Tiểu luận toán cao cấp 1 ĐH Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HCM
HỆ CHẤT LƯỢNG CAO


TIỂU LUẬN
CHỦ ĐỀ: TOÁN CAO CẤP 1

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Minh Tùng
Học phần: Toán cao cấp 1
Lớp học phần: AMA301_2111_9_GE25
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Hồng Khơi Ngun
MSSV: 050609212077


LỜI MỞ ĐẦU
Chúng ta có thể nhận thấy rằng mơn Tốn cao cấp đóng một vai trị quan trọng đối
với sinh viên ngành kinh tế. Mặc dù Toán cao cấp chưa giải quyết trực tiếp các bài toán
kinh tế lớn, nhưng nó là nền tảng tư duy cũng như tri thức để hiểu và giải quyết được các
môn tiếp theo của chương trình học. Giúp bản thân người học chúng ta nắm rõ được các
quy luật, mơ hình dịch chuyển và sự vận hành tương đối của kinh tết qua dạng các ma
trận và phép tính đơn giản qua mơn Toán cao cấp 1.
Trong bài thi kết thúc học phần, bằng sự hiểu biết và học hỏi tham khảo em xin
trình bày kiến thức mà em đã được học để trả lời các câu hỏi mà đề bài yêu cầu.

2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ...............................................................................................................................................2
MỤC LỤC .....................................................................................................................................................3
YÊU CẦU ......................................................................................................................................................4
BÀI LÀM ......................................................................................................................................................5
Câu 1: ........................................................................................................................................................5
a)

Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B .............................................5

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong
đó ma trận A có ít nhất 3 dòng. ..............................................................................................................6
c)

Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình. ..........................................................9

Câu 2: ......................................................................................................................................................11
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ minh họa? ......11
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận?
Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? ...........................................................................14
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma trận khả
nghịch. ..................................................................................................................................................15
Câu 3: ......................................................................................................................................................17
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ minh họa? .............17
b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh họa và
xác định số chiều cũng như cơ sở của nó. ............................................................................................18
c) Xét khơng gian 4 R, hãy cho ví dụ về một khơng gian con nằm trong khơng gian 4 R có số chiều
bằng 3. Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong khơng
gian con đó với cơ sở trên? ..................................................................................................................19

KẾT LUẬN .................................................................................................................................................20
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................................................20

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH
BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Tốn Cao Cấp 1
Hình thức thi: TIỂU LUẬN KHƠNG THUYẾT TRÌNH

THƠNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số) 20 trang
(bằng chữ) hai mươi trang
YÊU CẦU
Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh
họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng.
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình.
Câu 2. (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ minh
họa?
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của
ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma trận
khả nghịch.
Câu 3. (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ minh họa?

b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh
họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.
c) Xét khơng gian R, hãy cho ví dụ về một khơng gian con nằm trong khơng gian R có số
chiều bằng 3. Xác định một cơ sở của nó và cơng thức biểu diễn tọa độ của một vector
nằm trong khơng gian con đó với cơ sở trên?
4

4

4


BÀI LÀM
Câu 1:
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B
Định nghĩa: Cho A  Mm x n(K) có ma trận rút gọn theo dịng từng bậc là RA, khi đó số
dịng khác 0 của RA được gọi là hạng của A, kí hiệu r(A)

2 5 7


VD: RA =  3 1 4  => r(A) = 2
0 0 0


- Mệnh đề
• r(RA) = r(A)
• 0  r(A)  min {m, n}
• r(A) = 0 <=> A = Om x n
- Sơ đồ giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss Jordan

~



= [ A B ] các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận [ A’ B’ ]: Dạng bậc thang

Khi đó Ax = B  A’x = B’
Trong đó A’x = B’ là hệ dạng bậc thang nên dễ dàng giải được.
Ta giải hệ phương trình theo ma trận tương đương như bình thường
Kết luận nghiệm
❖ Chú ý: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss – Jordan có dạng
(A’|B’). Thì A’ được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc của A (hay ma trận
rút gọn), ký hiệu RA

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
2 x 1 −2 x2
x
− x2
 1

− x2
 x1
 2 x1 −3 x2

+4 x3

+4 x4

+6 x5

=5

+2 x3

+3 x4

+5 x5

=5

+3 x3

+x 4

+2 x5

=3

+5 x3

+4 x4

+7 x5

=8

Giải
Lập ma trận hệ số bổ sung của hệ
5

−2 4 4 6 5
1

−1 2 3 5 5 d 1 d 2  2
⎯⎯⎯→
1
−2 3 1 2 3


−3 5 4 7 8
2

2
1

1

2

1 −1
0 0
d 2 + ( −2) d 1→ d 2
d 3+ ( −1) d 1→ d 3

⎯⎯⎯⎯⎯→
d 4 + ( −2) d 1→ d 4
0 −1

0 −1

1 −1
0 −1
d 2 d 3

⎯⎯⎯→
0 0

0 −1

2

2

5
−4 −5 
−3 −2 

−3 −2 
5
1 −1

0 −1
−2 
( −1) d 3→ d 3

⎯⎯⎯⎯⎯→
−5  d 4+ ( −1) d 2→d 4 0 0


−2 

0 0

3

5

0 −2
1 −2
1 −2
3

−1 2 3 5 5
−2 4 4 6 5
−2 3 1 2 3

−3 5 4 7 8

5

1 −2 −3
0 −2 −4
1 −2 −3

5
1 −2 −3 −2 
0 2 4 5

0 0 0 0
2

3

5

Ta có hệ phương trình tương đương

 x1





− x2

+2 x3

+3x4

+5 x5

=5

− x2

+ x3

−2 x4

−3x5

= −2 (2)

2 x4

+4 x5

(1)

=5

(3)

Hệ có dạng hình thang, ta chuyển x3, x5 qua làm ẩn tự do
Từ (3) rút được x4 =

5 − 4 x5
, thay vào (2) ta được: x2 = −3 + x3 + x5
2

Thay x4, x2 vào (1) ta được x1 =

−11 − 2 x3 + 4 x5
2

−11 − 2 x3 + 4 x5

 x1 =
2

 x2 = −3 + x3 + x5


x3 
Vậy nghiệm hệ phương trình là 

5 − 4 x5

x4 =
2


x5 

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dịng.
Muốn tính tốn được số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, ta có thể sử dụng một
định lý nổi tiếng Kronecker – Capelli để chứng thực và tính tốn ra được đúng số nghiệm
của phương trình.
6


❖ Định lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX=B ta có:
✓ Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng
ma trận hệ số của hệ bằng hạng ma trận hệ số bổ sung của hệ:
r(A) = r( A )
Hơn nữa:
• Nếu r (A) = r( A ) = số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
duy nhất.
• Nếu r (A) = r ( A )  số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có vơ số
nghiệm.

• Nếu r (A) < r ( A ) thì hệ phương trình tuyến tính đã cho vơ nghiệm
Ta sẽ đi đến ví dụ cho từng trường hợp
VD1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau
 x1

2 x1



+ x2
x2

− x3

=2

+ x3

=1

+2 x3

= −2

Thực hiện tìm ma trận hệ số mở rộng sau đó bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của
ma trận mở rộng ta được:
 1 1 −1 2 
 1 1 −1 2 

 d 2− 2 d 1→d 2 


A =  2 0 1 1  ⎯⎯⎯⎯⎯
→  0 −2 3 −3 
 0 1 2 −2 
 0 1 2 −2 





 1 1 −1 2 
 1 0 −3 4 

 d 1− d 2→d 1 

⎯⎯⎯→  0 1 2 −2  ⎯⎯⎯⎯⎯
→  0 1 2 −2 
d 3+ 2 d 2 → d 3
 0 −2 3 −3 
 0 0 7 −7 




d 2d 3

 1 0 −3 4 
1 0 0 1 

 d 1+3d 3→d 1 


⎯⎯⎯⎯
→  0 1 2 −2  ⎯⎯⎯⎯⎯
→0 1 0 0 
d 2 − 2 d 3→ d 2
 0 0 1 −1 
 0 0 1 −1




1
d 3→ d 3
7

Ta có r(A) = = r( A ) = 3 ( số ẩn). Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1 = 1, x2 = 0, x3 = −1
VD2: Giải hệ phương trình tuyến tính sau

7


Thực hiện tìm ma trận hệ số mở rộng sau đó bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dịng của
ma trận mở rộng ta được:
 x1

4 x1
2 x
 1

−3x2

+2 x3

− x4

=2

+ x2

+3 x3

−2 x4

=1

+7 x2

− x3

= −1

 1 −3 2 −1 2  d 2− 4 d 1→d 2  1 −3 2 −1 2 

 d 3− 2 d 1→d 3 

A =  4 1 3 −2 1  ⎯⎯⎯⎯⎯
→  0 13 −5 2 −7 
 2 7 −1 0 −1
 0 13 −5 2 −5 





 1 −3 2 −1 2 


⎯⎯⎯⎯→  0 13 −5 2 −7 
0 0 0 0 2 


d 3− d 2 → d 3

Ta nhận được hệ phương trình tương đương, trong đó hàng ( 0 0 0 0 2 ) cho ta
phương trình 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2. Phương trình này vơ nghiệm, vậy hệ đã cho vơ
nghiệm. Thế nên có thể thấy được rằng r(A) < r( A ) thì hệ vơ nghiệm.
VD3 : Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 3 x1
 x
 1

 x1
12 x1

− x2

− x3

+2 x4

=1

− x2

−2 x3

+4 x4

=5

+ x2

+3 x3

−6 x4

= −9

−2 x2

+ x3

−2 x4

= −10

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ
1 
5 
 3 −1 −1 2
 1 −1 −2 4





1 −1 −2 4
5  d 2 d 1  3 −1 −1 2
1 
A=
⎯⎯⎯→
 1 1 3 −6 −9 
 1 1 3 −6 −9 




12 −2 1 −2 −10 
12 −2 1 −2 −10 
5 
5 
 1 −1 −2 4
 1 −1 −2 4




d 2 −3 d 1→ d 2
0 2 5 −10 −14  d 3− d 2→d 3  0 2 5 −10 −14 
d 3− d 1→ d 3

⎯⎯⎯⎯⎯

→
⎯⎯⎯⎯⎯
→
d 4 −12 d 1→ d 4
 0 2 5 −10 −14  d 4−5 d 2→d 4  0 0 0
0
0 




0
0 
 0 10 25 −50 −70 
0 0 0

Bỏ hai hàng cuối, ta được ma trận bổ sung của hệ phương trình tương đương
5 
 1 −1 −2 4


 0 2 5 −10 −14 
8


Ta có r(A) = r( A ) < n ( số ẩn của hệ phương trình) thì phương trình vơ số nghiệm với:
Số ẩn tự do = n – r(A)
Ở bài này ta có số ẩn tự do là 2. Ta chọn x1 , x2 làm ẩn cơ sở x3 , x4 làm ẩn tự do
− x2

 x1



2 x2

=5

+2 x3

= −14 −5 x3


x

 1

+10 x4
x
2


−4 x4

1
= −2 − x3
2
5
= −7 − x3
2

+ x4

, x3  , x4 

+5 x4

c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình.
2 x1

Câu 1: Giải hệ phương trình 3 x1
5 x
 1

−4 x2

+6 x3

=0

−6 x2

+9 x3

=0

−10 x2

+15 x3

=0

A. x1=2x2-3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3 
B. x1=x2=3x3, x3 
C. x1= 2x2+3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3 
D. x1= -2x2-x3, x2, x3 
 x +2 y −2 z = 2

Câu 2 : Giải hệ phương trình 3x +7 y −2 z = 5
2 x +5 y + z = 3


A. x=5, y=8, z=10

B. x=4, y=-1, z=0

D. x=-4, y=1, z=0

C.x=7, y=5, z=6

Câu 3: Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa 2x+y+z=
2 x +5 y +3 z = 3

2 x +5 y +7 z = 5
3 x +4 y +4 z = 2


A. (

−1 5 1

, , )
7 14 2

1 5 1
, )
7 16 3

B. ( ,

5 1 2 

C.  , , 
 2 7 14 

9

 2 1 −2 

D.  , , 
 5 7 14 

4
7


 x +12 y +7 z = 2
8 x +10 y +7 z = 2

Câu 4: Giải hệ phương trình 
2 x +5 y + z = 3

 x +2 y +3 z = 4

A. ( 2, 7,

5
)
43

B. (

3 2
, ,2)
187 43

C. Tất cả đều sai

2 x + y −3 z +t

Câu 5: Giải hệ phương trình 5 x +2 y −6 z −2t
3 x − y −4 y +t


A. x=-3+4t , y=

−26 22
−8 3
+ t , z=
+ t, t
7 7
7

7

B. x= -3-4t, y=

22 25
8 2
− t, t 
+ t , z=
7
7
7 7
1
7

5
7

5
6

D. ( 8, 9. 6)

=4
=5
=7

8
7

C. x= -2-4t, y= − t , z= − t , t 

D. x= 5-6t, y=

2 5
26 15
− t , z= − t , t 
6 7
6 7

 x + y + z +t = 1
2 x +3 y +4 z −t = 3

Câu 6: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm 
3 x + y +2 z +5t = 2
4 x +6 y +3 z + m = 1

A. m=5

B. m=

14
3

C. m=3

D. m=2

+ y −2 z = 1
x

Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau vơ số nghiệm 2 x +3 y −3 z = 5

3 x + my −7 z = 4


A. m  2

B. m

C. 3 câu kia đều sai

D. m=2

10


+z
= −1
 x +3 y

Câu 8: Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm 2 x +6 y +(1 − m) z
=0
2 x +6 y + (m 2 + 1) z = m − 3


A. m  1

B. m = 1

C. m=3

D. m=-1

+z
 x +2 y

Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm 2 x +5 y +3z
 3 x +7 y + m 2 z


A. m=2

B. m  2

C. m=-2

D. m = 2

=1
=5
=7

 x + my + mz = 1

Câu 10: Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm mx + y + mz = 1
mx + my + z = m


A. m  1
B. m 

C. m

−1
2

D. m=-2

Câu 2:
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ
minh họa?
Định nghĩa định thức cấp n:
Định thức của một ma trận vuông A = ( aij ) cấp n ( gọi tắt là định thức cấp n ) là một số,
ký hiệu là A hoặc det(A), có được bằng cách quy nạp như sau:
▪ Nếu n = 1 thì det(A) = a11
▪ Nếu n = 2 thì ta có định thức cấp 2:
o

Det ( A ) =

a11

a12

a21

a22

▪ Nếu n = 3 thì ta có định thức cấp 3

o

a11

a12

a13

Det ( A ) = a21

a22

a23

a31

a31

a33
11


Có 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3
➢ Quy tắc Sarrus: Quy tắc Sarrus là một phép tính và một phương pháp ghi nhớ để
tính định thức của một ma trận 3×3. Nó được đặt theo tên của nhà tốn học Pháp
Pierre Frederic Sarrus.
✓ Cách tính: Viết 2 cột đầu tiên bên phải cột thứ ba của ma trận, vậy là ta 5 cột.
Sau đó, viết kết quả tính tốn theo đường chéo đi từ trên xuống dưới và trừ các
sản phẩm của đường chéo đi từ dưới lên trên

 a11


Ma trận vuông cấp 3: A =  a21
a
 31

Xây dựng ma trận A3 x 3

 a11

=  a21
a
 31

a32

a13 

a23 
a33 

a12

a13

a11

a22

a23

a21

a32

a33

a31

a12
a22

a12 

a22 
a32 

Mô hình hóa cách tính:
a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

Xác định cơng thức quy tắc Sarrus

Det ( A ) = ( a11a22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) − ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 )

2 5 7
VD: Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm định thức của A bằng quy tắc Sarrus
2 7 9



Giải
2 5 7 2 5
2 5 7


 → A= 3 4 2 3 4
Ta có A =  3 4 2 
2 7 9
2 7 9 2 7


12


= ( 2.4.9 + 5.2.2 + 7.3.7 ) – ( 2.4.7 + 7.2.2 + 9.3.5 )
= 239 – 219
= 20
➢ Cơng thức Laplace: Trong đại số tuyến tính, khai triển Laplace, được đặt tên theo
Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là khai triển phần bù đại số, là một biểu thức
cho định thức |B| của một ma trận n × n B theo các định thức con đầu của B.Đối
với các ma trận lớn, khi tính tốn, khai triển Laplace nhanh chóng trở nên kém
hiệu quả so sánh với các phương pháp sử dụng phân tích ma trận.
Định lý:
Giả sử B =[ bij ] là một ma trận n x n và i, j là hai phần tử của {1, 2, ..., n }.
Thế thì định thức của | B | thỏa mãn:

Các biểu thức trên lần lượt được gọi là khai triển Laplace theo hàng i và theo cột j
của ma trận B.
Mà trong đó phần bù đại số ( i, j ) của ma trận B là vô hướng Cij xác định bởi

Cij = (-1)i+j . Mij
Với Mij là định thức con của B tạo ra từ việc xóa hàng thứ i và cột thứ j của B.
 2 3 5
VD: Cho ma trận B =  7 4 6  . Tìm định thức của ma trận bằng phương pháp Laplac
 2 2 3




Giải
2 3 5
 2 3 5


Ta có B =  7 4 6  → B = 7 4 6
 2 2 3
2 2 3


= ( −1)

1+1

.2.

4 6
2 3

+ ( −1)

2+1

.7.

3 5
2 3

+ ( −1) .2.
3+1

13

3 5
4 6


=3
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của
ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
Định nghĩa
✓ Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) sẽ
là một ma trận cấp n ký hiệu A−1 thỏa mãn:
A. A-1 = A-1. A = I

trong đó

( I là ma trận đơn vị cấp n )

✓ Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch
➢ Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận
Muốn xác định xem ma trận có tính khả nghịch hay khơng ta tính định thức của ma
trận.
-

TH1: det( A)  0 thì A khả nghịch

-

TH2: det( A) = 0 thì A khơng khả nghịch

 −2 0 −3 
Ví dụ: Cho ma trận A =  2 1 3  . Xác định tính khả nghịch của ma trận A ?
 1 2 2


−2 0 −3 −2 0
 −2 0 −3 


Giải: Ta có A =  2 1 3  → A = 2 1 3 2 1
 1 2 2
1 2 2 1 2



= ( -2 ).1.2 + 0.3.1 + ( -3 ).2.2 - 1.1.(-3) – 2.3.(-2) – 2.2.0
= -1
 Ma trận A khả nghịch
0

1
Ví dụ: Cho ma trận B = 
1

0
0


1
Giải: B = 
1

0

1 0 0

0 1 1
. Xác định tính khả nghịch của ma trận B ?
1 1 0

1 0 0

1 0 0
0 1

0 1 1
1 0
→ B =
1 1 0
1 1

1 0 0
0 1

0 0
1 1
1 0

0 0

14


0

1

0

= 1.( −1) 2 + 4 . 1

1

1

0

1

0

= 1.1.( −1) 2 +1.

1

0

1

0

= −1.0
=0
 Ma trận B không khả nghịch

c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma
trận khả nghịch.
1 2 3
Câu 1: Cho A =  2 3 −1 . Tìm đáp án đúng
 −1 2 1 



A . det (A) = 12

B. det (

1
A) = 12
2

1
2

C. det ( A) = 3

1 m 2
Câu 2: Cho A =  2 0 1  . Định thức của A theo tham số m là ?

3 1 0



A. 3

B. -1

C. 3m+3

D. 3m-3

m
1 
 1


1 m + 1 . Giá trị nào của m thì det (A) = 0
Câu 3: Cho A =  1
 m +1 1
1 


A. 1 − 3

B. 1 + 3

C. −1 + 3

D. 1

1 m 0 1 


2 0 1 m

Câu 4: Cho A =
. Tìm m để det (A) = 0
3 1 m 0 


0 m 0 1 

A. m=1

B. m=-1

C. m=0

D. m=1 hoặc m=-1

15

D. det (

1
A) = 3
8

1 2 m
Câu 5: Cho A =  0 1 m  . Với giá trị nào của m thì det (A.AT) =4
0 m 2 



A. m  0

B. m  0,1

C. m 0,1, 2

D. m 0, 2

 2 m −1 
Câu 6: Cho A =  m −1 2  . Với giá trị nào của m thì det (A) < 0
3 m 0 



A. -1 < m < 3

B. m < -1 hoặc m > 3

C. m 

D. 

 −3 5 2 
Câu 7: Cho A =  0 m 2  . Tìm m để A là ma trận khả nghịch

 1 1 m



A. m  2

B. m  −2

C. m 

−8
và m  2
3

D. m  −2 và m 

−8
3

 1 1 0
Câu 8: Cho A =  1 m 1  . Xác định m để A khả nghịch và phần tử a33 của A-1
 m 1 0



A. m = 1 và a33 = m-1
C. m  1 và a33 = m-1

B. m = -1 và a33= 1
D. m  1 và a33 =1

 2 0 3
Câu 9: Cho A =  −1 m 0  . Với giái trị nào của m thì A không khả nghịch
 1 0 m



A. m=1

B. m  1

D. m  0

C. m=0

1 0 2
Câu 10: Cho A =  2 −1 3  . Tìm ma trận khả nghịch của A
4 1 8


 −11 2 2 
A.  −4 0 1 
 6 −1 −1



 −1 1 2 
B.  −5 3 1 
 4 1 −1




2 1 2 
C.  6 −4 3 
 4 2 −1



16

 −2 1 6 
D.  7 9 5 
 8 −4 −1




Câu 3:
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ
minh họa?
 Độc lập tuyến tính:
Định nghĩa: Cho V là một không gian vecto và S= { u1, u2, …, un }  V.
Hệ S độc lập tuyến tính nếu :

k 1 , k2 ,..., kn  , k1.u1 + k2 .u2 + ... + kn .un = 0
k 1 = k2 = ... = kn = 0
Ví dụ: Cho u1= ( 0,1,1 ); u2 = ( 1,2,1 ); u3 = ( 1,5,3 ). Vecto có độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính ?
Giải: Xét hệ phương trình thuần nhất sao

x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0


  x1
x
 1

x2

+ x3

+2 x2

+5 x3

+ x2

+3x3

=0

 x1

= 0   x2
x
=0
 3

=0
=0

=0

Vậy u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính
 Phụ thuộc tuyến tính:
Định nghĩa: Ngược lại với độc lập tuyến tính khi:

k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0
ki  0
Ví dụ: Cho u1 = ( 1,1,2 ), u2 = ( 1,2,5 ), u3 = ( 0,1,3 )
Xét hệ phương trình thuần nhất sau:
17


x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0
 x1

  x1
2 x
 1

+ x2

=0

+2 x2

+ x3

=0

+5 x2

+3 x3

=0

Giải hệ trên bằng phương pháp Gauss, ta có nghiệm tổng quát của hệ trên là

x1 = m; x2 = −m; x3 = m với m 

. Vậy u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính.

b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ
minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.
Đầu tiên chúng ta phải tìm hiểu hệ phương trình thuần nhất là gì ? Và cách xác định
nghiệm của hệ này
• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ta đã biết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn số có dạng:

→
Hệ phương trình ln có nghiệm
x1 = x2 = ... = xn = 0  Nghiệm tầm thường
Thế nên với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ, hệ ln có nghiệm.
→ Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.
• Khơng gian nghiệm của hệ thuần nhất



 x1 



 
x


2
n
 
AX = O  là một không gian con của không gian vecto
Tập ker(A) =  X =  ...  






 xn 


Rn và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất AX=OAX=O hay
không gian nghiệm của hệ thuần nhất.
• Mỗi cơ sở của ker(A) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
• Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất dim(ker(A)) = n – r(A)
18


• Vậy r(A)= r < nr(A)= r < n thì hệ thuần nhất có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r
tham số.
Ví dụ: Xác định cơ sở và số chiều

 x1
x
 1

 3 x1
2 x4

+2 x2

−3 x3

+5 x4

=0

+3 x2

−13 x3

+22 x4

=0

+5 x2

+ x3

−2 x4

=0

+3 x2

+4 x3

−7 x4

=0

−3

5
5 
 1 2 −3
 d 2−d 1 

3 −13 22  d 3−3d 1  0 1 −10 17 
⎯⎯⎯→
5 1 −2  d 4− 2 d 1  0 −1 10 −17 



3 4 −7 
 0 −1 10 −17 

1

1
A=
3


2

2

1

0
d 3+ d 2
⎯⎯⎯
→
d 4+ d 2
0

0

 x1

Ta có 



x2

2

−3

1

−10

0

0

0

0

5 

17 
0 

0 

+17 x3

−29 x4

=0

−10 x3

+17 x4

=0

Số ẩn tự do = 4-2=2  dim W= 2

Đặt x3 =  , x4 = 

Nghiệm tổng quát ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( −17 + 29 ,10 − 17 ,  ,  )
• Cho 𝛼 = 1, 𝛽 = 0 → u1 = ( -17, 0, 1, 0 )
• Cho 𝛽 = 1, 𝛼 = 0 → u2 = ( 29, -17, 0, 1 )
Cơ sở của W gồm { u1, u2 }
c) Xét không gian 4 R, hãy cho ví dụ về một khơng gian con nằm trong khơng gian 4 R có
số chiều bằng 3. Xác định một cơ sở của nó và cơng thức biểu diễn tọa độ của một vector
nằm trong không gian con đó với cơ sở trên?
 x1
x
4  1
4
Cho xét X = R , W =  x  R 
 x1
 x1

− x2

+2 x3

−3 x4

=0

−4 x2

+3 x3

−2 x4

=0

+4 x2

− x3

−2 x4

=0

−8 x2

+5 x3

−2 x4

=0

Ta có ma trận mở rộng và áp dụng các biển đổi dòng lên ma trận mở rộng của hệ phương
tình như sau:

19


1 −1 2

1 −4 3
1 4 −1


1 −8 5

−3 0 
 1 −1 2 −3 0 



−2 0  d 2− d 1  0 −3 1 1 0 
⎯⎯⎯→
−2 0  dd 34−−dd11  0 5 −3 1 0 



−2 0 
 0 −7 3 1 0 
 1 −1 2 −3 0 
 1 −1 2 −3



0 −3 1 1 0  2 d 4+ d 3  0 −3 1 1
3 d 3+ 5 d 2

⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯→
3d 4−7 d 2
 0 0 −4 8 0 
 0 0 −4 8




 0 0 2 −4 0 
0 0 0 0

 x1





− x2

+2 x3

−3x4

−3x2

+ x3

+ x4

−4 x3

+8 x4

=0

 x1

=0→
= 0 

0

0
0

0

=0
x2

=

x4
x3

= 2 x4

Cho x4 =1 thì x2 = 1, x3 = 2

→ u1= ( 0, 1, 2, 1 )
Cho x4 = 2 thì x2 = 2, x3 = 4
→u2 = ( 0, 2, 4, 2 )
Ta có dim W = số ẩn – r (A) = 4-3=1
Cơ sở của W gồm { u1, u2 }
KẾT LUẬN

Qua bài tiểu luận trên, em đã trình bày và cung cấp được những kiến thức em có được và
qua q trình em tham khảo và tìm hiểu thêm. Em mong rằng bản thân mình đã có thể
hiểu rõ hơn về mơn học này và rèn luyện cho mình một tư duy đúng đắn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giáo trình Tốn cao cấp ĐH Tài chính – Marketing
2. Giáo trình Đại số tuyến tính ĐH Cơng nghệ thơng tin
3. Đại số tuyến tính – Bùi Xn Hải ( chủ biên ) – 2000 – Ban xuất bản trường ĐH Khoa
học Tự nhiên
4. Câu hỏi trắc nghiệm Đại số tuyến tính – Đặng Văn Vinh – Trường ĐH Bách Khoa
thành phố Hồ Chí Minh
5. Một số tài liệu tham khảo khác.
20