tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6)

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 6)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`

o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.

an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e
gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x

´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l

`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c

´
o th
`
o
,
i
gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao ch
´

ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
47.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
47.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chu
,
o

,
ng 48. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
48.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
48.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chu
,
o
,
ng 49. Ðê
`
thi olympic to
´
an Slovenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49.1. Ðê
`
b

`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chu
,
o
,
ng 50. Ðê
`
olympic to
´
an Thô
,
Nh
˜
ı K
`
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50.2. L

`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chu
,
o
,
ng 51. Ðê
`
thi olympin to
´
an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chu
,
o

,
ng 52. Ðê
`
thi olympin to
´
an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
52.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
52.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4
CHU
,
O
,

NG 47
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN RUMANIA
47.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 47.1. a. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong 39 sô
´
nguyên du
,
o
,
ng liên tiê
´
p, tô
`
n t

.
ai m
.
ôt
sô
´
v
´
o
,
i tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
chia hê
´
t cho 11.
b. T
`
ım 38 sô
´
nguyên du
,
o

,
ng liên tiê
´
p m
`
a không c
´
o sô
´
n
`
ao c
´
o tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
chia
hê
´
t cho 11.
B
`
ai 47.2. Cho ABC l

`
a tam gi
´
ac nh
.
on v
´
o
,
i c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng phân gi
´
ac BL v
`
a CM. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang ∠A = 60

0
khi v
`
a ch
,
ı khi tô
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m K trên BC(K ≤ B, C) sao cho
KLM
¯
dê
`
u.
B
`
ai 47.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o

,
i m
˜
ôi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n bâ
´
t k
`
ı
S
n
= C
0
2n+1
.2
2n
+ C
2
2n+1
.2
2n−2
.3 + ···+ C
2n
2n+1
.3

n
l
`
a tô
,
ng c
,
ua hai b
`
ınh phu
,
o
,
ng liên tiê
´
p.
B
`
ai 47.4. Cho x
1
, x
2
, ··· , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´

th
.
u
,
c du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an x
1
x
2
···x
n
= 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
1
n − 1 + x
1
+

1
n − 1 + x
2
+ ···+
1
n − 1 + x
n
 1.
B
`
ai 47.5. Cho x
1
, x
2
, ··· , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,

ng phân bi
.
êt. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n

(2n + 1)(x
1
+ x
2
+ ···x
n
)
3
.
B
`

ai 47.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y sô
´
nguyên n, n > 3, tô
`
n t
.
ai n sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng a
1
, a

2
, ··· , a
n
l
.
âp th
`
anh câ
´
p sô
´
c
.
ông v
`
a n sô
´
nguyên du
,
o
,
ng b
1
, b
2
, ··· , b
n
l
.
âp

th
`
anh câ
´
p sô
´
c
.
ông sao cho
b
1
< a
1
< b
2
< a
2
< ··· < b
n
< a
n
.
Ðu
,
a ra v
´
ı d
.
u a
1

, a
2
, ··· , a
n
v
`
a b
1
, b
2
, ··· , b
n
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t n˘am phâ
`
n t
,
u
,
.
6 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê

`
thi olympic to
´
an Rumania
B
`
ai 47.7. Cho a l
`
a sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng v
`
a x
n
(n  1) l
`
a d
˜
ay c
´
ac sô
´

th
.
u
,
c sao cho x
1
= a v
`
a
x
n+1
 (n + 2)x
n
−
n−1

k=1
kx
k
,
v
´
o
,
i m
.
oi a  1. Ch
´
u
,

ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n sao cho x
n
> 1999!
B
`
ai 47.8. Cho O, A, B, C l
`
a ba
¯
diê
,
m thay
¯
dô
,
i trên m

.
˘at ph
,
˘ang sao cho OA = 4, OB =
2
√
3 v
`
a OC =
√
22. T
`
ım di
.
ên t
´
ıch l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua ABC.
B
`
ai 47.9. Cho a, n l
`
a sô

´
nguyên v
`
a cho p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
sao cho p > |a|+ 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
¯
da th
´
u
,
c f (x) = x
n
+ ax + p không thê
,
biê
,
u di
˜

ên nhu
,
l
`
a t
´
ıch c
,
ua hai
¯
da
th
´
u
,
c kh
´
ac h
`
˘ang v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên.
B
`

ai 47.10. Hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on giao nhau tai A v
`
a B. Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l qua A v
`
a c
´
˘at hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr

`
on t
.
ai C v
`
a D. Ð
.
˘at M v
`
a N l
`
a hai trung
¯
diê
,
m c
,
ua cung BC v
`
a BD, không
ch
´
u
,
a A v
`
a
¯
d
.

˘at K l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua CD. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ∠MKN = 90
0
.
47.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,

ai 47.1. G
.
oi m
.
ôt sô
´
nguyên l
`
a "deadly" nê
´
u tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
c
,
ua n
´
o chia hê
´
t
cho 11 v
`
a

¯
d
.
˘
at d(n) b
`
˘
ang tô
,
ng ch
˜
u
,
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n. Nê
´
u n t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0 th
`

ı
tô
,
ng n, n + 1, , n + 9 ch
,
ı kh
´
ac nhau ch
˜
u
,
sô
´
¯
do
,
n v
.
i t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 9.
Do
¯
d

´
o d(n), d(n + 1), , d(n + 9) l
`
a câ
´
p sô
´
c
.
ông v
´
o
,
i công sai 1. Do
¯
d
´
o nê
´
u
d(n) ≡ 1(mod11) th
`
ı m
.
ôt trong nh
˜
u
,
ng sô
´

n
`
ay l
`
a "deadly".
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang nê
´
u n t
.
ân c
`
ung l
`
a k  0 th
`
ı d(n + 1) = d(n) + 1 − 9k, ch
˜
u
,
sô
´

k t
.
ân
c
`
ung c
,
ua n + 1 l
`
a 0 thay v
`
ı 9 v
`
a ch
˜
u
,
sô
´
tiê
´
p theo
,
o
,
bên tr
´
ai l
`
a l

´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
v
´
o
,
i ch
˜
u
,
sô
´
trong n.
Cuô
´
i c

`
ung, gi
,
a s
,
u
,
n t
.
ân c
`
ung l
`
a 0 v
`
a d(n) ≡ d(n + 10) ≡ 1(mod11). T
`
u
,
d(n) ≡
1(mod11) ta s
˜
e c
´
o d(n + 9) ≡ 10(mod11). Nê
´
u n + 9 t
.
ân c
`

ung l
`
a 9 th
`
ı ta c
´
o 2 ≡
d(n + 10) − d(n + 9) ≡ 1 −9k suy ra k ≡ 6(mod11)
a. Gi
,
a s
,
u
,
ta c
´
o 39 sô
´
nguyên liên tiê
´
p, không c
´
o sô
´
n
`
ao l
`
a "deadly". M
.

ôt trong 10
sô
´
¯
dâ
`
u tiên ph
,
ai c
´
o t
.
ân c
`
ung l
`
a 0, g
.
oi l
`
a n. Không sô
´
n
`
ao c
,
ua n, n + 1, , n + 9
l
`
a "deadly" nên ph

,
ai c
´
o d(n) ≡ 1(mod11).
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, d(n + 10) ≡ 1(mod11) v
`
a d(n + 20) ≡ 1(mod11).
T
`
u
,
l
´

y lu
.
ân th
´
u
,
3
,
o
,
trên, ph
,
ai c
´
o c
,
a n + 9 v
`
a n + 19 c
´
o t
.
ân c
`
ung
´
ıt nhâ
´
t l
`

a s
´
au
ch
˜
u
,
sô
´
9 (vô l
´
y) v
`
ı n + 10 v
`
a n + 20 không thê
,
l
`
a b
.
ôi c
,
ua m
.
ôt tri
.
êu.
b. Gi
,

a s
,
u
,
ta c
´
o 38 sô
´
liên tiê
´
p N, N + 1, , N + 37 không c
´
o sô
´
n
`
ao l
`
a "deadly".
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
phâ

`
n a, trong ch
´
ın sô
´
¯
dâ
`
u tiên không t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0. Do
¯
d
´
o N + 9 t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0, N + 19 v
`
a N + 29 c
˜

ung thê
´
. Nên d(N + 9) ≡
d(N + 19) ≡ 1(mod11). V
`
ı v
.
ây d(N + 18) ≡ 10(mod11). Ngo
`
ai ra, nê
´
u
N +18 t
.
ân c
`
ung l
`
a k9 th
`
ı k ≡ 6(mod11). C
´
o thê
,
l
`
a 999981, 999982, , 100018.
Cuô
´
i c

`
ung, không c
´
o nh
˜
u
,
ng sô
´
l
`
a "deadly": tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
v

´
o
,
i
1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 2, 3 , 9 v
`
a10(mod11).
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.2. Ð
.
˘
at I l
`
a giao
¯
diê
,
m c
,
ua BL v
`
a CM. Th
`
ı ∠BIC = 180
0

−∠ICB−∠CBI =
180
0
−
1
2
(∠C + ∠B) = 180
0
−
1
2
(180
0
− ∠A) = 90
0
+ ∠A v
`
a do
¯
d
´
o ∠BIC = 120
0
nê
´
u
v
`
a ch
,

ı nê
´
u ∠A = 60
0
.
(⇒) Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang ∠A = 60
0
,
¯
d
.
˘
at K l
`
a giao c
,
ua BC v
`
a
¯
du

,
`
o
,
ng phân gi
´
ac trong c
,
ua
∠BIC; ch
´
ung ta gi
,
ai th
´
ıch r
`
˘
ang KLM l
`
a
¯
dê
`
u. T
`
u
,
∠BIC = 120
0

ta biê
´
t ∠MIB =
∠KIB = 60
0
. T
`
u
,
¯
d
´
o ∠IBM = ∠IBK v
`
a IB = IB suy ra IBM = IBG(g.c.g) suy ra
IM = IK.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
: IL = IK.
T
`
u
,
∠KIL = ∠LI M = ∠MIK = 120

0
th
`
ı KLM
¯
dê
`
u.
(⇐) Gi
,
a s
,
u
,
K ∈ BC v
`
a KLM
¯
dê
`
u. X
´
et BLK v
`
a BLM :
BL = BL
LM = LK
∠MBL = ∠KBC
suy ra BLK = BLM(c.g.c)
suy ra ∠LKB + ∠BML = 180

0
ho
.
˘
ac ∠LKB = ∠BML.
T
`
u
,
∠KBM < 90
0
v
`
a ∠MLK = 60
0
nên ∠LKB + ∠BML > 210
0
.
Do
¯
d
´
o ∠LKB = ∠BML nên BLK  BLM suy ra BK = BM suy ra IK = IM.
Tu
,
o
,
ng t
.
u

,
IL = IK v
`
a I l
`
a tr
.
ong tâm c
,
ua KLM.
8 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
Do
¯
d
´
o ∠LIM = 2∠LKM = 120
0
nên ∠BIC = ∠LIM = 120
0
v
`
a ∠A = 60

0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.3. Ð
.
˘
at α = 1 +
√
3, β = 1 −
√
3 v
`
a T =
1
2
(α
2n+1
+ β
2n+1
).
Ta thâ
´
y αβ = −2,
α
2

2
= 2 +
√
3 v
`
a
β
2
2
= 2 −
√
3.
´
Ap d
.
ung khai triê
,
n nh
.
i th
´
u
,
c
¯
dô
´
i v
´
o

,
i (1 +
√
3)
n
v
`
a (1 −
√
3)
n
, ta c
´
o
T
n
=
n

k=0
C
2k
2n+1
3
k
v
´
o
,
i m

.
oi sô
´
nguyên n bâ
´
t k
`
y.
´
Ap d
.
ung khai triê
,
n nh
.
i th
´
u
,
c
¯
dô
´
i v
´
o
,
i (2 +
√
3)

2n+1
v
`
a (2 −
√
3)
2n+1
thay v
`
ao ta
¯
du
,
.
o
,
c
S
n
=

α
2
2

2n+1
+

β
2

2

2n+1
4
=
α
4n+2
+ β
4n+2
2
2n+3
=
α
4n+2
+ 2(αβ)
2n+1
+ β
4n+2
2
2n+3
+
1
2
=
(α
2n+1
+ β
2n+1
)
2

2
2n+3
+
1
3
=
T
2
n
2
2n+1
+
1
2
.
Do
¯
d
´
o 2
2n+1
S
n
= T
2
n
+ 2
2n
.
Do

¯
d
´
o 2
2n
|T
2
n
nhu
,
ng 2
2n+1
 T
2
n
suy ra T
n
≡ 2
n
(mod2
n+1
).
V
`
ı v
.
ây
S
n
=

T
2
n
2
2n+1
+
1
2
=

T
n
− 2
n
2
n+1

2
+

T
n
+ 2
n
2
n+1

2
.
L

`
o
,
i gi
,
ai 47.4. Ð
.
˘
at a
1
=
n
√
x
1
, a
2
=
n
√
x
2
, ··· , a
n
=
n
√
x
n
, do

¯
d
´
o
a
1
a
2
···a
n
= 1 v
`
a
1
n − 1 + x
k
=
1
n − 1 + a
n
k
=
1
n − 1 +
a
n−1
k
a
1
a

2
···a
k−1
a
k+1
···a
n
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9

1
n − 1 +
(n − 1)a
n−1
k
a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
k−1
+ a
n−1

k+1
+ ···+ a
n−1
n
.
Theo BÐT AM-GM,
1
n − 1 + x
k

a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
k−1
+ a
n−1
k+1
+ ···+ a
n−1
n
(n − 1)(a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
n
)
.

Do
¯
d
´
o

n
k=1
1
n − 1 + x
k
 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.5. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ta gi
,
a s
,

u
,
x
1
< x
2
< ··· < x
n
. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng
minh
3x
2
k
 2(x
1
+ x
2
+ ···+ x
k−1
+ (2k + 1)x
k
).
C
.

ông tô
,
ng c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c v
´
o
,
i k = 1, 2, ··· , n ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`

u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
Ta c
´
o
x
1
+ x
2
+···+ x
k−1
 (x
k
−(k −1) +(x
k
−(k −2)) +···+(x
k
−1)) = (k −1)x
k
−
k(k − 1)
2
.
Do
¯

d
´
o 2(x
1
+ x
2
+ ···+ x
k−1
) + (2k + 1)x
k
 (4k − 1)x
k
− k(k − 1).
Ta c
´
o
3x
2
k
− [(4k − 1)x
k
− k(k − 1)] = x
k
(3x
k
− 4k + 1) + k(k − 1)
v
´
o
,

i
¯
d
´
anh gi
´
a thâ
´
p nhâ
´
t t
.
ai x
k
=
2
3
k.
T
`
u
,
x
k
 k,
x
k
(3x
k
− 4k + 1) + k(k − 1)  k(3k − 4k − 1) + k(k − 1) = 0

nên
3x
2
k
 (4k − 1)x
k
(k − 1)  2(x
1
+ x
2
+ ···x
k−1
) + (2k + 1)x
k
,
ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´

u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.6. Chiê
´
n lu
,
.
o
,
c c
,
ua ch
´
ung ta l
`
a t
`
ım câ
´
p sô
´
m
`

a b
n
= a
n−1
+ 1 v
`
a b
n−1
=
a
n−2
+ 1. Viê
´
t d = a
n−1
− a
n−2
. Do
¯
d
´
o v
´
o
,
i m
.
oi 2  i, j  n − 1 ta c
´
o b

i+1
− b
i

10 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
b
n
− b
n−1
= d nên b
j
= b
n
+

n−1
i= j
(b
i
− b
i+1
) > a

n−1
+ (n − j)d = a
j−1
ch
´
ung ta
¯
d
,
am
b
,
ao r
`
˘
ang b
1
< a
1
, do
¯
d
´
o
b
j
= b
1
+
j−1


i=1
(b
i+1
− b
i
)  a
1
+ ( j − 1)d = a
j
v
´
o
,
i m
.
oi j.
V
`
ı thê
´
chu
˜
ôi biê
,
u th
´
u
,
c

¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an.
Ð
.
˘
at b
1
, b
2
, ··· , b
n
b
`
˘
ang k
n−1
, k
n−2
(k + 1), ··· , k
0
(k + 1)

n−1
, v
´
o
,
i k l
`
a gi
´
a tr
.
i nhâ
´
t
¯
d
.
inh.
Ð
.
˘
at a
n−1
= b
n
− 1 v
`
a a
n−2
= b

n−1
− 1.
Do d = a
n
− a
n−1
= b
n
− b
n−1
= (k + 1)
n−2
v
`
a a
1
= (k + 1)
n−2
(k + 3 − n) − 1.
Do
¯
d
´
o ta ch
,
ı câ
`
n ch
.
on k sao cho

(k + 1)
n−2
(k + 3 − n) − 1 −k
n−1
> 0.
Vê
´
tr
´
ai l
`
a
¯
da th
´
u
,
c c
,
ua k c
´
o h
.
ê sô
´
c
,
ua k
n−1
b

`
˘
ang 0 nhu
,
ng h
.
ê sô
´
c
,
ua k
n−1
b
`
˘
ang 1. V
`
ı
v
.
ây n
´
o du
,
o
,
ng v
´
o
,

i k
¯
d
,
u l
´
o
,
n v
`
a ta câ
`
n t
`
ım d
˜
ay a
1
, a
2
, ··· , a
n
v
`
a b
1
, b
2
, ··· , b
n

.
Cho n = 5, ta t
`
ım k th
,
oa m
˜
an
(k + 1)
3
(k − 2) − 1 − k
4
> 0.
T
´
ınh to
´
an ta
¯
du
,
.
o
,
c,
625 < 647 < 750 < 863 < 900 < 1079 < 1080 < 1295 < 1296 < 1511.
L
`
o
,

i gi
,
ai 47.7. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang quy n
.
ap v
´
o
,
i n  1,
x
n+1
>
n

k=1
kx
k
> a.n!.
V
´
o

,
i n = 1 ta c
´
o x
2
 3x
1
> x
1
= a.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 11
Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
r

`
˘
ang
¯
d
´
ung v
´
o
,
i n th
`
ı
x
n+2
 (n + 3)x
n+1
−
n

k=1
kx
k
= (n + 1)x
n+1
+ 2x
n+1
−
n


k=1
kx
k
> (n + 1)x
n+1
+ 2
n

k=1
kx
k
−
n

k=1
kx
k
=
n+1

k=1
kx
k
.
Ho
,
n n
˜
u
,

a x
1
> 0
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh v
`
a x
2
, x
3
, ··· , x
n
du
,
o
,
ng theo gi
,
a thiê

´
t quy n
.
ap, do
¯
d
´
o
x
n+2
> (n + 1)x
n+1
> (n + 1).a.n! = a.(n + 1)!. C
´
ac bu
,
´
o
,
c quy n
.
ap
¯
du
,
.
o
,
c ho
`

an th
`
anh.
V
`
ı v
.
ây v
´
o
,
i n
¯
d
,
u l
´
o
,
n ta c
´
o x
n+1
> n!.a > 1999!.
L
`
o
,
i gi
,

ai 47.8. Ðâ
`
u tiên ta t
`
ım m
.
ôt t
´
u
,
di
.
ên MNPQ v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t th
,
oa m
˜
an:
(i) Nê
´
u H l
`
a chân

¯
du
,
`
o
,
ng vuông g
´
oc t
`
u
,
M
¯
dê
´
n m
.
˘
at ph
,
˘
ang (NPQ) do
¯
d
´
o HN =
4, HP = 2
√
3 v

`
a HQ =
√
22.
(ii) Ba
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang MN, MP, MQ
¯
dôi m
.
ôt tr
.
u
,
c giao.
Nê
´
u tô
`
n t
.
ai m

.
ôt t
´
u
,
di
.
ên th
`
ı
¯
d
.
˘
at O ≡ H v
`
a v
˜
e ABC trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang (NPQ). Ta c
´
o
MA =
√
MO

2
+ OA
2
=
√
MH
2
+ HN
2
= MN.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
MB = MP v
`
a MC = MQ.
Do
¯
d
´
o
[ABCM] 
1
3
[ABM].MC


1
3
(
1
2
.MA.MB).MC
=
1
3
(
1
2
.MN.MP).NQ
= [MNPQ].
v
`
a v
`
ı v
.
ây S l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua ABC l

`
a [NPQ].
Ph
,
ai t
`
ım t
´
u
,
di
.
ên MNPQ. Ð
.
˘
at x = MH, do
¯
d
´
o MN =
√
x
2
+ 16, MP =
√
x
2
+ 12 v
`
a

MQ =
√
x
2
+ 22. D
`
ung
¯
d
.
inh l
´
y Pytago v
´
o
,
i MHN ta
¯
du
,
.
o
,
c NH = 4. Tiê
´
p theo cho
12 Chu
,
o
,

ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang NH v
`
a PQ c
´
˘
at nhau t
.
ai R, do
¯
d
´
o MHN  MRN, ta c
´
o
MR = MH.
MN

NH
=
1
4
(x
2
+ 16).
T
`
u
,
MN⊥(MPQ) ta c
´
o MN⊥PQ, t
`
u
,
MH⊥(NPQ) ta
¯
du
,
.
o
,
c MH⊥PQ. Do
¯
d
´
o
PQ⊥(MNHR), nhu

,
v
.
ây MR l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng cao trong MPQ. V
`
ı v
.
ây MR.PQ =
2[MPQ] = MP.MQ v
`
a

(x
2
+ 16)
2
16
− (x
2
+ 16).
√

x
2
+ 12 + x
2
+ 22 =
√
x
2
+ 12.
√
x
2
+ 22.
Ð
.
˘
at 4y = x
2
+ 16 ta
¯
du
,
.
o
,
c
(y
2
− 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)(y − 6)(4y
2

+ y − 2) = 0.
T
`
u
,
y =
1
4
(x
2
+ 16) > 4, y = 6 suy ra x =
√
8.
Do
¯
d
´
o MN =
√
24, MP =
√
20, MQ =
√
30 ta t
`
ım
¯
du
,
.

o
,
c khô
´
i t
´
u
,
di
.
ên câ
`
n t
`
ım.
Do
¯
d
´
o [MNPQ] =
1
3
.MH.[MPQ] =
1
6
.MN.MP.MQ nên [NPQ] =
MN.PQ.MQ
2MH
=
15

√
2.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.9. G
.
oi z l
`
a nghi
.
êm ph
´
u
,
c c
,
ua
¯
da th
´
u
,
c. Ta s
˜
e ch
´

u
,
ng minh r
`
˘
ang |z| > 1.
Gi
,
a s
,
u
,
|z|  1 th
`
ı z
n
+ az = −p suy ra,
p = |z
n
+ az| = |z||z
n−1
+ a|  |z
n−1
| + |a|  1 + |a|, mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi

,
a thiê
´
t.
Bây gi
`
o
,
, gi
,
a s
,
u
,
f = gh l
`
a m
.
ôt phân t
´
ıch c
,
ua f v
´
o
,
i
¯
da th
´

u
,
c kh
´
ac h
`
˘
ang v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên. Do
¯
d
´
o p = f (0) = g(0).h(0) suy ra |g(0)| = 1 ho
.
˘
ac |h(0)| = 1.
Gi
,
a s
,
u
,
|g(0)| = 1, nê

´
u z
1
, z
2
, ··· , z
k
l
`
a nghi
.
êm c
,
ua g th
`
ı n
´
o c
˜
ung l
`
a nghi
.
êm c
,
ua f . Do
¯
d
´
o,

1 = |g(0)| = |z
1
z
2
···z
k
| = |z
1
|.|z
2
|. ···|z
k
| > 1, mâu thu
˜
ân.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.10. Coi tâ
´
t c
,
a c
´
ac g
´
oc

¯
d
.
inh hu
,
´
o
,
ng
¯
dô
`
ng du
,
180
0
. Ð
.
˘
at M

l
`
a
¯
diê
,
m
¯
dô

´
i
x
´
u
,
ng c
,
ua M qua K. Do
¯
d
´
o MKC v
`
a M

KD l
`
a
¯
dô
`
ng d
.
ang v
`
a M

D = MC. V
`

ı M
l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua cung BC nên M

D = MC = MB.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, v
`
ı N l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,

ua cung BD ta c
´
o BN = DN.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13
Tiê
´
p theo,
∠MBN = (180
0
− ∠ABM) + (180
0
− ∠NBA)
= ∠MCA + ∠ADN
= ∠M

DA + ∠ADN
= ∠M

DN.
Do
¯
d

´
o M

DN  MBN v
`
a MN = M

N.
V
`
ı v
.
ây NK l
`
a trung tuyê
´
n c
,
ua tam gi
´
ac cân MNM

V
`
ı v
.
ây NK⊥MK.
CHU
,
O

,
NG 48
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN NGA
48.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 48.1. C
´
o hay không 19 sô
´
t
.
u
,
nhiên kh
´
ac nhau m
`
a tô
,
ng c
,

ua ch
´
ung l
`
a 1999 v
`
a
c
´
ac sô
´
c
´
o tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
b
`
˘ang nhau.
B
`

ai 48.2. Trong m
.
˘at ph
,
˘ang cho m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ω, m
.
ôt
¯
diê
,
m A n
`
˘am ngo
`
ai ω, v
`
a
m
.

ôt
¯
diê
,
m B không tr
`
ung v
´
o
,
i A. X
´
et c
´
ac tam gi
´
ac BXY m
`
a X v
`
a Y n
`
˘am trên ω v
`
a A,
X, Y th
,
˘ang h
`
ang. Ch

´
u
,
ng minh tâm
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac BXY n
`
˘am trên
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,

ng th
,
˘ang cô
´
¯
d
.
inh.
B
`
ai 48.3. Cho
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC. G
.
oi K, L, M, tu
,
o

,
ng
´
u
,
ng l
`
a c
´
ac
tiê
´
p
¯
diê
,
m c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on trên c
´
ac c

.
anh AB, BC, CA. V
´
o
,
i hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p
c
,
ua hai trong ba tam gi
´
ac AMK, BKL, CLM v
˜
e tiê
´
p tuyê
´
n chung ngo

`
ai không tr
`
ung
lên c
´
ac canh c
,
ua tam gi
´
ac ABC. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
ac tiê
´
p tuyê
´
n chung
¯
d
´
o
¯
dô
`

ng quy.
B
`
ai 48.4. Tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
trong sô
´
t
.
u
,
nhiên n l
`
a 100 v
`
a trong sô
´
t
.
u

,
nhiên 4n
l
`
a 800. T
`
ım tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
trong sô
´
t
.
u
,
nhiên 3n?
B
`
ai 48.5. C
´
o tô

`
n t
.
ai hay không 10 sô
´
nguyên kh
´
ac nhau m
`
a tô
,
ng c
,
ua 9 sô
´
trong sô
´
ch
´
ung l
`
a m
.
ôt sô
´
ch
´
ınh phu
,
o

,
ng?
B
`
ai 48.6. Cho h
`
am sô
´
f(x) x
´
ac
¯
d
.
inh trên t
.
âp sô
´
th
.
u
,
c, a>1, h
`
am sô
´
f(x) + f(ax) liên
t
.
uc. Ch

´
u
,
ng minh r
`
˘ang h
`
am sô
´
f(x) liên t
.
uc.
B
`
ai 48.7. Cho hai sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng x, y th
,
oa m
˜
an:
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 15
x
2
+ y
3
≥ x
3
+ y
4
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang: x
3
+ y
3
≤ 2
B
`
ai 48.8. Cho 3 sô

´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng x, y, z c
´
o t
´
ıch b
`
˘ang 1. Ch
´
u
,
ng minh nê
´
u:
1
x
+
1
y
+
1
z

≥ x + y + z
Th
`
ı:
1
x
k
+
1
y
k
+
1
z
k
≥ x
k
+ y
k
+ z
k
, v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du

,
o
,
ng k.
B
`
ai 48.9. C
´
o tô
`
n t
.
ai hay không ba sô
´
th
.
u
,
c a, b, c sao cho v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
th
.
u
,

c x, y th
`
ı:
| x + a | + | x + y + b | + | y + c |>| x | + | x + y | + | y |
B
`
ai 48.10. M
.
ôt b
,
ang k
´
ıch thu
,
´
o
,
c 50 x 50 ô vuông
¯
du
,
.
o
,
c tô b
,
o
,
i bô
´

n m
`
au. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt ô c
´
o c
`
ung m
`
au v
´
o
,
i c
´
ac ô
,
o

,
trên,
,
o
,
du
,
´
o
,
i, bên tr
´
ai, bên ph
,
ai
c
,
ua n
´
o(không nhâ
´
t thiê
´
t ph
,
ai liê
`
n kê
`
v

´
o
,
i n
´
o).
16 Chu
,
o
,
ng 48. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga
48.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.1. Không tô
`

n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên nhu
,
v
.
ây.
Ta gi
,
ai b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap ph
,
an ch
´
u
,
ng. Trung b
`

ınh c
,
ua c
´
ac sô
´
l
`
a:
1999
19
< 106
Do
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt sô
´
nh
,
o ho
,

n 105 v
`
a tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
c
,
ua n
´
o l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a 18.
M
`
a m

˜
ôi sô
´
th
`
ı luôn
¯
dô
`
ng du
,
v
´
o
,
i tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
c
,
ua n
´
o theo modul 9, v

`
ı v
.
ây tâ
´
t c
,
a
c
´
ac sô
´
v
`
a hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
bâ
´
t k
`
ı
¯
dô
`
ng du theo modul 9 – n
´

oi c
´
ach kh
´
ac l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
v
´
o
,
i k, t
`
u
,
¯
d
´
o ta c
´
o 19k
¯
dô
`
ng du

,
v
´
o
,
i 1999 theo modul 9. V
.
ây k
¯
dô
`
ng du
,
v
´
o
,
i 1 theo
model 9 v
.
ây tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
´

o tô
,
ng l
`
a 1 ho
.
˘
ac 10.
Nê
´
u tô
,
ng l
`
a 1 th
`
ı c
´
ac sô
´
l
`
a: 1; 10; 100; 1000.
V
.
ây không thê
,
c
´
o tô

,
ng l
`
a 1999 .
Nhu
,
v
.
ây tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
ph
,
ai l
`
a 10. Ðê
,
´
y 20 sô
´
nh
,
o nhâ

´
t c
´
o tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
l
`
a 10
l
`
a:
19; 28; 37; 91; 109; 118; 127; 136; 190; 208. M
`
a tô
,
ng c
,
ua 9 ch
˜
u
,
sô

´
¯
dâ
`
u tiên l
`
a:
(10 + 20+ +90) + (9 + 8+ +1) = 450 + 45 = 495,
Trong khi tô
,
ng sô
´
ch
´
ın ch
˜
u
,
sô
´
kê
´
tiê
´
p l
`
a:
(900) + (10 + 20+ +80) + (9 + 8 + 7+ +1) = 900 + 360 + 45 = 1305,
V
.

ây tô
,
ng c
,
ua mu
,
`
o
,
i t
´
am sô
´
¯
dâ
`
u l
`
a 1800.
L
.
ai c
´
o 1800 + 190 < 1999 v
`
a 1800 + 208 = 2028 > 1999.
Ðiê
`
u ph
,

ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.2. Ch
´
ung ta s
,
u
,
d
.
ung hu
,
´
o
,
ng gi
,
ai theo kho
,
ang c
´

ach.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 17
G
.
oi O l
`
a tâm v
`
a R l
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,
ng tr

`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac BXY.
K
,
e OO’ vuông g
´
oc v
´
o
,
i AB
Phu
,
o
,
ng t
´
ıch c
,
ua A
¯
dô
´
i v

´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac BXY l
`
a AX.BY
V
`
a b
`
˘
ang OA
2
– R
2

do:
BO

− AO

=
BO
2
−AO
2
BO

+AO

=
(BO
2
−OO
2
)−(AO
2
−OO
2
)
AB
=
AX.BY
AB
M
`

a AX.AY l
`
a phu
,
o
,
ng t
´
ıch c
,
ua A v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ω nên AX.AY l
`
a h
`
˘
ang sô
´

.
Ðê
,
´
y AO’ + BO’ = AB l
`
a h
`
˘
ang sô
´
nên BO’ - AO’ l
`
a h
´
˘
ang sô
´
nên O’ cô
´
¯
d
.
inh v
´
o
,
i m
.
oi

X, Y.
V
.
ây O luôn ch
.
ay trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang qua O’ v
`
a vuông g
´
oc v
´
o
,
i AB. (
¯
diê
`
u ph
,
ai ch

´
u
,
ng
minh).
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.3. G
.
oi D, E, F lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´

ac cung nh
,
o MK, KL, LM
c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC.
G
.
oi S
1
, S
2
, S
3
tu

,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac AMK, BKL, v
`
a CLM.
Do AK l

`
a tiê
´
p tuyê
´
n v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC nên:

AKD =

KLD =


KMD =

DKM;
tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta c
˜
ung c
´
o:

AMD =

DMK.
V
.
ây, D l
`
a tâm
¯
du
,
`
o

,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac AMK v
`
a l
`
a tâm c
,
ua S
1
.
18 Chu
,
o
,
ng 48. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga
Tu
,
o

,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây, E l
`
a trung tâm c
,
ua S
2
v
`
a F l
`
a trung tâm c
,
ua S
3
.
Theo kê
´
t qu
,
a
¯

d
˜
a ch
´
u
,
ng minh ta c
´
o tâm O c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on nôi tiê
´
p c
,
ua tam gi
´
ac KLM
n
`
˘
am trên m

.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i S
1
v
`
a S
2
.
Nhu
,
ng n
´

o không n
`
˘
am trên AB, v
`
ı v
.
ây n
´
o ph
,
ai n
`
˘
am trên tiê
´
p tuyê
´
n bên ngo
`
ai kh
´
ac.
Tu
,
o
,
ng t
.
u

,
nhu
,
v
.
ây ta c
´
o: O n
`
˘
am trên tiê
´
p tuyê
´
n bên ngo
`
ai tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i S
2
v
`
a S
3

(không
n
`
˘
am trên BC).
V
`
a O n
`
˘
am trên tiê
´
p tuyê
´
n bên ngo
`
ai tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i S
3
v
`
a S
1

(không n
`
˘
am trên CA);
V
.
ây ba tiê
´
p tuyê
´
n chung
¯
di qua O(tâm
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac KML).
Ðiê
`

u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.4. Tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
trong sô
´
t
.
u

,
nhiên 3n l
`
a 300.
Ð
.
˘
at S (x) l
`
a tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
trong sô
´
t
.
u
,
nhiên x.
Ta c
´

o S (a + b) b
`
˘
ang S (a) + S (b) tr
`
u
,
¯
di 9 lâ
`
n c
,
ua a + b.
Do
¯
d
´
o S (a + b) ≤ S (a) + S (b);
´
Ap d
.
ung liên tiê
´
p ta
¯
du
,
.
o
,

c:
S (a
1
+ a
2
+ a
k
≤ S (a
1
) + S (a
2
)+. . . +S (a
k
)
Ðê
,
´
y: v
´
o
,
i d ≤ 2 ta c
´
o: S (44d) = 8d
V
´
o
,
i d = 3 ta c
´

o: S (8d) = 6 < 8d
V
`
a d ≥ 4 Ta c
´
o 44d ≤ 44(9).
V
`
a v
´
o
,
i sô
´
c
´
o 3 ch
˜
u
,
sô
´
th
`
ı tô
,
ng c
,
ua n
´

o l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a 27 < 8d.
Ta viê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c:
n =

n
i
.10
i
trong
¯
d
´
o n

i
l
`
a ch
˜
u
,
sô
´
th
´
u
,
i c
,
ua sô
´
t
.
u
,
nhiên n trong h
.
ê thâp phân. Khi
¯
d
´
o
ta c
´

o:

8n
i
= S (44n) ≤

S (44n
i
10
i
) =

S (44n
i
) ≤ 8n
i
T
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u

,
c th
´
u
,
2
¯
dê
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c ph
,
ai x
,
ai ra, ngh
˜
ıa l
`
a: S (44n) = 8n
i
th
`
ı n

i
ph
,
ai
b
`
˘
ang 0; 1 ho
.
˘
ac 2.
Nhu
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên 3n ch
,
ı
¯
do
,
n gi
,
an l
`
a ba lâ

`
n sô
´
t
.
u
,
nhiên n.
V
.
ây S (3n) = 3S (n) = 300 nhu
,
¯
d
˜
a kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.5. C

´
o, c
´
o tô
`
n t
.
ai 10 sô
´
nguyên kh
´
ac nhau l
`
a a
1
; a
2
; a
1
0 nhu
,
v
.
ây.
Ð
.
˘
at: S = a
1
+ a

2
+ +a
1
0.
X
´
et c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
S – a
1
= 9.1
2
S – a
2

= 9.2
2

S – a
1
0 = 9.10
2
C
.
ông tâ
´
t c
,
a c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ta c
´
o:
9S = 9(1
2
+ 2
2
+. . . +10
2

)
Suy ra: a
i
= S ˘9i
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3+ 10
2
− 9i
2
V
.
ây c
´
o 10 sô
´
nguyên d
.
ang a
i
= 1
2
+ 2
2
+ 3+ 10
2
− 9i

2
,i = 1, 2,. . . 10 m
`
a tô
,
ng c
,
ua
9 sô
´
trong sô
´
ch
´
ung l
`
a m
.
ôt sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o

,
i gi
,
ai 48.6. Ta c
´
o: a > 1 nh
˜
u
,
ng h
`
am sô
´
:
P(x) = f (x) + f (ax);
Q(x) = f (x) + f (a2x);
P(ax) = f (ax) + f (a2x)
¯
dê
`
u l
`
a nh
˜
u
,
ng h
`
am liên t
.

uc.
Suy ra h
`
am sô
´
:
1
2
P(x) + Q(x) − P(ax) = f (x) c
˜
ung l
`
a h
`
am liên t
.
uc.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.7. Ta ch
´
u
,
ng minh m
.
ênh

¯
dê
`
tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng:
Nê
´
u: x
3
+ y
3
> 2 th
`
ı: x
2
+ y
3
< x
3
+ y
4

Theo bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Power-Mean ta c
´
o:

x
2
+y
2
2
≤
3

x
3
+ y
3
2
B
`

ınh phu
,
o
,
ng hai vê
´
ta c
´
o:
x
2
+ y
2
≤ (x
3
+ y
3
)
2
3
.2
1
3
< (x
3
+ y
3
)
2
3

(x
3
+ y
3
)
1
3
20 Chu
,
o
,
ng 48. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga
Ho
.
˘
ac: x
2
− x
3
< y
3
˘y
2
M
.
˘

at kh
´
ac ta c
´
o: 0 ≤ y
2
(y
2
− 1)
2
⇒ y
3
− y
2
≤ y
4
− y
3
.
Do
¯
d
´
o ta c
´
o:
x
2
–x
3

< y
3
− y
2
≤ y
4
− y
3
⇒ x
2
+ y
3
< x
3
+ y
4
V
.
ây : x
2
+ y
3
< x
3
+ y
4
Ðiê
`
u ph
,

ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.8. V
`
ı xyz = 1 Nên ta c
´
o thê
,
viê
´
t: x =
a
b
, y =
b
c
, z =
c
a
v
´

o
,
i a, b, c l
`
a c
´
ac
sô
´
du
,
o
,
ng.
Thay v
`
ao biê
,
u th
´
u
,
c:
1
x
+
1
y
+
1

z
≥ x + y + z
Ta c
´
o:
b
a
+
c
b
+
a
c
≥
a
b
+
b
c
+
c
a
⇔ a
2
c + b
2
a + c
2
≥ a
2

b + b
2
c + c
2
a ⇔ 0 ≥ (a – b)(b – c)(c – a)
V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k ta ch
.
on A = a
k
; B = b
k
; C = c
k
Ta c
´
o:0 ≥ (A – B)(B – C)(C – A) ⇔
B
A

+
C
B
+
A
C
≥
A
B
+
B
C
+
C
A
V
.
ây:
1
x
k
+
1
y
k
+
1
z
k
≥ x

k
+ y
k
+ z
k
.
Ðiê
`
u câ
`
n ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.9. Không tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
th

.
u
,
c nhu
,
v
.
ây;
Th
.
ât v
.
ây.
Ð
.
˘
at y = - b – x.
Khi
¯
d
´
o v
´
o
,
i m
.
oi x ta c
´
o:

| x + a | + | – b – x + c |>| x | + | b | + |– b – x | (1)
Nê
´
u ch
.
on x
¯
d
,
u nh
,
o ta c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai biê
,
u th
´
u
,
c (1):
(- x – a) + (- b – x + c) > ( - x) + | b | + (- x – b) ⇒– a + c >| b |≥ 0
V
.
ây: a < c

Trong khi x
¯
d
,
u l
´
o
,
n ta c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai biê
,
u th
´
u
,
c (1):
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê

,
n, 21
(x + a) + ( b + x - c) > x + | b |+ ( x + b) ⇒ a - c >| b |≥ 0
V
.
ây: a > c mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i a < c.
L
`
o
,
i gi
,
ai 48.10. Theo nguyên t
´
˘
ac chia ô c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt phâ

`
n tu
,
sô
´
ô c
´
o c
`
ung m
`
au,
gi
,
a s
,
u
,
l
`
a m
`
au
¯
d
,
o. Trong c
´
ac ô vuông m
`

au
¯
d
,
o, t
´
ınh theo c
.
ôt c
´
o tô
´
i
¯
da 50 ô vuông m
`
au
¯
d
,
o ph
´
ıa trên v
`
a tô
´
i
¯
da 50 ô vuông m
`

au
¯
d
,
o ph
´
ıa du
,
´
o
,
i. T
´
ınh theo h
`
ang c
´
o tô
´
i
¯
da 50
ô vuông bên tr
´
ai, 50 ô vuông bên ph
,
ai. V
.
ây c
´

o
´
ıt nhâ
´
t 625 – 200 = 425 ô vuông
,
o
,
gi
˜
u
,
a. Do
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt ô vuông m
`
au
¯
d
,

o c
´
o c
`
ung m
`
au v
´
o
,
i c
´
ac ô vuông m
`
au
¯
d
,
o
,
o
,
trên,
,
o
,
du
,
´
o

,
i, bên tr
´
ai, bên ph
,
ai c
,
ua n
´
o.
CHU
,
O
,
NG 49
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN SLOVENIA
49.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 49.1. Cho d
˜
ay c

´
ac sô
´
th
.
u
,
c a
1
, a
2
, a
3
, th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên a
1
= 2,
a
2
= 500, a
3

= 2000 v
`
a h
.
ê th
´
u
,
c
a
n+2
+ a
n+1
a
n+1
+ a
n−1
trong
¯
d
´
o n = 2, 3, 4, Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tâ
´
t c

,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay
¯
dê
`
u l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a 2

2000
chia hê
´
t cho a
2000
.
B
`
ai 49.2. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
`
am f: R → R th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
f (x − f (y)) = 1 − x − y v

´
o
,
i m
.
oi x,y thu
.
ôc R.
B
`
ai 49.3. Cho E l
`
a giao
¯
diê
,
m hai
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua t
´
u

,
gi
´
ac n
.
ôi tiê
´
p ABCD v
`
a E, F
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
.
anh AB v
`

a CD. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ba
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang
lâ
`
n lu
,
.
o
,
t
¯
di qua G, F, E v
`
a vuông g
´
oc v

´
o
,
i AC, BD, AD
¯
dô
`
ng quy t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m.
B
`
ai 49.4. C
´
o ba chiê
´
c h
.
ôp v
´
o
,
i
´

ıt h
.
ôp v
´
o
,
i
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt viên
¯
d
´
a trong m
˜
ôi h
.
ôp. Trong
m
.
ôt bu
,
´
o
,
c ta ch
.

on hai trong sô
´
c
´
ac h
.
ôp, t˘ang gâ
´
p
¯
dôi sô
´
bi trong m
˜
ôi h
.
ôp b
`
˘ang c
´
ach
lâ
´
y bi t
`
u
,
h
.
ôp kh

´
ac. C
´
o ph
,
ai luôn luôn c
´
o m
.
ôt trong sô
´
c
´
ac h
.
ôp trô
´
ng sau khi kê
´
t
th
´
uc h
˜
u
,
u h
.
an bu
,

´
o
,
c?.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23
49.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 49.1. T
`
u
,

h
.
ê th
´
u
,
c ta
¯
du
,
.
o
,
c a
n+2
a
n−1
= a
2
n+1
v
´
o
,
i n = 2, 3, Không c
´
o phâ
`
n
t

,
u
,
n
`
ao c
,
ua d
˜
ay b
`
˘
ang 0, do
¯
d
´
o c
´
o thê
,
viê
´
t
a
n+2
a
n+1
a
n
=

a
n+1
a
n
a
n−1
v
´
o
,
i n = 2, 3, Ngh
˜
ıa l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua
a
n+1
a
n
a
n−1
không
¯
dô

,
i, c
.
u thê
,
b
`
˘
ang
a
3
a
2
a
1
. V
`
ı v
.
ây
a
n+2
= 2a
n
a
n+1
v
`
a tâ
´

t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay
¯
dê
`
u l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng.
T

`
u
,
h
.
ê th
´
u
,
c trên, ngo
`
ai ra ta c
`
on c
´
o
a
n+1
a
n
l
`
a sô
´
nguyên ch
˜
˘
an v
´
o

,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng
n.
a
2000
=
a
2000
a
1999
.
a
1999
a
1998

a
2
a
1
.a
1

1999 phân sô
´
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho 2 v
`
a a
1
= 2 nên a
2000
chia hê
´
t cho 2
2000
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 49.2. Cho x = 0, y = 1 ta c
´
o f (−f (1)) = 0.
Cho y = −f (1) ta
¯
du

,
.
o
,
c f (x) = 1 + f (1) − x.
Ð
.
˘
at a = 1 + f (1) v
`
a f (x) = a − x, ta c
´
o
1 − x − y = f (x − f (y)) = a − x + f (y) = 2a − x − y
suy ra a =
1
2
. Nhu
,
v
.
ây, h
`
am f (x) =
1
2
− x th
,
oa m
˜

an phu
,
o
,
ng tr
`
ınh h
`
am
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai 49.3. K
,
e GP vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du

,
`
o
,
ng ch
´
eo AC v
`
a FQ vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
ch
´
eo BD. G
.
oi R l
`
a giao
¯

diê
,
m hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang PG v
`
a FQ, v
`
a H l
`
a chân
¯
du
,
`
o
,
ng vuông
g
´
oc h
.

a t
`
u
,
E xuô
´
ng AD. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh H, E, R th
,
˘
ang h
`
ang.
V
`
ı F v
`
a G l
`
a trung
¯
diê
,
m c
´

ac c
.
anh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
,
ua c
´
ac tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng d
.
ang DEC v
`
a
ABE ( v
´
o
,
i c

´
ac
¯
d
,
ınh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng), tu
,
o
,
ng t
.
u
,
tam gi
´
ac DPE v
`
a AQE
¯
dô
`
ng d

.
ang v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. Do
¯
d
´
o

DPE =

EQA v
`
a t

´
u
,
gi
´
ac AQPD l
`
a t
´
u
,
gi
´
ac n
.
ôi tiê
´
p. Ho
,
n n
˜
u
,
a

EQR = 90 =

EPR nên t
´
u

,
gi
´
ac EQRP c
˜
ung n
.
ôi tiê
´
p.
B
,
o
,
i v
.
ây
T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra

ADQ =

APQ =


EPQ =

ERQ ; v
`
a t
`
u
,
D,E,Q th
,
˘
ang h
`
ang nên H, E, R
c
˜
ung th
,
˘
ang h
`
ang.
L
`
o
,
i gi
,
ai 49.4. Không mâ
´

t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at gi
,
a s
,
u
,
sô
´
bi trong c
´
ac h
.
ôp l
`
a a, b v
`
a c v
´
o
,
i
a ≤ b ≤ c. Viê
´
t b = qa + r trong

¯
d
´
o 0 ≤ r < a v
`
a q ≥ 1. Sau
¯
d
´
o phân t
´
ıch q
24 Chu
,
o
,
ng 49. Ðê
`
thi olympic to
´
an Slovenia
q = m
0
+ 2m
1
+ = 2
k
m
k
trong

¯
d
´
o m
i
∈ {0, 1} v
`
a m
k
= 1. M
˜
ôi i = 0, 1, , k thêm 2
i
viên bi
,
o
,
h
.
ôp th
´
u
,
nhâ
´
t: nê
´
u
m
i

= 1 lâ
´
y bi kh
´
ac t
`
u
,
h
.
ôp th
´
u
,
hai, không lâ
´
y t
`
u
,
h
.
ôp th
´
u
,
ba. Theo c
´
ach n
`

ay ta s
˜
e lâ
´
y
nhiê
`
u nhâ
´
t (2
k
− 1)a < qa ≤ b ≤ c viên bi t
`
u
,
h
.
ôp th
´
u
,
ba v
`
a lâ
´
y
¯
d
´
ung qa viên bi t

`
u
,
h
.
ôp th
´
u
,
hai.
Bây gi
`
o
,
trong chiê
´
c h
.
ôp th
´
u
,
hai c
`
on l
.
ai r < a viên bi. V
`
ı v
.

ây sô
´
bi
´
ıt nhâ
´
t trong h
.
ôp
bây gi
`
o
,
nh
,
o ho
,
n a viên. Sau
¯
d
´
o l
.
˘
ap
¯
di l
.
˘
ap l

.
ai c
´
ac bu
,
´
o
,
c, cuô
´
i c
`
ung ta s
˜
e không c
´
o m
.
ôt
viên n
`
ao trong h
.
ôp.
CHU
,
O
,
NG 50
Ð

`
Ê OLYMPIC TO
´
AN THÔ
,
NH
˜
I K
`
Y
50.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 50.1. Cho ABC l
`
a tam gi
´
ac cân v
´
o
,
i AB = AC. G
.
oi D l
`
a m

.
ôt
¯
diê
,
m trên BC sao
cho BD = 2DC v
`
a P l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m trên AD sao cho

BAC =

BPD. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang

BAC = 2


DPC
B
`
ai 50.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
th
.
u
,
c 0 ≤ a ≤ b ≤ c.
B
`
ai 50.3. C
´
ac
¯

diê
,
m trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
du
,
.
o
,
c tô b
,
o
,
i ba m
`
au kh
´
ac nhau. Ch
´
u
,

ng minh
r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai vô sô
´
tam gi
´
ac cân v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`

on c
´
o c
`
ung m
`
au v
´
o
,
i nhau.
B
`
ai 50.4. Cho g
´
oc XOY cô
´
¯
d
.
inh v
`
a M,N lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l

`
a c
´
ac
¯
diê
,
m trên tia OX v
`
a OY.
X
´
ac
¯
d
.
inh t
.
âp h
.
o
,
p trung
¯
diê
,
m c
,
ua MN khi M v
`

a N di
¯
d
.
ông trên OX v
`
a OY sao cho
OM + ON không
¯
dô
,
i.
B
`
ai 50.5. M
.
ôt sô
´
¯
d
,
ınh c
,
ua c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
do

,
n v
.
i trên b
`
an c
`
o
,
nxn
¯
du
,
.
o
,
c tô m
`
au sao
cho h
`
ınh vuông kxk bâ
´
t k
`
y t
.
ao b
,
o

,
i c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i
¯
d
´
o c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,

c tô
m
`
au trên
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt c
.
anh c
,
ua n
´
o. Nê
´
u k
´
ı hi
.
êu l(n) l
`
a sô
´
¯
d
,
ınh nh
,

o nhâ
´
t
¯
du
,
o
,
c tô m
`
au
th
,
oa m
˜
an c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên trên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang

lim
l(n)
n
2
=
2
7
B
`
ai 50.6. Cho t
´
u
,
gi
´
ac n
.
ôi tiê
´
p ABCD, L v
`
a N lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`

a trung
¯
diê
,
m c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng
ch
´
eo AC v
`
a BD. Gi
,
a s
,
u
,
BD chia
¯
dôi

ANC. Ch
´

u
,
ng minh r
`
˘ang AC chia
¯
dôi

BLD.