tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 4)

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 4)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`

o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.

an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e
gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x

´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l

`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c

´
o th
`
o
,
i
gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao ch
´

ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 31. Ðê
`
thi olympic to
´
an Belarus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
31.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
31.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chu
,
o

,
ng 32. Ðê
`
thi olympic to
´
an Brazil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
32.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
32.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chu
,
o
,
ng 33. Ðê
`
thi olympic to
´
an Bulgaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33.1. Ðê
`
b

`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chu
,
o
,
ng 34. Ðê
`
thi olympic to
´
an Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chu
,
o
,
ng 35. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chu
,
o
,
ng 36. Ðê
`
thi olympic to

´
an S
´
ec v
`
a C
.
ông ho
`
a Slovak. . . . . . . . . . . . . . . . 32
36.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
36.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chu
,
o
,
ng 37. Ðê
`
thi olympic to
´

an Ph
´
ap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
37.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
M
.
UC L
.
UC 5
37.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chu
,
o
,
ng 38. Ðê
`
thi olympic to
´
an Hong Kong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

38.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
38.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Chu
,
o
,
ng 39. Ðê
`
thi olympic to
´
an Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
39.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
39.2. L
`
o
,

i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
CHU
,
O
,
NG 31
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN BELARUS
31.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 31.1. T
`
ım tâ

´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c a sao cho h
`
am sô
´
f (x) = {ax + sin x} tuâ
`
n ho
`
an.
Trong
¯
d
´
o {y} l
`
a phâ
`
n th
.

âp phân c
,
ua y.
B
`
ai 31.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
ı sô
´
nguyên n > 1 th
`
ı tô
,
ng S c
,
ua tâ
´

t c
,
a c
´
ac u
,
´
o
,
c
c
,
ua n (bao gô
`
m c
,
a 1 v
`
a n) th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th

´
u
,
c
k
√
n < S <
√
2kn,
trong
¯
d
´
o k l
`
a sô
´
c
´
ac u
,
´
o
,
c c
,
ua n.
B
`
ai 31.3. Cho m

.
ôt b
,
ang h
`
ınh vuông 7 × 7
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 49 h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i,
v
`
a b
.
i g
.
ach th

`
anh 3 lo
.
ai: c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
˜
o
,
3 × 1, c
´
ac g
´
oc gô
`
m 3 h
`
ınh vuông
¯
do
,
n

v
.
i v
`
a c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i. Jerry c
´
o râ
´
t nhiê
`
u h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
`

a m
.
ôt g
´
oc trong khi
Tom ch
,
ı c
´
o m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât.
(a) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang Tom c
´
o thê

,
¯
d
.
˘
at h
`
ınh vuông c
,
ua m
`
ınh lên 1 ch
˜
ô n
`
ao
¯
d
´
o trên
tâ
´
m b
,
ang (ph
,
u duy nhâ
´
t m
.

ôt h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i) m
`
a Jerry không thê
,
xê
´
p k
´
ın
phâ
`
n c
`
on l
.
ai c
,
ua tâ
´
m b
,
ang v

´
o
,
i nh
˜
u
,
ng h
`
ınh c
,
ua m
`
ınh.
(b) Bây gi
`
o
,
Jerry
¯
du
,
.
o
,
c cho thêm m
.
ôt g
´
oc kh

´
ac. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang d
`
u cho Tom
¯
dê
,
h
`
ınh vuông c
,
ua anh ta
,
o
,
¯
dâu (ph
,
u duy nhâ
´
t m
.
ôt h

`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i), Jerry v
˜
ân
c
´
o thê
,
xê
´
p k
´
ın phâ
`
n c
`
on l
.
ai c
,
ua tâ
´
m b
,

ang v
´
o
,
i c
´
ac h
`
ınh c
,
ua m
`
ınh.
B
`
ai 31.4. Cho m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´

p h
`
ınh thang cân ABCD. Gi
,
a s
,
u
,
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
giao v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´

eo AC t
.
ai K v
`
a L (K n
`
˘
am gi
˜
u
,
a A v
`
a L). T
´
ınh t
,
ı sô
´
AL · KC
AK · LC
.
B
`
ai 31.5. Cho P v
`
a Q l
`
a c
´

ac
¯
diê
,
m trên c
.
anh AB c
,
ua tam gi
´
ac ABC (v
´
o
,
i P n
`
˘
am
gi
˜
u
,
a A v
`
a Q) sao cho ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCB, v
`
a cho AD l
`
a
¯

du
,
`
o
,
ng phân gi
´
ac
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
g
´
oc ∠BAC. Ðu
,
`
o
,
ng AD c
´
˘
at CP v
`
a CQ tu

,
o
,
ng
´
u
,
ng t
.
ai M v
`
a N. Gi
,
a s
,
u
,
PN = CD v
`
a
3∠BAC = 2∠BCA, ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tam gi
´
ac CQD v

`
a tam gi
´
ac QNB c
´
o c
`
ung di
.
ên
t
´
ıch.
B
`
ai 31.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
{x

3
} + {y
3
} = {z
3
}
c
´
o vô sô
´
ngh
.
êm h
˜
u
,
u t
,
ı không nguyên. Trong
¯
d
´
o, {a} l
`
a phâ
`
n th
.
âp phân c
,

ua a.
B
`
ai 31.7. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên n v
`
a sô
´
th
.
u
,
c m sao cho c
´
ac h
`
ınh vuông c
,
ua m
.
ôt

b
,
ang c
˜
o
,
n × n c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c k
´
ı hi
.
êu l
`
a 1, 2, . . . , n
2
v
´
o
,
i m
˜

ôi sô
´
xuâ
´
t hi
.
ên
¯
d
´
ung m
.
ôt lâ
`
n
theo c
´
ach biê
,
u sau
(m − 1)a
i j
≤ (i + j)
2
− (i + j) ≤ ma
i j
v
´
o
,

i 1 ≤ i, j ≤ n, trong
¯
d
´
o a
i j
l
`
a sô
´
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao giao c
,
ua h
`
ang th
´
u

,
i v
`
a c
.
ôt th
´
u
,
j.
B
`
ai 31.8. T
´
ınh t
´
ıch
2
1999

k=0

4 sin
2
kπ
2
2000
− 3

.

B
`
ai 31.9. Cho hai sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m v
`
a n. B
´
˘
at
¯
dâ
`
u v
´
o
,
i m
.
ôt danh s
´
ach 1, 2, 3, . . . ,
ch
´
ung ta c
´

o thê
,
l
.
âp m
.
ôt danh s
´
ach c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m
´
o
,
i theo 2 c
´
ach kh
´
ac nhau.
(i) Ðâ
`
u tiên ta x
´
oa tâ

´
t c
,
a sô
´
th
´
u
,
m trong danh s
´
ach (luôn b
´
˘
at
¯
dâ
`
u b
`
˘
ang sô
´
¯
dâ
`
u tiên);
sau
¯
d

´
o, trong danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c, ta x
´
oa tâ
´
t c
,
a sô
´
th
´
u
,
n. Ta g
.
oi danh s
´
ach n
`
ay
l

`
a danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u
,
nhâ
´
t.
(ii) Ðâ
`
u tiên ta x
´
oa tâ
´
t c
,
a sô
´
th
´
u

,
n trong danh s
´
ach; sau
¯
d
´
o, trong danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c, ta x
´
oa tâ
´
t c
,
a sô
´
th
´
u
,
m. Ta g
.

oi danh s
´
ach n
`
ay l
`
a danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u
,
2.
Bây gi
`
o
,
, ta g
.
oi 1 c
.
˘
ap (m, n) l

`
a tô
´
t khi v
`
a ch
,
ı khi ph
´
at biê
,
u sau
¯
d
´
ung: nê
´
u m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k xuâ
´
t hi
.
ên trong c

,
a 2 danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c, th
`
ı n
´
o xuâ
´
t hi
.
ên t
.
ai c
`
ung
v
.
i tr
´
ı trong m
˜
ôi danh s

´
ach.
(a) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang (2, n) l
`
a tô
´
t v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n.
(b) Kiê
,

m xem c
´
o tô
`
n t
.
ai hay không bâ
´
t k
`
ı c
.
˘
ap (m, n) tô
´
t th
,
oa m
˜
an 2 < m < n.
8 Chu
,
o
,
ng 31. Ðê
`
thi olympic to
´
an Belarus
B

`
ai 31.10. Cho a
1
, a
2
, . . . , a
100
l
`
a m
.
ôt t
.
âp c
´
ac sô
´
c
´
o th
´
u
,
t
.
u
,
. Trong m
˜
ôi lâ

`
n di chuyê
,
n,
ta ch
.
on 2 sô
´
bâ
´
t k
`
ı a
n
, a
m
v
`
a chuyê
,
n ch
´
ung t
´
o
,
i 2 sô
´
tu
,

o
,
ng
´
u
,
ng
a
2
n
a
m
−
n
m

a
2
m
a
n
− a
m

v
`
a
a
2
m

a
n
−
m
n

a
2
n
a
m
− a
n

Kiê
,
m tra nê
´
u c
´
o thê
,
b
´
˘
at
¯
dâ
`
u v

´
o
,
i t
.
âp a
i
=
1
5
v
´
o
,
i i = 20, 40, 60, 80, 100 c
`
on l
.
ai a
i
= 1
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,

c m
.
ôt t
.
âp ch
,
ı ch
´
u
,
a c
´
ac sô
´
nguyên.
31.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.1. Nghi
.

êm c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a a =
r
π
, r ∈ Q.
Ðâ
`
u tiên, gi
,
a s
,
u
,
a =
r
π
v
´
o
,
i r ∈ Q; viê
´
t l

.
ai r =
p
q
v
´
o
,
i p, q ∈ Z, q > 0. Khi
¯
d
´
o
f (x + 2qπ) =

p
qπ
(x + 2qπ) + sin(x + 2qπ)

=

p
qπ
x + 2p + sin x

=

p
qπ
x + sin x


= f (x)
do
¯
d
´
o f tuâ
`
n ho
`
an v
´
o
,
i chu k
`
ı 2qπ.
Bây gi
`
o
,
, gi
,
a s
,
u
,
f l
`
a tuâ

`
n ho
`
an; khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai p > 0 sao cho f (x) = f (x + p) v
´
o
,
i
m
.
oi x ∈ R. Khi
¯
d
´
o {ax + sin x} = {ax + ap + sin(x + p)} v
´
o
,
i m
.
oi x ∈ R; n
´

oi c
´
ach kh
´
ac
g(x) = ap + sin(x + p) − sin x l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên v
´
o
,
i m
.
oi x. Tuy nhiên g liên t
.
uc, v
`
ı
v
.
ay tô
`
n t
.
ai k ∈ Z sao cho g(x) = k v
´

o
,
i m
.
oi x ∈ R. Viê
´
t l
.
ai
¯
diê
`
u trên ta
¯
du
,
.
o
,
c
sin(x + p) − sin x = k − ap v
´
o
,
i m
.
oi x ∈ R.
Cho x = y, y + p, y + 2p, . . . , y + (n −1)p rô
`
i c

.
ông l
.
ai ta
¯
du
,
.
o
,
c
sin(y + np) − sin y = n(k − ap) v
´
o
,
i m
.
oi y ∈ R v
`
a n ∈ N.
B
,
o
,
i v
`
ı vê
´
tr
´

ai c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh trên b
.
i ch
.
˘
an b
,
o
,
i 2, ta kê
´
t lu
.
ân r
`
˘
ang k = ap v
`
a
sin(x + p) = sin x v
´
o

,
i m
.
oi x ∈ R. Ð
.
˘
ac bi
.
êt, sin(
π
2
+ p) = sin(
π
2
) = 1 v
`
a do
¯
d
´
o
p = 2mπ v
´
o
,
i m ∈ N. Nhu
,
v
.
âya =

k
p
=
k
2mπ
=
r
π
v
´
o
,
i r =
k
2m
∈ Q,
¯
dpcm.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9
L
`
o

,
i gi
,
ai 31.2. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac u
,
´
o
,
c c
,
ua n l
`
a 1 = d
1
< d − 2 < ··· < d
k
= n; khi
¯
d
´
o
d

i
d
k+1−i
= n v
´
o
,
i m
˜
ôi i. V
`
ı v
.
ây
S =
k

i=1
d
i
=
k

i=1
d
i
+ d
k+1−i
2
>

k

i=1

d
i
d
k+1−i
= k
√
n,
th
,
oa m
˜
an vê
´
tr
´
ai c
,
ua bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´

u
,
c. (Bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên l
`
a ch
.
˘
at v
`
ı dâ
´
u b
`
˘
ang không
x
,
ay ra v
´

o
,
i
d
1
+ d
k
2
≥
√
d
1
d
k
.) Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh vê
´
ph
,
ai,
¯
d
.
˘
at S

2
=

k
i=1
d
2
i
v
`
a d
`
ung bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trung b
`
ınh ta
¯
du
,
.

o
,
c
S
k
=

k
i=1
d
i
k
≤


k
i=1
d
2
i
k
=

S
2
k
nên S ≤

kS
2

.
Bây gi
`
o
,
S
2
n
2
=
k

i=1
d − i
2
n
2
=
k

i=1
1
d
k+1−i
2
≤
n

j=1
1

j
2
<
π
6
b
,
o
,
i v
`
ı d
1
, . . . , d
k
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên phân bi
.
êt t
`
u
,
1
¯
dên n. Do

¯
d
´
o
S ≤

kS
2
<

kn
2
π
2
6
<
√
2kn.
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.3. (a) Tom nên
¯
d
.
˘
at h

`
ınh vuông c
,
ua m
`
ınh nên h
`
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh dâ
´
u X
trên tâ
´
m b
,
ang nhu
,
du
,
´

o
,
i
¯
dây.
1 2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1
2 3 1 X 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1
1 3 2 1 3 2 1
2 1 3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 1 3
1 3 2 1 3 2 1
2 1 3 X 1 3 2
3 2 1 3 2 1 3
1 3 2 1 3 2 1
Lu
,
´
o
,
i ô vuông
,
o
,
vên tr
´

ai ch
´
u
,
a 17 sô
´
1, 15 sô
´
2 v
`
a 16 sô
´
3; v
`
ı m
˜
ôi h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât
3 × 1 ch
´
u
,
a 1 sô

´
1, 1 sô
´
2 v
`
a 1 sô
´
3, g
´
oc c
,
ua Jerry ph
,
ai ph
,
u 1 sô
´
3 v
`
a 2 sô
´
1;
v
`
ı v
.
ây n
´
o ph
,

ai
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh hu
,
´
o
,
ng nhu
,
. Nhu
,
ng m
˜
ôi g
´
oc nhu
,
v
.
ây ph
,

u 1 sô
´
1, 1
sô
´
2 v
`
a 1 sô
´
3 trong lu
,
´
o
,
i ô vuông bên ph
,
ai, tu
,
o
,
ng t
.
u
,
¯
dô
´
i v
´
o

,
i bâ
´
t k
`
ı h
`
ınh ch
˜
u
,
10 Chu
,
o
,
ng 31. Ðê
`
thi olympic to
´
an Belarus
nh
.
ât 3 × 1. B
,
o
,
i v
`
ı lu
,

´
o
,
i ô vuông bên ph
,
ai c
˜
ung ch
´
u
,
a 17 sô
´
1, 15 sô
´
2 v
`
a 16 sô
´
3, Jerry không thê
,
xê
´
p 48 ô vuông c
`
on l
.
ai v
´
o

,
i c
´
ac h
`
ınh c
,
ua cô â
´
y.
(b) C
´
ach s
´
˘
ap xê
´
p sau
¯
dây th
,
oa m
˜
an.
H
`
ınh
¯
dâ
`

u tiên c
´
o thê
,
xoay v
`
a
¯
d
.
˘
at trên tâ
´
m b
,
ang 7 × 7 sao cho h
`
ınh vuông c
,
ua
Tom
¯
d
.
˘
at v
`
ao ch
˜
ô trô

´
ng c
,
ua b
,
ang, miê
`
n chu
,
a
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, h
`
ınh th
´

u
,
2
c
´
o thê
,
xoay v
`
a
¯
d
.
˘
at v
`
ao trong phâ
`
n chu
,
a
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u 4 × 4 c

`
on l
.
ai sao cho h
`
ınh
vuông c
,
ua Tom v
˜
ân
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c, v
`
a cuô
´
i c
`
ung,
¯

do
,
n g
´
oc c
´
o thê
,
xoay v
`
a
¯
d
.
˘
at m
`
a
không chô
`
ng lên h
`
ınh vuông c
,
ua Tom.
L
`
o
,
i gi

,
ai 31.4.
Bô
,
¯
dê
`
31.1. Gi
,
a s
,
u
,
ch
´
ung ta c
´
o m
.
ôt h
`
ınh thang (không nhâ
´
t thiê
´
t ph
,
ai cân)
ngo
.

ai tiê
´
p 1
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh r, trong
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tiê
´

p x
´
uc v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh
AB, BC, CD, DA tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t
.
ai c
´
ac
¯
diê
,
m P, Q, R, S . Gi
,
a s

,
u
,
c
.
anh AC giao v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on t
.
ai K v
`
a L, v
´
o
,
i K n
`
˘am gi

˜
u
,
a A v
`
a L. Ð
.
˘at m = AP v
`
a n = CR. Khi
¯
d
´
o
AK · LC = mn + 2r
2
−

(mn + 2r
2
)
2
− (mn
2
)
Nguy
˜
ên H
˜
u

,
u Ðiê
,
n, 11
v
`
a
AL · KC = mn + 2r
2
+

(mn + 2r
2
)
2
− (mn
2
).
Ch
´
u
,
ng minh. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´

at gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang AB  CD, v
`
a quay h
`
ınh thang
sao cho AB v
`
a CD n
`
˘
am ngang. Ð
.
˘
at t = AK, u = KL v
`
a v = LC; ta c
˜
ung
¯
d
.

˘
at σ = t + v
v
`
a π = tv. Theo nguyên l
´
y c
,
ua m
.
ôt
¯
diê
,
m, ta c
´
o t(t + u) = m
2
v
`
a v(v + u) = n
2
; nhân
ch
´
ung l
.
ai ta
¯
du

,
.
o
,
c π(π+uσ +u
2
) = m
2
n
2
. Ngo
`
ai ra, A v
`
a C n
`
˘
am c
´
ach nhau theo chiê
`
u
ngang l
`
a m + n v
`
a theo chiê
`
u th
,

˘
ang
¯
d
´
u
,
ng l
`
a 2r; do
¯
d
´
o AC
2
= (m + n)
2
+ (2r)
2
. V
`
ı v
.
ây
(m + n)
2
+ (2r)
2
= AC
2

= (t + u + v)
2
m
2
+ 2mn + n
2
+ 4r
2
= t(t + u) + v(v + u) + 2π + uσ + u
2
m
2
+ 2mn + n
2
+ 4r
2
= m
2
+ n
2
+ 2π + uσ + u
2
2mn + 4r
2
− π = π + uσ + u
2
.
Nhân c
,
a 2 vê

´
v
´
o
,
i π ta c
´
o
π(2mn + 4r
2
− π) = π(π + uσ + u
2
) = (mn)
2
,
l
`
a m
.
ôt h
`
am b
.
âc 2 theo π v
´
o
,
i nghi
.
êm

π = mn + 2r
2
±

(mn + 2r
2
)
2
− (mn)
2
.
Nhu
,
ng v
`
ı m
2
n
2
= t(t + u)v(v + u) ≥ t
2
v
2
, ta c
´
o mn ≥ π. Do
¯
d
´
o, AK · LC = π =

mn + 2r
2
−

(mn + 2r
2
)
2
− (mn)
2
. V
`
ı (AK ·AL)·(CK ·CL) = m
2
·n
2
, ta c
´
o AL·KC =
m
2
n
2
π
= mn + 2r
2
+

(mn + 2r
2

)
2
− (mn)
2
. 
Theo nhu
,
bô
,
¯
dê
,
, gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang AB  CD v
`
a h
`
ınh tr
`
on tiê
´
p x

´
uc v
´
o
,
i AB, BC, CD, DA
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t
.
ai c
´
ac
¯
diê
,
m P, Q, R, S . Ta c
˜
ung
¯
d
.
˘
at m = AP = PB = AS = BQ v

`
a
n = DR = RC = DS = CQ.
V
˜
e AX vuông g
´
oc v
´
o
,
i CD. Khi
¯
d
´
o AD = m + n, DX =
|
m − n
|
, v
`
a AX = 2r. Khi
¯
d
´
o,
´
ap d
.
ung

¯
d
.
inh l
´
ı Pitagon v
´
o
,
i tam gi
´
ac ADX, ta c
´
o (m+ n)
2
= (m−n)
2
+(2r)
2
ngh
˜
ıa
l
`
a mn = r
2
.
´
Ap d
.

ung bô
,
¯
dê
,
, ta c
´
o AK ·LC = (3 −2
√
2)r
2
v
`
a AL ·KC = (3 + 2
√
2)r
2
.
Do
¯
d
´
o
AL · KC
AK · LC
= 17 + 2
√
2.
12 Chu
,

o
,
ng 31. Ðê
`
thi olympic to
´
an Belarus
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.5. T
`
u
,
3∠BAC = 2∠BCA
∠PAN = ∠NAC = ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCD.
Ð
.
˘
at θ l
`
a sô
´
¯
do c
,
ua c

´
ac g
´
oc trên. V
`
ı ACNP v
`
a ACDQ l
`
a 2 t
´
u
,
gi
´
ac
¯
dê
`
u, nên
θ = ∠ANP = ∠CQD = ∠CPN.
T
`
u
,
s
.
u
,
tu

,
o
,
ng
´
u
,
ng gi
˜
u
,
a g
´
oc-c
.
anh-g
´
oc ta suy ra NAP  CQD  PCN. Do
¯
d
´
o
CP = CQ, v
`
a do t
´
ınh
¯
dô
´

i x
´
u
,
ng ta c
´
o AP = QB. V
`
ı v
.
ây, [CQD] = [NAP] = [NQB].
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.6. Cho x =
3
5
(125k + 1), y =
4
5
(125k + 1), z =
6
5
(125k + 1) v
´
o
,

i m
.
oi sô
´
nguyên k. Ch
´
ung không l
`
a sô
´
nguyên b
`
o
,
i v
`
ı 5 không l
`
a u
,
´
o
,
c c
,
ua 125k + 1. Ho
,
n n
˜
u

,
a
125x
3
= 3
3
(125k + 1)
3
≡ 3
3
( mod 125),
nên 125 chia hê
´
t b
,
o
,
i 125x
3
− 3
3
v
`
a x
3
−

3
5


3
l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên; do
¯
d
´
o {x
3
} =
27
125
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
{y
3
} =
64
125

v
`
a {x
3
} =
216
125
−1 =
91
125
=
27
125
+
64
125
, th
,
oa m
˜
an {x
3
}+ {y
3
} =
{z
3
}.
L
`

o
,
i gi
,
ai 31.7. Ho
.
˘
ac l
`
a n = 1 v
`
a 2 ≤ m ≤ 3 ho
.
˘
ac l
`
a n = 2 v
`
a m = 3. Ðiê
`
u n
`
ay d
˜
ê
d
`
ang kiê
,
m tra

¯
du
,
.
o
,
c
,
o
,
h
`
ınh du
,
´
o
,
i
¯
dây.
1
1 2
3 4
Bây gi
`
o
,
gi
,
a s

,
u
,
ta c
´
o h
`
ınh vuông {a
i j
} th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dê
`
b
`
ai. T
`
u
,
gi

,
a thiê
´
t
a
11
≥ 1 nên
m − 1 ≤ (m − 1)a
11
≤ (1 + 1)
2
− (1 + 1) = 2
v
`
a m ≤ 3. M
.
˘
at kh
´
ac ta c
´
o a
nn
≤ n
2
nên
4n
2
− 2n = (n + m)
2

− (n + n) ≤ ma
nn
≤ mn
2
v
`
a m ≥
4n
2
− 2n
n
2
= 4 −
2
n
. V
`
ı v
.
ây 4 −
2
n
≤ m ≤ 3,
¯
dpcm.
Nguy
˜
ên H
˜
u

,
u Ðiê
,
n, 13
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.8. Ðê
,
¯
do
,
n gi
,
an, viê
´
t f (x) = sin

xπ
2
2000

.
T
.
ai k = 0, biê
,

u th
´
u
,
c trong dâ
´
u ngo
.
˘
ac b
`
˘
ang −3. C
´
o phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sin(3θ) =
4 sin
3
θ − 3 sin θ, v
`
a
¯
dê
,
´

y r
`
˘
ang f (k)  0 khi 1 ≤ k ≤ 2
1999
, ta c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai t
´
ıch trên
nhu
,
sau
− 3
2
1999

k=1
sin

3kπ
2
2000


sin

kπ
2
2000

hay −3
2
1999

k=1
f (3k)
f (k)
(31.1)
M
`
a
2
1999

k=1
f (3k) =
2
1999
− 2
3

k=1
f (3k) ·
2

2000
− 1
3

k=
2
1999
+ 1
3
f (3k) ·
2
1999

k=
2
2000
+ 2
3
f (3k).
B
,
o
,
i v
`
ı sin θ = sin(π −θ) = −sin(π + θ), ta c
´
o f (x) = f (2
2000
−x) = −f (x −2

2000
). Do
¯
d
´
ı,
¯
d
.
˘
at S
i
= {k|1 ≤ k ≤ 2
1999
, k ≡ i( mod 3)} v
´
o
,
i i = 0, 1, 2, biê
,
u th
´
u
,
c tru
,
´
o
,
c b

`
˘
ang
2
1999
− 2
3

k=1
f (3k) ·
2
2000
− 1
3

k=
2
1999
+ 1
3
f (2
2000
− 3k) ·
2
1999

k=
2
2000
+ 2

3

− f (3k − 2
2
000)

=

k∈S
0
f k ·

k∈S
1
f k ·

k∈S
2
(−f k)
= (−1)
2
1999
+ 1
3
2
1999

k=1
f (k) = −
2

1999

k=1
f (k).
Kê
´
t h
.
o
,
p v
´
o
,
i biê
,
u th
´
u
,
c 31.1 cho ta t
´
ıch câ
`
n t
`
ım l
`
a (−3)(−1) = 3.
L

`
o
,
i gi
,
ai 31.9. Kh
,
ao s
´
at xem m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng j c
´
o thu
.
ôc danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,

c
¯
dâ
`
u tiên hay không. Nê
´
u n
´
o l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
c
,
ua 1( mod m), th
`
ı j + mn c
˜
ung thu
.
ôc danh
s
´
ach thu
¯
du

,
.
o
,
c
¯
dâ
`
u tiên, nên ch
´
ung c
`
ung b
.
i x
´
oa. Nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, th
`
ı gi
,
a s

,
u
,
n
´
o l
`
a sô
´
c
`
on l
.
ai th
´
u
,
t sau khi ch
´
ung ta
¯
d
˜
a x
´
oa tâ
´
t c
,
a c

´
ac b
.
ôi sô
´
c
,
ua m. C
´
o n u
,
´
o
,
c c
,
ua m b
.
i x
´
oa
n
`
˘
am gi
˜
u
,
a j v
`

a j + mn, v
`
ı v
.
ây j + mn l
`
a sô
´
c
`
on l
.
ai th
´
u
,
(t + mn − n) sau khi ch
´
ung ta
x
´
oa tâ
´
t c
,
a c
´
ac b
.
ôi sô

´
c
,
ua m. Nhu
,
ng ho
.
˘
ac l
`
a t v
`
a t + mn − n c
`
ung l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
c
,
ua 1(
14 Chu
,
o
,
ng 31. Ðê

`
thi olympic to
´
an Belarus
mod m) ho
.
˘
ac c
`
ung không l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
c
,
ua 1( mod m). Do
¯
d
´
o, j b
.
i x
´
oa
,
o

,
lu
,
.
o
,
t th
´
u
,
hai
khi v
`
a ch
,
ı khi j + mn c
˜
ung b
.
i x
´
oa.
L
´
y lu
.
ân tu
,
o
,

ng t
.
u
,
cho danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u
,
2. Do
¯
d
´
o, trong 1 trong 2 danh
s
´
ach, v
.
i tr
´
ı c
,

ua c
´
ac sô
´
b
.
i x
´
oa l
.
˘
ap l
.
ai v
´
o
,
i chu k
`
ı mn; v
`
a gi
˜
u
,
a mô
´
i mn sô
´
liên tiê

´
p c
`
on
l
.
ai ch
´
ınh x
´
ac mn−(m+ n−1) sô
´
. (Trong danh s
´
ach
¯
dâ
`
u tiên, n+(
mn − n − 1
n
+ 1) =
n + (m −1 + 
−1
n
+ 1) = m + n −1 sô
´
c
,
ua mn sô

´
¯
dâ
`
u tiên b
.
i x
´
oa; tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, m + n −1
sô
´
c
,
ua mn sô
´
¯
dâ
`
u tiên b
.
i x
´

oa trong danh s
´
ach th
´
u
,
2.)
Ðiê
`
u n
`
ay k
´
eo theo r
`
˘
ang c
.
˘
ap (m, n) l
`
a tô
´
t khi v
`
a ch
,
ı khi nê
´
u v

´
o
,
i bâ
´
t k
`
ı k < mn
n
`
˘
am trong c
,
a 2 danh s
´
ach, n
´
o xuâ
´
t hi
.
ên t
.
ai c
`
ung 1 v
.
i tr
´
ı.

(a) Cho 1 c
.
˘
ap (2, n), danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c
¯
dâ
`
u tiên (lên
¯
dê
´
n k = 2n) l
`
a 4, 6, 8, . . . , 2n.
Nê
´
u n ch
˜
˘
an, danh s
´

ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u
,
2 l
`
a 3, 5, . . . , n − 1, n + 2, n + 4, . . . , 2n.
Nê
´
u n l
,
e, danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u

,
2 l
`
a 3, 5, . . . , n − 2, n, n + 3, n + 5, 2n. Trong
c
,
a 2 tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p, tâ
´
t c
,
a phâ
`
n t
,
u
,
chung c
,
ua 2 danh s
´
ach l

`
a c
´
ac sô
´
ch
˜
˘
an gi
˜
u
,
a n+2
v
`
a 2n. M
˜
ôi sô
´
2n − i
¯
d
´
o (v
´
o
,
i i <
n − 1
2

) l
`
a sô
´
th
´
u
,
(n − 1 − i) trên c
,
a 2 danh
s
´
ach, ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang (2, n) l
`
a tô
´
t.
(b) Th
.
u

,
c ra, 1 c
.
˘
ap nhu
,
thê
´
n
`
ay luôn tô
`
n t
.
ai, ch
,
ı câ
`
n m
.
ôt c
.
˘
ap
¯
do
,
n gi
,
an nhâ

´
t (m, n) =
(3, 4) l
`
a
¯
d
,
u. Danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c
¯
dâ
`
u tiên (lên
¯
dê
´
n k = 12) l
`
a 3, 5, 6, 9, 11, 12
v
`

a danh s
´
ach thu
¯
du
,
.
o
,
c th
´
u
,
2 l
`
a 3, 4, 7, 8, 11, 12. C
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
chung l
`
a 3, 11, 12,
v
`
a ch
´

ung c
`
ung c
´
o v
.
i tr
´
ı giô
´
ng nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai 31.10. Sau khi chuyê
,
n a
n
t
´
o
,
i a

n
=
a

2
n
a
m
−
n
m

a
2
m
a
n
− a
m

v
`
a a
m
t
´
o
,
i a

m
=
a
2

m
a
n
−
m
n

a
2
n
a
m
− a
n

, ta c
´
o
a

n
n
+
a

m
m
=

1

n
·
a
2
n
a
m
−
1
m
·
a
2
m
a
n

+
a
m
m

+

1
m
·
a
2
m

a
n
−
1
n
·
a
2
n
a
n

+
a
n
n

=
a
n
n
+
a
m
m
.
Nguy
˜
ên H
˜

u
,
u Ðiê
,
n, 15
Do
¯
d
´
o sô
´

100
i=1
a
i
i
bâ
´
t biê
´
n theo ph
´
ep to
´
an bên trên. L
´
uc
¯
dâ

`
u, tô
,
ng n
`
ay b
`
˘
ang
I
1
=
99

i=1
a
i
i
+
1
500
.
Khi m
˜
ôi sô
´
trong c
´
ac sô
´

a
1
1
,
a
2
2
, . . . ,
a
99
99
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang phân sô
´
tô
´

i gi
,
an nhâ
´
t,
không c
´
o m
.
ôt m
˜
âu sô
´
n
`
ao chia hê
´
t cho 125; trong khi
¯
d
´
o 125 b
.
i chia hê
´
t b
,
o
,
i

1
500
.
Do
¯
d
´
o khi viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang phân sô
´
tô
´
i gi
,
an nhâ
´
t, I
1
c
´
o m
˜

âu sô
´
chia hê
´
t cho 125.
Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai r
`
˘
ang ch
´
ung ta c
´
o thê

,
t
.
ao chuyê
,
n tâ
´
t c
´
ac sô
´
th
`
anh sô
´
nguyên theo th
´
u
,
t
.
u
,
b
1
, b
2
, . . . , b
100
. Khi

¯
d
´
o, I
2
=

100
i=1
b
i
i
, m
˜
âu sô
´
c
,
ua m
˜
ôi phân sô
´
b
i
i
không chia hê
´
t cho 125. Do
¯
d

´
o, khi I
2
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang phân sô
´
tô
´
i gi
,
an nhâ
´
t,
m
˜
âu sô

´
c
,
ua n
´
o c
˜
ung không chia hê
´
t cho 125. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o I
2
không thê
,
b
`
˘
ang I
1
,
mâu thu
˜
ân. V
`
ı v

.
ây, ch
´
ung ta không thê
,
thu
¯
du
,
.
o
,
c môt t
.
âp ch
,
ı ch
´
u
,
a c
´
ac sô
´
nguyên.
CHU
,
O
,
NG 32

Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN BRAZIL
32.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 32.1. Cho
¯
da gi
´
ac ABCDE sao cho h
`
ınh ngôi sao ACEBD c
´
o di
.
ên t
´
ıch l
`
a 1.
Cho AC v
`
a BE c

´
˘
at nhau t
.
ai P, v
`
a cho BD v
`
a CE c
´
˘
at nhau t
.
ai Q. X
´
ac
¯
d
.
inh [APQD]
B
`
ai 32.2. Cho m
.
ôt b
,
ang 10 X 10, ch
´
ung ta muô
´

n di chuyê
,
n n trong 100 ô vuông
sao cho không c
´
o 4 ô vuông c
`
on l
.
ai t
.
ao th
`
anh g
´
oc c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c

.
anh song
song v
´
o
,
i c
.
anh c
,
ua b
,
ang. X
´
ac
¯
d
.
inh gi
´
a tr
.
i tô
´
i thiê
,
u c
,
ua n.
B

`
ai 32.3. H
`
anh tinh Zork c
´
o h
`
ınh câ
`
u v
`
a c
´
o m
.
ôt v
`
ai th
`
anh phô
´
. V
´
o
,
i bâ
´
t k
`
ı th

`
anh
phô
´
n
`
ao c
,
ua Zork, c
´
o tô
`
n t
.
ai th
`
anh phô
´
¯
dô
´
i c
.
u
,
c A’ (t
´
u
,
c l

`
a,
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua tâm h
`
ınh
câ
`
u). Trong Rork, c
´
o nh
˜
u
,
ng con
¯
du
,
`
o
,
ng nô
´
i hai th

`
anh phô
´
v
´
o
,
i nhau. Nê
´
u c
´
o m
.
ôt con
¯
du
,
`
o
,
ng nô
´
i th
`
anh phô
´
P v
`
a Q, th
`

ı c
´
o m
.
ôt con
¯
du
,
`
o
,
ng nô
´
i P’ v
`
a Q’. Nh
˜
u
,
ng con
¯
du
,
`
o
,
ng
không giao nhau, v
`
a m

˜
ôi c
.
˘
ap th
`
anh phô
´
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i v
´
o
,
i nhau b
,
o
,
i m
.
ôt sô
´
tr
`

ınh t
.
u
,
¯
du
,
`
o
,
ng
giao thông. M
˜
ôi th
`
anh phô
´
¯
du
,
.
o
,
c g
´
˘
an b
,
o
,

i m
.
ôt gi
´
a tr
.
i, v
`
a s
.
u
,
kh
´
ac bi
.
êt gi
˜
u
,
a gi
´
a tr
.
i c
´
ac
c
.
˘

ap th
`
anh phô
´
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t nô
´
i tô
´
i
¯
da l
`
a 100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o tô

`
n t
.
ai c
´
ac th
`
anh phô
´
¯
dô
´
i c
.
u
,
c v
´
o
,
i gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau nhiê
`
u nhâ
´

t l
`
a 100.
B
`
ai 32.4.
,
O
,
Tumbolia c
´
o n
¯
d
.
ôi b
´
ong
¯
d
´
a. Ch
´
ung ta muô
´
n tô
,
ch
´
u

,
c m
.
ôt gi
,
ai vô
¯
d
.
ich
sao cho m
˜
ôi
¯
d
.
ôi b
´
ong cho
,
i
¯
d
´
ung m
.
ôt lâ
`
n v
´

o
,
i m
.
ôt
¯
d
.
ôi. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac tr
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c tô
,
ch
´
u
,
c

v
`
ao ch
,
u nh
.
ât, v
`
a m
˜
ôi
¯
d
.
ôi cho
,
i không
¯
du
,
.
o
,
c qu
´
a m
.
ôt tr
.
ân c

`
ung ng
`
ay. X
´
ac
¯
d
.
inh gi
´
a tr
.
i
m nguyên nh
,
o nhâ
´
t sao cho c
´
o thê
,
tô
,
ch
´
u
,
c
¯

du
,
.
o
,
c m
.
ôt gi
,
ai vô
¯
d
.
ich trong m ch
,
u nh
.
ât.
B
`
ai 32.5. Cho tam gi
´
ac ABC, h
˜
ay ch
,
ı ra c
´
ach d
.

u
,
ng v
´
o
,
i thu
,
´
o
,
c k
,
e v
`
a compass, m
.
ôt
tam gi
´
ac A’B’C’ v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch tô
´

i thiê
,
u sao cho A’, B’, C’ lâ
`
n lu
,
.
o
,
t n
`
˘
am trên AB, BC,
CA, ∠B

A

C

= ∠BAC v
`
a ∠A

C

B

= ∠ACB.
32.2. L
`

o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 32.1. Cho R = AD ∩ BE, S = AC ∩ BD, T = CE ∩ AD. Ta c
´
o
∆PQR ∼ ∆CAD b
,
o
,
i v
`
ı ch
´
ung l
`
a c
´
ac tam gi
´
ac tu
,

o
,
ng
´
u
,
ng trong c
´
ac ng
˜
u gi
´
ac QTRPS
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 17
v
`
a ABCDE, v
`
a v
`
ı ∆CAD ∼ ∆PAR nên ch
´

ung ta c
´
o ∆PQR  ∆PAR. Do
¯
d
´
o
[APQD] =
APQD
ACEBD
=
2[APR]+[PQR]+[RQT ]
5[APR]+[PQR]+[RQT ]
=
3[APR]+[RQT ]
6[APR]+[RQT ]
=
1
2
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 32.2. Kê
´
t qu
,

a l
`
a 66. Xem x
´
et biê
,
u
¯
dô
`
du
,
´
o
,
i
¯
dây, m
`
a c
´
ac v
`
ong tr
`
on m
`
au biê
,
u

di
˜
ên cho m
.
ôt ô vuông không
¯
du
,
.
o
,
c b
,
o. So
,
¯
dô
`
ch
´
u
,
ng minh n c
´
o thê
,
l
`
a 66.
Bây gi

`
o
,
ta ch
,
ı ra r
`
˘
ang gi
´
a tr
.
i
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 66. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l

.
ai, n c
´
o thê
,
b
`
˘
ang 65. K
´
ı
hi
.
êu a
i
l
`
a sô
´
h
`
ınh vuông bên tr
´
ai h
`
ang i (i = 1, 2, , 10); trong h
`
ang i, c
´
o (

a
i
2
) c
.
˘
ap ô
vuông c
`
on l
.
ai. Nê
´
u không c
´
o bô
´
n ô vuông c
`
on l
.
ai t
.
ao th
`
anh g
´
oc h
`
ınh ch

˜
u
,
nh
.
ât, th
`
ı
tô
,
ng sô N =

10
i=1
(
a
i
2
) ph
,
ai không vu
,
.
o
,
t qu
´
a (
10
2

) = 45. Nhu
,
ng ch
´
u
´
y r
`
˘
ang, v
´
o
,
i cô
´
¯
d
.
inh

10
i=1
a
i
= 35, th
`
ı gi
´
a tr
.

i nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua

10
i=1
(
a
i
2
)
¯
d
.
at
¯
du
,
.
o
,
c khi v
`
a ch
,
ı khi không c

´
o hai
l
´
o
,
n ho
,
n 1. Do
¯
d
´
o, 45 =

10
i=1
(
a
i
2
) ≥ 5.(
4
2
)+ 5.(
3
2
) = 45, ,
¯
dây l
`

a gi
´
a tr
.
i tô
´
i thiê
,
u, ngh
˜
ıa
l
`
a n
˘
am gi
´
a tr
.
i a
i
b
`
˘
ang 4 v
`
a gi
´
a tr
.

i c
`
on l
.
ai b
`
˘
ang 3. Khi
¯
d
´
o d
˜
ê d
`
ang nh
.
ân thâ
´
y ngo
`
ai
ho
´
an v
.
i c
,
ua h
`

ang v
`
a c
.
ôt, th
`
ı h
`
ang n
˘
am
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua b
,
ang cho nhu
,
sau:
Ch
´
ung ta kiê
,
m tra h
`
ınh n
`
ay v

`
a nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘
ang c
´
o thê
,
c
´
o h
`
ang kh
´
ac ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 3
ô vuông c
`
on l

.
ai. Do
¯
do n không thê
,
´
ıt ho
,
n 66, ch
´
ung ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`

o
,
i gi
,
ai 32.3. K
´
ı hi
.
êu |A| l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua th
`
anh phô
´
A. Tên c
,
ua c
´
ac c
.
˘
ap th
`
anh phô

´
l
`
a
(Z
1
, Z

1
), (Z
2
, Z

2
), (Z
3
, Z

3
), , (Z
n
, Z

n
)
v
´
o
,
i

0 ≤ |Z
i
| − |Z

i
| v
´
o
,
i m
.
oi i.
V
´
o
,
i bâ
´
t k
`
ı c
.
˘
ap th
`
anh phô
´
n
`
ao

¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t nô
´
i v
´
o
,
i nhau b
,
o
,
i m
.
ôt v
`
ai tr
`
ınh t
.
u
,
¯
du

,
`
o
,
ng,
ph
,
ai tô
`
n t
.
ai a, b sao cho Z
a
v
`
a Z

b
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t nô
´
i b
,

o
,
i m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
¯
do
,
n. Do
¯
d
´
o, |Z
a
−|Z

b
| ≤
100 v
`
a |Z
b
− |Z


a
| ≤ 100. Thêm n
˜
u
,
a, ta c
´
o
|Z
a
− |Z

a
| + |Z
b
− |Z

b
| ≤ 200.
Do
¯
d
´
o, ho
.
˘
ac 0 ≤ |Z
a
− |Z


a
| ≤ 100 ho
.
˘
ac 0 ≤ |Z
b
− |Z

b
| ≤ 100; Trong c
,
a hai tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p n
`
ay ta c
´
o
¯
diê
`

u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 32.4. G
.
oi a
n
l
`
a gi
´
a tr
.
i nguyên du
,
o
,
ng nh
,
o nhâ

´
t m
`
a c
´
o thê
,
tô
,
ch
´
u
,
c du
,
.
o
,
c gi
,
a
vô d
.
ich gi
˜
u
,
a n
¯
d

.
ôi b
´
ong trong a
i
ng
`
ay ch
,
u nh
.
ât. Cho n > 1, nhâ
´
t thiê
´
t a
n
≥ 2[
n
2
− 1],
18 Chu
,
o
,
ng 32. Ðê
`
thi olympic to
´
an Brazil

ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, tô
,
ng c
´
ac tr
.
ân
¯
dâ
´
u không vu
,
.
o
,
t qu
´
a (2[
n
2
] − 2).[
n
2

] ≤
(n−1)
2
2
< (
n
2
), d
˜
ân
¯
dê
´
n
mâu thu
˜
ân.
M
.
˘
at kh
´
ac, 2[
n
2
] −1
¯
d
,
u ng

`
ay. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang n = 2t + 1 ho
.
˘
ac 2t + 2; sô
´
¯
d
.
ôi t
`
u
,
1
¯
dê
´
n n
v
`
a ng

`
ay ch
,
u nh
.
ât t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 2t + 1. V
`
ao ng
`
ay ch
,
u nh
.
ât th
´
u
,
i, ho
.
˘
ac
¯

d
.
ôi th
´
u
,
i ngô
`
i ngo
`
ai
(nêu n l
`
a l
,
e) ho
.
˘
ac cho
,
i v
´
o
,
i d
.
ôi 2t + 2 (nê
´
u n ch
˜

˘
an); v
`
a c
´
o bâ
´
t k
`
ı
¯
d
.
ôi j n
`
ao kh
´
ac cho
,
i
v
´
o
,
i
¯
d
.
ôi k  2t + 2 sao cho j + k ≡ 2i( mod 2t + 1). Sau
¯

d
´
o m
˜
ôi
¯
d
.
ôi cho
,
i v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
.
ôi
b
´
ong kh
´
ac,
¯
diê
`
u ph

,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 32.5. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac g
´
oc
¯
dê
`
u
¯
d
.
inh hu
,

´
o
,
ng modulo 180
o
. Ðê
,
thu
.
ân ti
.
ên, g
.
oi bâ
´
t
k
`
ı g
´
oc A’B’C’ l
`
a ”zart” nê
´
u A’, B’, C’ lâ
`
n lu
,
.
o

,
t n
`
˘
am trên AB, BC, CA, v
`
a ∆ABC ∼
∆A

B

C

. Sau
¯
d
´
o, vâ
´
n
¯
dê
`
l
`
a d
.
u
,
ng tam gi

´
ac zart v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch nh
,
o nhâ
´
t.
Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o m
.
ôt tam gi
´
ac zart bâ
´
t k
`

ı, v
`
a cho P l
`
a
¯
diê
,
m (kh
´
ac A’) giao c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac Â’C’ v
`

a BB’A’.
Sau
¯
d
´
o
∠B

PC

= 360
o
− ∠A

PB

− ∠C

PA

=
360
o
− (180
o
− ∠CBA) − (180
o
− ∠BAC) = 180
o
− ∠ACB,

v
`
ı thê
´
P c
˜
ung n
`
˘
am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac CC’B’. Tiê
´
p t
.
uc ta c
´

o,
∠PAB = ∠PC

A

= ∠B

C

A

− ∠B

C

P
= ∠B

CC

− ∠B

CP

= ∠PCA,
v
`
a tu
,
o

,
ng t
.
u
,
ta c
´
o
∠PAB = ∠PC

A

= ∠PCA = ∠PB

C

= ∠PBC.
C
´
o duy nhâ
´
t
¯
diê
,
m P (m
.
ôt trong nh
˜
u

,
ng
¯
diê
,
m Brocard) th
,
oa m
˜
an
∠PAB = ∠PBC = ∠PCA,
v
`
a do
¯
d
´
o P l
`
a cô
´
¯
d
.
inh
¯
d
.
ôc l
.

âp c
,
ua vi
.
êc chon tam gi
´
ac A’B’C’. V
`
a n
´
o l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c

,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a A’B’C’, ch
´
ung ta c
´
o
[A

B

C

] = [ABC](
PA

PA
)
2
.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê

,
n, 19
Nhu
,
v
.
ây[A’B’C’] l
`
a nh
,
o nhâ
´
t khi PA’ l
`
a nh
,
o nhâ
´
t, x
,
ay ra khi PA

⊥AB (v
`
a tu
,
o
,
ng
t

.
u
,
PB

⊥PC v
`
a PC

⊥PA). Do
¯
d
´
o. tam gi
´
ac zart v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch nh
,
o nhâ
´
t l
`
a co

,
s
,
o
,
c
,
ua
tam gi
´
ac A’B’C’ c
,
ua P cho tam gi
´
ac ABC. Tam gi
´
ac n
`
ay th
`
ı th
.
u
,
c s
.
u
,
l
`

a tu
,
o
,
ng t
.
u
,
v
´
o
,
i
tam gi
´
ac ABC;
¯
d
.
˘
at θ = ∠PAB l
`
a g
´
oc Brocard, n
´
o l
`
a
,

anh c
,
ua tam gi
´
ac ABC du
,
´
o
,
i
ph
´
ep quay θ − 90
o
, sau
¯
d
´
o l
`
a ph
´
ep
¯
dô
`
ng d
.
ang t
,

ı sô
´
sinθ.
Ðê
,
d
.
u
,
ng tam gi
´
ac n
`
ay,
¯
dâ
`
u tiên v
˜
e cung tr
`
on X : ∠BXA = ∠BCA + ∠CAB v
`
a
{Y : ∠CY B = ∠CAB + ∠ABC} v
`
a cho P’ l
`
a giao
¯

diê
,
m c
,
ua ch
´
ung (kh
´
ac B); khi
¯
d
´
o
ch
´
ung ta c
´
o ∠AP

C = ∠ABC + ∠BCA. Ta c
´
o
∠P

AB = 180
o
− ∠ABP

− ∠BP


A =
180
o
− (∠ABC −∠P

BC) − (∠BCA + ∠CAB) = ∠P

BC,
v
`
a tu
,
o
,
ng t
.
u
,
∠P

BC = ∠P

CA. Do
¯
d
´
o P = P’. Cuô
´
i c
`

ung, h
.
a
¯
du
,
`
o
,
ng vuông g
´
oc t
`
u
,
P’
lên c
´
ac c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac ABC t
.
ai A’, B’, C’. V
.
ây ch
´

ung ta
¯
d
˜
a d
.
u
,
ng xong.
CHU
,
O
,
NG 33
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN BULGARIA
33.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 33.1. T
`
ım c
´

ac nghi
.
êm sô
´
t
.
u
,
nhiên (x, y, z) sao cho y l
`
a sô
´
nguyên tô
´
, y v
`
a 3
không chia hê
´
t cho z, v
`
a x
3
+ y
3
= z
3
B
`
ai 33.2. M

.
ôt t
´
u
,
gi
´
ac lô
`
i ABCD n
.
ôi tiê
´
p trong m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
´
o tâm O bên trong
t
´
u

,
gi
´
ac . Cho MNPQ l
`
a t
´
u
,
gi
´
ac m
`
a c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a
,
anh c
,
ua giao c
´
ac
¯
du

,
`
o
,
ng ch
´
eo lên c
´
ac
c
.
anh c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac ABCD. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang 2|MNPQ| ≤ |ABCD|.
B
`
ai 33.3. Trong m

.
ôt cu
.
ôc thi
¯
dâ
´
u 8 gi
´
am kh
,
ao cho
¯
diê
,
m c
´
ac th
´
ı sinh b
`
˘
ang vi
.
êc qua
ho
.
˘
ac tru
,

.
o
,
t. Biê
´
t r
`
˘
ang bâ
´
t k
`
y hai th
´
ı sinh , hai gi
´
am kh
,
ao cho
¯
diê
,
m qua; hai gi
´
am
kh
,
ao cho
¯
diê

,
m thi sinh
¯
dâ
`
u tiên l
`
a qua v
`
a th
´
ı sinh th
´
u
,
hai l
`
a tru
,
.
o
,
t; hai gi
´
am kh
,
ao cho
¯
diê
,

m th
´
ı sinh
¯
dâ
`
u tiên tru
,
.
o
,
t v
`
a th
´
ı sinh th
´
u
,
hai qua; v
`
a cuô
´
i c
`
ung hai gi
´
am kh
,
ao cho

hai th
´
ı sinh l
`
a tru
,
.
o
,
t. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
´
o
,
n nhâ
´
t c
´
ac th
´
ı sinh l
`
a bao nhiêu?
B

`
ai 33.4. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
nguyên (x, y) sao cho
x
3
= y
3
+ 2y
2
+ 1
B
`
ai 33.5. Cho B
1
v
`
a C
1

thu
.
ôc c
.
anh AC v
`
a AB c
,
ua tam gi
´
ac ABC . Ðo
.
an
BB
1
v
`
a CC
1
c
´
˘
at nhau t
.
ai D. Ch
´
u
,
ng minh r
`

˘
ang m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
´
o thê
,
n
.
ôi tiê
´
p c
´
ac
c
.
anh c
,
ua t
´
u

,
gi
´
ac AB
1
DC
1
khi v
`
a ch
,
ı khi
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`

a
ACD n
.
ôi tiê
´
p v
´
o
,
i nhau.
33.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 33.1. Phu
,
o
,
ng tr
`
ınh

¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t l
.
ai c
´
o d
.
ang
(x − y)(x
2
+ xy + y
2
) = z
2
Bâ
´
t k
`
y m
.
ôt u
,
´

o
,
c chung c
,
ua x -y v
`
a x
2
+ xy + y
2
c
˜
ung chia hê
´
t cho z
2
v
`
a (x
2
+ xy +
y
2
) − (x + 2y)(x −y) = 3y
2
. Gi
,
a
¯
d

.
inh z
2
v
`
a 3y
2
l
`
a nguyên tô
´
c
`
ung nhau, do
¯
d
´
o (x - y)
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 21
v
`
a (x

2
+ xy + y
2
) ph
,
ai l
`
a nguyên tô
´
c
`
ung nhau. V
`
ı v
.
ây, m
`
a c
,
a (x - y) v
`
a (x
2
+ xy + y
2
)
l
`
a sô
´

ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
Ta
¯
d
.
˘
at a =
√
x − y, ch
´
ung ta c
´
o
x
2
+ xy + y
2
= (a
2
+ y)
2
+ (a
2
+ y)y + y

2
= a
4
+ 3a
2
y + 3y
2
v
`
a
4(x
2
+ xy + y
2
) = (2a
2
+ 3y)
2
3y
2
.
Viê
´
t m = 2

x
2
+ xy + y
2
v

`
a n = 2a
2
+ 3y ch
´
ung ta c
´
o
m
2
= n
2
+ 3y
2
ho
.
˘
ac
(m − n)(m + n) = 3y
2
,
v
`
ı thê
´
(m − n, m + n) = (1, 3y
2
), (3, y
2
), ho

.
˘
ac (y, 3y)
X
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
dâ
`
u tiên, n = y < 2a
2
+ 3y = n, d
˜
ân
¯
dê
´
n mâu thu
˜
ân.
X

´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p th
´
u
,
hai, ch
´
ung ta c
´
o 4a
2
= 2n − 6y = y
2
− 6y − 3 < (y − 3)
2
.
V
`
a khi y ≥ 10 ta c
´
o y

2
−6y −3 > (y −4)
2
, do
¯
d
´
o y = 2, 3, 5, ho
.
˘
ac 7. trong tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p n
`
ay ta c
´
o a =
√
y
2
−6y−3
2

, l
`
a sô
´
th
.
u
,
c ch
,
ı khi y =7, a = 1, x = y + a
2
= 8, v
`
a z =13.
Ðây l
`
a nghi
.
êm duy nhâ
´
t (x, y, z) = (8, 7, 13)
L
`
o
,
i gi
,
ai 33.2. Kê
´

t qu
,
a th
.
u
,
c s
.
u
,
v
˜
ân
¯
d
´
ung khi ABCD không n
.
ôi tiê
´
p
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on.

Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh kê
´
t qu
,
a du
,
´
o
,
i
¯
dây:
Bô
,
¯
dê
`
. Nê
´
u XW l
`
a
¯
du

,
`
o
,
ng cao c
,
ua tam gi
´
ac XYZ, th
`
ı
XW
YZ
≤
1
2
tan(
∠Y+∠Z
2
)
Ch
´
u
,
ng minh: X n
`
˘
am trên cung tr
`
on

¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i ∠XYZ = 180
o
− ∠Y −∠Z.
Kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
YZ l
`
a l

´
o
,
n nhâ
´
t khi n
´
o l
`
a tâm c
,
ua cung, m
`
a x
,
ay ra khi ∠Y = ∠Z; va
t
.
ai
¯
diê
,
m n
`
ay
XW
YZ
=
1
2

tan(
∠Y+∠Z
2
).
Gi
,
a s
,
u
,
M, N, P, Q tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng trên c
.
anh AB, BC, CD, DA. Cho T l
`
a giao
¯
diê
,
m c
,
ua
AC v

`
a BD. Cho α = ∠ADB, β = ∠BAC, γ = ∠CADδ = ∠DBA. Theo bô
,
¯
dê
`
c
´
o, MT ≤
1
2
AB.tan(
β+δ
2
) v
`
a QT ≤
1
2
AD.tan(
α+γ
2
); ta c
˜
ung c
´
o, ∠MT Q = 180
o
−∠QAM = 180
o

−
∠DAB. Do
¯
d
´
o, 2[MT Q] = MT.QT sin∠MT Q ≤
1
4
tan(
α+γ
2
)tan(
β+δ
2
)AB.ADsin∠DAB.
22 Chu
,
o
,
ng 33. Ðê
`
thi olympic to
´
an Bulgaria
Nhu
,
ng v
`
ı
α+γ

2
+
β+δ
2
= 90
o
, biê
,
u th
´
u
,
c cuô
´
i c
`
ung thu
¯
du
,
.
o
,
c
1
4
AB.ADsin∠ABD. Do
v
.
ây 2[MT Q] ≤

1
2
[ABD].
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, 2[NT M] ≤
1
2
[BCA]; [PT N] ≤
1
2
[CDB] v
`
a [QT P] ≤
1
2
[DAC]. T
`
u
,
bô
´
n
bâ

´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ta c
´
o
1
2
([ABD] + [CDB]) +
1
2
[BCA][DAC] = [ABCD],
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L

`
o
,
i gi
,
ai 33.3. Cho t
,
ı l
.
ê r (ho
.
˘
ac qua ho
.
˘
ac tru
,
.
o
,
t), cho r k
´
ı hi
.
êu t
,
ı l
.
ê phâ
`

n c
`
on l
.
ai.
Ngo
`
ai ra, bâ
´
t c
´
u
,
khi n
`
ao m
.
ôt c
.
˘
ap gi
´
am kh
,
ao
¯
dô
`
ng
´

y v
´
o
,
i t
,
ı l
.
ê m
.
ôt v
`
ai th
´
ı sinh, g
.
oi l
`
a
m
.
ôt s
.
u
,
th
,
oa thu
.
ân. Ch

´
ung ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang bâ
´
t k
`
y hai gi
´
am kh
,
ao chia s
,
e nhiê
`
u
nhâ
´
t l
`
a ba hi
.
êp
¯
d

.
inh , gi
,
a s
,
u
,
b
`
˘
ang c
´
ach mâu thu
˜
ân n
`
ay
¯
dê
`
u l
`
a sai lâ
`
m. Sau
¯
d
´
o , gi
,

a
¯
d
.
inh không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at m
`
a ban gi
´
am kh
,
ao (
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh nh

˜
an b
`
˘
ang sô
´
)
¯
d
´
anh
dâ
´
u bô
´
n th
´
ı sinh
¯
dâ
`
u tiên (c
´
o nh
˜
an v
´
o
,
i c

´
ac ch
˜
u
,
c
´
ai ) nhu
,
sau trong b
,
ang bên tr
´
ai
H
`
ınh 33.1:
´
Ap d
.
ung
¯
diê
`
u ki
.
ên cho th
´
ı sinh A v
`

a C , c
´
ac gi
´
am kh
,
ao 3 v
`
a 4 c
,
a hai
¯
dê
`
u ph
,
ai
cho C t
,
ı l
.
ê c. Ð
´
anh gi
´
a tu
,
o
,
ng t

.
u
,
nhu
,
v
.
ây, h
.
o
¯
dê
`
u ph
,
ai cho D t
,
ı l
.
ê d. Tiê
´
p t
.
uc,
´
ap d
.
ung
c
´

ac
¯
diê
`
u ki
.
ên cho th
´
ı sinh B v
`
a C, gi
´
am kh
,
ao 5 v
`
a 6 c
,
a hai
¯
dê
`
u ph
,
ai cho C t
,
ı l
.
ê c.
Tu

,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây, h
.
o ph
,
ai cho D t
,
ı l
.
ê d . Nhu
,
ng bây gi
`
o
,
¯
diê
`
u ki
.

ên tru
,
.
o
,
t cho c
´
ac th
´
ı
sinh C v
`
a D t
,
ı l
.
ê d, d
˜
ân
¯
dê
´
n mâu thu
˜
ân. V
`
ı v
.
ây , m
˜

ôi c
.
˘
ap gi
´
am kh
,
ao
¯
dô
`
ng
´
y tô
´
i
¯
da l
`
a
ba xê
´
p h
.
ang, nhu
,
yêu câ
`
u ; do
¯

d
´
o c
´
o tô
´
i
¯
da 3.(
8
2
) = 84 th
,
oa thu
.
ân gi
˜
u
,
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac gi
´
am
kh
,

ao. M
.
˘
at kh
´
ac,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi th
´
ı sinh c
´
o ch
´
ınh x
´
ac bô
´
n gi
´
am kh
,
ao

¯
d
´
anh dâ
´
u l
`
a qua
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23
v
`
a ch
´
ınh x
´
ac 4 gi
´
am kh
,
ao
¯
d

´
anh dâ
´
u l
`
a thâ
´
t b
.
ai, do
¯
d
´
o c
´
o (
4
2
) + (
4
2
) = 12 quyê
´
t
¯
dinh
v
´
o
,

i m
˜
ôi th
´
ı sinh. Suy ra c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a
84
12
= 7 th
´
ı sinh , v
`
a nhu
,
B
,
ang du
,
´
o
,
i
¯

dây ch
,
ı
ra (v
´
o
,
i 1 k
´
ı hi
.
êu l
`
a qua v
`
a 0 l
`
a tru
,
.
o
,
t) , n
´
o th
.
u
,
c s
.

u
,
l
`
a c
´
o thê
,
c
´
o ch
´
ınh x
´
ac 7 th
´
ı sinh:
H
`
ınh 33.2:
L
`
o
,
i gi
,
ai 33.4. Khi y
2
+ 3y > 0, (y + 1)
3

> x
3
> y
3
. Do
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o y
2
+ 3y ≤
0, v
`
a y = −3, −2, −1, ho
.
˘
ac 0 - kê
´
t qu
,
a nh
.
ân
¯
du
,

.
o
,
c l
`
a (x, y) = (1, 0), (1, -2), v
`
a (-2,
-3).
L
`
o
,
i gi
,
ai 33.5. Ta n
´
oi r
`
˘
ang
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n

.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABD tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i
AD t
.
ai
T
1
v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`

on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac ACD tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i AD t
.
ai T
2
; do
¯
d
´
o DT
1
=
f rac12(DA + DB − AB) v
`
a DT

2
= f rac12(DA + DC − AC).
Gi
,
a s
,
u
,
¯
dâ
`
u tiên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p AB
1
DC
1

. Cho n
´
o n
.
ôi tiê
´
p v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh
AB
1
, B
1
D, DC
1
, C
1
A t
.
ai c
´
ac
¯
diê

,
m theo th
´
u
,
t
.
u
,
E, F, G, H. T
`
u
,
t
´
ınh châ
´
t n
.
ôi tiê
´
p, ch
´
ung
ta c
´
o
AB − BD = (AH + HB) − (BF − DF)
(AH + BF) − (BF − DF) = AH + DF
v

`
a tu
,
o
,
ng t
.
u
,
AC - CD = AE + DG. Nhu
,
ng AH + DF = AE + DG b
`
˘
ang t
´
ınh châ
´
t n
.
ôi
tiê
´
p, c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a AB -BD = AC - CD v

`
a do
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p
tiê
´
p x
´
uc nhau.
Gi
,

a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai l
`
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,

i nhau. Khi
¯
d
´
o DA + DB - AB =
DA + DC - AC. Cho ω l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
,
ua ABB
1
, v
`
a cho D’ l
`
a
¯
diê
,
m n
`

˘
am trên BB
1
24 Chu
,
o
,
ng 33. Ðê
`
thi olympic to
´
an Bulgaria
(kh
´
ac B
1
) sao cho
¯
do
.
an CD’ tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i ω. Gi
,

a s
,
u
,
b
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng r
`
˘
ang D  D

.
T
`
u
,
kê
´
t qu
,
a cuô
´
i, ta biê

´
t r
`
˘
ang
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
,
ua tam gi
´
ac ABD’ v
`
a ACD’ l
`
a n
.
ôi tiê
´
p v
`
a
D’A + D’B - AB = D’A + D’C - AC. Do
¯

d
´
o t
`
u
,
DB - AB = DC - AC v
`
a D’B - AB =
D’B - AC, ch
´
ung ta c
´
o DB - D’B = DC - D’C b
`
˘
ang c
´
ach hai vê
´
. Do
¯
d
´
o DD’ = |BD -
D’B| = |DC - D’C|. Nhu
,
ng bâ
´
t

¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tam gi
´
ac không
¯
d
´
ung v
´
o
,
i tam gi
´
ac DD’C,
¯
d
˜
ân
¯
dê
´
n mâu thu
˜

ân. Ð
´
o l
`
a
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
CHU
,
O
,
NG 34
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN CANADA
34.1. Ðê
`
b
`
ai

B
`
ai 34.1. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac nghi
.
êm thu
,
c c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh 4x
2
− 40[x] + 51 = 0, v
´
o
,
i
[x] l

`
a sô
´
nguyên l
´
o
,
n nhâ
´
t nh
,
o ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang x.
B
`
ai 34.2. Cho ABC l
`
at am gi
´
ac
¯
dê
`

u c
´
o chiê
`
u cao l
`
a 1. Ðu
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an kinh 1 c
´
o
tâm n
`
˘
am vê
`
m
.
ôt ph
´
ıa c
,
ua AB l

`
a C v
`
a di chuyê
,
n trên c
.
anh AB, luôn c
´
˘
at c
.
anh AC v
`
a
BC. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai c
,

ua cung bên trong tam gi
´
ac l
`
a không
¯
dô
,
i.
B
`
ai 34.3. X
´
ac
¯
d
.
inh tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n sao cho n = d(n)

2
,
,
o
,
¯
dây d(n) k
´
ı
hi
.
êu sô
´
c
´
ac u
,
o
,
c du
,
o
,
ng c
,
ua n (gô
`
m c
,
a 1 v

`
a n).
B
`
ai 34.4. Gi
,
a s
,
u
,
a
1
, a
2
, a
8
l
`
a t
´
am sô
´
nguyên kh
´
ac nhau t
`
u
,
t
.

âp S = {1, 2, 17}.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên k > 0 sao cho phu
,
o
,
ng tr
`
ınh a
i
− a
j
= k
c
´
o

´
ıt nhâ
´
t ba nghi
.
êm kh
´
ac nhau. T
`
ım m
.
ôt t
.
âp x
´
ac
¯
d
.
inh gô
`
m 7 sô
´
nguyên kh
´
ac nhau
{b
1
, b
2

, b
7
} t
`
u
,
S sao cho phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
b
i
− b
j
= k
không thê
,
c
´
o ba nghi
.
êm phân bi
.
êt v
´
o
,

i m
.
oi k > 0.
B
`
ai 34.5. Cho x, y, z l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c không âm sao cho
x + y + z = 1.
x
2
y + y
2
z + z
2
x ≤
4
27
,
dâ
´
u b

`
˘
ang x
,
ay ra khi n
`
ao.