Một số dạng toán về số phức

Một số dạng toán về số phức

Lê xuân đại
(
GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc
)


Số phức là một vấn đề còn mới ở ch-ơng trình toán giải tích lớp 12. Do vậy mà các em học sinh không
thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức. Bài viết này giới thiệu một số dạng toán về số phức
nhằm giúp các bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt hơn. Do khuôn khổ của bài viết nên tác giả chỉ nêu ra một số dạng toán
liên quan đến dạng đại số của số phức.
Dạng 1
:
Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức
Thí dụ 1
: Gọi
1 2
,
z z là hai nghiệm của ph-ơng trình
2
2 10 0
z z
. Tính
2 2
1 2

z z
;

4 4
1 2

z z
.
Lời giải
. Giải ph-ơng trình tìm ra hai nghiệm là
1 2
1 3 ; 1 3

z i z i , suy ra
1 2
10

z z .
Do đó
2 2
1 2
20
z z
và
4 4
1 2
200
z z
.

Thí dụ 2
: Cho hai số phức
1 2

z z,
thoả mãn
1 2 1 2
1 3
z z z z

;
. Tính
1 2
z z

.
Lời giải. Đặt
1 1 1 2 2 2
;
z a b i z a b i
. Từ giả thiết ta có
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3( ) ( )

a b a b
a a b b

Suy ra
1 1 2 2
2 1
( ) a b a b
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1( ) ( )
a a b b z z

Bài toán t-ơng tự
: Cho hai số phức
1 2
z z,
thoả mãn
1 2 1 2
3 4 37
; ; z z z z . Tìm số phức
1
2

z
z
z
.
Dạng 2: Bài toán liên quan đến ph-ơng trình nghiệm phức
Thí dụ 3
:

Giải ph-ơng trình nghiệm phức:
2
8 1 63 16 0
z i z i
( )

Lời giải. Ta có
2 2
16 1 63 16 63 16 1 8
i i i i
' ( ) ( ) ( )

Từ đó ta tìm ra hai nghiệm
1
5 12z i
;
2
3 4z i
.
Thí dụ 4:
Tìm hai số thực
x,y
thoả mãn:
3
3 5 1 2 9 14
( ) ( ) x i y i i
Lời giải. Ta có
3
3 5 1 2 3 5 11 2 3 11 5 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x i y i x i y i x y x y i
Do đó x,y thoả mãn hệ
3 11 9
5 2 14
x y
x y





. Giải hệ ta đ-ợc
172
61

x
và
3
61

y
.
Thí dụ 5: Giải ph-ơng trình
3 2
2(1 ) 4(1 ) 8 0

z i z i z i biết rằng ph-ơng trình có một nghiệm thuần ảo.
Lời giải. Gọi nghiệm thuần ảo là ( )

z bi b . Ta có:

2
3 2
3 2
2 4 0
( ) 2(1 )( ) 4(1 )( ) 8 0 2
2 4 8 0








b b
bi i bi i bi i b
b b b

Khi đó phân tích PT đã cho t-ơng đ-ơng:
2
2
2
( 2 ) 2 4 0
2 4 0

z i
z i z z
z z

Từ đó tìm ra 3 nghiệm của PT là:
2 ; 1 3 z i z i
.
Thí dụ 6: Giải ph-ơng trình nghiệm phức:
2
z z






Lời giải
. Đặt
z a bi a b


( , )
, ta có:
2
z z

2 2
2

2
a b a
a bi a bi
ab b








( )

Giải hệ trên ta tìm đ-ợc
1 3
0 0 1 0
2 2
a b





( ; ) ( ; );( ; ); ;
. Vậy
1 3
0 1
2 2
z z z i

; ;
.
Thí dụ 7
: Tìm các số nguyên
x,y
sao cho số phức
z x yi

thoả mãn
3
18 26
z i
.
Lời giải
. Ta có
3 2
3
2 3
3 18
18 26
3 26
x xy
x yi i
x y y

( )
2 3 3 2
18 3 26 3
x y y x xy

( ) ( )
.
Giải PT bằng cách đặt
0
y tx x

( )
ta đ-ợc
1
3

t
x=3,y=1.
Vậy
3z i
.
Trong nhiều tr-ờng hợp, dùng số phức có thể giải đ-ợc các hệ ph-ơng trình khó, ta xét thí dụ sau:
Thí dụ 8
: Giải hệ ph-ơng trình:
2 2
2 2
3
3

3
0
x y
x
x y
x y
x y
y
x y















( , )

Lời giải. Từ hệ suy ra:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3

x y x y i x yi i x yi
x yi x yi
x y x y x y



( ) ( ) ( ) ( )

Đặt z x yi ta đ-ợc PT ẩn
z

:
2
3 3
3 3
i z i
z z
z
z


( ) ( )

Giải PT bậc hai tìm đ-ợc
2
z i

và
1
z i

. Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là
2 1 1 1
x y

( , ) ( , );( , ).

Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho tr-ớc

Thí dụ 9
: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức
z
thoả mãn:
a)
3 4
z z i
b)
1
z i
z i




Lời giải. a) Đặt
z x yi x y ( , )
, ta có
3 4z z i

2 2 2 2
3 4 6 8 25( ) ( ) x y x y x y
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đ-ờng thẳng có ph-ơng trình
6 8 25x y
.
b) Đặt
z x yi x y
( , )
, ta có
1 1 1
z i
z i z i x y i x y i
z i



( ) ( )

2 2 2 2
1 1 0x y x y y ( ) ( )
. Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục thực Ox
Thí dụ 10: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức
1 3 2i z ( )
biết rằng số phức
z thoả mãn:
1 2z
.
Lời giải. Đặt
z a bi a b ( , )

và
x yi x y ( , )






Ta có
2 2
1 2 1 4z a b

( )
(1)
Từ
1 3 2i z ( )
3 2
1 3 2
3
x a b
x yi i a bi
y a b

( )( )
3 1 3
3 3 1
x a b
y a b








( )

Từ đó
2 2 2 2
3 3 4 1 16
x y a b



( ) ( ) ( )
(do (1)).
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn
2 2
3 3 16
x y

( ) ( )

, tâm
3 3I( ; )
, bán kính
R
=4.
Dạng 4: Số phức và bất đẳng thức
Thí dụ 11
: Chứng minh rằng với mỗi số phức
z
, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:
1
1
2
z

hoặc
2
1 1
z


Lời giải
. Giả sử ta có đồng thời
1
1
2
z

và
2

1 1
z

. Đặt
z a bi a b


( , )

Ta có:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
1
2 4 1 0 1
2
2 0 2
1 4 1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )

a b
a b a
a b a b
a b a b

Cộng từng vế (1) với (2) ta đ-ợc
2 2 2 2
2 1 0
a b a
( ) ( )
(vô lý). Suy ra đpcm.
Thí dụ 12:
Cho số phức
0z
thoả mãn
3
3
1
2z
z

. Chứng minh rằng:
1
2z

z

.
Lời giải. Dễ chứng minh đ-ợc rằng với hai số phức
1 2
z z,
ta có
1 2 1 2
z z z z


Từ
3
3
3
1 1 1
3z z z
z z
z




, suy ra
3
3
3
1 1 1 1
3 2 3z z z z
z z z

z


Đặt
1
a z
z

ta đ-ợc
3 2
3 2 0 2 1 0 2
a a a a a
( )( )
(đpcm).
Thí dụ 13
: Cho số phức
z
thoả mãn
2 2 1 z i
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
z
.
Lời giải
. Đặt
z a bi a b

( , )
. Ta có
2 2 1
z i

2 2
7 4( )

a b a b .
éót
2 2
t z a b
, ta có
2 2
2( ) 2. a b a b t
. Suy ra
2
7 4 2. 2 2 1 2 2 1 t t t
.
*
2 2
0
4 2 4 2
2 2 1 ;
2 2
2 2 1

a b
t a b a b
a b
. Khi đó
4 2 4 2
2 2

z i
.





*
2 2
0
4 2 4 2
2 2 1 ;
2 2
2 2 1

a b
t a b a b
a b
. Khi đó
4 2 4 2
2 2


z i
.
Vậy giá trị lớn nhất của
z
bằng
2 2 1
và giá trị nhỏ nhất của
z
bằng
2 2 1
.
Bài t-ơng tự
: Cho số phức
z
thoả mãn
1 2 1
z i
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
z
.

Dạng 5
:
Tính toán các biểu thức tổ hợp
Thí dụ 14
: Tính giá trị của
0 2 4 2008 2010
2010 2010 2010 2010 2010
...

A C C C C C

Lời giải
. Xét khai triển:




2010
2010 0 2 4 2008 2010 1 3 5 2009
2010 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0
1
( ) . ... ...



k k
k

i C i C C C C C C C C C i

Mặt khác
1005
2010 2 1005 1005
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) .



i i i i

So sánh phần thực và phần ảo của
2010
1( )
i
ta đ-ợc
0

A
.
+ Từ trên cũng suy ra kết quả sau:
1 3 5 2009 1005
2010
2010 2010 2010
2
...
B C C C C

+ Bây giờ, ta xét khai triển

2010
2010
2010
0
1( ) .



k k
k
x C x
(*)
Trong (*) lần l-ợt thay x=1 và x=-1 ta đ-ợc:
0 1 2 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2
0
...
...







C C C C C
C C C C C

Suy ra
0 2 4 2008 2010 2009
2010 2010 2010 2010 2010
1 3 5 2007 2009 2009
2010 2010 2010 2010 2010
2
2
...
...







C C C C C C
D C C C C C

Từ kết quả của A và C ta suy ra tổng sau:
0 4 8 2004 2008 2008
2010 2010 2010 2010 2010
... 2

P C C C C C

Từ kết quả của B và D ta suy ra tổng sau:
1 5 9 2005 2009 1004 2008
2010 2010 2010 2010 2010

... 2 2 Q C C C C C
.

Cuối cùng là một số bài tập cho các bạn luyện tập
Bài 1: Giải các ph-ơng trình sau trên tập số phức
1.
3
z z

2.
3 4z z i

3.
2
1 2 11 0i z i ( )

Bài 2: Tìm số phức z sao cho
2A z z i ( )( )
là một số thực





Bài 3
: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z| = 5 và
1
7

z
iz
là số thực
Bài 4
: Cho
n
nguyên d-ơng. Chứng minh rằng:
1 3 8 1 4
8 8 8
1 3 ... (8 1) 4 .2


n n
n n n
C C n C n

Bài 5
: Giải hệ ph-ơng trình:
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
x y
y
x y

( , )
.