TIEU LUAN TOAN CAO CAP 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
MƠN: TỐN CAO CẤP 1

HỌ VÀ TÊN:****
MSSV: ****
LỚP: ****
GIẢNG VIÊN: ****

TP.HỒ CHÍ MINH, Ngày 18 Tháng 11 Năm 2021


TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH
BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Mơn thi: TỐN CAO CẤP 1

Họ và tên sinh viên:
MSSV: ............................. Lớp học phần: ................................................

THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): …10… trang
(bằng chữ): …mười… trang

YÊU CẦU
Câu 1. (4 điểm): Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dịng.
c) Xét hệ phương trình sau đây
ax + x

1

2

+x=2+a
3

x + bx + x = 2 + b
x + x + cx = 2 + c
1

1

2

2

3

3

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn. Hãy giải phương trình
trên bằng ít nhất 2 cách.
Câu 2. (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ
minh họa?
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả
nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các
phương trình ma trận sau AX = B , XA = B , AXB = C.

Câu 3. (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
1


a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ minh

họa?
b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví

c)

dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.
Xét khơng gian R 4 , hãy cho ví dụ về một khơng gian con nằm trong khơng gian R 4
có số chiều bằng 2. Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của
một vector nằm trong khơng gian đó với cơ sở trên?

BÀI LÀM
Câu 1:
a) Phương pháp Gauss-Jordan( phương pháp khử ẩn liên tiếp):
Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan tức là dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng
để đưa ma trận mở rộng [A/B] thành ma trận bậc thang dịng [A’/B]
Trong đó: phép biến đổi sơ cấp là phép biến đổi tương tự trên hệ, do đó nghiệm của
hệ [A/B] cũng là nghiệm của hệ [A’/B]
B1: Lập ma trận mở rộng [A | B] của hệ (A là ma trận hệ số, B là cột tự do).
B2: Biến đổi sơ cấp (trên các hàng của) ma trận mở rộng đưa về dạng bậc thang.
B3: Từ ma trận bậc thang tìm nghiệm tổng quát
b) Định lý Kronecker – Capelli
Xét hệ phương trình tuyến tính AX=B
Ta có: Hệ có nghiệm duy nhấtr(A) = r(

)=n

Hệ có vơ số nghiệmr(A) = r(
Hệ vô nghiệmr(A) < r(

) )

VD1: Giải hệ phương trình tuyến tính:
x1 + x2 − x3 =
2 2 x1 + x3 =1
x2 + 2 x3 = −2

Giải:
Ma trận mở rộng của hệ là:

2

(n là số ẩn)


1
1
−1 2
A= 2 0 1 1

1

1
1

0

d d
2

→

1

1
0 −2

−1 2
3 −3

0 1

2−2

2

1 2 −2

0

→

1
−2 d + d →d 2

−1 2
2 −2

1
→

3

2 d + d →d 3
2

−1 2
2 −2

0 0

7 −7

3

−2 3 −3

0

1
0 1

Ta có: r(A) = r( ) = 3 = 3 ẩn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x

1

=1

x2 = 0
x = −1
3

VD2: Giải hệ phương trình tuyến tính :
+2
−4 x + 2 x x
= −1
1
2
3
2 x − 4 x + 2 x = −2
1
2
3
2x+2x−4x =3
2

1

3

Giải:
Ma trận mở rộng của hệ là:
−4

A= 2

2 −1
2 −2

2
−4

2

−4

2
2

2 d + d 2 →d 2
− d + d→d
→

1

1

3

→

2 −4
−4 2

dd
2

1

3

−4
0 −6

2
2 −2
6 −5

0 6

−4 3

2
2

d + d →d
2

3

2 −2
2 −1

→

3

−4 2 −2
0 −6 6 −5

3

−6 5

0 0

0 0

Ta có: r(A) = r( ) = 2 < 3 ẩn
Vậy hệ có vơ số nghiệm với 1 ẩn tùy ý. Chọn x3 là ẩn tùy ý: x3 = a

Nghiệm tổng quát là:

x = a +2
1
3
x =a+5
6
=a
x

( a R)

2

3

VD3: Giải hệ phương trình tuyến tính:

3


x − 2 y + 1z = 2
x+1y−2z=4
−2 x + y + z =1

Giải:
Ma trận mở rộng của hệ là:
−2 1 2
1 −2 4

1
1

A=

1

0

→

1

−2

−2 1 2
3 −3 2

1
− d +d
d
2d + d 3 →d 3
2

11

→

2

2

1

0 −3

−2 1 2
0 3 −3 2

1
d + d →d
3

3

35

0 0

07

Ta có r(A) < r( ) = 3
Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
c)Giải hệ phương trình:
ax + x
1

2

+x =2+a
3

x + bx + x = 2 + b
x + x + cx = 2 + c
1

2

3

2

1

3

Cho a = 29, b = 8, c = 3 ta có hệ phương trình:
+
29 x x + x = 30
1
2
3
x + 8 x + x =10
x +x +3x = 5
1

2

1

3

3

2

Cách 1: Ta có ma trận mở rộng của hệ là:
29
A=

1 1 31
8 1 10

1
1
1 2
− d + d →d

1 35
1
2

→
−29d + d →d
1

3

→

0

3

0

1
→

1
35
1 8 1 10

dd
1

3

1

3

7

−2

29 1 1 31
5
5

→

1
0

+d d

4d
2

3

3

−28 −86 −114

1

3

5

7

2

5

0 0 −94 −94

Ta có: r(A) = r( ) =3= 3 ẩn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là:

x1 =1

x2 =1

Cách 2: Đặt

29 1
A=

1 31

1

8

1 10

1

1 3 5

→A

−1

=

1
658

23

−2

−2 86

−7 −28

4

−7
−28 , B =

231

x1

30
10

5

X = x2
x3


Hệ viết dưới dạng ma trận:
A.X = BX = A−1.B
23

1

X=

−2

658

−2

−7 30

86

−28

1
10

=1

1

−7 −28 231
5
x =1
1

x =1
x =1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là:

2

3

Câu 2:
a) Cách tính định thức ma trận vng cấp 3
Cách 1: dùng quy tắc Sarrus ( quy tắc 6 đường chéo)

a11 a12
a21 a22

a13
a23 = ( a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ) − ( a31a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21a12 )

a31 a32 a33

VD1: Tính định thức của ma trận vng cấp 3 sau:
1
A=

3 4
2 5 1
3 1 2

Giải:
1 3 4
2 5 1 = (1.5.2 +3.1.3 + 4.2.1) −(3.5.4 +1.1.1+ 2.2.3) = −46
3 1 2

Cách 2: Khai triển định thức theo 1 hàng hoặc 1 cột bất
kỳ Cho ma trận vuông cấp 3
a11
A =a
21

a
31

a

a

12

a
a

22

32
1+1

det( A) = ( −1)

13

a
a

23

33

a det( M
11

1+ 2

) +(−1)

11

a det( M
12

1+3

) +(−1)

12

VD2: Tính định thức của ma trận vng cấp 3 sau:

5

a det( M
13

)
13


1
A=

3 4
2 5 1
3 1 2

Giải:

5 1
2 1
2 5
1+1
1+ 2
1+3
det( A) = ( −1) .1. 1 2 + (−1) .3. 3 2 + (−1) .4. 3 1
= 1.1.9 + (−1).3.1+1.4.(−13) = −46

b) Ma trận khả nghịch:
Định nghĩa: A và B là hai ma trận nghịch đảo của nhau nếu A.B = B.A = In ( In
là ma trận đơn vị cấp n). Khi đó, ta nói A, B là các ma trận khả nghịch
-1

Ký hiệu: A = B hay B = A

-1

Định lý: Ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo A

-1

det(A) 0 ( A không suy biến)

Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức:
B1: Cho A M n , det A # 0

aij

B2: . Tính các phần bù đại số của A đối với phần tử
A = (−1) i + j det( M )
ij

ij

B3: Khi đó:

A −1 =

1
det( A)

A A
11
12
A A

A
1n
A

A

A

21

22

A
n1

n2

2n

=

1
det( A)

nn

A
11
A

A
21
A

A
n1
A

A

A

A

12

1n

22

2n

n2

nn

VD1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 3 sau:
1
A=

0

3

2 1 1

3 2 2
det( A) = 2 + 12 − 9 − 2 = 3

A = (−1)1+1

11

A = (−1)1+2
12

A = (−1)1+3
13

1 1
2

=0

A21 = (−1) 2 +1 0 3 = 6
2 2

A31 = (−1)3+1

= −1

A22 = (−1) 2 +2 1 3 = −7
3 2

A32 = (−1)3+2

A23 = (−1) 2 +3 1 0 = −2
3 2

A33 = (−1)3+3

2

2 1
3 2

2 1
3 2

=1

6

0 3
= −3
1 1
1 3
2 1

=5

1 0
=1
2 1


Vậy A

−1

0

1

=

−3

6
−1 −7
1 −2

3

5
1

VD2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 4 sau:
1

A=

2

3

4

0 2
0 3

4 3

0 2

3 4

2 0
2 4 3
1+1

.1. 3 0 2 + (−1)
4 2 0

det( A) = ( −1)

A

11

A

12

A

13

A

14

1+1

= (−1)

2 3 4
4 +1

.3. 2 4 3=1.1.[(0 +32 +18) −(0 +8 + 0)] + (−1).3.[(16 + 27 + 0) − (48 + 0 +12)] = 93
3 0 2

2 4 3
3 0 2 =42

A = (−1)
21

4 2 0
0 4 3
0 0 2 =−24

1+2

= (−1)

= (−1)

A = (−1)

0 2 4
0 3 0 =36

1+4

A = (−1) 2 +4
24

3 4 2
42

Vậy A

−1

−40

−24

17

1 −24 14
27
= 93 −15 32 −18 5
36

−21

2 +3

23

3 2 0

= (−1)

2 +2

22

0 2 3
0 3 2 =−15

6

4

−12

c) Ví dụ vận dụng tính khả nghịch của ma
trận VD1: Tìm ma trận X sao cho A.X=B với
A=

−1

2

B=

3 1

−2

3

Giải:

A−1 =

11
5 −3

2 3 4
3 0 2 =−40
4 2 0

A = (−1)

3 2 0
1+3

2 +1

1

2

7

A = −24

A = 17

A = 27

A =4

2 4
3 2 =32

A = −18

A =5

3

4 0

A =6

A = −12

1
0

2 3
3 0 =−21

3

4 2

1
0

3 4
0 2 =14

3

2 0

1
0

31

32

33

34

41

42

43

44


Ta có:

A.X=BX=A −1 .B
1

X=

1 −2

1

5 −3 2

3

1

5
5
12

=

VD2: Tìm ma trận X sao cho X.A=B với
−3

4

A=

6

0 1

1

−1

1

B=

0

2 −3 −4

2

1 2

Giải:
−1
−1

A = (−1)

Ta có:

−2 1

2

−2

2

2 0
3 = −2 0 −3
−2 1 −3
2 −1 3

X.A=B

X = B. A−1

X=

−2

1

1−12

2

−20−3

0 1 2

−1

2

7411

=

2 2 3

3

VD3: Tìm ma trận X sao cho A.X.B=C với:
1
A=

2

3

0

1

0

0 −1

B=

4

−2

5

1
C=

0
0 1
−1 2

2 −1

Giải:
−1
−1

A = (−1)

Ta có:

2

0 −1 −4 =
0 0
1

A.X.B=CX = A
X=

−2

5 1

.
C.B
1 −2
−1

0 1
0 0

0 1
0 0

−5
4
−1

B

−1

= (−1)

−1 2
−2 5

=

1

−2

2 −5

−1

−5 1
4
−1

0

0 1
−1 2

1

−18

−2
2 −5

=

48

14 −37
−3

8

Câu 3:
a) Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
U là một hệ vectơ gồm m vectơ n chiều
Độc lập tuyến tính: U được gọi là độc lập tuyến tính khi: x 1u1 + x2u2 + xnun = 0 chỉ xảy
ra khi: x1 = x2 = … = xm = 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm
tầm thường duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng tam giác.
8


Phụ thuộc tuyến tính: U được gọi là phụ thuộc tuyến tính khi:x 1u1 + x2u2 + xnun = 0 nếu
tồn tại các số x1, x2,..,xm không đồng thời bằng 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận
hệ số A có vơ số nghiệm, tức q trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng hình
thang.
VD1:
U = u1 = (1, 2, 3, 2); u2 = ( −1, 2,1, −2) ; u3 = ( −1, −3,
−2, −2) Xét: x1u1 + x2 u 2 + x3u3 = 0

Ta thu được hệ có ma trận mở rộng là:
−1

1
2
3

−1 0

2 −3 0

−2 d + d →d

2 −2

1

2

−3 d + d →d
1

2

3

3

−1 0

0

2 0

4

1

0 0

R(A) = 3 = 3 ẩn

−1

1

−1 0

0 4

→

→

−2 0

1

−1

1

−1 0

0 4

− d 2 + d3 → d3
→

0

−1 0

0

0

40

−1

−1 0
−1 0

0 4

−2 d 3 + d 4 →d4

20

0 0

1
→

0

40

0

20

0 0

0 0

Hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

Hệ U độc lập tuyến tính
VD2:
3

1
1 −3

2

1

4

d1 d
→

2

−3
3 1

4

2

1
−3 d + d →d
1
1

2

→

2

3

−3
0 10

4
14

0 5

−5

1
d d
2

→

3

−3
4
0 5 −5

−3

1
→

−2 d + d →d
2

3

3

0

5

0

0

3

− d + d →d

1 2

−1

1 2

−1

0 10 14

U = u1 = ( −1, 2, 0,1); u 2 = (1, 2, 3, −1) ; u3 = (0, 4,
3, 0) Xét: x1u1 + x2 u 2 + x3u3 = 0

Ta thu được hệ có ma trận mở rộng là:
−1
0

1

−1

00

2 2

40

3

30

→

2 d + d →d
2
1 2
d

1

→

+ d →d

3

0
0

4 40
3

−1

00
30

−3 d 2+ d →d
4

3

1
0

3

0

00

4 40
0

→

00

3

1 −1 0 0

r(A) = 2 < 3 ẩn

1

0

0 00

Hệ vơ số nghiệm

0

0 00

Hệ có nghiệm khác nhiệm tầm thường

Hệ U phụ thuộc tuyến tính
b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định nghĩa: Cho HPT tuyến tính thuần nhất có dạng AX = 0
Khi đó W = {X ∈ Rn | AX=0} gọi là khơng gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất.

Chú ý:

Tìm số chiều: dim(W) = n – r( ̅)= số ẩn tự do với n là số ẩn của hệ AX=0

9


Tìm cơ sở: Mỗi cơ sở của W là hệ nghiệm cơ bản của hệ AX=0
VD:
Tìm 1 cơ sở và số chiều không gian nghiệm của hệ sau:
2x+x
1

2

1

2

+x +x =0
3

4

3

4

2x −x +x −x =0

Giải:
Ta có ma trận mở rộng của hệ thuần nhất là:
A=

2

1

2 −1

1 1 0

− d +d
1

1 −1 0

2

d
2

2

1

0 −2

r( )=> dim(W) = 4 – 2 = 2
Hệ phương trình tương đương:
x = −a
1
2
x = −b ( a , b R)
2
x =a
3
x =b

2x+x +x +x = 0
−2 x − 2 x = 0

244231

4

−1

Cho a =1, b =0
Cho

có nghiệm cơ bản ( 2 , 0, 1, 0)

a =0, b =1

W có 1 cơ sở là:

(

−1
2

1

1 0

→

, 0, 1,0),( 0,−1, 0, 1)

0 −2 0


c)

VD: Cho

1

2

và

L = u = (1, 0, 0, 0), u = (0,1,0,0)

R

dim L = 2

4

Xác định một cơ sở của nó và cơng thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong
khơng gian đó với cơ sở trên
Giải:
Dim L=2

hệ L độc lập tuyến tính

Hệ L là cơ sở

Tổ hợp tuyến tính của hệ L: x=x1u1+x2u2
Cơng thức biểu diễn tọa độ của vecto u1: u1 = 1a1+0a2

10