tài liệu ôn thi hsg lí và 9+ lí 12

CHUYÊN ĐỀ 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. PHƯƠNG PHÁP CM DĐĐH:
CÁCH 1: Dùng phương pháp động lực học:
-

Chọn hệ trục tọa độ, chiều chuyển động.
Xác định các lực tác dụng vào vật:
Chú ý các lực cơ học:





+ Trọng lực: P = mg



+ Phản lực: N



+ Lực căng: T





+ Lực đàn hồi: F = kx

+ Lực đẩy Acsimet: FA = ShDg = SVg
+ Lực từ: F = BIlsin 

+ Lực nén của pittông: F = P.S
+ Lực hướng tâm: Fht = maht = m
-

v2
R

Định vị trí cân bằng (tại đó có bao nhiêu lực tác dụng, độ lớn của các lực tổng hợp tại đó).
Xét vị trí có độ dịch chuyển x bất kỳ (kể từ vị trí cân bằng):

 F = −k x (1)
-

Chiếu (1) lên trục Ox  F = −kx
Áp dụng định luật II Newton:
- kx = ma = mx’’  x’’ = -  2x  x = Acos(  t +  ) là nghiệm Kết luận: vậy vật dao động điều hịa với chu

kì ?
CÁCH 2: Dùng định luật bảo toàn cơ năng (xét Fms không đáng kể)

Fm s = 0  W = const
dW
dv
dx
= 0  mv + kx
=0
dt
dt
dt
k

Hay : x '' = − x = − 2 x
m

 x = Acos(  t +  ) là nghiệm của phương trình vi phân bậc 2 theo x
Kết luận: vậy vật dao động điều hòa.
III. BÀI TẬP:
1. Hệ lò xo – vật nằm ngang; treo thẳng đứng; trên mặt phẳng nghiêng:
Bài 1: Vật có khối lượng m = 1kg có thể trượt khơng ma sát trên mặt phẳng. Lị xo có độ cứng 1N/cm được giữ cố định ở
một đầu. Gắn vật vào đầu kia của lị xo. Dời vật khỏi vị trí cân bằng theo phương của trục lị xo và bng khơng vận tốc đầu.
Chứng minh dao động của vật là dao động điều hịa và tính chu kì đó trong các trường hợp sau:
a. Trên mặt phẳng ngang.
b. Trên mặt phẳng nghiêng (xét 2 trường hợp lò xo bị giãn và bị nén)
c. Lò xo treo thẳng đứng (xét 2 trường hợp lò xo bị giãn và bị nén)


Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m = 400g, lị xo có độ cứng K, cơ năng tồn
phần W = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s
hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s2). Viết PTDĐ
2. Hệ hai lò xo nối tiếp - vật nằm ngang; treo thẳng đứng; trên mặt phẳng nghiêng:
Bài 1: Hai lị xo có độ cứng k1 = 30N/m và k2 = 20N/m được gắn nối tiếp nhau và gắn vào vật có khối lượng m = 120g. Hệ
đặt nằm ngang, từ vị trí cân bằng kéo vật dọc theo trục lị xo cách vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi buông không vận tốc
đầu. Bỏ qua ma sát và lực cản.
a. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hịa và tính chu kì và viết phương trình dao động. Chọn gốc thời
gian lúc buông vật, chiều dương là chiều kéo vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng.
b. Tính lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật.
Bài 2: Hai lị xo có độ cứng k1 = 40N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 20cm và k2 = 50N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 20cm, được
gắn nối tiếp nhau và gắn vào vật có khối lượng m = 100g. Hệ treo thẳng đứng, từ vị trí cân bằng kéo vật dọc theo trục lị xo
cách vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát và lực cản.
a. Tính độ biến dạng của mỗi lị xo ở vị trí cân bằng và chiều dài của hệ ở vị trí cân bằng.
b. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hòa và tính chu kì và độ cứng của hệ.

Bài 3: Hai lị xo có độ cứng k1 = 75N/m và k2 = 50N/m, được gắn nối tiếp nhau và gắn vào vật có khối lượng m = 300g. Hệ
treo trên mặt phẳng nghiêng, góc của mặt phẳng nghiêng là 300. Bỏ qua ma sát và lực cản.
a. Chứng minh công thức tính độ cứng tương đương là: k =

k1 k 2
k1 + k 2

b. Giữ vật sao cho các lò xo có chiều dài tự nhiên. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hịa và tính chu
kì và độ cứng của hệ.
c. Viết phương trình dao động của vật. Chọn trục Ox dọc theo mặt phẳng nghiêng từ trên xuống. Gốc tọa độ tại vị trí
cân bằng. gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10m/s2
d. Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của hệ lò xo.
3. Hệ hai lò xo song - vật nằm ngang; treo thẳng đứng;
Bài 1: Hai lị xo có độ cứng k1 = 100N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 25cm và k2 = 150N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 20cm, được
gắn song song nhau và gắn vào vật có khối lượng m = 250g. Hệ có thể trượt khơng ma sát trên mặt phẳng nằm ngang, từ vị
trí cân bằng kéo vật dọc theo trục lị xo đến vị trí lị xo k1 khơng bị biến dạng rồi buông không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát và
lực cản.
a. Tính độ biến dạng của mỗi lị xo ở vị trí cân bằng.
b. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hòa và tính chu, độ cứng của hệ và biên độ dao động.
Bài 2: Hai lị xo có độ cứng k1 = 100N/m và k2 = 150N/m,được gắn song song nhau và gắn vào vật có khối lượng m = 250g.
Hệ có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Dùng một lực F0 = 10N đẩy vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn a
rồi thả nhẹ cho vật dao động. Bỏ qua ma sát và lực cản.
a. Tính a.
b. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hịa.
c. Tính cơ năng của vật.
Bài 3: Hai lị xo có cùng chiều dài và cùng độ cứng k = 25N/m,được gắn song song nhau và gắn vào vật có khối lượng m =
250g theo phương thẳng đứng. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới một đoạn 3cm rồi truyền cho nó vận tốc 0,4 2cm / s
theo hướng thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát và lực cản. Lấy g = 10m/s2 và  2 = 10
a. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hịa và viết phương trình dao động khi chọn gốc thời gian lúc
truyền vận tốc.

b. Tính lực đàn hồi cực đại.


Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo
quả cầu xuống dưới VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
= 10m/s2; 2 = 10).

2 cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g

1. Chứng minh vật dao động điều hồ, viết PTDĐ?
2. Tính Fmax mà hệ lị xo tác dụng lên vật?

k

k

•O

m

4. Vật nằm giữa hai lị xo:

+

Bài 1: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L1, L2 có
độ cứng k1= 60N/m, k2= 40 N/m. Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L1 bị dãn một đoạn l = 20 (cm) thì thấy L2 không dãn,
khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại
VTCB, chiều dương hướng từ A → B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a. CM vật DĐĐH?
b. Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng tồn phần E.

c. Vẽ và tính cường độ các lực do các lị xo tác dụng lên gia cố định tại A, B ở thời điểm t=

T
2

Bài 2: Hai lò xo giống hệt nhau có độ cứng k = 50N/m. Bố trí một con lắc lị xo như hình vẽ. Các lị xo ln thẳng đứng, vật
có kích thước khơng đáng kể và có khối lượng m = 500g. Cho AB = 80cm.
a. Tính chiều dài của mỗi lò xo khi hệ cân bằng.
b. Từ vị trí cân bằng, kéo vật xuống theo phương thẳng đứng và buông. Chứng tỏ vật dao động điều hịa. Từ đó suy
ra cơng thức tính chu kì. Lấy g = 10m/s2

A

k
m
k
B

Bài 3: Có một số dụng cụ gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng m, một lị xo nhẹ có độ cứng k và
một thanh cứng nhẹ OB có chiều dài l. Ghép lị xo với quả cầu để tạo thành một con lắc lò xo và
treo thẳng đứng như hình vẽ (H.1). Kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ A =


2cm. Tại thời điểm ban đầu quả cầu có vận tốc v = 20 3cm / s và gia tốc a = - 4m/s2. Hãy tính chu
kì và pha ban đầu của dao động.

(H.1)
O

l

B

(H.2)

5. Hệ lò xo và ròng rọc:
Bài 1: Cho các hệ dao động như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây và ròng rọc, sợi dây không co dãn. Với mỗi hệ,
chứng minh vật dao động điều hòa khi kéo vật xuống theo phương thẳng đứng một đoạn rồi buông không vận tốc đầu. Từ đó
suy ra biểu thức tính chu kì cho mỗi hệ.

k
m
m

k

Bài 2: Cho hệ dao động như hình vẽ: k = 100N/m; m1 = 400g; m2 = 100g; g = 10m/s2. Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây và
ròng rọc, sợi dây không co dãn.

M

m1

m2

k
N
a. Xác định độ biến dạng của lò xo khi hệ cân bằng?

b. Từ VTCB kéo m1 một đoạn 3cm xuống dưới theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Chứng minh hệ hai vật m1, m2 dao
động điều hòa và viết phương trình dao động. Chọn Ox thẳng đứng, O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương hướng
xuống dưới, gốc thời gian là lúc buông vật.
c. Viết biểu thức của lực mà hệ vật và lò xo tác dụng vào các giá M,N và tính độ lớn lớn nhất, nhỏ nhất của các lực
này?
Bài 3: Cho hệ dao động như hình vẽ: m1 = 150g; m2 = 100g; k1 = 30N/m; k2 = 20N/m. Bỏ qua khối lượng của dây
và ròng rọc, dây không co dãn, ma sát bằng không. Khi hệ cân bằng tổng độ dãn của hai lò xo là 10cm. Lúc đầu giữ
vật ở vị trí sao cho lị xo k2 khơng biến dạng rồi từ vị trí này phóng vật về VTCB với vận tốc có độ lớn v = 30 2
cm/s để hệ dao động.

m2

m1

k2

k1

a. Tính độ biến dạng của các lò xo khi hệ cân bằng?
b. Chứng minh hệ dao động điều hòa?
c. Viết phương trình dao động khi chọn gốc thời gian là lúc phóng vật m2?
6. Vật rời khỏi giá đỡ chuyển động:
Bài 1: Cho hệ dao động như hình vẽ: m = 1kg; k = 100N/m. Lúc đầu giữ giá đỡ D sao cho lị xo khơng biến dạng. Sau đó
cho D chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng không và gia tốc 2m/s2.

k
m
a. Tìm

D

thời

gian kể từ khi bắt đầu chuyển động cho đến khi vật m bắt đầu rời khỏi D.

b. CMR sau khi rời khỏi D vật m dao động điều hòa. Viết phương trình dao động của m, chọn gốc thời gian là lúc m
bắt đầu rời khỏi D. Ox thẳng đứng, O trùng với VTCB của m khi khơng có D, chiều dương hướng xuống dưới?
IV. Chứng minh dao động điều hịa của các vật đặt trong các mơi trường khác chịu tác dụng của các lực cơ
học như: 1. Vật treo thẳng đứng vào một sợi dây đàn hồi ; 2. Lực đẩy Acsimet; 3. Lực đẩy của chất khí trong pittơng;
4. Tấm gỗ đặt nằm ngang trên hai trục máy hình trụ có cùng bán kính, quay đều ngược chiều nhau với cùng tốc độ
góc; 5. Toa xe chuyển động trong đường hầm; 6. Vật treo vào sợi dây căng ngang ; 7. Chuyển động của vật trên mặt
cầu lõm:
1. Vật treo thẳng đứng vào một sợi dây đàn hồi:
Bài 1: Treo vật có khối lượng m vào sợi dây có hệ số đàn hồi k. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng xuống dưới theo phương
thẳng đứng một đoạn x0 rồi thả nhẹ. Chứng minh dao động của vật là dao động điều hòa và lập biểu thức tính chu kì đó.
2. Lực đẩy Acsimet:
Bài 1: Một khối gỗ hình hộp nổi trên mặt nước có khối lượng m = 200g và diện tích đáy S = 50cm2. Khi cân bằng, một nửa
khối gỗ bị chìm trong nước. Người ta nhấn cho khối gỗ chìm thêm xuống nhỏ hơn chiều cao của phần nhô lên khỏi mặt nước


của nó rồi thả tự do dao động. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Biết khối lượng riêng của nước là D = 1000kg/m3. Lấy g =
9,8m/s2. Chứng minh dao động của khối gỗ là dao động điều hịa và lập biểu thức tính chu kì đó.
Bài 2: Cho một phù kế nằm cân bằng trong lòng chất lỏng, kích nhẹ cho nó dao động theo phương thẳng đứng. Khối lượng
của phù kế là m = 50g, bán kính ống phù kế là r = 3,2mm. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Biết khối lượng riêng của chất lỏng
là D = 1g/cm3. Lấy g = 10m/s2. Chứng minh dao động của phù kế là dao động điều hịa và lập biểu thức tính chu kì đó.
Bài 3: Cho một khối chất lỏng có khối lượng riêng D vào trong một ống hình chữ U có tiết diện S. Ở trạng thái cân bằng,
mực chất lỏng trong hai nhánh ngang nhau. Làm cho mực chất lỏng trong hai nhánh của ống chênh lệch nhau một ít rồi để
tự do. bỏ qua mọi ma sát và tính nhớt của chất lỏng. Khối chất lỏng có khối lượng là M.
a. Chứng minh dao động của khối chất lỏng là dao động điều hịa và lập biểu thức tính chu kì đó.
b. Giải bài tốn trong trường hợp có một nhánh nghiêng góc  so với phương thẳng đứng.
Áp dụng số : M = 200g ; D = 13,6g/cm3 ; S = 0,5cm2 ;  = 300 ; g = 10m/s2 ;  2 = 10

Bài 4: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h = 10cm tiết diện s = 50cm2 được treo vào một lị xo có độ
cứng k = 150N/m. Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 103 (kg/m3) Kéo
vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
a. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
b. CM vật dđđh, tính T
c. Tính cơ năng
3. Lực đẩy của chất khí trong pittơng:
Bài 1: Một pittong khối lượng m có thể trượt không ma sát trong một xilanh đặt nằm ngang. Ban đầu pittong ngăn xilanh
thành hai phần bằng nhau chứa cùng một lượng khí lý tưởng dưới áp suất P, chiều dài mỗi ngăn là d, tiết diện của pittong là
S. Pittong hồn tồn kín để khí ở hai ngăn không trộn lẫn vào nhau. Dời pittong một đoạn nhỏ rồi thả ra khơng vận tốc đầu.
Coi q trình biến đổi khí trong xilanh là đẳng nhiệt. Chứng minh rằng pittong dao động điều hịa. Tìm chu kì của dao động
đó.

P, V

P, V