Một số dạng toán về hình trụ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi:
-

Hội đồng sáng kiến ngành Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Bình Phước

Tơi ghi tên dưới đây:

Số

Họ và tên

TT

Ngày

Nơi cơng tác

tháng năm

Chức

Trình độ

Tỷ lệ

danh

chun

(%)

sinh

mơn

đóng
góp

1

…..

………

Trường

Giáo

………

viên

Đại học

100%

Là tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Một số dạng tốn thường gặp trong

hình trụ.”
- Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường ………..
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.
- Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: 27/05/2018

1


I.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. THỰC TRẠNG

Hình học khơng gian là bài tốn rất khó đối với học sinh, nhiều học sinh không
biết bắt đầu từ đâu, phải làm cách nào, khơng biết vẽ hình như thế nào và phải dùng
cơng thức nào để giải bài toán.
Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm
tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai. Hầu hết
giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩ thuật dạy học tích
cực trong quá trình đào tạo tại các trường đại học sư phạm cũng như quá trình bồi
dưỡng tập huấn hàng năm của sở giáo dục. Bộ Giáo dục và Đào tạo đã biên soạn tài
liệu tập huấn về “Phương pháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướng
dẫn học sinh tự học ” phương pháp mới này ngày càng được áp dụng rộng rãi và sự
thành công của tiết dạy là học sinh có hiểu bài hay khơng?Có biết vận dụng kiến thức
hay không? Muốn vậy phải phát triển tốt khả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu, tính
sáng tạo, tính khoa học – hiện đại, cơ bản, tính thực tiễn, giáo dục kỹ thuật tổng hợp,
tính hệ thống trong giáo án của mỗi giáo viên.
2. VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong chương trình trung học phổ thơng, hình học khơng gian là một phần học
rất khó đối với học sinh, trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia theo hình thức

trắc nghiệm khách quan đều đề cập đến hình trụ, cụ thể như là tính diện tích xung
quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối trụ, diện tích thiết diện… Nhưng đa số học
sinh thường bỏ hoặc làm sai bài toán này. Để giải quyết bài toán này học sinh phải đọc
thật kỹ đề bài từ đó xác định giả thuyết bài tốn, vẽ hình rồi tiến hành giải bài tốn.
Chính vì thế tơi quyết định chọn đề tài “Một số dạng tốn thường gặp trong hình
trụ”, do tuổi nghề còn trẻ nên đề tài còn nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là tài liệu bổ ích
cho giáo viên và học sinh tham khảo, giúp các em học sinh có thể tự học để bồi dưỡng
thêm kiến thức về hình trụ, tự tin bước vào các kì thi.

2


3. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a. Mặt trụ tròn xoay

Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng

và

song song nhau, cách nhau một

khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định

thì đường thẳng

sinh ra

một mặt trịn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
+ Đường thẳng
+ Đường thẳng

được gọi là trục.
được gọi là đường sinh.

+ Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

r

r

b. Hình trụ trịn xoay
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn
cạnh AB, thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ
trịn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
3


+ Đường thẳng AB được gọi là trục.
+ Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
+ Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
+ Hình trịn tâm A, bán kính r = AD và hình trịn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2
đáy của hình trụ.
+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần khơng gian giới hạn bởi hình trụ trịn
xoay kể cả hình trụ.
∆
A
r
D

h

B

r
C

c. Cơng thức diện tích xung quanh, diện tích đáy, diện tích tồn phần và thể tích
của khối trụ.
Cho hình trụ có chiều cao là

, bán kính đáy là r và đường sinh là

r

h

r

4


 Diện tích xung quanh:
 Diện tích đáy (hình trịn): Sđáy=
 Diện tích tồn phần hình trụ: Stp=Sxq+2Sđáy=
 Thể tích khối trụ:

Sđáy.h

.

Chú ý. Độ dài đường sinh bằng chiều cao của khối trụ
d. Tính chất
Cho mặt trụ trịn xoay có bán kính đáy bằng r và trục là đường thẳng
 Nếu cắt mặt trụ trịn xoay bởi một mặt phẳng

vng góc với trục

ta được thiết diện là một đường trịn có tâm nằm trên

thì

và có bán kính bằng

r.
 Nếu cắt mặt trụ trịn xoay bởi một mặt phẳng

khơng vng góc với trục

nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có

trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng
mặt phẳng

với

, trong đó

là góc giữa trục

Elíp được gọi là thiết diện của mặt phẳng

với mặt trụ tròn xoay.
 Cho mặt phẳng

và

song song với trục

một khoảng k.

5

của mặt trụ tròn xoay và cách


 Nếu

thì mặt phẳng

cắt mặt trụ theo hai đường sinh

Thiết diện là một hình chữ nhật.
 Nếu

thì mặt phẳng

tiếp xúc với mặt trụ theo một đường

sinh
Thiết diện là một đường sinh.

 Nếu

thì mặt phẳng

khơng cắt mặt trụ.

Khơng có thiết diện.
e. Các công thức cơ bản thường gặp để vận dụng trong giải bài tốn
•

Tam giác ABC thường

•

Với
R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
A

p là nửa chu vi tam giác ABC
G

•

C

B
H

•

(G là trọng tâm tam giác ABC)

•

Độ dài đường trung tuyến:

•

Định lý cơ-sin:

•
•

Định lý sin:
Tam giác ABC vuông tại A
6

M


•

Định lý pytago:

•

Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông:

;

;

;

•

Diện tích tam giác vng:

•
A

•

•
C

B

•

H

•

•

A

•

•

Tam giác ABC cân tại A

•

AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến
B

•

Tính đường cao:

•

Tính diện tích :

•
•

Tam giác ABC đều
Đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến:

7

H

C

A

cạnh.
G

•

Diện tích :

•

AG=

•

Tam giác ABC vng cân tại A

cạnh2.

C

B

M

cạnh.

C

•

B

A

•
•

Hình bình hành

•

Diện tích:

A

D

B
C

H

•

Hình thoi

•

Diện tích: SABCD

A

AC.BD AB.AD.sinA

Khi
hoặc
ABC, ACD là tam giác đều.
• Hình chữ nhật
•

B

D

thì các tam giác
C

D

A

•

Diện tích:

•

Đường chéo hình chữa nhật AC=BD=

•

OA = OB = OC = OD

•
•

Hình vng
Diện tích hình vng : SABCD=AB2

( Diện tích bằng dài nhân rộng)

O là trung điểm AC và BD

C

B

A

B

O

8

D

C

•

Đường chéo hình vng

•

OA = OB = OC = OD

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Hình lăng trụ
Tất cả các cạnh bên bằng nhau.
Các mặt bên là các hình bình hành.
Hai đáy là hai đa giác bằng nhau.
Hình hộp
Là lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Các mặt bên là các hình bình hành.
Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hình lăng trụ đứng
Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
Độ dài cạnh bên là đường cao.
Các mặt bên là các hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều.
Độ dài cạnh bên là đường cao.
Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
Hình hộp đứng
Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật
Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương
Là hình hộp chữ nhật có hai đáy và bốn mặt bên đều là hình vng.

4. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG HÌNH TRỤ
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh của hình trụ

r là bán kính mặt đáy của hình trụ
là độ dài đường sinh của hình trụ
h là độ dài chiều cao của hình trụ

Độ dài đường sinh bằng độ dài chiều cao của hình trụ
 Cách giải
Bước 1: Vẽ hình trụ.
Bước 2: Tính r và .
9


Bước 3:

Thay r và

Ví dụ 1

vào cơng thức

. Cho hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 4cm. Diện tích xung

quanh của hình trụ là
A.

B.

C.

D.

Giải
 Phân tích
 Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
 Nêu cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

 Xác định r và .
 Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Lời giải:

O'

•

Diện tích xung quanh hình trụ là

•
•

Ta có
Diện tích xung quanh của hình trụ

h=4

là

O

r=3

Chọn đáp án A
• Nhận xét
- Đối với ví dụ này đa số học sinh đều làm được.

Ví dụ 2

. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 8cm và khoảng cách giữa hai

đáy bằng 5cm. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A.

B.

C.
10

D.


Giải
 Phân tích






Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
Nêu cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Đề bài cho đường kính từ đó sẽ tìm được bán kính hình trụ.
Đề bài cho khoảng cách giữa hai đáy chính là độ dài chiều cao của hình trụ.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Lời giải:
•

O'

Diện tích xung quanh hình

trụ là
• Hình trụ có đường kính đáy bằng 8(cm)

h

N
r
O
M

Bán kính đáy hình trụ là
•

Khoảng cách giữa hai đáy bằng 5cm
Độ dài chiều cao hình trụ là
Diện tích xung quanh hình trụ là
Chọn đáp án C
• Nhận xét
- Đối với ví dụ này các em cần nhớ khoảng cách giữa hai đáy chính là
-

chiều cao của hình trụ.
Bán kính mặt đáy ln ln bằng đường kính chia đơi.

 Bài tập tự luyện

11


Bài 1. Cho hình trụ (T) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Cơng thức
nào sau đây đúng?
A.

B.

C.

Bài 2. Một hình trụ có bán kính đáy

D.
, chiều cao

. Diện tích xung

quanh của hình trụ là

A.

B.

C.

D.

Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích

xung quanh hình trụ là
A.

B.

C.

D.

Dạng 2: Tính diện tích tồn phần của hình trụ
Diện tích tồn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy
của hình trụ.

Stp=Sxq+2Sđáy
Diện tích xung quanh:
Vì đáy của hình trụ là đường trịn nên diện tích đáy là diện tích của đường trịn
Sđáy

 Cách giải
Bước 1: Vẽ hình trụ
Bước 2: Tính r và
Bước 3: Tính Sxq và Sđáy
Bước 4: Thay Sxq và Sđáy vào cơng thức Stp=Sxq+2Sđáy

Ví dụ 1. Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1, AD=2.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Quay hình chữ nhật đó
xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Diện tích tồn phần của
hình trụ đó là
A.

B.

C.
12

D.


Giải
 Phân tích







Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
Xác định cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ.
Tính độ dài chiều cao của hình trụ.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Tính diện tích đáy của hình trụ.
M
Tính diện tích tồn phần của hình trụ.

Lời giải:
•

D

A

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung
quanh trục MN ta được hình trụ có độ

h

C

dài chiều cao
r
N

•
•

Bán kính đáy hình trụ là
Diện tích xung quanh của hình trụ là

•

Diện tích đáy của hình trụ là Sđáy

•

Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp=Sxq+2Sđáy

•

Chọn đáp án B

Nhận xét
Đối với ví dụ này các em cần nhớ ABCD là hình chữ nhật M, N lần

-

B

lượt là trung điểm AD, BC thì khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN thì

MN chính là chiều cao hình trụ và bán kính mặt đáy hình trụ bằng
 Bài tập tự luyện
Bài 1. Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình trụ (T).
Cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ là
A.

B.

13


C.

D.

Bài 2. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng

. Diện tích tồn

phần của hình trụ trên là

A.

B.

C.

D.

Bài 3. Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 và AD = 4. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm AD và BC. Quay hình chữ nhật đó quanh trục MN, ta được một
hình trụ. Diện tích tồn phần của hình trụ trên là

A.

B.

C.

D.

Dạng 3: Tính thể tích của khối trụ

B là diện tích đáy của hình trụ
h là độ dài chiều cao hình trụ
 Cách giải
Bước 1: Vẽ hình trụ
Bước 2: Tính r và h
Bước 3: Thay r và h vào

Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng 10cm.

Thể tích khối trụ là
A.

B.

C.
Giải

 Phân tích
14

D.







Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
Xác định cơng thức tính thể tích của khối trụ.
Xác định r và h của hình trụ.
Thay r và h vào cơng thức tính thể tích khối trụ.

Lời giải:
O'

•

Thể tích khối trụ

•
•

Ta có
Thể tích khối trụ là

h=10

Chọn đáp án D

r=6

O

Nhận xét

•

Đối với ví dụ này học sinh chỉ cần nhớ công thức là làm được.

-

Ví dụ 2. Một hình trụ có đường kính đáy bằng

, chiều cao bằng .

Thể tích khối trụ là

A.

B.

Giải

C.

D.

 Phân tích





Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
Xác định cơng thức tính thể tích của khối trụ.
Tính r.
Thay r và h vào cơng thức tính thể tích khối trụ.

Lời giải:
•

Thể tích khối trụ

•

Chiều cao hình trụ là

•

Đường kính mặt đáy bằng

O'

h=a

M

15

a

2

O

r

N


Bán kính đáy
• Thể tích khối trụ là

Chọn đáp án A
• Nhận xét
Đối với ví dụ này học sinh cần nhớ bán kính mặt đáy hình trụ bằng
đường kính chia đơi và nhớ cơng thức tính thể tích khối trụ.
 Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD

. Thể tích của khối trụ được tạo

thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD là

A.

B.

C.

D.

Bài 2. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 2 và chiều cao bằng 4. Thể tích của khối trụ
đó là
A.

B.

C.

D.

Bài 3. Một hình trụ có chu vi của đường trịn đáy là a, chiều cao của hình trụ gấp 4 lần
chu vi đáy. Thể tích của khối trụ là

A.

B.

C.

D.

Bài 4. Một khối trụ có thể tích là 20(đvtt). Thể tích V của khối trụ mới tạo thành khi
tăng bán kính lên 2 lần là
A.

(đvtt)

B.

(đvtt)

C.

(đvtt)

D.

(đvtt)

Dạng 4: Thiết diện đi qua trục của khối trụ
Cho khối trụ có bán kính mặt đáy là r và có trục là
phẳng

đi qua trục

của khối trụ thì mặt phẳng

16

. Nếu cắt khối trụ bởi mặt
cắt đường tròn tâm

tại


hai điểm P, Q và mặt phẳng

cắt đường tròn tâm

MNPQ là thiết diện đi qua trục

tại hai điểm M, N

Tứ giác

của khối trụ.
N

O'

M
h
P

r

 Cách giải

O

Q

Bước 1: Vẽ hình trụ.

Bước 2: Xác định thiết diện đi qua trục

của khối trụ.

Bước 3: Dựa vào giả thiết đề bài tìm yêu cầu của bài tốn.

Ví dụ 1. Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng có cạnh bằng a.
Diện tích xung quanh của hình trụ là

A.

 Phân tích

Giải

B.

C.

D.

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
 Xác định cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

 Xác định thiết diện qua trục của hình trụ.
 Tính r và

của hình trụ.

 Thay r và

vào cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ.

Lời giải:
•

N

O'

Diện tích xung quanh hình trụ là
M

•

Thiết diện qua trục

•

trịn tâm

của hình trụ cắt đường

h

trên tại M, N và cắt đường tròn

P

17

r

Q

O


tâm

tại P, Q

Thiết diện qua trục

là một hình vng

MNPQ cạnh bằng a
•

PQ là đường kính mặt đáy của hình trụ

nên bán kính hình trụ
•

Chiều cao của hình trụ là

•

Chọn đáp án C
Nhận xét
Đối với ví dụ này các em học sinh cần nhớ thiết diện qua trục cắt mặt

-

đáy trên theo đường kính và cắt mặt đáy dưới cũng theo đường kính.
Sau đó nối lại các em sẽ được thiết diện cần tìm.

Ví dụ 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng

và thiết diện qua

trục của hình trụ này là một hình vng. Diện tích tồn phần của hình trụ
là
A.

B.

C.
Giải

 Phân tích
 Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
 Xác định cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ.
 Xác định thiết diện qua trục của hình trụ.

 Tính r và của hình trụ.
 Tính diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình trụ.
 Thay diện tích xung quanh và diện tích đáy vào cơng

thức tính diện tích tồn phần của hình trụ.
18

D.


Lời giải:
•

Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp=Sxq+2Sđáy

•

Thiết diện qua trục

của hình trụ là một hình vng MNPQ

N

O'

M
h

•

Diện tích xung quanh hình trụ bằng

P

r

O

Q

•

Diện tích đáy của hình trụ là
Sđáy
Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp=Sxq+2Sđáy
Chọn đáp án D

•

Nhận xét
Đối với ví dụ này các em cần sử dụng giả thiết là thiết diện qua trục là

-

một hình vng nên thiết diện có tất các cạnh bằng nhau.
• Bài tập tự luyện
Bài 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a.
Thể tích của khối trụ là
A.

B.

C.

D.

Bài 2. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một
hình vng có cạnh bằng 3a. Diện tích tồn phần của khối trụ là

19


A.

B.

C.

Bài 3. Cho hình trụ có bán kính
thiết diện có diện tích bằng

, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một
. Thể tích khối trụ là

B.

A.

D.

C.

D.

Bài 4. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một hình chữ
nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết

. Thể tích

khối trụ đã cho là
B.

A.

C.

D.

Dạng 5: Thiết diện vng góc với trục của khối trụ
Cho khối trụ có bán kính mặt đáy là r và có trục là
phẳng

vng góc với trục

nằm trên trục

. Nếu cắt khối trụ bởi một mặt

thì ta được thiết diện là một đường trịn có tâm I

và có bán kính

.

O'

I

r'

r
O

20


 Cách giải
Bước 1: Vẽ hình trụ.
Bước 2: Xác định thiết diện.
Bước 3: Dựa vào giả thiết đề bài tìm u cầu của bài tốn.

• Chú ý. Đường trịn (C) có bán kính là r
(1) Chu vi đường trịn:
(2) Diện tích đường trịn:

Ví dụ 1. Cho hình trụ có độ dài chiều cao bằng 7. Thiết diện vng góc với
trục của hình trụ có diện tích bằng Giải. Diện tích xung quanh hình trụ là
 Phân tích

A.

B.

C.

D.

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
 Xác định cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ.
 Xác định thiết diện vng góc với trục của hình trụ.
 Tính r và
 Thay r,

của hình trụ.
vào cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ.

Lời giải:
•
•

Diện tích xung quanh hình trụ là
Hình trụ có chiều cao bằng 7
O

•

Thiết diện vng góc với trục

của hình

trụ là một đường trịn có tâm I nằm trên trục
r'

và bán kính là

I

SThiết diện=
Mà bán kính hình trụ cũng bằng bán kính đường
21

O'

r


trịn thiết diện
•

Diện tích xung quanh hình trụ là

Chọn đáp án C
•

Nhận xét
Đối với ví dụ này các em học sinh cần nhớ thiết diện vng góc với

-

trục ln ln là một đường trịn và bán kính ln ln bằng bán kính mặt đáy

của hình trụ.
Vì thiết diện là đường trịn nên SThiết diện

-

Ví dụ 2. Cho hình trụ có khoảng cách hai đáy bằng 10. Thiết diện vng
góc với trục của hình trụ có chu vi bằng

. Diện tích tồn phần của

hình trụ là
A.

B.

C.

D.

Giải

 Phân tích





Hướng dẫn học sinh vẽ hình trụ.
Xác định cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ.
Xác định thiết diện vng góc với trục của hình trụ.

Tính r và l của hình trụ.

 Thay r và

vào cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ.

Lời giải:

O

r'

I

22

O'

r


•

Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp=Sxq+2Sđáy

•

Thiết diện vng góc với trục

của hình

trụ là một đường trịn có tâm I nằm trên trục
và bán kính là
•

Vì thiết diện vng góc với trục của hình trụ có chu vi bằng
Chu vi đường trịn thiết diện bằng

Mà
•

Khoảng cách giữa hai đáy hình trụ bằng 10
Độ dài chiều cao hình trụ là
Diện tích tồn phần của hình trụ là
Stp=Sxq+2Sđáy
Chọn đáp án D

•

Nhận xét

Vì thiết diện là đường trịn nên có chu vi là
 Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình trụ có chiều cao bằng 12(cm). Thiết diện vng góc với trục của hình

trụ có diện tích bằng

A.

. Thể tích khối trụ là

B.

C.

D.

Bài 2. Cho hình trụ có đường kính mặt đáy bằng 10(cm). Chu vi của thiết diện vng
góc với trục của hình trụ là
23


B.

A.

C.

D.

Bài 3. Cho hình trụ có đường kính mặt đáy bằng 8(cm) và thể tích khối trụ bằng
. Tỉ số giữa diện tích của thiết diện vng góc với trục của hình trụ và diện
tích xung quanh hình trụ là

A.

B.

C.

D.

Dạng 6: Thiết diện khơng vng góc với trục và cắt các đường sinh của khối trụ
Cho khối trụ có bán kính mặt đáy là r và có trục là
phẳng

khơng vng góc với trục

nhưng cắt tất cả các đường sinh thì ta được

giao tuyến là một đường Elíp có trục nhỏ bằng
Trong đó

là góc giữa trục

. Nếu cắt khối trụ bởi một mặt

và mặt phẳng

Thiết diện là một đường Elíp
 Cách giải
Bước 1: Vẽ hình trụ.

24

và trục lớn bằng
với

.

Bước 2: Xác định thiết diện khi cắt khối trụ bởi một mặt phẳng
với trục

khơng vng góc

.

Bước 3: Dựa vào giả thiết đề bài tìm u cầu của bài tốn.
•

Chú ý. Phương trình đường Elíp
 Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2, với F1F2 = 2c > 0.

Elíp là tập hợp những điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a khơng đổi (a > c).
•
•
•
•

Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của Elíp.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của Elíp.
Trung điểm I của F1F2 gọi là tâm của Elíp.
Với điểm M thuộc Elíp thì các khoảng cách MF 1 và MF2 gọi là các bán kính qua
tiêu của điểm M.

y
B2
M

M1
F1
A1

F2
O

M3

A2 x
M2

B1


 Phương trình chính tắc của Elíp là (E):
 Các yếu tố trong Elíp
•

Tọa độ các đỉnh của Elíp là

•

Tiêu điểm của Elíp là

•

Tiêu cự của Elíp là

•

Độ dài trục lớn của Elíp là
25

=1(

)