Thuật toán: Độ phức tạp và tính đúng đắn pptx

Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
1/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Chương 2.2, 2.3 Kenneth H. Rosen
Xuân 2008
Đại học FPT
Discrete Mathematics I
độ phức tạp & tính
đúng đắn
complexity & correctness
độ phức tạp & tính
đúng đắn
complexity & correctness
Thuật toán
Algorithm
Thuật toán
Algorithm

Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
2/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán GIỚI THIỆU
Algorithm
INTRODUCTION
Giới thiệu
Chúng ta sẽ học:
•
Đánh giá về độ tăng của hàm
•
Big-O, big-Theta
•
Độ phức tạp thuật toán: Độ phức tạp thời gian
•
Trường hợp xấu nhất

•
Trường hợp trung bình
•
Tính đúng đắn thuật toán
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
3/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-O
Algorithm BIG-O
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên
hoặc số thực đến tập các số thực. Ta nói f(x) là O(g(x))
hoặc f(x) là big-O của g(x) hay f(x) ∈ O(g(x)) nếu tồn tại
hai hằng số C và k sao cho
|f(x)| ≤ C|g(x)| với mọi x ≥ k.

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên
hoặc số thực đến tập các số thực. Ta nói f(x) là O(g(x))
hoặc f(x) là big-O của g(x) hay f(x) ∈ O(g(x)) nếu tồn tại
hai hằng số C và k sao cho
|f(x)| ≤ C|g(x)| với mọi x ≥ k.
Big-O
Với mỗi thuật toán số phép toán cần thực hiện sẽ là một
hàm số theo kích thước đầu vào. Chúng ta sẽ đánh giá
tính hiệu quả của mỗi thuật toán bằng cách khảo sát độ
tăng của hàm này.
Ta sẽ chỉ xét các hàm dương nên sẽ bỏ dấu | |
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
4/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-O
Algorithm BIG-O

Ví dụ Example
Chứng minh f(n) = 30n + 8 là big-O của g(n) = n.
Ta cần chứng minh ∃c,k: ∀n > k: 30n + 8 ≤ cn.
Lấy c = 31, k = 8. Khi đó
với n > k = 8,
cn = 31n = 30n + n > 30n+8
n>k=8 →
n
30n+8
cn =
31n
30n+8 ∈O(n)
Giá trị cụ thể của c và k
gọi là bằng chứng. Ta có
thể tìm nhiều bằng chứng.
Chẳng hạn:
c = 32, k = 9
Big-O
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện

Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
5/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
giai thừa
Thuật toán BIG-O
Algorithm BIG-O
Khái niệm big-O được sử dụng để đánh giá số phép
toán cần dùng để giải một bài toán theo một thủ tục hoặc
một thuật toán cụ thể. Các hàm số cơ bản thường được
dùng để so sánh là:
1, log(log(n)), log(n), log
k
(n), n
1/k
, n, nlog(n), n
k
, a
n
, n!, n
n
hằng
logarit đa thức
mũ
-10
0
10
20
30

40
50
60
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
n
1
log(n)
n^2
2^n
n!
Big-O
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
6/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-O
Algorithm BIG-O

Định lí Theorem
Định lí Theorem
•
a
n
x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ …+ a
1
x + a
0
∈ O(x
n
) (a
0
, a
1
, …, a
n
là
các số thực)
•
f ∈ O(g) ∧ g ∈ O(h) → f ∈ O(h)
•
af, f
1-b

, (log
b
f)
a
∈ O(f) với mọi a, b ∈ R và b ≥ 0.
•
f
1
∈O(g
1
) ∧ f
2
∈O(g
2
) → f
1
f
2
∈ O(g
1
g
2
)
•
f
1
∈O(g
1
) ∧ f
2

∈O(g
2
) → f
1
+f
2
∈ O(g
1
+g
2
)
•
O(g
1
+g
2
) = O(max(g
1
,g
2
)) = O(g
1
) nếu g
2
∈O(g
1
)
•
a
n

x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ …+ a
1
x + a
0
∈ O(x
n
) (a
0
, a
1
, …, a
n
là
các số thực)
•
f ∈ O(g) ∧ g ∈ O(h) → f ∈ O(h)
•
af, f
1-b
, (log
b
f)
a
∈ O(f) với mọi a, b ∈ R và b ≥ 0.

•
f
1
∈O(g
1
) ∧ f
2
∈O(g
2
) → f
1
f
2
∈ O(g
1
g
2
)
•
f
1
∈O(g
1
) ∧ f
2
∈O(g
2
) → f
1
+f

2
∈ O(g
1
+g
2
)
•
O(g
1
+g
2
) = O(max(g
1
,g
2
)) = O(g
1
) nếu g
2
∈O(g
1
)
Tính chất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o

Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
7/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Ví dụ Example
Đánh giá hàm số
Thuật toán BIG-O
Algorithm BIG-O
∑
1=
=
n
i
inf )(
Ta có
2
1+
==
∑
1=
)(
)(
nn
inf

n
i
2
+
2
=
2
nn
∈ O(n
2
)
hoặc ∈ n
2
/2 + O(n)
Bài tập: Chứng minh
)(log)( 1+=
1
=
∑
1=
On
i
nf
n
i
Tính chất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất

Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
8/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA
Khi f ∈ O(g) thì hàm f bị chặn trên bởi g. Dưới đây cung
cấp một vài cách đánh giá khác về độ tăng của hàm
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên hoặc
số thực đến tập các số thực. Ta nói
•
f(x) là Ω(g(x)) hoặc f(x) là big-Omega của g(x) nếu tồn
tại hai hằng số C > 0 và k sao cho
|f(x)| ≥ C|g(x)| với mọi x ≥ k.
•
f(x) là Θ(g(x)) hoặc f(x) là big-Theta của g(x) nếu f ∈
O(g) và f ∈ Ω(g) tức là tồn tại các hằng số C
1

, C
2
, k > 0
sao cho
C
1
|g(x)| ≤ |f(x)| ≤ C
2
|g(x)| với mọi x ≥ k.
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên hoặc
số thực đến tập các số thực. Ta nói
•
f(x) là Ω(g(x)) hoặc f(x) là big-Omega của g(x) nếu tồn
tại hai hằng số C > 0 và k sao cho
|f(x)| ≥ C|g(x)| với mọi x ≥ k.
•
f(x) là Θ(g(x)) hoặc f(x) là big-Theta của g(x) nếu f ∈
O(g) và f ∈ Ω(g) tức là tồn tại các hằng số C
1
, C
2
, k > 0
sao cho
C
1
|g(x)| ≤ |f(x)| ≤ C
2
|g(x)| với mọi x ≥ k.
g ∈ O(f)
f và g cùng bậc

Big-Theta
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
9/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA
Định lí Theorem
Định lí Theorem
•
a
n
x
n
+ a
n -1

x
n -1
+ …+ a
1
x + a
0
∈ Θ(x
n
) (ở đây a
0
, a
1
, …,
a
n
là các số thực và a
n
≠ 0)
•
f ∈ Θ(g) ∧ g ∈ Θ(h) → f ∈ Θ(h)
•
af ∈ Θ(f) với mọi a ≠ 0
•
f
1
∈ Θ(g
1
) ∧ f
2
∈ Θ(g

2
) → f
1
f
2
∈ Θ(g
1
g
2
)
•
f
1
∈ Θ(g
1
) ∧ f
2
∈ Θ(g
2
) → f
1
+ f
2
∈ Θ(g
1
+g
2
)
•
Θ(g

1
+g
2
) = Θ(max(g
1
,g
2
)) = Θ(g
1
) nếu g
2
∈O(g
1
)
•
a
n
x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ …+ a
1
x + a
0
∈ Θ(x
n
) (ở đây a

0
, a
1
, …,
a
n
là các số thực và a
n
≠ 0)
•
f ∈ Θ(g) ∧ g ∈ Θ(h) → f ∈ Θ(h)
•
af ∈ Θ(f) với mọi a ≠ 0
•
f
1
∈ Θ(g
1
) ∧ f
2
∈ Θ(g
2
) → f
1
f
2
∈ Θ(g
1
g
2

)
•
f
1
∈ Θ(g
1
) ∧ f
2
∈ Θ(g
2
) → f
1
+ f
2
∈ Θ(g
1
+g
2
)
•
Θ(g
1
+g
2
) = Θ(max(g
1
,g
2
)) = Θ(g
1

) nếu g
2
∈O(g
1
)
Tính chất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
10/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA
Ví dụ Example
Cho 2 hàm số

Chứng minh f ∈ Θ(g)

f(n) = log(1) + log(2) + …+ log(n) g(n) = nlog(n)
f (n) ≤ g(n) ∀ n ≥ 1
⇒ f (n) ∈ O(g(n))
2f(n) = log(1) + log(2) + …+ log(n)
+ log(n) + log(n-1) +…+ log(1)
= log(1.n) + log(2(n-1)) + … + log(n.1)
≥ g(n) ∀ n ≥ 1
⇒ f (n) ∈ Ω(g(n))
Vậy f (n) ∈ Θ(g(n))
Tính chất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
11/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA

Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên hoặc
số thực đến tập các số thực. Ta nói
•
f(x) là o(g(x)) hoặc f(x) là little-o của g(x) hoặc f có bậc
thấp hơn thật sự g nếu
∀
∀
c
c
>0
>0
∃
∃
k
k


∀
∀
x>k
x>k
: |
: |
f
f
(
(
x

x
)| < |
)| < |
cg
cg
(
(
x
x
)|
)|
•
f(x) là ω(g(x)) hoặc f có bậc cao hơn thật sự g nếu
∀
∀
c
c
>0
>0
∃
∃
k
k


∀
∀
x>k
x>k
: |

: |
cg
cg
(
(
x
x
)| < |
)| < |
f
f
(
(
x
x
)|
)|
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên hoặc
số thực đến tập các số thực. Ta nói
•
f(x) là o(g(x)) hoặc f(x) là little-o của g(x) hoặc f có bậc
thấp hơn thật sự g nếu
∀
∀
c
c
>0
>0
∃
∃

k
k


∀
∀
x>k
x>k
: |
: |
f
f
(
(
x
x
)| < |
)| < |
cg
cg
(
(
x
x
)|
)|
•
f(x) là ω(g(x)) hoặc f có bậc cao hơn thật sự g nếu
∀
∀

c
c
>0
>0
∃
∃
k
k


∀
∀
x>k
x>k
: |
: |
cg
cg
(
(
x
x
)| < |
)| < |
f
f
(
(
x
x

)|
)|
Little-o
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
12/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Định lí Theorem
Định lí Theorem
Mối quan hệ về độ tăng của hàm được mô tả như sau

Mối quan hệ về độ tăng của hàm được mô tả như sau

Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA
Ω( f )

O( f )
Θ( f ) ω( f )o( f )
• f
Θ(f) = O(f) ∩ Ω(f)
o(f) ⊂ O(f) - Θ(f)
ω(f) ⊂ Ω(f) - Θ(f)
Bài tập: Tìm hai hàm số f(x) và g(x) sao cho g ∈ O(f)
nhưng g ∉ o(f) và g ∉ Θ(f).
Độ tăng hàm
Tức là:
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
13/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán BIG-
THETA Algorithm BIG-
THETA

Định lí Theorem
Định lí Theorem
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên
hoặc số thực đến tập các số thực. Khi đó
•
Nếu lim
x→∞
g(x)/f(x) = 0 thì g ∈ o(f).
•
Nếu lim
x→∞
g(x)/f(x) = ∞ thì g ∈ ω(f).
•
Nếu lim
x→∞
g(x)/f(x) = A khác 0 thì g ∈ Θ(f). Nếu A = 1
thì ta nói g(x) tiệm cận f(x).
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số từ tập các số nguyên
hoặc số thực đến tập các số thực. Khi đó
•
Nếu lim
x→∞
g(x)/f(x) = 0 thì g ∈ o(f).
•
Nếu lim
x→∞
g(x)/f(x) = ∞ thì g ∈ ω(f).
•
Nếu lim
x→∞

g(x)/f(x) = A khác 0 thì g ∈ Θ(f). Nếu A = 1
thì ta nói g(x) tiệm cận f(x).
Độ tăng hàm
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
14/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Độ phức tạp của thuật toán mô tả mức độ khó khăn khi
thực hiện thuật toán, gồm hai loại:
•
Độ phức tạp thời gian: thời gian cần thiết để thực hiện
được thuật toán với kích thước đầu vào xác định, được
biểu diễn qua số phép toán được dùng bởi thuật toán

như: phép so sánh, cộng, trừ, nhân, chia, …
•
Độ phức tạp không gian: dung lượng bộ nhớ cần sử
dụng để thực hiện thuật toán.
Độ phức tạp của thuật toán mô tả mức độ khó khăn khi
thực hiện thuật toán, gồm hai loại:
•
Độ phức tạp thời gian: thời gian cần thiết để thực hiện
được thuật toán với kích thước đầu vào xác định, được
biểu diễn qua số phép toán được dùng bởi thuật toán
như: phép so sánh, cộng, trừ, nhân, chia, …
•
Độ phức tạp không gian: dung lượng bộ nhớ cần sử
dụng để thực hiện thuật toán.
Khi có một thuật toán chúng ta sẽ quan tâm đến
•
Tính đúng đắn: kết quả chính xác không?
•
Độ phức tạp: thuật toán có hiệu quả không?
sẽ học hôm nay
Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất

Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
15/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Ví dụ Example
Mô tả độ phức tạp thời gian của thuật toán tìm phần tử
lớn nhất sau, dựa vào số phép so sánh?
procedure LớnNhất(a
1
, a
2
,…, a
n
: số nguyên)
LN: = a
1
for i: = 2 to n
if LN < a
i
then LN: = a
i
Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm

Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
16/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Ví dụ Example
LN là giá trị lớn nhất
trong {a
1
, a
2
, …, a
n
}
i ≤ n
đúng
sai
LN: = a

i
a
1
, a
2
, …, a
n
: nguyên
LN: = a
1
; i: = 2
LN < a
i
i: = i + 1
đúng
sai
có n – 1 vòng lặp,
mỗi vòng lặp gồm
2 phép so sánh: i ≤
n và LN ≤ a
i
một phép so sánh để
thoát ra khỏi vòng lặp
khi i = n + 1
Cần tất cả: (n – 1).2 + 1 = 2n – 1 phép so sánh
→ độ phức tạp thuật toán Θ(n)
Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O

Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
17/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Một thuật toán với kích thước đầu vào n gọi là có
•
độ phức tạp hằng nếu có dạng O(1)
•
độ phức tạp logarit nếu có dạng O(log n)
•
độ phức tạp tuyến tính nếu có dạng O(n)
•
độ phức tạp đa thức nếu có dạng O(n
a
), a ≥ 1
•

độ phức tạp hàm mũ nếu có dạng O(a
n
), a > 1
•
độ phức tạp giai thừa nếu có dạng O(n!)
Một thuật toán với kích thước đầu vào n gọi là có
•
độ phức tạp hằng nếu có dạng O(1)
•
độ phức tạp logarit nếu có dạng O(log n)
•
độ phức tạp tuyến tính nếu có dạng O(n)
•
độ phức tạp đa thức nếu có dạng O(n
a
), a ≥ 1
•
độ phức tạp hàm mũ nếu có dạng O(a
n
), a > 1
•
độ phức tạp giai thừa nếu có dạng O(n!)
Ví dụ Example
Thuật toán tìm giá trị lớn nhất trong dãy các số nguyên
có độ phức tạp tuyến tính.
Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất

Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
18/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
•
Độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất là độ phức tạp
tính trong trường hợp phải dùng tối đa các phép toán để
giải bài toán theo thuật toán đang xét, ứng với một số đầu
vào nào đó có kích thước xác định.
•
Độ phức tạp trong trường hợp trung bình là độ phức tạp
tính số trung bình các phép toán để giải bài toán trên toàn
bộ các giá trị đầu vào có kích thước xác định.
•
Những bài toán giải được bằng một thuật toán có độ
phức tạp đa thức trong trường hợp xấu nhất gọi là bài
toán dễ dử lí, nếu không gọi là bài toán không dễ xử lí.

•
Độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất là độ phức tạp
tính trong trường hợp phải dùng tối đa các phép toán để
giải bài toán theo thuật toán đang xét, ứng với một số đầu
vào nào đó có kích thước xác định.
•
Độ phức tạp trong trường hợp trung bình là độ phức tạp
tính số trung bình các phép toán để giải bài toán trên toàn
bộ các giá trị đầu vào có kích thước xác định.
•
Những bài toán giải được bằng một thuật toán có độ
phức tạp đa thức trong trường hợp xấu nhất gọi là bài
toán dễ dử lí, nếu không gọi là bài toán không dễ xử lí.

Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ

Tóm tắt
19/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Ví dụ Example
Mô tả độ phức tạp thời gian của thuật toán tìm kiếm
tuyến tính sau, dựa trên số phép so sánh?
procedure TìmTT(x ∈ Z; a
1
, a
2
,…, a
n
∈ Z phân biệt)
i : = 1
while (i ≤ n and x ≠ a
i
)
if i ≤ n then vị trí: = i
i : = i + 1
else vị trí: = 0
Độ phức tạp
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o

Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
20/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Ví dụ Example
x: nguyên; a
1
, a
2
, …, a
n
: nguyên phân biệt, i = 1
i ≤ n and
x ≠ a
i
đúng
sai
vị trí: = i
i ≤ n
i: = i + 1
đúng
sai

vị trí: = 0
nếu x = a
i
có i vòng lặp
mỗi vòng lặp có 2 phép so
sánh i ≤ n và x ≠ a
i

Trường hợp x ≠ a
i
∀i có 2n + 1 + 1= 2n + 2 phép so sánh
nếu x ≠ a
i
∀i có n vòng lặp
và 1 phép so sánh để thoát
ra khỏi vòng lặp
một phép so sánh
ngoài vòng lặp
Trường hợp x = a
i
có 2i + 1 phép so sánh
Xấu nhất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp

Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
21/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
Ví dụ Example
Độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm tuyến tính trong
trường hợp xấu nhất là
2n + 2 = Θ(n) (độ phức tạp tuyến tính)
Nếu coi x có mặt trong danh sách và khả năng x ở mỗi vị
trí là như nhau thì độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm
tuyến tính trong trường hợp trung bình là
(2.1 + 1) + (2.2 + 1) + …+ (2n + 1)
n
= n + 2
= Θ(n)
Trung bình
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o

Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
22/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Ví dụ Example
Xác định độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm nhị phân
dựa trên số phép so sánh
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
procedure TìmNP(x ∈ Z; a
1
, a
2
,…, a
n
∈ Z tăng dần)
i : = 1
while (i < j)
if x = a
i
then vị trí: = i
begin
else vị trí: = 0
j : = n

m: = (i + j)/2
if x > a
m
then i: = m + 1 else j: = m
end
Xấu nhất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
23/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Ví dụ Example
Thuật toán ĐỘ PHỨC TẠP
Algorithm COMPLEXITY
x: nguyên; a
1
, a
2

, …, a
n
: nguyên tăng dần
i: = 1; j: = n
i < j
đúng
sai
vị trí: = i
x > a
m

j: = m
đúng
sai
vị trí: = 0
m: = (i + j)/2
i: = m + 1
x = a
i

đúng
sai
mỗi vòng lặp có 2 phép so
sánh i < j và x > a
m

sau mỗi vòng, kích thước danh
sách giảm đi cỡ một nửa
⇒ có không quá log
2

n vòng lặp
1 phép so sánh để thoát
khỏi VL, 1 ở ngoài VL
Độ phức tạp trường hợp xấu nhất: 2 log
2
n + 2 = Θ(log n)
Xấu nhất
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt
24/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán TÍNH ĐÚNG ĐẮN
Algorithm CORRECTNESS
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Một thuật toán gọi là đúng đắn nếu với mọi đầu vào
khả dĩ, nó cho đầu ra đúng. Việc chứng minh tính đúng

đắn của thuật toán gồm hai phần:
•
Chứng tỏ rằng nếu thuật toán kết thúc thì nó cho ra kết
quả đúng, tức là xác lập tính đúng đắn bộ phận.
•
Chứng tỏ thuật toán kết thúc.
Một thuật toán gọi là đúng đắn nếu với mọi đầu vào
khả dĩ, nó cho đầu ra đúng. Việc chứng minh tính đúng
đắn của thuật toán gồm hai phần:
•
Chứng tỏ rằng nếu thuật toán kết thúc thì nó cho ra kết
quả đúng, tức là xác lập tính đúng đắn bộ phận.
•
Chứng tỏ thuật toán kết thúc.
Tính đúng đắn
Giới thiệu
Độ tăng hàm
Big-O
Tính chất
Big-Theta
Tính chất
Little-o
Độ phức tạp
Xấu nhất
Trung bình
Tính đúng đắn
Điều kiện
Lặp
Ví dụ
Tóm tắt

25/35Tổ toán đại học FPT
05/03/14
Thuật toán TÍNH ĐÚNG ĐẮN
Algorithm CORRECTNESS
Định nghĩa Definition
Định nghĩa Definition
Để kiểm tra tính đúng đắn của chương trình hay đoạn
chương trình S ta thường sử dụng hai mệnh đề sau:
•
Khẳng định đầu p: là điều kiện mà đầu vào của
chương trình cần phải có.
•
Khẳng đinh cuối q: là điều kiện mà đầu ra của
chương trình cần thỏa mãn.
Bộ ba Hoare là kí hiệu pSq có nghĩa là: với mọi đầu
vào I sao cho mệnh đề p(I) là đúng, qua chương trình
S cho đầu ra O thì mệnh đề q(O) là đúng. Khi có pSq
ta nói chương trình S đúng đắn bộ phận với khẳng
định đầu p và khẳng định cuối q.
Để kiểm tra tính đúng đắn của chương trình hay đoạn
chương trình S ta thường sử dụng hai mệnh đề sau:
•
Khẳng định đầu p: là điều kiện mà đầu vào của
chương trình cần phải có.
•
Khẳng đinh cuối q: là điều kiện mà đầu ra của
chương trình cần thỏa mãn.
Bộ ba Hoare là kí hiệu pSq có nghĩa là: với mọi đầu
vào I sao cho mệnh đề p(I) là đúng, qua chương trình
S cho đầu ra O thì mệnh đề q(O) là đúng. Khi có pSq

ta nói chương trình S đúng đắn bộ phận với khẳng
định đầu p và khẳng định cuối q.
Tính đúng đắn