
z  z '  a ' t '
0
3


m
o
.c

3
2
1

a , a ' cung phuong

 x  a t  x '0  a '1 t '
d / / d '   0 1
(ẩn t , t ’ ) vô nghiệm
y

a
t

y
'

a
'
t
'

 0 2
0
2
 z  a t  z '  a ' t '

0
3
 0 3

p
ta

i
a
b

  a, a '  0

a , a ' cung phuong

a , a ' cung phuong




'
 M0  x0 ; y0 ; z0   d '

  a, M 0 M 0   0
a , M0 M '0 khong cung phuong





 x0  ta1  x0'  t ' a1'
a , a ' cung phuong

d  d hệ  y0  ta2  y0 ' t ' a2' có vơ số nghiệm  
 M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d '

'
z

ta

z
'

t
'
a
0
3
0
3

 a, a ', M 0 M 0' cùng phương   a, a '  a, M 0 M 0'   0





d, d cắt nhau

 x0  a1t  x '0  a '1 t '

 hệ  y0  a2t  y '0  a '2 t ' (ẩn t, t) có đúng một nghiệm
z  a t  z '  a ' t '
0
3
 0 3

{

⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

  a, a '  0



 a, a ' .M 0 M 0'  0







a , a ' khong cung phuong

 x  a t  x '0  a '1 t '
d, d chéo nhau    0 1
(ẩn t , t ’ ) vô nghiệm

y

a
t

y
'

a
'
t
'

 0 2
0
2
 z  a t  z '  a ' t '
0
3
 0 3

 a, a ', M 0 M 0' không đồng phẳng   a, a ' .M 0 M 0'  0
 d  d  a  a  a.a  0

SƠ ĐỒ TÓM TẮT CÁC BƢỚC KIỂM TRA VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
Tính

m
o
.c

Trùng nhau

p
ta

3
2
1

i
a
b

Song song

Cắt nhau

Chéo nhau

4) Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp ud  (a; b; c) và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0
có vtpt n   A; B; C  . Khi đó:
Phương pháp 1:


d cắt ( )  Aa  Bb  Cc  0



 Aa  Bb  Cc  0
d / /( )  
( n vuông góc với ud và M0  ( ) )
 Ax0  By0  Cz0  D  0



 Aa  Bb  Cc  0
d  ( )  
( n vng góc với ud và M0  ( ) )
 Ax0  By0  Cz0  D  0



d  ( )  ud / / n  ud , n   0



Phương pháp 2:

( n không vuông góc với ud )



 x  x0  a1t

Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3




Xét phương trình: A( x0  a1t)  B( y0  a2t)  C( z0  a3t)  0


d // ( )



d cắt ( )  (*) có đúng một nghiệm



d  ( )  (*) có vơ số nghiệm

(ẩn t ) (*)

 (*) vơ nghiệm

Δ

5) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
H

R
I

I

I

Δ
A

H

R

R

Δ
H

B

 x  x0  a1t

Cho đường thẳng   y  y0  a2t
z  z  a t
0
3


(1) và mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2  2 
2

2

2

m
o
.c

Để xét VTTĐ của  và  S  ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)
 d cắt  S  tại hai điểm ph}n biệt

 d  I ,    R  (*) có hai nghiệm ph}n biệt

 d tiếp xúc với  S 

 d  I ,    R  (*) có đúng một nghiệm

 d và  S  khơng có điểm chung

 d  I ,    R  (*) vô nghiệm

3
2
1

p
ta

Chú ý: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

i
a
b

 x  x0  a1t

d :  y  y 0  a2 t
z  z  a t
0
3


1

và (S) :  x  a    y  b    z  c   R2  2 
2

2



Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t .



Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm.

2

6) Góc giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u  (a; b; c) và đường thẳng d ' có vtcp u '  (a '; b '; c ') .
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:




u . u'
cos  





u . u'



a.a ' bb ' cc '
a  b  c . a'  b'  c '
2

2

2

2

2

2

(0    900 )

7) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u  (a; b; c) và mặt phẳng ( ) có vtpt n   A; B; C  .
Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng ( ) ta có:


 

u. n
sin  







u.n

Aa  Bb  Cc
A 2  B2  C 2 . a 2  b 2  c 2


8) Khoảng cách từ điểm M1  x1 ; y1 ; z1  đến đường thẳng  có vtcp u :


Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M1 và vng góc với  .
- Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng ( ) .
- d  M1 ;    M1H .



Cách 2: Sử dụng công thức: d  M1 ,   

 M M , u
 1 0 
u

(với M0   )

(c{ch n|y thường dùng casio cho nhanh)
9) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

m
o
.c


Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  , có vtcp u và đường thẳng  ' đi qua


M '0  x '0 ; y '0 ; z '0  , có vtcp u '



3
2
1

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  và song song với  ' .

p
ta

- Tính khoảng cách từ M '0 đến mặt phẳng ( ) .

i
a
b

- d( ,  ')  d( M '0 ,( )) .


Cách 2:

u , u '  . M M '

 0 0
Sử dụng công thức: d(  ,  ') 
. (c{ch n|y thường dùng casio cho nhanh)
u , u ' 



10) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( ) .
11) Các kết quả hay dùng



Hai đường thẳng song song có cùng vtcp.



Đường thẳng vng góc mặt phẳng thì vtpt của mặt phẳng là vtcp của đường thẳng.

II. CÁC DẠNG TỐN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần x{c định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1.

Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp a   a1 ; a2 ; a3  :

 x  xo  a1t

(d) :  y  yo  a2t
z  z  a t
o
3


( t  R)

hoặc

( d) :

x  x0

a1



y  y0
a2



z  z0
a3


Dạng 2.

Đường thẳng d đi qua A và B :



Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp ad  AB



Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 3.

Đường thẳng d qua A và song song 



Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud  u



Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 4.

Đường thẳng d qua A và vng góc mp ( )



Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud  n



Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 5.

Đường thẳng  d  qua A và vng góc 2 đường thẳng d1 và d2 :



Đường thẳng d đi qua A và có vtcp u  ud1 , ud2 





Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 6.


Đường thẳng  d  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  , Q  :

m
o
.c

Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp.


– Tìm toạ độ một điểm A  d : Bằng cách giải hệ phương trình ( P)
(Q)

3
2
1

(với việc chọn gi{ trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm gi{ trị hai ẩn cịn lại)
– Tìm một vtcp của d : ud  nP , nQ 




p
ta

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 7.

i
a
b

Đường thẳng  d  đi qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  và vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 :



Vì d  d1 , d  d2 nên một vtcp của d là: ud  ud1 , ud2 





Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .

Dạng 8.


Đường thẳng  d  đi qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , vng góc và cắt đường thẳng  .

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M0 trên đường thẳng 
H  
Ta có 
 M0 H  u

H

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0 , H (trở về dạng 2).


Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M0 và vng góc với  ;  Q  là mặt phẳng đi qua M0 và
chứa



 . Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).

Cách 3: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M0 và vng góc với 
- Tìm điểm B   P   
- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm M0 , B (quay về dạng 2).


Dạng 9.

Đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( P) , vng góc và cắt đường thẳng 



Tìm giao điểm M của  và ( P)  M  d



u  u


 ud  u , nP 
Vì  d


ud  nP

Dạng 10. Đường thẳng  d  qua A và cắt d1 , d2 :


d  ( )  (  ) với mp ( ) chứa A và d1 ; mp (  ) chứa A và d2 (trở về dạng 6)

Dạng 11. Đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( P) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 :


Tìm các giao điểm A  d1   P  , B  d2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng 2).

Dạng 12. Đường thẳng  d  / /  và cắt d1 , d2 :


Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d và d1 , mặt phẳng  Q  chứa d và d2
Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).

Dạng 13. Đường thẳng (d) qua A và  d1 , cắt d2 :


- Viết phương trình mp ( ) qua A và vng góc với d1

3
2
1

- Tìm B  d2  ( )

- Khi đó  d  chính là đường thẳng AB (về dạng 2).


m
o
.c

Cách 1:

p
ta

Cách 2:

- Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A và vng góc với d1

i
a
b

- Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa A và d2
- Khi đó d   P    Q  . (trở về dạng 6)


Cách 3:
- Viết phương trình tham số t của đường thẳng d2 (nếu chưa có).
- Tìm điểm B  d  d2 ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn AB.ud1  0

Giải phương trình tìm được t  B
- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A, B .

Dạng 14. Đường thẳng  d    P  cắt d1 , d2 :


Tìm mp ( ) chứa d1 ,   P  ; mp(  ) chứa d2 ,   P 



d  ( )  (  ) (trở về dạng 6).

Dạng 15. Đường thẳng d ’ là hình chiếu của d lên ( ) :


Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và vng góc với ( ) .
- Đường thẳng d ' là giao tuyến của ( ) và (  ) (trở về dạng 6).




Cách 2:
- Xác định A là giao điểm của d và ( ) .
- Lấy điểm M  A trên d . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vng góc với ( ) .
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với ( ) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2).
Đặc biệt: Nếu d song song ( ) thì d ' là đường thẳng đi qua H và song song với d .

Dạng 16. Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  d1  và  d2  :


Cách 1:
- Chuyển phương trình đường thẳng  d1  ,  d2  về dạng tham số và xác định u1 , u2 lần lượt là vtcp
của  d1  ,  d2  .
- Lấy A, B lần lượt thuộc  d1  ,  d2  (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).

 AB  u  0
1

- Giả sử AB là đường vng góc chung. Khi đó: 
AB

u

0

2

 AB.u  0
1

 AB.u2  0

* 

m
o
.c

Giải hệ phương trình  *  tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B .
- Viết phương trình đường vng góc chung AB .


3
2
1

Cách 2:

- Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: ad   ad1 , ad2 



p
ta

- Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:

i
a
b

+ Lấy một điểm A trên d1 .

+ Một vtpt của  P  là: nP   a , ad1 



- Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d2 .
Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).


Cách 3:
- Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: ad   ad1 , ad2 


- Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .
+ Một vtpt của  P  là: nP   a , ad1 


- Tìm M  d2  ( P) . Khi đó viết phương trình d qua M có vtcp ad .

III. CÁC DẠNG TỐN KHÁC

Dạng 1.


Tìm H là hình chiếu của M trên đường thẳng  d 

Cách 1:
- Viết phương trình mp ( ) qua M và vng góc với  d  : ta có n  ad


- Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d  và ( ) .


Cách 2:

H  d
- Đưa  d  về dạng tham số. Điểm H được xác định bởi: 
 MH  ad

Dạng 2.


Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d :

Cách 1:

- Tìm hình chiếu H của M trên  d 
- Xác định điểm M ' sao cho H là trung điểm của đoạn MM ' (công thức trung điếm).


Cách 2:
- Gọi H là trung điểm của đoạn MM ' . Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M , M ' (cơng thức
trung điếm).

- Khi đó toạ độ của điểm M / được xác định bởi:  MM '  ad .
H  d

Dạng 3.


Đường thẳng (d ') đối xứng đường thẳng (d) qua mặt phẳng  P 

m
o
.c

TH1: (d)   P   A
- Xác định A là giao điểm của d và ( P)

3
2
1

- Lấy điểm M  d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AM ' .


p
ta

TH2: (d) / /  P 

i
a
b

- Lấy điểm M  d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng qua M ' và song song d .