tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 5)

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 5)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`

o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.

an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e
gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x

´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l

`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c

´
o th
`
o
,
i
gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao ch
´

ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 40. Ðê
`
thi olympic Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
40.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
40.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chu
,
o
,
ng 41. Ðê

`
thi olympic to
´
an Ireland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
41.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
41.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chu
,
o
,
ng 42. Ðê
`
thi olympic to
´
an Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

42.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chu
,
o
,
ng 43. Ðê
`
thi Olimpic To
´
an Nh
.
ât B
,
an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
43.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
43.2. L
`
o
,
i gi

,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chu
,
o
,
ng 44. Ðê
`
thi Olimpic To
´
an Korea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
44.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
44.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chu
,
o
,
ng 45. Ðê
`
thi olympic to

´
an Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
45.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
45.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chu
,
o
,
ng 46. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ð
`
ai loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
46.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4
M
.
UC L
.
UC 5
46.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CHU
,
O
,
NG 40
Ð
`
Ê THI OLYMPIC HUNGARY
40.1. Ðê
`

b
`
ai
B
`
ai 40.1. Ta c
´
o n ≥ 5 l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c th
,
oa m
˜
an c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên sau:

1, C
´
ac sô
´
kh
´
ac 0, nhu
,
ng
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 1 sô
´
l
`
a 1999.
2, Bâ
´
t c
´
u
,
4 sô
´
trong c
´
ac sô

´
¯
d
´
o c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap xê
´
p du
,
´
o
,
i d
.
ang h
`
ınh h
.

oc tô
,
h
.
o
,
p.
T
`
ım c
´
ac sô
´
¯
d
´
o.
B
`
ai 40.2. Cho tam gi
´
ac ABC v
´
o
,
i

C = 90
0
. Hai h

`
ınh vuông S
1
, S
2
¯
du
,
.
o
,
c d
.
u
,
ng trong
tam gi
´
ac ABC sao cho S
1
v
`
a tam gi
´
ac ABC c
´
o chung
¯
d
,

ınh C, S
2
c
´
o m
.
ôt c
.
anh trên
AB. Cho [S
1
] = 441, [S
2
] = 440. T
´
ınh AC + BC.
B
`
ai 40.3. Cho O v
`
a K lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a tâm c

,
ua m
.
˘
at câ
`
u tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i c
´
ac m
.
˘
at v
`
a c
´
ac c
.
anh
c
,
ua 1 h
`

ınh ch
´
op c
´
o
¯
d
´
ay l
`
a h
`
ınh vuông c
.
anh 2. X
´
ac
¯
d
.
inh thê
,
t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh ch
´

op nê
´
u
O v
`
a K c
´
ach
¯
dê
`
u
¯
d
´
ay.
B
`
ai 40.4. V
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y sô
´
n nguyên du
,

o
,
ng, x
´
ac
¯
d
.
inh (b
`
˘
ang m
.
ôt biê
,
u th
´
u
,
c c
,
ua n), sô
´
c
.
˘
ap sô
´
x, y nguyên du
,

o
,
ng sao cho x
2
− y
2
= 10
2
.30
2n
. Sau
¯
d
´
o ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang sô
´
c
´
ac c
.
˘
ap sô
´

n
`
ay không bao gi
`
o
,
t
.
ao th
`
anh m
.
ôt h
`
ınh vuông.
B
`
ai 40.5. Cho 0 < x, y, z ≤ 1. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
x, y, z th
,
oa m

˜
an phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:
x
1+y+xz
+
y
1+z+xy
+
z
1+x+yz
=
3
x+y+z
B
`
ai 40.6. Cho m
.
ôt t
´
u
,
di
.
ên, m

.
ôt m
.
˘
at câ
`
u
¯
di qua tâ
´
t c
,
a c
´
ac trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´
ac c
.
anh
t
´
u
,
di

.
ên. T
´
ınh thê
,
t
´
ıch l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên.
B
`
ai 40.7. M
˜
ôi m
.
ôt sô
´

nguyên du
,
o
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t trong 1 ô c
,
ua m
.
ôt b
`
an c
`
o
,
h
`
ınh vuông
c
.
anh n
2

. S
.
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua m
˜
ôi sô
´
l
`
a bâ
´
t k
`
y, hai ô vuông kê
`
nhau (chung 1 c
.
anh)
th
`
ı c
´
o
´
ıt ho

,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang: C
´
o
´
ıt nhâ
´
t

n
2

+ 1 ô vuông ch
´
u
,
a c

´
ac sô
´
giô
´
ng nhau.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
B
`
ai 40.8. M
.
ôt n
˘
am
,
o
,
thê
´
k
,
y 20, Alex nh

.
ân thâ
´
y v
`
ao ng
`
ay sinh nh
.
ât c
,
ua anh â
´
y c
.
ông
4 ch
˜
u
,
sô
´
c
,
ua n
˘
am sinh c
,
ua anh â
´

y v
`
ao th
`
ı
¯
du
,
.
o
,
c tuô
,
i th
.
u
,
c s
.
u
,
c
,
ua m
`
ınh. C
˜
ung m
.
ôt

ng
`
ay sinh nh
.
ât nhu
,
v
.
ây, Bernath ngu
,
`
o
,
i c
`
ung ng
`
ay sinh nhu
,
ng không giô
´
ng nhu
,
tuô
,
i
c
,
ua Alex c
˜

ung nh
.
ân thâ
´
y
¯
diê
`
u n
`
ay vê
`
n
˘
am sinh v
`
a tuô
,
i c
,
ua m
`
ınh. Ng
`
ay
¯
d
´
o c
,

a hai
ngu
,
`
o
,
i
¯
dê
`
u du
,
´
o
,
i 99 tuô
,
i. H
,
oi bao nhiêu n
˘
am th
`
ı tuô
,
i c
,
ua h
.
o c

´
o s
.
u
,
kh
´
ac nhau.
B
`
ai 40.9. Cho tam gi
´
ac ABC v
`
a D l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc AB. C
´
ac
¯
du
,

`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p
c
,
ua tam gi
´
ac ACD, CDB tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i nhau t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,

m trên c
.
anh CD. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC tiê
´
p x
´
uc v

´
o
,
i c
.
anh AB t
.
ai D.
B
`
ai 40.10. Cho R l
`
a b
´
an k
´
ınh m
.
˘
at câ
`
u ngo
.
ai tiê
´
p c
,
ua 1 h
`
ınh ch

´
op c
´
o
¯
d
´
ay l
`
a h
`
ınh
vuông. G
.
oi r l
`
a b
´
an k
´
ınh m
.
˘
at câ
`
u tiê
´
p x
´
uc v

´
o
,
i 4 m
.
˘
at bên v
`
a m
.
˘
at
¯
d
´
ay. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang 2R
= (1 +
√
2)r. X
´
ac

¯
d
.
inh g
´
oc gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng m
.
˘
at liê
`
n kê
`
c
,
ua h
`
ınh ch
´
op.
8 Chu
,
o

,
ng 40. Ðê
`
thi olympic Hungary
40.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.1. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta gi
,
a s
,
u
,

r
`
˘
ang tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
n
`
ay
¯
dê
`
u không âm. Nê
´
u x ≤
y ≤ z ≤ w ≤ v l
`
a 5 sô
´
, do
¯
d
´
o x, y, z, w; x, y, z, v; x, y, w, v; x, z, w, v; y, z, w, v. tâ
´

t
c
,
a
¯
dê
`
u l
`
a h
`
ınh h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p.
So s
´
anh m
˜
ôi c
.
˘
ap 2 tô
,
h

.
o
,
p sô
´
th
`
ı nh
.
ân thâ
´
y: x = y = z = w = v. Do
¯
d
´
o tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng
sô
´
n
`
ay c
´

o vai tr
`
o nhu
,
nhau.
Gi
,
ai s
,
u
,
r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o l
`
a không âm trrong c
´

ac sô
´
trên th
`
ı thay m
˜
ôi sô
´
x = |x|.
Gi
´
a tr
.
i c
,
ua tô
,
h
.
o
,
p h
`
ınh h
.
oc n
`
ay
¯
du

,
.
o
,
c b
,
ao to
`
an. T
`
u
,
tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên trên c
´
ac gi
´
a
tr

.
i |x| l
`
a nhu
,
nhau. Do
¯
d
´
o, m
˜
ôi sô
´
nguyên l
`
a 1999 ho
.
˘
ac -1999 v
`
ı n ≥ 5. V
`
ai b
.
ô 3 sô
´
l
`
a
nhu

,
nhau. Nhu
,
ng không tô
,
h
.
o
,
p h
`
ınh h
.
oc n
`
ao c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c h
`
ınh th
`
anh t

`
u
,
3 sô
´
-1999,
1 v
`
a 1999 ho
.
˘
ac t
`
u
,
3 sô
´
1999, 1 v
`
a -1999.
V
`
ı v
.
ây, tâ
´
t c
,
a nh
˜

u
,
ng sô
´
n
`
ay l
`
a nhu
,
nhau v
`
a b
`
˘
ang 1999.
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.2. Ð
.
˘
at S
1
= CDEF v
`
a S

2
= KLMN v
´
o
,
i D, K thu
.
ôc c
.
anh AC v
`
a N
thu
.
ôc BC.
Khi
¯
d
´
o c
.
anh c
,
ua h
`
ınh vuông S
1
= 21, c
.
anh c

,
ua h
`
ınh vuông S
2
=
√
440 v
`
a a = BC,
b = CA, c = AB.
S
,
u
,
d
.
ung t
,
y l
.
ê gi
˜
u
,
a c
´
ac tam gi
´
ac

¯
dô
`
ng d
.
ang AED, ABC v
`
a EBF ta c
´
o:
c = AB = AE + EB = c.(
S
1
a
+
S
2
b
) ho
.
˘
ac (
1
a
+
1
b
)S
1
= 1.

T
`
u
,
c
´
ac tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng d
.
ang ABC, AKL, NBM ta c
´
o:
c = AB = AL + LM + MB = S
2
(
b
a
+ 1 +
a
b
) v
`
a S
2
= abcd(ab + c

2
).
Do
¯
d
´
o:
1
S
2
1
−
1
S
2
2
= (
1
c
+
c
ab
)
2
− (
1
a
+
1
b

)
2
= (
1
c
2
+
c
2
a
2
b
2
+
2
ab
) − (
1
a
2
+
1
b
2
+
2
ab
) =
1
c

2
Suy ra c =
1

1
S
2
2
−
1
S
1
2
= 21
√
440
Gi
,
a s
,
u
,
: S
2
=
abc
ab+c
2
khi
¯

d
´
o c
´
o gi
´
a tr
.
i ab =
S
2
c
2
c−S
2
= 21
2
.22.
Suy ra: AC + BC = a + b =
ab
S
1
= 21.22 = 462.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê

,
n, 9
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.3. G
.
oi r, R lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a b
´
an k
´
ınh c
,
ua c
´
ac m
.
˘

at câ
`
u tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. G
.
oi h
`
ınh
ch
´
op c
´
o
¯
d
´
ay ABCD,
¯
d
,
ınh P, chiê
`
u cao h. Theo t

´
ınh châ
´
t
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng th
`
ı O v
`
a K n
`
˘
am
trên
¯
du
,
`
o
,
ng cao qua P.
C
´
˘

at h
`
ınh ch
´
op b
,
o
,
i m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
d
´
ay, m
.
˘
at ph

,
˘
ang
¯
d
´
o c
´
˘
at
¯
d
´
ay b
`
˘
ang
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang qua tâm
¯
d
´

ay v
`
a song song v
´
o
,
i AB. M
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
´
o c
´
˘
at h
`
ınh ch
´
op theo
thiê
´
t di
.
ên l
`

a m
.
ôt tam gi
´
ac cân
¯
d
´
ay b
`
˘
ang 2, chiê
`
u cao l
`
a
√
h
2
+ 1.
Ðu
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê

´
p tam gi
´
ac c
´
˘
at m
.
˘
at câ
`
u tâm O v
`
a do
¯
d
´
o c
´
o b
´
an k
´
ınh r.
M
.
˘
at kh
´
ac: Di

.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac n
`
ay b
`
˘
ang
1
2
r.

p(p − a)(p − b)(p − c) ho
.
˘
ac b
`
˘
ang
1
2
r.(2 + 2
√
h
2
+ 1).
M

.
˘
at kh
´
ac, n
´
o c
`
on
1
2
x chiê
`
u cao x di
.
ên t
´
ıch
¯
d
´
ay =
1
2
2.h.
V
.
ây ta c
´
o:

1
2
r(2 + 2
√
h
2
+ 1) =
1
2
.2.h ⇔ r =
√
h
2
+1
h
.
Theo t
´
ınh châ
´
t
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng m
.

˘
at câ
`
u th
´
u
,
2 tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i c
.
anh AB t
.
ai trung
¯
diê
,
m M thu
.
ôc
AB.
Do
¯
d

´
o: d(K,(ABCD)) = r.
Ta c
´
o: R
2
= KM
2
= r
2
+ 1.
Ho
,
n n
˜
u
,
a, nê
´
u m
.
˘
at câ
`
u th
´
u
,
2 tiê
´

p x
´
uc v
´
o
,
i c
.
anh AP t
.
ai N.
Theo t
´
ınh châ
´
t tiê
´
p tuyê
´
n ta c
´
o: AN = AM = 1.
Do
¯
d
´
o: PN = PA − 1 =
√
h
2

+ 2 − 1.
C
˜
ung nhu
,
thê
´
: PK = h + r khi K n
`
˘
am
¯
dô
´
i di
.
ên v
´
o
,
i O qua m
.
˘
at ph
,
˘
ang (ABCD).
Nê
´
u ngu

,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı: PK = h - r.
Do
¯
d
´
o: PK
2
= PN
2
+ NK
2
⇔ (h ± r)
2
= (
√
h
2
+ 2 − 1)
2
+ (h
2
+ 1) ⇔ ±2hr =

4 − 2
√
h
2
+ 2.
L
.
ai c
´
o: r =
√
h
2
+1
h
⇒ ±(
√
h
2
+ 1 − 1) = 2 −
√
h
2
+ 2.
Phu
,
o
,
ng tr
`

ınh trên c
´
o nghi
.
êm duy nhâ
´
t l
`
a h =
√
7
3
.
Suy ra thê
,
t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh ch
´
op V =
1
3
.4.
√
7
3

=
4
√
7
9
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.4. T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t: x
2
− y
2
= 10
2
.30
2n
suy ra x, y ph
,

ai c
´
o c
`
ung t
´
ınh ch
˜
˘
an,
l
,
e. T
`
u
,
¯
d
´
o c
.
˘
ap sô
´
(x, y) l
`
a
¯
d
´

ap sô
´
¯
d
´
ung khi v
`
a ch
,
ı khi (u,v) = (
x+y
2
,
x−y
2
) l
`
a m
.
ôt c
.
˘
ap sô
´
nguyên du
,
o
,
ng th
,

oa m
˜
an u > v v
`
a u.v = 5
2
.30
2n
.
C
´
o: 5
2
.30
2n
= 2
2n
.3
2n
.5
2n+2
c
´
o c
´
ac yê
´
u tô
´
ch

´
ınh x
´
ac l
`
a: (2n + 1)
2
.(2n + 3).
Do
¯
d
´
o: nê
´
u không c
´
o
¯
diê
`
u ki
.
ên u > v th
`
ı (2n + 1)
2
.(2n + 3) ch
´
ınh l
`

a c
.
˘
ap sô
´
(u,v) câ
`
n
10 Chu
,
o
,
ng 40. Ðê
`
thi olympic Hungary
t
`
ım.
M
.
ôt c
´
ach ch
´
ınh x
´
ac, m
.
ôt c
.

˘
ap sô
´
(u,v) m
`
a u = v khi
¯
d
´
o do t
´
ınh
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng, m
.
ôt n
,
u
,
a c
´
ac
c
.

˘
ap sô
´
c
`
on l
.
ai c
´
o u > v.
D
˜
ân
¯
dê
´
n ta c
´
o:
1
2
[(2n + 1)
2
(2n + 3) − 1] = (n + 1)(4n
2
+ 6n + 1) l
`
a c
.
˘

ap th
,
oa m
˜
an.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang: (n + 1)(4n
2
+ 6n + 1) l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông.
T
`
u
,
n + 1 v
`
a 4n

2
+ 6n + 1 = (4n+2)(n+1) - 1 l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên tô
´
, 4n
2
+ 6n + 1
c
˜
ung l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông.
Nhu
,
ng: (2n + 1)
2
< 4n
2
+ 6n + 1 < (2n + 2)

2
(Ðiê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân) suy ra
¯
diê
`
u câ
`
n
ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.5. T
`
u
,
gi

,
a thiê
´
t ta c
´
o: x + y + z > 0 v
`
ı ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı phu
,
o
,
ng tr
`
ınh vô
nghi
.
êm.
Do 0 < x, y, z  1 nên ta c
´
o: (1 − z)(1 − x) ≥ 0 ⇒ 1 + zx ≥ x + z v
`

a do
¯
d
´
o ta c
´
o:
x
1+y+zx
≤
x
x+y+z
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
cho 2 sô
´
c
`
on l
.
ai m
`
a vê

´
tr
´
ai nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a: (x + y + z)(x + y + z) ≤
3
x+y+z
.
Nê
´
u gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac gi
´
a tr
.
i x, y, z l
`
a b

`
ınh
¯
d
,
˘
ang, ch
´
ung ta ph
,
ai c
´
o
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt l
`
a: x
+ y + z = 3 suy ra x = y = z = 1.
Sau

¯
d
´
o ch
´
ung ta th
,
u
,
l
.
ai
¯
dê
,
kê
´
t lu
.
ân r
`
˘
ang n
´
o th
.
u
,
c s
.

u
,
l
`
a nghi
.
êm.
V
.
ây phu
,
o
,
ng tr
`
ınh c
´
o nghi
.
êm l
`
a (x, y, z) = (1, 1, 1).
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.6. G
.

oi m
.
˘
at câ
`
u c
´
o tâm O v
`
a A, B, C l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y n
`
˘
am trên m
.
˘
at
câ
`

u. Ta c
´
o:
S
OAB
=
1
2
OA.OB. sin

AOB ≤
1
2
r
2
.
M
.
˘
at kh
´
ac: Kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
C

¯
dê
´
n (OAB) l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a CO = r.
Khi
¯
d
´
o: T
´
u
,
di
.
ên OABC c
´
o thê
,
t
´
ıch l
´

o
,
n nhâ
´
t l
`
a:
r
3
6
.
Nê
´
u A;A’, B; B’, C; C’ l
`
a c
´
ac c
.
˘
ap
¯
diê
,
m
¯
dô
´
i nhau trên m
.

˘
at câ
`
u th
`
ı b
´
at gi
´
ac
ABCA’B’C’ c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 8 t
´
u
,
di
.
ên v
´

o
,
i
¯
d
,
ınh O v
`
a v
`
ı thê
´
V
max
=
4r
3
3
.
V
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên b

`
ai to
´
an, ta thu nh
,
o t
´
u
,
di
.
ên T v
´
o
,
i thê
,
t
´
ıch V theo h
.
ê sô
´
1
2
vê
`
m
˜
ôi

¯
d
,
ınh
¯
dê
,
c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt t
´
u
,
di
.
ên, m
˜
ôi t
´
u
,

di
.
ên c
´
o V =
T
8
.
Sau
¯
d
´
o 6 trung
¯
diê
,
m t
.
ao th
`
anh m
.
ôt b
´
at gi
´
ac v
´
o
,

i thê
,
t
´
ıch l
`
a:
V
2
.
M
.
˘
at kh
´
ac: C
´
ac
¯
do
.
an nô
´
i 2
¯
diê
,
m
¯
dô

´
i di
.
ên C v
`
a D c
,
ua b
´
at gi
´
ac n
`
ay c
´
o tr
.
ong tâm P
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 11
nhu
,
l

`
a trong
¯
diê
,
m O c
,
ua n
´
o.
Nê
´
u O kh
´
ac P th
`
ı OP l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c

,
ua m
˜
ôi
¯
do
.
an v
`
a tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an n
`
ay
n
`
˘
am trên m
.
˘

at ph
,
˘
ang
¯
di qua P v
`
a vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang OP.
Nê
´
u không th
`
ı trung
¯

diê
,
m s
˜
e h
`
ınh th
`
anh 3 c
.
˘
ap c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
dô
´
i di
.
ên nhau, thê
,
t
´
ıch c
,
ua

n
´
o l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a
4r
3
3
.
Do
¯
d
´
o: V ≤
8r
3
3
v
´
o
,
i bâ
´
t k

`
y t
´
u
,
di
.
ên n
`
ao.
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.7. G
.
oi a, b lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a sô
´
nh

,
o nhâ
´
t, l
´
o
,
n nhâ
´
t trong b
`
an c
`
o
,
. Ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
chia ra b
,
o
,
i nhiê

`
u nhâ
´
t l
`
a n
2
− 1 ô vuông theo chiê
`
u ngang v
`
a n
2
− 1 theo chiê
`
u d
.
oc.
V
`
ı thê
´
c
´
o 1 c
´
ach t
`
u
,

m
.
ôt ô
¯
dê
´
n ô kh
´
ac v
´
o
,
i chiê
`
u d
`
ai l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a 2(n
2
− 1). Sau
¯
d
´

o t
`
u
,
hai ô vuông tiê
´
p theo chênh l
.
êch nhau nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a n, ta c
´
o: b − a ≤ 2(n
2
− 1).n.
Nhu
,
ng t
`
u
,
tâ
´
t c
,
a c

´
ac ô trên b
,
ang l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
˘
am gi
˜
u
,
a a v
`
a b, ch
,
ı c
´
o 2(n
2
− 1).n + 1
l
`
a c

´
ac sô
´
kh
´
ac bi
.
êt c
´
o thê
,
tô
`
n t
.
ai.
V
`
a v
`
ı n
4
>

(2(n
2
− 1)n + 1)
n
2


>
n
2
ô vuông ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng con sô
´
giô
´
ng nhau. (ÐPCM).
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.8. Ð
.
˘
at c l
`
a sô
´
n

˘
am
¯
d
˜
a cho.
N
˘
am sinh c
,
ua Alex ho
.
˘
ac l
`
a 18uv ho
.
˘
ac l
`
a 19uv v
´
o
,
i u, v l
`
a c
´
ac ch
˜

u
,
sô
´
. V
`
a do
¯
d
´
o,
ho
.
˘
ac c = 18uv + (9+u+v) = 1809 + 11u + 2v ho
.
˘
ac c = 19uv+(10+u+v) = 1910 +
11u + 2v. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
,
¯
d
.

˘
at n
˘
am sinh c
,
ua Bernath kê
´
t th
´
uc b
`
˘
ang c
´
ac ch
˜
u
,
u’, v’.
Alex v
`
a Bernath không thê
,
sinh v
`
ao c
`
ung 1 thê
´
k

,
y v
`
ı nê
´
u thê
´
th
`
ı ta s
˜
e c
´
o: 11u + 2v
= 11u’ + 2v’ suy ra 2(v - v’) = 11(u’ - u).
Do
¯
d
´
o ho
.
˘
ac (u, v) = (u’, v’) ho
.
˘
ac |v − v

| ≥ 11.
Ta thâ
´

y 2 tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên không thê
,
x
,
ay ra.
Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at khi n
´
oi Alex sinh v
`
ao nh
˜
u
,

ng n
˘
am 1800 v
`
a 1809 + 11u +
2v = 1910 + 11u’ + 2v’ ⇒ 11(u − u

) + 2(v − v

) = 101 ⇔

u − u

= 9
v − v

= 1
.
V
.
ây s
.
u
,
kh
´
ac bi
.
êt gi
˜

u
,
a tuô
,
i c
,
ua h
.
o s
˜
e l
`
a: 19u’v’ - 18uv = 100 + 10(u’ - u) +(v’ - v)
= 9.
L
`
o
,
i gi
,
ai 40.9. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang

¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac XYZ tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i c
.
anh
YZ, ZX, XY
,
o
,
U, V, W.

´
Ap d
.
ung t
´
ınh châ
´
t c
,
ua tiê
´
p tuyê
´
n ta c
´
o:
12 Chu
,
o
,
ng 40. Ðê
`
thi olympic Hungary
XY + YZ + ZX = (YW + YU) + (XW + ZU) + (XZ) v
`
a YU =
1
2
(XY + YZ − ZX).
Do

¯
d
´
o nê
´
u
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a CDB tiê
´
p x
´
uc t
.

ai E th
`
ı:
AD + DC - CA = 2DE = BD + DC = CB ⇔ AD −CA = (AB − AD) − BC
⇒ AD =
1
2
(CA + AB − BC).
Nhu
,
ng nê
´
u
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac ABC tiê

´
p x
´
uc v
´
o
,
i c
.
anh AB
,
o
,
D’ th
`
ı:
AD

=
1
2
(CA + AB − BC).
V
.
ây D ≡ D’. (ÐPCM)
L
`
o
,
i gi

,
ai 40.10. G
.
oi P l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh ch
´
op, ABCD l
`
a
¯
d
´
ay, M, N l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua

c
.
anh AB, CD.
Do t
´
ınh châ
´
t
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng c
,
a hai m
.
˘
at câ
`
u c
´
o tâm
¯
dê
`
u thu
.

ôc
¯
du
,
`
o
,
ng cao k
,
e t
`
u
,
¯
d
,
ınh P. M
.
˘
at
ph
,
˘
ang (MNP) c
´
˘
at h
`
ınh ch
´

op trong tam gi
´
ac MNP v
`
a c
´
˘
at m
.
˘
at câ
`
u
,
o
,
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on l
´
o
,
n.
G

.
oi
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on nh
,
o nhâ
´
t c
´
o tâm l
`
a O n
´
o tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i c
.

anh PM, PN v
`
a c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on l
´
o
,
n
,
o
,
c
´
ac
¯
diê
,
m U, V, W.

L
.
ai s
,
u
,
d
.
ung t
´
ınh châ
´
t
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng th
`
ı W n
`
˘
am trên
¯
du
,
`

o
,
ng cao h
.
a t
`
u
,
P.
Do
¯
d
´
o OP = 2R - r =
√
2 r.
Tam gi
´
ac OUP l
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac vuông cân v
`
a

OPU =


OPV = 45
0
.
V
`
ı thê
´
tam gi
´
ac NPM l
`
a tam gi
´
ac cân v
`
a kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
P
¯
dê
´
n m
.
˘

at ph
,
˘
ang (ABD)
¯
d
´
ung b
`
˘
ang
BC
2
.
Do
¯
d
´
o: t
`
u
,
m
.
ôt m
.
˘
at câ
`
u c

´
o thê
,
xây d
.
u
,
ng m
.
ôt khô
´
i l
.
âp phu
,
o
,
ng v
´
o
,
i tâm P v
`
a m
.
ôt m
.
˘
at
l

`
a ABCD. Khô
´
i l
.
âp phu
,
o
,
ng n
`
ay c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 6 h
`
ınh ch
´
op
¯
dô

`
ng d
.
ang v
´
o
,
i
P.ABCD.
Ð
.
˘
ac bi
.
êt 3 h
`
ınh ch
´
op n
`
ay c
´
o chung
¯
d
,
ınh A. Khi
¯
d
´

o 3 lâ
`
n g
´
oc gi
˜
u
,
a 2 m
.
˘
at ph
,
˘
ang
(PAB), (PAD) t
.
ao th
`
anh g
´
oc
2π
3
.
N
´
oi m
.
ôt c

´
ach kh
´
ac: V
´
o
,
i 3 h
`
ınh ch
´
op PABD, PADE, PAEB ta
¯
d
.
˘
at P’ l
`
a trung
¯
diê
,
m
c
,
ua c
.
anh AP, B’, C’, D’ l
`
a c

´
ac
¯
diê
,
m thu
.
ôc c
´
ac m
.
˘
at ph
,
˘
ang (PAD), (PAE), (PAD) sao
cho c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang B’P’, D’P’, E’P’ l
`

a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang vuông g
´
oc v
´
o
,
i AP. G
´
oc
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13

câ
`
n t
`
ım l
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a bâ
´
t k
`
y hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ao trong c
´

ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay. Nhu
,
ng
do 3
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay c
`
ung thu

.
ôc m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang vuông g
´
oc v
´
o
,
i AD nên g
´
oc n
`
ay
ph
,
ai b
`
˘
ang
2π
3
.
CHU

,
O
,
NG 41
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN IRELAND
41.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 41.1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u x kh
´
ac 0 th
`
ı

x
8
− x
5
−
1
x
+
1
x
4
≥ 0
B
`
ai 41.2. Ðiê
,
m P n
`
˘
am trong tam gi
´
ac cân v
`
a kho
,
ang c
´
ach t
´
o

,
i 3
¯
d
,
ınh lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a 3,
4, 5. T
`
ım di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac.
B
`
ai 41.3. Ch
,
ı ra r
`

˘
ang không sô
´
nguyên n
`
ao d
.
ang xyxy trong h
.
ê 10 l
`
a l
.
âp phu
,
o
,
ng 1
sô
´
nguyên. C
˜
ung t
`
ım
¯
du
,
.
o

,
c sô
´
nh
,
o nhâ
´
t b > 1 m
`
a l
`
a sô
´
l
.
âp phu
,
o
,
ng c
´
o d
.
ang xyxy.
B
`
ai 41.4. Ch
´
u
,

ng minh r
`
˘
ang 1 h
`
ınh tr
`
on c
´
o b
´
an k
´
ınh 2 c
´
o thê
,
chia th
`
anh 7 h
`
ınh tr
`
on
(c
´
o thê
,
chô
`

ng nhau) c
´
o b
´
an k
´
ınh 1.
B
`
ai 41.5. Nê
´
u x l
`
a 1 sô
´
th
.
u
,
c m
`
a x
2
−x l
`
a 1 sô
´
nguyên, v
`
a cho c

´
ac sô
´
n ≥ 3 th
`
ı x
2
−x
v
˜
ân l
`
a sô
´
nguyên th
`
ı x l
`
a sô
´
nguyên.
B
`
ai 41.6. T
`
ım c
´
ac sô
´
nguyên du

,
o
,
ng m
`
a c
´
o
¯
d
´
ung 16 u
,
´
o
,
c du
,
o
,
ng theo th
´
u
,
t
.
u
,
d
1

, d
2
, d
3
, , d
1
6 m
`
a 1 = d
1
< d
2
< d
3
< < d
1
6 = n
B
`
ai 41.7. Gi
,
a s
,
u
,
a, b, c l
`
a c
´
ac sô

´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng, th
`
ı
9
a+b+c
≤ 2(
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
)
v
`
a
1
a+b
+

1
b+c
+
1
c+a
≤
1
2
(
1
a
+
1
b
+
1
C
)
B
`
ai 41.8. a. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang N c
´
o thê

,
viê
´
t nhu
,
giao c
,
ua 3 t
.
âp h
.
o
,
p kh
´
ac nhau m
`
a
v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y m, n ∈ N v
´
o
,

i |m-n|=2,5 n
`
˘
am gi
˜
u
,
a c
´
ac t
.
âp
¯
d
´
o.
b. Ch
´
u
,
ng minnh r
`
˘
ang N c
´
o thê
,
viê
´
t nhu

,
s
.
u
,
kê
´
t h
.
o
,
p c
,
ua 4 t
.
âp chia m
`
a v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y
m, n ∈ N v
´
o
,

i |m-n|=2,5 n
`
˘
am gi
˜
u
,
a c
´
ac b
.
ô
¯
d
´
o. T
`
u
,
¯
d
´
o c
˜
ung ch
,
ı ra r
`
˘
ang không thê

,
l
`
am
v
´
o
,
i 3 b
.
ô.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 15
B
`
ai 41.9. M
.
ôt d
˜
ay sô
´
th
.

u
,
c x
n
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa nhu
,
sau: x
0
, x
1
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.

u
,
c t
`
uy
´
y,
v
`
a x
n+2
=
1+x
n+1
x
n
. T
`
ım x
1998
.
B
`
ai 41.10. M
.
ôt tam gi
´
ac ABC c
´
o 3 c

.
anh du
,
o
,
ng,

A = 2

B,

C ≤ 90
o
. T
`
ım chu vi nh
,
o
nhâ
´
t c
,
ua tam gi
´
ac ABC.
16 Chu
,
o
,
ng 41. Ðê

`
thi olympic to
´
an Ireland
41.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.1. Ta c
´
o
x
8
− x
5
−
1
x
+
1
x

4
= x
5
(x
3
− 1) −
x
3
−1
x
4
=
(x
9
−1)(x
3
−1)
x
4
V
`
ı x
4
≥ 0, x
9
, x
3
− 1 c
`
ung dâ

´
u nên
biê
,
u th
´
u
,
c luôn du
,
o
,
ng ho
.
˘
ac b
`
˘
ang 0.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.2. Ð
.
˘
at 3
¯

d
,
ınh l
`
a A, B, C nhu
,
thê
´
PA = 3, PB = 4, PC =5. Quay tam gi
´
ac
BPA g
´
oc 60
o
quanh
¯
diê
,
m A sao cho c
.
anh AB, AC tr
`
ung nhau. Ð
.
˘
at X l
`
a
,

anh c
,
ua P.
Thâ
´
y r
`
˘
ang, PX = 3, CX = 4, CP = 5, v
`
ı thê
´
PX vuông g
´
oc. Ho
,
n n
˜
u
,
a, APX tr
,
o
,
th
`
anh
tam gi
´
ac cân c

.
anh 3. Bây gi
`
o
,
,
´
ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y COS cho tam gi
´
ac CXA, ta c
´
o:
AC =
√
3
2
+ 4
2
− 2.3.4.cos150
o
=


25 + 12
√
3 V
.
ây di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac l
`
a
25
√
3
4
+ 9
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.3. Nê
´
u sô
´
c
´

o 4 ch
˜
u
,
sô
´
xyxy = 101.xy th
`
ı l
`
a 1 l
.
âp phu
,
o
,
ng th
`
ı
101|xy,
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân. Ðô
,
i xyxy = 101.xy t

`
u
,
h
.
ê b sang h
.
ê 10. Ta thâ
´
y,
xyxy = (b2 + 1).(bx + y).x, y < b; b2 + 1 > bx + y. V
`
ı thê
´
,
¯
dê
,
xyxy l
`
a l
.
âp phu
,
o
,
ng,
b2 + 1 ph
,
ai chia hê

´
t b
,
o
,
i 1 sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
d
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra b = 7
l
`
a sô
´

nh
,
o nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an, v
´
o
,
i b
2
+ 1 = 50. Sô
´
l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o nhâ
´
t chia hê
´
t 50 l
`

a
1000, sô
´
câ
`
n t
`
ım l
`
a 2626 trong h
.
ê 7.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.4. Ta c
´
o thê
,
g
´
oi c
´
ac h
`
ınh l
.

uc gi
´
ac
¯
dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai c
.
anh 1 trong 1
h
`
ınh d
.
ang tô
,
ong: 1 h
`
ınh l

.
uc gi
´
ac
,
o
,
gi
˜
u
,
a v
´
o
,
i c
´
ac h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac kh
´
ac liê
`
n c
.
anh v

´
o
,
i n
´
o.
D
˜
ê thâ
´
y h
`
ınh tô
,
ng h
.
o
,
p
¯
d
´
o c
´
o thê
,
ch
´
u
,

a b
,
o
,
i 1 h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 2. M
`
a ch
´
ung ta c
´
o
thê
,
ch
´
u
,
a m
˜
ôi h
`
ınh l

.
uc gi
´
ac b
,
o
,
i 1 h
`
ınh tr
`
on
¯
do
,
n v
.
i. V
.
ây vâ
´
n
¯
dê
`
¯
du
,
.
o

,
c ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.5. Ta gi
,
a s
,
u
,
c
´
o thê
,
phân t
´
ıch x
n
− k = kx + mz cho 1 sô
´
sô
´

nguyên k v
`
a
m, m
`
a ch
´
u
´
y r
`
˘
ang x =
x
n
−x−ma
k
th
`
ı h
.
o
,
p l
´
y, phâ
`
n c
`
on l

.
ai c
˜
ung thê
´
. Ðê
,
l l
`
a 1 sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng. Ta thâ
´
y r
`
˘
ang: a. x
2l
= (x
2
)
l
= (x + z)
l
; b. x

2l+1
= x(x
2
)
l
= x(x + z)
l
; D
˜
ê d
`
ang
thâ
´
y r
`
˘
ang, c
´
ac phân t
´
ıch trên l
`
am gi
,
am gi
´
a tr
.
i c

,
ua x , v
`
a ch
,
ı d
`
ung v
´
o
,
i sô
´
nguyên. L
.
˘
ap
l
.
ai c
´
ac phân t
´
ıch trên ta thâ
´
y
¯
du
,
.

o
,
c gi
,
a s
,
u
,
ban
¯
dâu l
`
a
¯
d
´
ung.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.6. Ð
.
˘
at sô
´
nguyên n = p
a

1
1
p
a
2
2
p
a
m
m
, v
´
o
,
i p
a
1
1
, p
a
2
2
, p
a
m
m
l
`
a c
´

ac sô
´
nguyên
tô
´
kh
´
ac nhau. Sau n c
´
o c
´
ac u
,
´
o
,
c l
`
a (a
1
+ 1)(a
2
+ 1) (a
n
+ 1). T
`
u
,
18=2.32, n
´

o c
´
o 6
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 17
u
,
´
o
,
c: 1, 2, 3, 6, 9, 18. T
`
u
,
d c
´
o 16 u
,
´
o
,
c, ta thâ
´

y r
`
˘
ang d = 2.3
2
ho
.
˘
ac d = 2.3
7
. Nê
´
u
d = 2.3
7
, d
8
54, d
9
= 81, d
9
− d
8
 17 . V
`
ı thê
´
p>27 . Nê
´
u p < 54, d

7
= 27, d
8
=
p, d
9
= 54 = d
8
+ 17 nên p=37. Nê
´
u p > 54, th
`
ı d
7
= 27, d
8
= 54, d
9
= d
8
+ 17 = 71.
Ta c
´
o kê
´
t qu
,
a cho b
`
ai to

´
an l
`
a: 2.3
3
.37 = 1998 v
`
a 2.3
3
.71 = 3834.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.7. Bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
¯
dâ

`
u tiên c
´
o thê
,
suy tr
.
u
,
c tiê
´
p t
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c AM –
HM ho
.
˘

ac Cauchy-Schwars, v
`
ı n
´
o c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai nhu
,
sau
9
(a+b)+(b+c)+(c+a)
≤
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
Ta c
˜
ung c
´

o thê
,
s
,
u
,
d
.
ung BÐT Jensen
¯
dê
,
gi
,
ai c
,
a 2 BÐT. T biê
´
t r
`
˘
ang f (x) =
1
x
l
`
a h
`
am
lô

`
i. Theo
¯
d
´
o, BÐT Jensen
f (a+b)+ f (b+c)+ f (c+a)
3
≥ f (
(a+b)+(b+c)+(c+a)
3
)
T
`
u
,
¯
d
´
o gi
,
ai
¯
du
,
.
o
,
c BÐT
¯

dâ
`
u. C
˜
ung b
`
˘
ang BÐT Jensen, ta c
´
o
f (a)+ f (b)
2
≥
a+b
2
Thay
¯
dô
,
i c
´
ac biê
´
n trong BÐT v
`
a lâ
´
y tô
,
ng ta c

´
o BÐT th
´
u
,
2.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.8. a. D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra r
`
˘
ang c
´
ac b
.
ô 3k + 1, 3k + 2, 3k, k ∈ N
Th
,
oa m
˜

an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dâ
`
u b
`
ai.
b. Ðâ
`
u tiên ta c
´
o ch
´
u
´
y c
´
ac b
.
ô 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3, 4k, k ∈ N
Th
,
oa m
˜

an
¯
dâ
`
u b
`
ai.
Ta c
´
o thê
,
gi
,
ai
´
y 2 b
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng. Gi
,
a s
,
u
,

c
´
o 3 t
.
âp A, B, C th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên. Ta
ch
´
u
´
y r
`
˘
ang 1, 3, 6 ph
,
ai
,
o
,
c
´

ac b
.
ô kh
´
ac nhau. Thê
´
4 ∈ B. Ta c
´
o v
`
a 2, 5 B v
`
a 2,5 thu
.
ôc
2 t
.
âp kh
´
ac nhau. Ðiê
`
u n
`
ay d
˜
ân
¯
dê
´
n 2 tru

,
`
o
,
ng h
.
o
,
p:
1, 2 ∈ A, 3, 4∈ B, 5,6∈C ho
.
˘
ac 1, 5 ∈ A, 3, 4∈ B, 2,6∈C nhu
,
ng c
,
a 2 TH ta không thê
,
¯
d
.
˘
at 7 v
`
ao 1 t
.
âp n
`
ao. V
.

ây gi
,
a s
,
u
,
sai.
L
`
o
,
i gi
,
ai 41.9. Ta c
´
o
x
2
=
1+x
1
x
0
, x
3
=
x
0
+x
1

+1
x
0
x
1
, x
4
=
1+x
0
x
1
, x
5
= x
0
, x
6
= x
1
B
,
o
,
i v
.
ây, x
k
l
.

˘
ap l
.
ai chu k
`
y v
´
o
,
i 5 sô
´
v
.
ây x
1998
= x
3
=
x
0
+x
1
+1
x
0
x
1
L
`
o

,
i gi
,
ai 41.10. Ð
.
˘
at AB = c, BC = a, CA = b. Ta c
´
o A = 2B v
`
a C = 180
o
– 3B.
´
Ap
d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y SIN
a
sinA
=
b
sinB
=

c
sinC
18 Chu
,
o
,
ng 41. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
T
`
u
,
sinA = sin2BcosB v
`
a sinC = sin3B = 3sinB˘4sin
3
B, ta c
´
o
a = 2bcosB, c = b(3-4sin
2
B) = b(4cos
2
B-1) v
`
a a
2

= b(b+c). T
`
u
,
¯
d
´
o ta t
`
ım 1 tam gi
´
ac
c
´
o chu vi nh
,
o nhâ
´
t, ta c
´
o gcd(a,b,c) = 1. Th
.
u
,
c tê
´
, gcd(b,c) = 1. T
`
u
,

b, c tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhau
nhu
,
a
2
. Ta c
´
o ch
´
u
´
y r
`
˘
ang, sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,

ng a
2
¯
du
,
.
o
,
c biê
,
u di
˜
ên nhu
,
kê
´
t qu
,
a c
,
ua 2 sô
´
nguyên tô
´
b, c m
`
a c
,
a b v
`

a b + c l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. V
`
ı thê
´
, m
.
ôt v
`
ai sô
´
nguyên m, m
m
`
a gdc(m,m) = 1, ta c
´
o b = m
2
, b+ c = n
2
, a = m.n, 2cosB =

n
m
=
a
b
. T
`
u
,
C > 90
o
, ta
c
´
o 0 < B < 30
o
v
`
a
√
3 < 2cosB =
n
m
< 2
D
˜
ê d
`
ang kiê
,

m tra r
`
˘
ang (m,n) = (4,7) l
`
a c
.
˘
ap sô
´
nh
,
o nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an tam gi
´
ac
(a,b,c)=(28,16,33) th
,
oa m
˜
an m
.
oi
¯
diê

`
u ki
.
ên.
CHU
,
O
,
NG 42
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN ITALY
42.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 42.1. Cho m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh

.
ât v
´
o
,
i hai c
.
anh a, b(a > b) gâ
´
p l
.
ai theo
¯
du
,
`
o
,
ng
ch
´
eo.Ch
,
ı ra di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam gi

´
ac
¯
di qua m
´
ep giâ
´
y.
B
`
ai 42.2. M
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c g
.
oi l
`
a cân b

`
˘
ang nê
´
u sô
´
ch
˜
u
,
sô
´
th
.
âp phân b
`
˘
ang
v
´
o
,
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng c

´
ac sô
´
nguyên tô
´
nhâ
´
t
¯
d
.
inh (VD;15 l
`
a cân b
`
˘
ang;49 không ph
,
ai cân
b
`
˘
ang). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang sô

´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac sô
´
cân b
`
˘
ang l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an.
B
`
ai 42.3. Cho w, w
1
, w
2
l
`

a 3
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh r, r
1
, r
2
.(0 < r
1
< r
2
< r).
Ðu
,
`
o

,
ng tr
`
on w
1
w
2
tiê
´
p x
´
uc trong v
´
o
,
i w t
.
ai A v
`
a B v
`
a giao nhau t
.
ai hai
¯
diê
,
m phân
bi
.

êt.Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang AB ch
´
u
,
a
¯
diê
,
m giao nhau c
,
ua w
1
v
`
a w
2
khi v
`
a ch
,
ı khi r
1
+r

2
= r
B
`
ai 42.4. Albert v
`
a Barbara cho
,
i m
.
ôt tr
`
o cho
,
i nhu
,
sau: Trên m
.
ôt b
`
an c
´
o 1999 c
´
ai
que. M
˜
ôi ngu
,
`

o
,
i cho
,
i lâ
`
n lu
,
.
o
,
t ph
,
ai lâ
´
y trên b
`
an m
.
ôt sô
´
que sao cho ngu
,
`
o
,
i cho
,
i di
chuyê

,
n
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt que v
`
a nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a m
.
ôt n
,
u
,
a sô
´
que c
`
on l
.
ai trên b
`
an.Ngu

,
`
o
,
i cho
,
i
n
`
ao c
`
on l
.
ai 1 que trên b
`
an s
˜
e b
.
i thua. Barbara di chuyê
,
n tru
,
´
o
,
c. H
˜
ay ch
,

ı ra ngu
,
`
o
,
i cho
,
i
n
`
ao chiê
´
n th
´
˘
ang?
B
`
ai 42.5. Bên m
.
ôt c
´
ai hô
`
c
´
o m
.
ôt ngôi l
`

ang c
´
o nh
˜
u
,
ng ngôi nh
`
a
¯
du
,
.
o
,
c xây theo h
`
ınh
tr
.
u,
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d

.
˘
at trên c
´
ac
¯
diê
,
m thu
.
ôc h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c mxn . M
˜
ôi ngôi nh

`
a l
`
a
m
.
ôt
¯
diê
,
m kê
´
t c
,
ua nh
˜
u
,
ng cây câ
`
u m
`
a nô
´
i v
´
o
,
i m
.

ôt ho
.
˘
ac nhiê
`
u ho
,
n c
´
ac ngôi nh
`
a c
.
anh
nhau. (c
.
anh c
,
ua ) X
´
ac
¯
d
.
inh gi
´
a tr
.
i m, n, p sao cho c
´

o thê
,
¯
d
.
˘
at c
´
ac cây câ
`
u sao cho
t
`
u
,
m
.
ôt ngôi nh
`
a bâ
´
t k
`
ı th
`
ı m
.
ôt ngu
,
`

o
,
i c
´
o thê
,
¯
di
¯
dê
´
n c
´
ac ngôi nh
`
a kh
´
ac .(Biê
´
t r
`
˘
ang hai
ngôi nh
`
a c
.
anh nhaucos thê
,
¯

du
,
.
o
,
c nô
´
i b
,
o
,
i ho
,
n m
.
ôt cây câ
`
u)
B
`
ai 42.6. X
´
ac
¯
d
.
inh tâ
´
t c
,

a c
´
ac b
.
ô 3 sô
´
(x, k, n) nguyên du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an
3
k
− 1 = x
n
.
20 Chu
,
o
,
ng 42. Ðê
`
thi olympic to
´
an Italy
B

`
ai 42.7. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
nguyên tô
´
p th
`
ı phu
,
o
,
ng tr
`
ınh 2
p
+ 3
p

= a
n
không c
´
o nghi
.
êm nguyên (a, n) v
´
o
,
i a, n > 1
B
`
ai 42.8. Ðiê
,
m D v
`
a E n
`
˘
am trên c
.
anh AB v
`
a AC c
,
ua ABC sao cho DE//BC
v
`
a

DE l
`
a tiê
´
p tuyê
´
n v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua ABC . Ch
´
u
,
ng minh r

`
˘
ang: DE ≤
AB+BC+CA
8
B
`
ai 42.9. a)T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
`
am sô
´
t
˘
ang nghiêm ng
.
˘
at f : R −→ R th
,
oa m
˜
an f (x +
f (y)) = f (x) + y, ∀x, y ∈ R.

b) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên n > 1, s
˜
e không tô
`
n t
.
ai h
`
am sô
´
t
˘
ang
nghiêm ng
.

˘
at f : R −→ R th
,
oa m
˜
an f (x + f (y)) = f (x) + y, ∀x, y ∈ R.
B
`
ai 42.10. G
.
oi X l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
|
X
|
= n v
`
a g
.
oi A
1

, A
2
, A
m
l
`
a c
´
ac t
.
âp con c
,
ua X,
ta c
´
o
1. a)
|
A
i
|
= 3 v
´
o
,
i i = 1, 2, m
2. b)




A
i
∩ A
j



≤ 1 v
´
o
,
i i  j
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai t
.
âp con c
´
o
´
ıt nhâ

´
t [
√
2n] phâ
`
n t
,
u
,
không ch
´
u
,
a A
i
v
´
o
,
i
i=1,2, m.
42.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`

o
,
i gi
,
ai 42.1. G
.
oi ABCD l
`
a h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ,AD = a, AB = b.G
.
oiD

l
`
a h
`
ınh
chiê
´
u vuông g
´
oc c

,
ua D lên AC,E = AD

∩ BC.Ta câ
`
n t
`
ım [CD

E] V
`
ı AB=CD


ABE,=

ABE = 90
o
,

BEA=

D

EC, ABE v
`
a CD

E
¯

dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i nhau =⇒
AE = EC; CE
2
= AE
2
= AB
2
+ BE
2
= b
2
+ (a − CE)
2
, =⇒ CE=
a
2
+ b
2
2a
.V
.
ây

[CD

E]=[ACD

]-[ACE]=
ab
2
-
b
2
.CE=
b(a
2
− b
2
)
4a
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.2. Cho n > 15; X
´
et kê
´
t qu
,
a c

,
ua n nguyên tô
´
¯
dâ
`
u tiên:16 nguyên tô
´
¯
dâ
`
u
cho kê
´
t qu
,
a: (2.53)(3.47)(5.43)(7.41).11.13.17.19.23.29.31.37 > 100
4
.10
8
= 10
16
Trong khi c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
n −16
´

ıt nhâ
´
t b
`
˘
ang 10 v
.
i tr
´
ı kê
´
t qu
,
a c
,
ua n nguyên tô
´
¯
dâ
`
u
tiên l
´
o
,
n ho
,
n 10
n
Gi

,
a s
,
u
,
x c
´
o n sô
´
v
`
a
´
ıt nhâ
´
t n
´
o c
˜
ung l
`
a kê
´
t qu
,
a c
,
ua sô
´
nguyên tô

´
n
¯
dâ
`
u tiên.Nê
´
u
n  16 theo kê
´
t qu
,
a phâ
`
n trên , x > 10
n
v
`
a s
˜
e c
´
o
´
ıt nhâ
´
t n + 1 sô
´
(mâu thu
˜

ân). V
`
ı thê
´
x c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t 15 sô
´
.Ch
´
u
,
ng t
,
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac sô
´
cân b

`
˘
ang l
`
a h
˜
u
,
u han.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 21
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.3. G
.
oi O l
`
a tâm c
,

ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on w
C,D l
`
a tâm c
,
ua w
1
, w
2
n
`
˘
am trên OA v
`
a OB .G
.
oi E l
`
a
¯
diê

,
m ∈ AB sao cho CE//OB
.ACE  ABO. Do
¯
d
´
o AE = CE v
`
a E n
`
˘
am trên w
1
Ch
´
ung ta câ
`
n ch
´
u
,
ng minh r = r
1
+ r
2
khi v
`
a ch
,
ı khi E n

`
˘
am trên w
2
. Ta c
´
o
r = r
1
+ r
2
↔ OD = OB − BD = r − r
2
= r
1
= AC. O l
`
a h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh hay
DE//AO.Do
¯
d
´
o r = r
1

+ r
2
↔ BDO  BOA. hay BD = DE v
`
a E n
`
˘
am trên w
2
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.4. G
.
oi k l
`
a sô
´
vô
´
ıch nê
´
u ngu
,
`
o
,

i cho
,
i ph
,
ai
¯
dô
´
i m
.
˘
at v
´
o
,
i k que không c
´
o
kh
,
a n
˘
ang th
´
˘
ang. Nê
´
u k l
`
a vô

´
ıch,th
`
ı 2k + 1 c
˜
ung v
.
ây .Ngu
,
`
o
,
i cho
,
i
¯
dô
´
i m
.
˘
at v
´
o
,
i c
´
ac que
2k + 1 ch
,

ı c
´
o thê
,
di chuyê
,
n c
´
ac que k + 1; k + 2; ho
.
˘
ac 2k , t
`
u
,
¯
d
´
o ngu
,
`
o
,
i kia s
˜
e di
chuyê
,
n c
´

ac que k. V
`
ı v
.
ây 2 l
`
a vô
´
ıch; 5;11; 3.2
n
− 1 c
˜
ung v
.
ây (n  0 ). Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
,
nê
´
u 3.2
n
−1 < k < 3.2
n+1
−1 th

`
ı nh
˜
u
,
ng que k
¯
du
,
.
o
,
c
¯
du
,
a ra m
`
a ngu
,
`
o
,
i cho
,
i c
´
o thê
,
c

`
on
l
.
ai 3.2
n
−1 s
˜
e l
`
a ngu
,
`
o
,
i th
´
˘
ang. V
`
ı 1999 không thu
.
ôc d
.
ang 3.2
n
−1, n
´
o s
˜

e không ph
,
ai
l
`
a que vô
´
ıch v
`
a do
¯
d
´
o Barbara c
´
o co
,
h
.
ôi th
´
˘
ang.
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.5. Gi

,
a s
,
u
,
c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac cây câ
`
u theo c
´
ach n
`
ay v
`

a
¯
d
.
˘
at ch
´
ung theo
c
´
ac
¯
diê
,
m c
,
ua so
,
¯
dô
`
lu
,
´
o
,
i: {(a, b) | 1  a  m,1  b  n, }. So
,
n m
`

au c
´
ac ngôi nh
`
a
m
`
au xanh v
`
a nhu
.
ôm ch
´
ung theo c
´
ach hinh b
`
an c
`
o
,
sao cho m
˜
ôi cây câ
`
u
¯
du
,
.

o
,
c nô
´
i
v
´
o
,
i m
.
ôt ngôi nh
`
a kh
´
ac .V
`
ı m
˜
ôi nh
`
a l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m cuô

´
i c
,
ua câ
`
u (ch
´
ınh l
`
a
¯
diê
,
m p),
sô
´
nh
˜
u
,
ng ngôi nh
`
a m
`
au xanh ph
,
ai b
`
˘
ang v

´
o
,
i sô
´
c
´
ac ngôi nh
`
a
¯
du
,
.
o
,
c nhu
.
ôm v
`
ı v
.
ây
2 | mn. D
˜
ê thâ
´
y mn = 2 th
,
oa m

˜
an v
´
o
,
i m
.
oi gi
´
a tr
.
i c
,
ua p v
´
ı d
.
u cho p = 1, th
`
ı mn
không thê
,
> 2 v
`
ı nê
´
u nô
´
i 2 ngôi nh
`

a A, B bâ
´
t k
`
ı th
`
ı ch
´
ung s
˜
e không thê
,
nô
´
i
¯
du
,
.
o
,
c
v
´
o
,
i bâ
´
t k
`

ı ngôi nh
`
a n
`
ao kh
´
ac. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
,nê
´
u (m = 1, n > 2) ho
.
˘
ac(n = 1, m > 2) th
`
ı
nh
˜
u
,
ng cây câ
`
u p ph
,

ai nô
´
i (1, 1) v
`
a (1, 2)ho
.
˘
ac (1, 1) v
`
a (2, 1) nhu
,
ng s
˜
e không c
´
o ngôi
nh
`
a n
`
ao
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i v

´
o
,
i bâ
´
t k
`
ı ngôi nh
`
a n
`
ao kh
´
ac. ( Vô l
´
y) . Bây gi
`
o
,
ta gi
,
a s
,
u
,
2 | mn
v
´
o
,

im, n > 1 v
`
a p > 1,không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang 2 | m .Xây d
.
u
,
ng m
.
ôt h
.
ê
thô
´

ng nh
˜
u
,
ng cây câ
`
u xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
(1, 1) lên
¯
dê
´
n (1, n),sang ph
,
ai (m, n) ,xuô
´
ng (m, 1),
sang tr
´
ai (m − 1, 1) v
`
a sau
¯
d

´
o tr
,
o
,
l
.
ai (1, 1).B
`
˘
ang c
´
ach l
.
˘
ap
¯
di l
.
˘
ap l
.
ai t
`
u
,
(k, 1), lên trên
sang (k, n −1) sang tr
´
ai xuô

´
ng (k −1, n −1)
¯
dê
´
n (k −1, 1) v
`
a sang tr
´
ai (k −2, 1) v
´
o
,
i
k = m − 1, m − 3, 3 (h
`
ınh v
˜
e E du
,
´
o
,
i
¯
dây ch
,
ı ra vi
.
êc xây d

.
u
,
ng n
`
ay v
´
o
,
i m = 6, n = 4
)
22 Chu
,
o
,
ng 42. Ðê
`
thi olympic to
´
an Italy
V
`
ı ch
´
ung ta xây 2 câ
`
u d
˜
ân
¯

dê
´
n m
˜
ôi nh
`
a v
`
a bâ
´
t k
`
ı nh
`
a n
`
ao c
˜
ung c
´
o thê
,
¯
dê
´
n ngôi nh
`
a
bâ
´

t k
`
ı kh
´
ac.V
`
ı c
´
ac cây câ
`
u p − 2 không
¯
dô
,
i câ
`
n cho m
˜
ôi ngôi nh
`
a .Ðê
,
r
`
˘
ang kê
´
t qu
,
a

ch
´
ınh x
´
ac c
´
o m.n cây câ
`
u,m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o ;Do
¯
d
´
o nê
´
u ch
´
ung ta xây m
˜
ôi cây câ
`

u kh
´
ac
theo c
´
ach
¯
d
´
o v
`
a l
`
am p −2 lâ
`
n th
`
ı s
˜
e c
´
o p cây câ
`
u s
˜
e
,
o
,
bên ngo

`
ai c
´
ac ngôi nh
`
a.Do
¯
d
´
o
ho
.
˘
ac m.n = 2 v
`
a p bâ
´
t k
`
ı, ho
.
˘
ac 2 | mn v
´
o
,
i m, n, p > 1.
L
`
o

,
i gi
,
ai 42.6. (3
k
− 1, k, 1) v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k,v
`
a (2, 2, 3). X
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,

p
n=1th
`
ı hiê
,
n nhiên. Bây gi
`
o
,
n không thê
,
b
`
˘
ang 3 b
,
o
,
i v
`
ı ta không thê
,
viê
´
t: 3
k
= (x
n
2
)

2
+1
(b
,
o
,
i v
`
ı không c
´
o sô
´
n
`
ao b
`
ınh phu
,
o
,
ng
¯
dô
`
ng du
,
2 modulo 3) v
`
a c
˜

ung c
´
o thê
,
ch
´
ung ta
ph
,
ai c
´
o x  1.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang n > 1 l
`
a sô
´
l
,
e v
`
a x  2. Khi

¯
d
´
o 3
k
= (x + 1)



n−1
i=0
(−x)
i
Ðê
,
´
y r
`
˘
ang c
,
a x+1 v
`
a



n−1
i=0
(−x)

i
¯
dê
`
u l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 3.
Ta l
.
ai c
´
o x + 1 ≤ x
2
− x + 1 ≤



n−1
i=0
(−x)
i
, ch

´
ung ta ph
,
ai c
´
o 0 ≡



n−1
i=0
(−x)
i
≡
n(modx + 1) , nhu
,
v
.
ây x + 1 | n.X
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p

¯
d
.
˘
ac bi
.
êt ,
¯
diê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a 3 | n.
Ð
.
˘
at x

= x
n
3
, ch
´
ung ta c

´
o 3
k
= x

3
+1= (x

+1)(x
2
−x

+1). Theo ch
´
u
,
ng minh trên x

+1
ph
,
ai l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c

,
ua 3 hay 3
t
. Nhu
,
ng ta l
.
ai c
´
o 3
k
= (3
t
−1)
3
+ 1 = 3
3t
−3
2t+1
+ 3
t+1
,v
´
o
,
i
t > 1 m
`
a sô
´

n
`
ay ph
,
ai n
`
˘
am gi
˜
u
,
a 3
3t−1
v
`
a 3
3t
v
´
o
,
i t > 1 .Do
¯
d
´
o ta ph
,
ai c
´
o t = 1, x


= 2
v
`
a k = 3 cho ta nghi
.
êm (x, k, n) = (2, 2, 3).
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.7. Khi p=2 ta c
´
o a
n
= 13 vô nghi
.
êm
Khi p l
`
a sô
´
l
,
e th
`
ı 5 | (2
p

+ 3
p
); v
`
ı n > 1 nên ta c
´
o 25 | (2
p
+ 3
p
) → 2
p
+ (5 − 2)
p
≡ 2
p
+ (C
1
p
.5.(−2)
p−1
+ (−2)
p
) ≡ .5p.2
p−1
(mod 25), nên 5 | p. V
`
ı v
.
ây ch

´
ung ta ph
,
ai
c
´
o p = 5 nhu
,
ng a
n
= 2
5
+ 3
5
= 5
2
.11 không tho
,
a m
˜
an.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23

L
`
o
,
i gi
,
ai 42.8. Ð
.
˘
at BC = a; CA = b, AB = c G
.
oi h=
2S
ABC
a
l
`
a kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
A
¯
dê
´
n

¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang BC v
`
a G
.
oi r=
2S
ABC
a+b+c
l
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,

ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua ABC
Lu
,
u
´
y r
`
˘
ang :
h−2r
h
=
b+c−a
a+b+c
G
.
OI x = b + c −a, y = c + a − b, z = a + b −c th
`
ıa
´
ap d
.

ung BÐT AM-GM ta c
´
o
: (x + y + z)
2
 (2

x(y + z))
2
= 4x(y + z). Ðê
,
´
y r
`
˘
ang:(a + b + c)
2
 8(b + c − a)a.
Hay (
b+c−a
a+b+c
)a ≤
a+b+c
8
−→ (
h−2r
h
)BC ≤
AB+BC+CA
8

Nhu
,
ng t
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t DE  BC, ch
´
ung ta c
´
o
DE
BC
=
h−2r
h
;Thay v
`
ao bâ
´
t d
,
˘
ang th
´
u

,
c trên
ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.9. (a) Ch
,
ı c
´

o c
´
ac h
`
am th
,
oa m
˜
an t
´
ınh châ
´
t trên l
`
a : f (x) = x v
`
a f (x) = −x.
Cho x = y = 0 ta
¯
du
,
.
o
,
c f ( f (0)) = f (0), trong khi cho x = −f (0), y = 0 ta
¯
du
,
.
o

,
c
f (−f (0)) = f (0) Theo gi
,
a thiê
´
t f l
`
a h
`
am t
˘
ang nghiêm ng
.
˘
at n
´
o l
`
a
´
anh x
.
a th
,
oa m
˜
an
f (0) = −f (0) v
`

a do
¯
d
´
o f (0) = 0. Tiê
´
p theo, cho x=0 ta
¯
du
,
.
o
,
c f ( f (y)) = y, ∀y. Gi
,
a s
,
u
,
f l
`
a h
`
am t
˘
ang. Nê
´
u f (x) > x th
`
ı x = f ( f (x)) > f (x),(mâu thu

˜
ân)
Nê
´
u f (x) < x th
`
ı x = f ( f (x)) < f (x),(mâu thu
˜
ân). Do
¯
d
´
o f (x) = x, ∀x.
Tiê
´
p theo ta gi
,
a s
,
u
,
f l
`
a h
`
am gi
,
am.Ð
.
˘

at x = −f (t), y = t v
`
a tiê
´
p theo cho x =
0, y = −t ta
¯
du
,
.
o
,
c f (−f (t)) = f ( f (−t)) = −t, nhu
,
v
.
ây f (t) = −f (−t), ∀t.Bây gi
`
o
,
cho
x, nê
´
u f (x) < −x th
`
ı x = f ( f (x)) > f (−x) = −f (x), mâu thu
˜
ân. V
`
a nê

´
u f (x) > −x
th
`
ı x = f ( f (x)) < f (−x) = −f (x), mâu thu
˜
ân.Do
¯
d
´
o ta ph
,
ai c
´
o f (x) = −x, ∀x.V
.
ây
th
`
ı m
.
ôt trong hai h
`
am f (x) = x, ∀x f (x) = −x, ∀x v
`
a d
˜
ê d
`
ang kiê

,
m tra
¯
du
,
.
o
,
c
¯
dây l
`
a
hai h
`
am câ
`
n t
`
ım.
(b) Theo gi
,
a thiê
´
t f l
`
a h
`
am t
˘

ang nghiêm ng
.
˘
at,n
´
o l
`
a to
`
an
´
anh.Nên v
´
o
,
i y  0 ta c
´
o
f (y)  f (−y) nhu
,
v
.
ây f (x+ f (y))  f (x+ f (−y)) v
`
a do
¯
d
´
o f (x)+y
n

 f (x)+(−y)
n
;v
`
a
nhu
,
v
.
ây n c
´
o thê
,
không tô
`
n t
.
ai.
Bây gi
`
o
,
ta gi
,
a s
,
u
,
c
´

o m
.
ôt h
`
am f nhu
,
v
.
ây th
,
oa m
˜
an v
´
o
,
i m
.
oi n ; b
`
˘
ang c
´
ach l
`
am
tu
,
o
,

ng t
.
u
,
phâ
`
n (a) ch
´
ung ta t
`
ım h
`
am f th
,
oa m
˜
an f (0) = 0 v
`
a f ( f (y)) = y
n
.Ð
.
˘
ac bi
.
êt
, f ( f (1)) = 1.Nê
´
u f l
`

a h
`
am t
˘
ang th
`
ı theo kê
´
t qu
,
a phâ
`
n (a) ch
´
ung ta c
´
o f (1) = 1; v
`
a
f (2) = f (1 + f (1)) = f (1) + 1
n
= 2 v
`
a 2
n
= f ( f (2)) = f (2) = 2,mâu thu
˜
ân. Nê
´
u f l

`
a
h
`
am gi
,
am th
`
ı theo kê
´
t qu
,
a phâ
`
n (a) ch
´
ung ta c
´
o f (1) = −1; v
`
a f (2) = f (1+ f (−1)) =
f (1) + (−1)
n
= −2 v
`
a 2
n
= f ( f (2)) = f (−2) = −f (2) = 2,mâu thu
˜
ân.

24 Chu
,
o
,
ng 42. Ðê
`
thi olympic to
´
an Italy
L
`
o
,
i gi
,
ai 42.10. G
.
oi A l
`
a t
.
âp con c
,
ua t
.
âp X không ch
´
u
,
a A

i
v
`
a c
´
o sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
l
´
o
,
n nhâ
´
t
th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.

ên n
`
ay. G
.
oi k l
`
a sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A.Theo gi
,
a thiê
´
t v
´
o
,
i x ∈ X\A tô
`
n
t
.
ai i(x) ∈ {1, m} sao cho A

i(x)
⊆ A ∪ {x}. G
.
oi L
x
= A ∩ A
i(x)
m
`
a theo trên ta thâ
´
y
ph
,
ai tô
`
n t
.
ai 2 phâ
`
n t
,
u
,
. V
`
ı




A
i
∩ A
j



≤ 1 v
´
o
,
i i  j th
`
ı L
x
ph
,
ai
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau.Bây
gi
`
o
,
ta c
´

o C
2
k
sô
´
t
.
âp con c
´
o 2 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A v
`
a nhu
,
v
.
ây c
´
o thê
,
c
´
o tâ

´
t c
,
a C
2
k
trong c
´
ac
t
.
âp L
x
Do
¯
d
´
o n − k ≤ C
2
k
hay k
2
+ k  2n. T
`
u
,
¯
d
´
o k 

1
2
(−1 +
√
1 + 8n) >
√
2n − 1
ch
´
u
,
ng t
,
o k  [
√
2n]
CHU
,
O
,
NG 43
Ð
`
Ê THI OLIMPIC TO
´
AN NH
.
ÂT B
,
AN

43.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 43.1. B
.
an c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at m
.
ôt h
`
on
¯
d
´
a v
`
ao m
.
ôt ô vuông trong mô h

`
ınh lu
,
´
o
,
i c
´
o k
´
ıch
thu
,
´
o
,
c 1999 ∗1999. T
`
ım sô
´
lu
,
.
o
,
ng
¯
d
´
a nh

,
o nhâ
´
t b
.
an ph
,
ai
¯
d
.
˘
at v
`
ao mô h
`
ınh lu
,
´
o
,
i trên sao
cho khi l
.
u
,
a ch
.
on m
.

ôt m
.
ôt ô vuông chô
´
ng t
`
uy
´
y, tô
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng
¯
d
´
a
¯
du
,
.
o
,
c
¯

d
.
˘
at
,
o
,
h
`
ang
v
`
a c
.
ôt tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 1999.
B

`
ai 43.2. Cho f (x) = x
3
+ 17. CMR
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
t
.
u
,
nhiên n, n ≥ 2, c
´
o m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên x sao cho f (x) chia hê

´
t cho 3
n
nhu
,
ng không chia hê
´
t cho 3
(
n + 1).
B
`
ai 43.3. T
`
u
,
m
.
ôt b
.
ô gô
`
m 2n + 1 qu
,
a cân(trong
¯
d
´
o n l
`

a sô
´
t
.
u
,
nhiên), nê
´
u b
,
o ra1 qur
bâ
´
t k
`
ı c
`
on 2n qu
,
a cân c
`
on l
.
ai chia th
`
anh hai b
.
ô m
˜
ôi b

.
ô gô
`
m n qu
,
a cân c
´
o khô
´
i lu
,
.
o
,
ng
nhu
,
nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
ac qu
,
a cân l
`

a b
`
˘
ang nhau
B
`
ai 43.4. CMR f (x) = (x
2
+ 1
2
)(x
2
+ 2
2
)(x
2
+ 3
2
) (x
2
+ n
2
) + 1 không thê
,
biê
,
u th
.
i
th

`
anh hai
¯
da th
´
u
,
c c
´
o h
.
ê sô
´
nguyên v
´
o
,
i b
.
âc > 0
B
`
ai 43.5. Cho h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac lô
`

i ABCDEF c
´
o c
´
ac c
.
anh bên
¯
dê
`
b
`
˘
ang 1. G
.
oi M, m l
`
a
gi
´
a tr
.
i l
´
o
,
n nhâ
´
t, nh
,

o nhâ
´
t c
,
ua ba
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo AD, BE, CF. T
`
ım c
´
ac gi
´
a tr
.
i M, n ?
43.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L

`
o
,
i gi
,
ai 43.1. Ð
.
˘
at
¯
d
´
a v
`
ao trong m
.
ôt mô h
`
ınh kiê
,
u c
`
o
,
vua trên lu
,
´
o
,
i, sao cho c

´
ac
h
`
on
¯
d
´
a
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at trên bô
´
n ô vuông g
´
oc. V
.
i tr
´
ı n
`

ay th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên v
`
a ch
´
u
,
a
1000 ∗ 1000 + 999 ∗ 999 = 1998001 h
`
on
¯
d
´
a. Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ch

´
u
,
ng minh con sô
´
n
`
ay l
`
a tô
´
i thiê
,
u.
Gi
,
a s
,
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
du
,
.

o
,
c th
,
oa m
˜
an. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at r
`
˘
ang c
.
ôt th
´
u
,
j bao
gô
`
m k h
`
on
¯

d
´
a, v
`
a m
˜
ôi d
`
ong kh
´
ac ho
.
˘
ac c
.
ôt kh
´
ac c
˜
ung ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t k h
`
on

¯
d
´
a. V
´
o
,
i m
˜
ôi
h
`
on
¯
d
´
a trong sô
´
k h
`
on
¯
d
´
a c
,
ua c
.
ôt th
´

u
,
j, h
`
ang c
´
o ch
´
u
,
a h
`
on
¯
d
´
a
¯
d
´
o ph
,
ai bao gô
`
m
´
ıt nhâ
´
t
k

¯
d
´
a do ch
´
ung ta l
.
u
,
a ch
.
on . V
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi ô trô
´
ng trong sô
´
ô chô
´
ng c
,
ua c
.
ôt th

´
u
,
j,
¯
dê
,