ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 NĂM HỌC 2012-2013 CÓ LỜI GIẢI

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 7 năm
học 2012-2013
Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: a) Thực hiện phép tính
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

=
+
+
b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dơng n thì
n 2 n 2 n n
3 2 3 2
+ +
+
chia hết cho 10
Lời giải
: a)
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2 12 4 12 4 10 3 10 3
6 3 12 5 12 5 9 3 9 3 3
9 3

2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .7
A
2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

= =
+ +
+
+
( )
( )
( )
( )
12 4 10 3
12 5 9 3
2 .3 3 1 5 .7 1 7
2 6 1 2 7
2 .3 3 1 5 .7 1 8 4 9 2 3 6


= = = + =
+ +
b) Ta có
( ) ( )
n 2 n 2 n n n n n n n n
3 2 3 2 3 .9 2 .4 3 2 .1 3 9 1 2 4 1
+ +
+ = + = + +

( )
n n 1 n n 1
10.3 10.2 10. 3 2

= =
chia hết cho 10
Câu 2: Tìm x, biết a)
( )
1 4 2
x 3,2
3 5 5
+ = +
b)
( ) ( )
x 1 x 11
x 7 x 7 0
+ +
=
Lời giải
: a)
( )
1 7
x 2 x
1 4 2 1 4 14 1
3 3
x 3,2 x x 2
3 5 5 3 5 5 3
1 5
x 2 x
3 3

= =


+ = + + = =


= =


Vậy giá trị cần tìm là x =
7
3
;
5
x
3

=
b)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
x 1
x 1 x 11 x 1 10
10
x 7 0
x 7 x 7 0 x 7 1 x 7 0
x 7 1
+

+ + +

=


= =


=

Với
( )
x 1
x 7 0 x 7
+
= =
. Với
( )
10
x 7 1 x 8
x 7 1
x 7 1 x 6
= =

=

= =

. Vậy giá trị cần tìm là
{ }

x 6;7;8
Câu 3: a) Số A đợc chia thành 3 số tỉ lệ theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phơng của ba số đó bằng 24309. Tìm
số A
b) Cho x, y, z là các số hữu tỉ khác 0, sao cho
2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z
z y x
+ + + +
= =
.
Tính giá trị bằng số của biểu thức
( ) ( ) ( )
x y y z z x
M
8xyz
+ + +
=
Lời giải
: a) Gọi 3 số đợc chia ra từ số A lần lợt là x; y; z.
Theo bài ra ta có
2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z 24309
32400
2 3 1 4 9 1 4 9 1 2701
5 4 6 25 16 36 25 16 36 3600
+ +
= = = = = = =

+ +
2
2
x
32400 x 5184 x 72
4
25
= = =
;
2
2
y
32400 y 18225 y 135
9
16
= = =
2
2
z
32400 z 900 y 30
1
36
= = =
Với x = 72; y = 135; z = 30 thì A = 237. Với x = -72; y = -135; z = -30 thì A = -237
b) Từ giả thiết ta có:
( )
3 x y z
2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z
3
z y x x y z

+ +
+ + + +
= = = =
+ +
2x 2y z
3 x y 2z
z
+
= + =
;
2x y 2z
3 x z 2y
y
+
= + =
;
x 2y 2z
3 y z 2x
x
+ +
= + =
Do đó
( ) ( ) ( )
x y y z z x
2x.2y.2z
M 1
8xyz 8xyz
+ + +
= = =
Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.

Chứng minh rằng
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng
c) Từ M kẻ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của
ã
BMx
. Gọi D là giao điểm của Mx với AC. Chứng minh
rằng MB > MD
Lời giải
: a) Xét AMC và EMB có
ã
ã
AM ME (gt)
AMC EMB (đối đỉnh)
MC=MB (gt)
=


=



AMC = EMB (c g c)
AC = EB và
ã
ã
CAM BEM=
mà
ã
CAM

;
ã
BEM

là hai góc ở vị trí so le nên AC // BE
b) Nối I với M và K với M
Xét AMI và EMK có
ả
ã
AM EM (gt)
MAI MEK (so le)
AI=EK (gt)
=


=



AMI = EMK (c g c)

ả
ã
AMI EMK=
mà
ã ã
0
EMK KMA 180+ =
(Hai góc kề bù)
ả

ã
0
AMI KMA 180+ =
. Vậy ba điểm I, M, K thẳng
hàng
c) Ta có
ã ã
MDC AMD>
(Góc ngoài của AMD)
ã
ã
MDC AMB>
(Vì theo giả thiết
ã
ã
AMB AMD=
mà
ã
ã
AMB DCM>
(Góc ngoài của AMC). Từ đó suy ra
ã
ã
MDC DCM>
MC > MD (Quan hệ cạnh và góc trong
DMC). Mặt khác MC = MB (gt). Vậy MB > MD (đpcm)
Câu 5: Cho tam giác ABC có
$
0
B 60=

,
$
0
C 45=
. Trong
ã
ABC
, vẽ tia Bx sao cho
ã
0
CBx 15=
. Đờng vuông góc với AB
tại A cắt Bx ở I. Tính
ả
ICB
Lời giải
: Lấy điểm M trên BC sao cho BM = BA
ABM cân tại B có
ã
0
ABM 60=
nên ABM đều
AM = AB. Mặt khác
ả ã
ả
0 0 0
ABI ABM IBM 60 15 45= = =
ABI vuông cân tại A nên AI = AB AI = AM
Ta lại có
ã

ã
ã
0 0
BAC 180 ABC ACB 75= =

ã
ã
ã
0 0 0
MAC BAC BAM 75 60 15= = =

ã
ả
MAC IAC=
Xét AIC và AMC có
ả
ã
AI AM
AC chung
IAC MAC

=



=

AIC = AMC ((c g c)
ả
ã

ả
0 0
ACI ACM 45 ICB 90 = = =
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
A
B
C
D
I
M
K
E
x
A
B
M
C
I
x
0
15
0
15
0
45