Bài giảng MOT SO DANG TOAN CO BAN TOAN 9

TÀI LIỆU ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9
Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết)
1. Một số kỹ năng cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)−
3)
2
( 3 2)−
4)
2
( 3 2)−
5)
2
( 3 2)+
6)
2
( 3 2)−
7)
2
(2 2 2)+
8)
2
(2 2 2)−
9)
2 2 1+
10)

2 2 1−
11)
( 2 1)( 2 1)+ +
12)
2 2 8−
Bài 2:Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
8 2 15+
;
10 2 21−
;
5 24+
;
12 140−
;
14 6 5+
8 28−
;
9 4 2+
;
28 6 3+
;
17 18 2+
;
51 10 2+

Bài 3: Phân tích thành nhân tử
1)
1 3 5 15+ + +
; 2)
10 14 15 21+ + +

; 3)
35 14 15 6+ − −
4)
3 18 3 8+ + +
; 5)
2
36x 5−
; 6) 25 – 3x
2
; 7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0) ; 9) 31 + 7x (x < 0); 10)
x y y x+
Bài 4: Tính:
A 21 6 6 21 6 6= + + −
HD: Ta có:
6 6 2. 3.3 2=
và
2 2
21 ( 3) (3 2)= +
. Từ đó suy ra:
A 6 2=
Bài 5: Tìm giá trị của x để
1) x
2
− 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2)
2
1
x 2x 5+ +
có giá trị lớn nhất
3)

2
2
2x 5
2x 1
+
+
có giá trị lớn nhất 4)
2
2
x 2x 1
x 4x 5
− +
+ +
có giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A =
6
x 1−
; 2) B =
14
2x 3+
; 3) C =
x 5
x 2
+
+
; 4) D =
4x 3
2x 6
+

−
Bài 7: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) ; 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3)
5x 2 1 2x
4 12
− −
>
; 4)
11 3x 5x 2
10 15
− +
<
2. Bài tập tổng hợp
Bài 8: Cho biểu thức:
2
x 1 x 1 2 x 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
+ −
   
= − − +
 ÷  ÷
− + − +
−
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
x 3 8= +

c) Tìm giá trị của x khi A =
5
HD: a) ĐK: x ≠ ±1:
2
4x
A
1 x
=
−
;
b)
x 3 8 1 2= + = +
. Khi đó: A = −2; c)
1
x 5= −
;
2
5
x
5
=
Bài 9: Cho biểu thức:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6
+
= − +
+ −

+ −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
1
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2 ; b)
x 1
A
x 2
+
=
−
; c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
Bài 10: Cho biểu thức
2 2
2
2a a a 2 a 2 4a
C
a 3 a 2 a 2
4 a
 
− − +
= − +
 ÷
+ + −
−
 
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C
b) Tìm các giá trị của a để C = 1
c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?

HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)
2
4a
C
a 3
=
+
; c) C = 1 ⇔
a 1
3
a
4
=



= −

; d) C > 0 ⇔
a 0
a 2
a 3
≠


≠ ±


> −


; C < 0 ⇔ a < −3
Bài 11: Cho biểu thức
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20= +
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b)
x 2
C
x 2
−
=
+
; c)
C 5 2= −
; d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 12: Cho biểu thức:
a a 1 a a 1 a 2
A :
a 2

a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2)
A
a 2
−
=
+
; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
Bài 13: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi

x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
;
c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1 .
Bài 14: Cho biểu thức
a 3 3 a
B
2 a 6 2 a 6
+ −
= −
− +
a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
a 9
B
a 9
+
=
−
; b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9 ; c) B = 4 ⇔ a = 15
Bài 15: Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
2
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) min A = 4 khi
1
x
4
=
Bài 16: Cho
2

x 2 x 2 1 x
P .
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
1) Rút gọn P .
2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả:
P x(1 x)= −
2) Nếu 0 < x < 1 thì :
0 x 1< <
⇔ P > 0.
3)
2
1 1 1
P x
4 2 4
 
= − − ≤

 ÷
 
. Dấu "=" xảy ra ⇔
1 1
x x
2 4
= ⇔ =
. Vậy:
1 1
max P x
4 4
= ⇔ =

Bài 17: Cho biểu thức
3
1 1 x x
B
x 1 x x 1 x x 1
−
= + +
− − − + −
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị của x khi B = 4
d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > 1; b)
B x 2 x 1= − −
; c) B = 4 ⇔ x = 10; d) B nguyên x = m
2
+ 1 (m ∈ Z)

Bài 18: Cho biểu thức:
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2 x 1
  +
= +
 ÷
− − − +
 
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
b) So sánh A với 1
HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:
2
1 x ( x 1) x 1
A .
x( x 1) x 1 x
+ − −
= =
− +
b) Xét hiệu: A – 1 =
x 1 x 1 x 1
1 0
x x x
− − −
− = = − <
. Vậy: A < 1
Cách 2: Dễ thấy: A =
1
1 1
x

− <
vì:
1
0
x
>
Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết)
Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1).
ĐS: a = 3 và b = −5
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5).
ĐS: y = −2x + 7.
Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3.
ĐS: y = 4x + 12
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 2.
ĐS: y = −x + 2.
Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x
2
và 2 đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1

) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
3
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD: a) M(3 ; 1); b)
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x
2
− mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m
2
= 16 ⇔
m 4
m 4
=


= −


Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau
Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d
1
): 5x + 11y = 8; (d
2
): 10x − 7y = 74; (d
3
): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) (d
1
): 3x + 2y = 13; (d
2
): 2x + 3y = 7 ; (d
3
): (d
1
): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8
Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) ; b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
; b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
Bài tập về nhà
Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5).

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt
đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung.
Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005.
Hãy viết phương trình đường thẳng (d).
Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x
2
Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết)
1. Hệ phương trình bậc nhất
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =



+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2
+ =


− =

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =





− =


; b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

− =




+ =


; c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+ −




− = −

+ −

; d)
4 5
2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

− +



− =

+ −

HD: a) ĐS:
10
(x ; y) 2 ;
3
 
=

 ÷
 
; b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
 
 ÷
 
; c) (x ; y) = (5 ; 3);d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
 
=
 ÷
 
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx y 1
x y
334
2 3
− =



− =


a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001). b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔
3
m
2
=
Bài 4: Cho hệ phương trình:
x my 1
mx 3my 2m 3
+ =


− = +

a) Giải hệ phương trình với m = –3
4
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ 0 và m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ p/trình:
mx y 1
x y m
− =


− + =

Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vô số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm
Bài 6: Cho hệ phương trình:
2mx y 5

mx 3y 1
− + =


+ =

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0
2. Phương trình bậc hai
Bài 7: Giải các phương trình:
1) x
2
– 4x + 3 = 0; 2) x
2
+ 6x + 5 = 0; 3) 3x
2
– 4x + 1 = 0 ; 4) x
2
– 5x + 6 = 0
5)
2
( 2 1)x x 2 0− + − =
; 6)
2
2x ( 2 1)x 1 0− + + =
; 7)
2
x ( 2 1)x 2 0+ − − =
8) x

4
– 11x
2
+ 10 = 0; 9) 3x
4
– 11x
2
+ 8 = 0; 10) 9x
4
– 22x
2
+ 13 = 0
11) (2x
2
+ x – 4)
2
– (2x – 1)
2
= 0; 12) (x – 3)
2
+ (x + 4)
2
= 23 – 3x
13)
2
2
2x x x 8
x 1
x 3x 4
− +

=
+
− −
; 14)
1 1 1
x 4 x 4 3
+ =
− +
15) 3(x
2
+ x) – 2(x
2
+ x) – 1 = 0 16) (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
– 4x – 4 = 0
Bài 8: Cho phương trình
2
x 3x 5 0+ − =
và gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
, x
2
. Không
giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2

1 1
x x
+
; b)
2 2
1 2
x x+
; c)
2 2
1 2
1 1
x x
+
; d)
3 3
1 2
x x+
HD: Đưa các biểu thức về dạng x
1
+ x
2
và x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x
2
– 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một
nghiệm x

1
= 2. Tìm nghiệm x
2
.
HD: m = 2, x
2
= 2
Bài 10: Cho phương trình x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
= 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
1
m
2
> −
b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x
2
− 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0
b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3
Bài 12: Cho phương trình x
2

− 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng:
A = x
1
(1 − x
2
) + x
2
(1 − x
1
) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm
x 2 2 7= ±
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
− 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x
1
)

2
+ (x
2
)
2
theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
= 4(m − 1)
2
− 2(m − 3) = 4m
2
− 10m + 10
c) P =
2
15 15
(2m 5)
4 4
− + ≥
. Dấu "=" xảy ra ⇔
5

m
2
=
5