Bất đẳng thức ôn HSG

 Câu 2 (2 điểm): Cho . Hãy tìm GTNN của biểu thức:
B=

x = x − y + ( y + 1) − 1
= x− y+

y +1 y +1
+
−1
2
2

Dùng BĐT Cauchi cho 4 số dương

x − y,

y +1 y +1
4
,
,
2
2 ( x − y )( y + 1) 2

Kết quả Bmin=3

 Câu 3 (2 điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
.
Xem bài giải Nguyễn Quang Huy trên zalo nhóm


 Câu 4 (2 điểm): Cho các số thực a, b, c và a + b + c = 3.

Chứng minh:

Dự đoán điểm rơi: a=b=c=1

a = 1 ⇒ 4a + 3 = 7
7 4a + 3 ≤

7 + 4a + 3
= 2a + 5
2

 Câu 5 (2 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: . Tìm GTNN
của biểu thức: P = .

P khơng phải biểu thức hốn vị vòng quanh của 3 biến, đổi biến về
biểu thức hốn vị của 3 biến mới hay khơng?

a = x > 0; 2b = y > 0;3c = z > 0 ⇒ xyz = 1
P=

1
1
1
+
+
x 4 ( y + 1)( z + 1) y 4 ( z + 1)( x + 1) z 4 ( x + 1)( y + 1)

Vẫn khó khăn do biến nằm hồn tồn dưới mẫu, dạng lạ, đưa lên tử được không?

x=

1
1
1
> 0, y = > 0, z = > 0 ⇒ mnp = 1
m
n
p

m3
n3
p3
P=
+
+
(n + 1)( p + 1) (m + 1)( p + 1) ( m + 1)( n + 1)
Khơng có gì lạ điểm rơi m=n=p=1

m3
n +1 p +1
m
Các BĐT tương tự, cộng các BĐT cùng chiều
+
+
≥3
(n + 1)( p + 1)
8
8
4

3
KQ : P min = ⇔ m = n = p = 1 ⇔ x = y = z = 1 ⇔ ...
4
II. Phương pháp tiếp tuyến

f ( x) ≥ f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )


 a, b, c, d ≥ 0

a + b + c + d = 4

Bài 2:

a
b
c
d
4
+
+
+
≤
a 3 + 8 b3 + 8 c 3 + 8 d 3 + 8 9

Chứng minh:

Nháp: dự đoán điểm rơi: a=b=c=d=1
Viết PTTT với đồ thị hàm số:

a
2a 1
−
(
+ )
3
a + 8 27 27

f (a ) =

a
a3 + 8

Tại

a0 = 1

KQ : y =

2a 1
+
27 27

(a − 1)2 (2a 2 + 5a + 8)
a
2a + 1
KQ : −
≤
0
⇔

≤
27.(a 3 + 8)
a3 + 8
27

Trình bày:…
Bài 3:

a, b, c > 0

a + b + c = 3

Chứng minh rằng:

a + b + c ≥ ab + bc + ca

BDT ⇔ a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + c 2 + 2 c ≥ 2(ab + bc + ca ) + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c ) 2 = 9

f (a ) = a 2 + 2 a
Viết PTTT với đồ thị hàm số tại điểm rơi a=1, tự giải 15’ đưa bài lên zalo nhóm.


Bài 4: Cho các số thực :

a, b, c > 0; ab + bc + ca = 3

Tìm GTNN của:

P = 5(a 3 + b3 + c 3 ) + 2(a 2b + b 2c + c 2 a )

f ( a ) = 5a 3 + 2 a 2 b

Chú ý điểm rơi: a=b=c=1. tự làm trong 15 phút

III. Phương pháp Cauchy ngược dấu
Bài 1: Cho

a, b, c > 0 P = a + b + c ≥ 3
2
2
2

1
+
b
1
+
c
1
+
a
2
a + b + c = 3

Điểm rơi tại a=b=c=1
Nếu sử dụng

Với ý tưởng

a

a
≤
1 + b 2 2b

Ngược chiều nên không khả thi

A ≥ B ⇔ − A ≤ −B

a
a(1 + b 2 ) − ab 2
ab 2
=
=a−
2
2
1+ b
1+ b
1 + b2
 ab 2
 ab 2 bc 2 ca 2 
bc 2
ca 2 
P = (a + b + c) − 
+
+
≥ 3−
+
+
÷
2

2
2 ÷
1
+
b
1
+
c
1
+
a
2
b
2
c
2
a




1
= 3 − (ab + bc + ca) (1)
2


9 = (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca )
1
= (a 2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a 2 )  + 2(ab + bc + ca)
2

1
3
≥ 3(ab + bc + ca) ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 ⇔ − (ab + bc + ca ) ≥ −
(2)
2
2
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có GTNN của biểu thức là 3/2

Bài 3: Tìm GTLN của

P=

yz
x + 2 yz

+

xy
xz
+
y + 2 xy z + 2 xy

( x, y , z > 0)

Dựa vào gợi ý sau hãy tự giải trong 10 phút nộp bài vào trong nhóm zalo

2 yz
x + 2 yz

= 1−

x
x
≤ 1−
x+ y+ z
x + 2 yz
Tự giải quyết bài tập 2 và 4 trang 11 trong tài liệu đã phát, nộp bài
Qua zalo nhóm.


4: Phương pháp hàm số:
Bài 1 : Cho

x, y Ỵ ¡

y £ 0, x2 + x = y + 12

P = xy + x + 2y + 17

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

y = x2 + x - 12 x2 + x - 12 £ 0 Û - 4 £ x £ 3
P = x3 + 3x2 - 9x - 7
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2x + 4y + 7z = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y
+z
Từ giả thiết hãy cố gắng đánh giá P theo chiều giảm theo 1 biến
chẳng hạn theo x.
Hãy rút z từ gt

z=

2x + 4 y
2 xy − 7

2xy-7>0 vì sao?

Trước hết thế z vào P làm giảm biến, tuy nhiên vẫn còn biến y
Cauchy sẽ giúp nhưng phải làm xuất hiện các đại lượng chứa các
Thành phần nghịch đảo nhằm khử biến y.


Hãy tách ghép, thêm bớt hợp lý để sử dụng Cauchy, cái này phụ thuộc
vào kỹ năng và tư duy nhạy bén của mỗi người, nếu mắc có thể dùng
hệ số bất định để đồng nhất hệ số!

P = x+ y+

2x + 4y
11 
7   2x + 4y 2 
= x+
+  y − ÷+ 
− ÷=
2xy − 7
2x 
2x   2xy − 7 x 

11  2xy − 7 2x2 + 14
= x+
+

+
2x  2x
x( 2xy − 7)


11 2 x2 + 7
≥ x+
+
÷
÷
2x
x


11 2 x2 + 7
f ( x) = x +
+
,x ∈ ( 0;+∞ )
2x
x
Làm tiếp và xem dấu bằng xảy ra khi nào mới KL min

k
2 xy − 7
y+
=
⇒ k = −7
2x
2x

2x + 4y m 2x2 + nx + p
+ =
⇒ m= −2,n = 0,p = 14
2xy − 7 x
x(2xy − 7)


x, y , z

Bài 3: Cho

là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

1

( 1+ x)

2

+

1

( 1+ y)

2

+

y + z = x ( y2 + z2 )

.

1

(1+ z)

2

+

4
( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z )

Biểu thức P có chứa 3 biến và vai trò của hai biến y và z là như nhau . Do đó ta quy biểu thức P về biến x bằng cách sử
dụng sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopsky

( y + z)

2

= (1.x + 1. y ) 2 ≤ (12 + 12 ) ( y 2 + z 2 ) = 2( y 2 + z 2 ) ⇒ x( y + z ) 2 ≤ 2 x ( y 2 + z 2 )

2
⇔ x( y + z ) ≤ 2( y + z ) ⇔ y + z ≤
x

2

1
2
1
+
y
1
+
z
≤
2
+
y
+
z
⇔
(
)
(
)
(
)
Theo bất đẳng thức cơsi ta có:
4
2
2
1
2
( 1 + y ) ( 1 + z ) ≤  2 + ÷ ⇒ ( 1 + y ) ( 1 + z ) ≤ ( 1 + 2x )

4
x
x
P≥

Lại theo BĐT cơsi ta có :

⇔P≥

1

( 1+ x)

2

+

2 x2

( 1+ x)

2

+

4 x2

1

( 1+ x)

3
( 1+ x) ⇔ P ≥

2

+

2

( 1+ y) ( 1+ z )

+

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

( 1+ x)

3

4
( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z )

f ( x) =

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

( 1+ x)

3

x, y, z

Câu 10:

é1;4ù x ³ y, x ³ z
ë û
x
y
z
P =
+
+
2x + 3y y + z z + x

là ba số thực thuộc đoạn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Biểu thức P có dạng đẳng cấp nhưng có chứa 3 biến do đó để quy về một ẩn ta sử dụng bất đẳng thức phụ
để đánh giá P sau đó đặt ẩn phụ để quy về một biến (tham khảo tài liệu)

+) Tuy vậy cách giải trong tài liệu ko thật tự nhiên, sau đây thầy đề xuất cách giải khác tự nhiên hơn với một tư
duy mới. Hãy coi z là biến số còn x, y là tham số ( Cũng có thể x hoặc y là biến, tuy nhiên biểu thức của biến z
đơn giản hơn).

f ( z) =

x

y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x

( x, y, z ∈ [ 1; 4 ] , x ≥ y, x ≥ z )

6

x
=
y
⇒
P
=
y
x

5
f '( z ) = −
+
=
0
⇔
2
2

( y + z) ( x + z)
 z = xy

P ≥ f ( xy )
xy
x
y
f ( xy ) =
+
+
2 x + 3 y y + xy
xy + x
Còn 2 biến x và y, đạo hàm tiếp theo biến y?
Quá phức tạp vậy có thể đưa về hàm một biến theo cách nào khác?
Cách quen thuộc là dùng các BĐT đánh giá theo hướng giảm
(Khơng nghiêm ngặt)
Các trên q khó vậy có cách nào hay hơn?
Chú ý x và y đều dương chia cả tử và mẫu của từng phân
Thức cho x hoặc cho y, cho y nhé!


x
1
y
P≥
+
+
x
2 + 3 1+ x
y
y

x
y

t2
2
= g (t ) = 2
+
2t + 3 1 + t
x x
+
y y

(t ∈ [ 1; 2]

10 phút cho cơng việc cịn lại, phần thưởng là 01 bát bún
Bề bề cho lời giải đúng và nhanh nhất, zalo nhóm nha!
KQ: Pmin=34/33 khi x=4,y=1,z=2
Chú ý chịu khó nghiên cứu tài liệu và làm bài tập thầy giao nhé!
Các bạn rất bận tuy nhiên cố gắng dành thời gian làm các câu BĐT
Trong đề thi HSG tỉnh QN bảng A trong tài liệu nhé!


Bài 1: Cho hàm số:

x +1
y=
(C )
x −1

Tìm 2 điểm A và B lần lượt nằm trên 2 nhánh của đồ thị
sao cho khoảng cách AB nhỏ nhất

a+2
b−2
A(1 + a;
) B (1 − b;
)
a
b
2
4(
a
+
b
)
16ab
AB 2 = ... = (a + b) 2 +
≥
4
ab
+
a 2b 2
a 2b 2
16
16
= 4ab +
≥ 2 4ab. = 16
ab
ab

a = b

AB min = 4 ⇔ 
16 ⇔ a = b = 2 ⇒ A(1 + 2;1 + 2)
4ab = ab
B (1 − 2;1 − 2)

(C )


Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xy + yz + zx
Chứng minh:

Giả thiết cho là tương quan ràng buộc dưới dạng bậc 2, điểm rơi
x=y=z=1, không nên dùng Cauchy 4 số mà chỉ nên 2 số
 

 

Cộng theo vế các BĐT cùng chiều suy ra:

 

 

=
Mặt khác ta ln có:
.
Suy ra:

Đừng quên KL và cho biết dấu = xảy ra nhé

a>b>c>0

Bài 3: Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b
c
a2
P=
+
+
a − b b − c 8c( ac − c)
Không biết điểm rơi, chưa biết biến đổi kiểu gì!
Để ý thấy P gồm 3 phân thức có tử và mẫu đồng bậc và 3 số a,b,c >0
Đổi biến sau khi thực hiện phép chia

P=

1
a
−1
b

+

1

1

+
b
− 1 8 c  c − c ÷
c
a a a

Chọn cách chia khác tùy bạn nhưng cần đảm
Bảo hốn vị vịng quanh để tích 3 biến mới bằng 1

a
= x,
b

b
= y,
c

c
= z ⇒ xyz = 1& x, y > 1, z < 1
a


P=

1
1

+
+
x − 1 y −1 8z

(

1
z −z

)

Vai trò x,y như nhau nên đánh giá để đưa bài toán về biến z

Đến đây chắc các bạn hình dung ra cách làm, 6 phút nhé

1
1
2
+
≥
=
x −1 y −1
( x − 1)( y − 1)
=

2
≥
xy − ( x + y ) + 1

2

xy − 2 xy + 1

2
2
2
2z
=
=
=
xy − 1 xy − 1 1 − 1 1 − z
z

P≥

2z
1
+
1 − z 8z( z − z)

2t 2
1
=
+ 2
2
1− t
8t (t − t 2 )

t= z

,0 < z <1⇒ 0 < t <1

Nếu bạn nào khơng chia giống thầy thì bạn cũng tham khảo tương tự
nhé, KQ sẽ như nhau!


Các bạn hãy tự làm 6 phút nhé

128t 6 + 32t 3 − 24t 2
1
4
f '(t ) =
=
0
⇔
16
t
+
4
t
−
3
=
0
⇔
t
=
(8t 3 + 8t 4 ) 2
2

Tự KL Pmin và dấu = xảy ra nhé

t= z

nha

x2 + y2 + z2 = 1 Tìm GTLN của
P = x + y + z + xy + yz + zx

Bài 4: Cho

x + y + z = t hay xy + yz + zx = t hay xyz = t ?
Rõ ràng hướng thuận lợi nhất của bài là: x+y+z=t, nhớ chặn biến t
nhờ giả thiết nhé. Hay nhất là dùng Bunhia…do x, y, z là số thực


Bài 5: Cho các số thực không âm

a,b,c

thoản mãn

a +b+c = 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 3( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) + 3( ab + bc + ca ) + 2 a2 + b2 + c2
Hãy lựa chọn ẩn t là t trong các cách sau

Đừng quên chặn biến khi đổi biến nhé

t = a 2 + b 2 + c 2

t = ab + bc + ca
t = abc



Bài 6: Cho a và b

là các số thực dương thỏa mãn:

2
2
2
a
+
b
(
) + ab = ( a + b) ( ab + 2)
.

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

3
3ử
2
2ử
ổ
ổ
a

b
a
b
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
P = 4ỗ
+
9
+
ỗ
ỗ
ữ
3
3ữ
2
2
ỗ
ỗ
ữ ốb
ữ
a ứ
a ứ
ốb

Tỡm phộp i bin p nht
Nu bạn tìm được phép đổi biến đẹp hơn cách này bạn sẽ nhận được
1 gói bim bim trị giá 5000 VNĐ

a b
+
Sai lầm khi chặn t hay xảy ra
b a
2( a2 + b2 ) + ab = ( a + b) ( ab + 2)
t=

t=

a b
a b
+ ≥2 . =2
b a
b a

Û 2( a2 + b2 ) + ab = a2b + ab2 + 2( a + b)

ổ
ử
ổ1 1ử
a bữ
ữ
ỗ
ỗ
2ỗ + ữ
+
1
=
a

+
b
+
2
+
ữ
(
)
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ốb a ứ
ốa bứ
ổ1 1ữ
ử
ổ1 1ữ
ử
ổ
ử
a b
ữ
ỗ
ỗ
ỗ

2
2
a

+
b
+
=
2
2
+
+
2
ữ
ữ
( a + b) + 2ỗỗ + ữ
(
)
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ốa bứ
ốa bứ
ốb a
ứ
ổ
ử
ổ
ử
a bữ

a b
a b 5
ữ
ỗ
ỗ
2ỗ + ữ
+
1

2
2
+
+
2
ị
ữ
ỗ
ữ b +a 2
ỗ
ỗb a
ốb a ÷
ø
è
ø

a b
5
t = + ,t ³
b a
2

P = 4( t 3 - 3t ) - 9( t2 - 2) = 4t 3 - 9t2 - 12t + 18
f ( t ) = 4t 3 - 9t 2 - 12t + 18

t³

5
2

Còn lại dành cho các bạn nhé! Khi trình bày nhớ là phải đầy đủ
văn hoa

x, y , z

Bài 7: (Đề thi HSG Thanh Hóa 2016). Cho 3 số thực dương
thay đổi, thỏa mãn

x + y +1 = z

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x3
y3
z3
14
P=
+
+
+

x + yz y + xz z + xy ( z + 1) 1 + xy + x + y
Biểu thức P có chứa 3 biến và vai trị của hai biến x và y là như nhau . Do đó ta quy biểu thức P về biến z bằng cách
sử dụng sử dụng bất đẳng thức Cauchy

1 + xy + x + y = ( 1 + x ) ( 1 + y )

x + y + 2)
(
≤
4

2

z + 1)
(
=

Cả hai BĐT cùng xảy ra dấu “=“ tại x=y

4

2

2xy ≤ x 2 + y 2


x3
y3
z3
14

P=
+
+
+
x + yz y + xz z + xy ( z + 1) 1 + xy + x + y

z + xy = 1 + x + y + xy
x3
y3
z3
P=
+
+
+
x + yz y + xz x + y + 1 + xy ( z + 1)

14

( 1+ x) ( 1+ y )

x + yz = x + y ( x + y + 1) = x + y + xy + y 2 = ( x + y )( y + 1)
t 2 ⇒ y + xz = ( x + y )( x + 1)

x3
y2
x 4 + y 4 + x3 + y 3
⇒
+
=
x + yz y + xz ( x + y )( x + 1)( y + 1)

( x + 1)( y + 1) ≤

Ta có:

( z + 1)
4

2

x 2 + y 2 ( x + y )3
x + y = ( x + y )( x + y − xy ) ≥ ( x + y )
≥
2
4
3

3

2

2

2

 ( x + y) 


( x 2 + y 2 )2  2 
( x + y )4
4

4
x +y ≥
≥
=
2
2
8
2


( x + y )3 ( x + y ) 2
+
3
2
x3
y3
(
z
−
1)
+
2(
z
−
1)
8
4
⇒
+
≥

=
2
( z + 1)
x + yz y + xz
2( z + 1) 2
4

( z − 1)3 + 2( z − 1) 2
4z3
28
P≥
+
+
2( z + 1) 2
( z + 1) 2 ( z + 1) 2

z >1

Việc còn lại dành cho các bạn nhé, mỏi tay quá

Bài 8: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn

abc = 2 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a 6 + b6
b6 + c 6
c6 + a 6
P= 4

+ 4
+ 4
4
2 2
4
2 2
a +b +a b b +c +b c
c + a 4 + c 2a 2
Đề HSG Quảng Ninh bảng A 2013


( a 2 + b2 )( a 4 + b4 − a 2b 2 ) (b 2 + c 2 )(b4 + c 4 − b 2c 2 ) (c 2 + a 2 )( c 4 + a 4 − c 2a 2 )
P=
+
+
4
4
2 2
4
4
2 2
a +b +a b
b +c +b c
c 4 + a 4 + c 2a 2

abc = 2 2 ⇒ a 2 , b 2 , c 2 > 0

x 2 + y 2 − xy t 2 − t + 1
x
= 2

= f (t ) t = > 0
2
2
x + y + xy t + t + 1
y
1
f (t ) ≥
3

Tự chứng minh

1
2
2
⇒ P ≥ ( a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3 3 a 2b 2 c 2 = 4
3
3
3
a=b=c=

2


Bài 9: Cho
. Chứng minh rằng:

x, y, z

0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2
(x + 1)(y + 1)(z + 1) ≥ 4xyz

thỏa mãn:

HSG tỉnh Quảng Ninh bảng A 2015

(x + 1)(y + 1)(z + 1) ≥ 4xyz

⇔ 7 + xy + yz + zx ≥ 3xyz
⇔ 7 + xy + (x + y) 6 − (x + y) ≥ 3xy 6 − (x + y)
⇔ f ( x) = (3 y − 1) x 2 + (6 − 19 y + 3 y 2 ) x − y 2 + 6 y + 7 ≥ 0
(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2)
1
26
+) y = ⇒ f ( x) =
> 0 ⇒ dpcm
3
3
1
+) y ≠
f '( x) = 2(3 y − 1) x + 3 y 2 − 19 y + 6 = 0
3
6− y
⇔x=
∉ [ 0;1] ∀y ∈ [ 0; 2]
2

x+y+z = 6


f ( x) = min { f (0), f (1)} = min { − y

⇒ min

[ 0;1]

2

+ 6 y + 7; 2 y 2 − 10 y + 12}

1
∀y ∈ [ 0; 2] , y ≠
3
Vì

1
− y + 6 y + 7 > 0∀y ∈ [ 0; 2] , y ≠
3
2

1
2 y − 10 y + 12 ≥ 0∀y ∈ [ 0; 2 ] , y ≠
3
⇒ f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [ 0;1] , y ∈ [ 0; 2 ] ⇒ dpcm
2

Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức:

P=

1
6

+
a + ab + 3 abc
a +b+c