SÁNG KIẾN hình học OXYZ lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Trường THPT Lê Q Đơn, huyện Bù Đăng, tỉnh Bình Phước
Tơi ghi tên dưới đây:

Số

Họ và tên

TT

Ngày,

Nơi cơng

Chức

Trình độ

Tỷ lệ

tháng, năm

tác

danh

chun

(%)

sinh

mơn

đóng
góp

1

….

…

Trường …

Giáo
viên

Đại học

100%

sư phạm
Tốn

Là tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Phương pháp giải các dạng
tốn về toạ độ trong không gian giúp học sinh dễ hiểu khi học trực tuyến
phần hình học Oxyz”

Với những thơng tin về sáng kiến cụ thể như sau:
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường ….
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.
3. Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: 27/05/2021
4. Mô tả bản chất sáng kiến:
1


4. 1 Thực trạng
Tọa độ trong không gian là phần hình học Oxyz lớp 12, một số dạng bài tập
thường xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc Gia, kì thi tốt nghiệp THPT, thi học
kì 2, bài tốn khơng khó tuy nhiên nhiều học sinh khơng nhớ cơng thức, khơng
biết cách làm nên làm bài cịn sai.
Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và
kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai.
Muốn học sinh hiểu bài và làm được bài tập thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự
rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ đó tìm ra cho mình
phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở
học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo
sự chuyển biến tích cực trong cơng tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên
đề, sáng kiến phục vụ cho việc dạy và học. Từ những nhận thức đó, hàng năm tơi
đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng
kiến nhằm nâng cao năng lực về chun mơn, góp phần chia sẻ cùng đồng nghiệp,
làm tài liệu giảng dạy cho mình, nhất là trước tình hình dịch bệnh cịn diễn biến
phức tạp nên phải dạy trực tuyến, thì tài liệu rất hiệu quả khi áp dụng dạy trực
tuyến giúp các em dễ hiểu, học sinh có thể vận dụng các dạng làm các bài tập tự
luyện để rèn luyện kĩ năng tính tốn tốt hơn.
4. 2 Vấn đề nghiên cứu
Trong chương trình trung học phổ thơng, tọa độ trong khơng gian là phần
hình học Oxyz, một phần học quan trọng, trong các kỳ thi luôn có bài tốn về tọa

độ trong khơng gian. Nhưng một số học sinh thường làm sai bài toán này. Để giải
quyết bài toán này học sinh phải đọc thật kỹ đề bài từ đó xác định giả thuyết bài
tốn, từ giả thiết bài cho tiến hành giải bài toán. Từ thực tế đó nhằm giúp các em
học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận dụng, khai thác một số
dạng tốn tơi quyết định chọn đề tài “Phương pháp giải các dạng toán về toạ độ
trong không gian giúp học sinh dễ hiểu khi học trực tuyến phần hình học Oxyz”
2


để viết trước tiên phục vụ cho việc giảng dạy của mình, do chưa có nhiều kinh
nghiệm nên đề tài còn nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là tài liệu cần thiết cho giáo
viên và học sinh tham khảo, giúp các em học sinh có thể tự học để bồi dưỡng thêm
kiến thức về phần hình học Oxyz, để các em học sinh tự tin bước vào các kỳ thi
cuối kỳ 2 lớp 12, kỳ thi học sinh giỏi 12, kỳ thi tốt nghiệp THPT.
a) Kiến thức cơ bản
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
- Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy;

Oz

vng góc với nhau từng đơi một và chung

một

điểm góc O. Gọi

là các vectơ đơn vị,

tương ứng trên các trục Ox; Oy; Oz. Hệ ba trục

như

vậy gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong
không gian.
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

- Các mặt phẳng

đơi một vng góc với nhau được gọi là các

mặt phẳng tọa độ.
•

Chú ý:


là các vectơ đơn vị đơi một vng góc nên
.

II. TỌA ĐỘ, VECTƠ
1) Định nghĩa
3

và


Nếu
2) Các công thức về vectơ

Cho 2 vectơ

và

 Tổng và hiệu của hai vectơ



.



.

 Tích của một vectơ với một số

.



 Hai vectơ bằng nhau

.



 Hai vectơ

(Với

thì

cùng phương với nhau

cùng hướng; ngược lại
4

thì

ngược hướng)


 Tích vơ hướng của 2 vectơ kí hiệu:

Hai vectơ

hằng số.

vng góc với nhau

.

 Độ dài vectơ




 Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
 Góc giữa 2 vectơ

và

được tính theo cơng thức sau

(với
•

).

Chú ý:


Khi

thì

là góc nhọn, ngược lại nếu

là góc tù.




5

thì




III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1) Định nghĩa

- Điểm

(trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z

là cao độ).
2) Tính chất

Cho 2 điểm



Vectơ

và

có tọa độ là



Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài vectơ AB



Trung điểm của đoạn AB là M có tọa độ là

Khi đó

6

.




Nếu

và ABC tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì tọa

độ điểm G được tính theo cơng thức

Khi đó
IV. TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

1) Cơng thức định thức

2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ: Cho 2 vectơ:

Khi đó tích có hướng của 2 vectơ

ký hiệu:

là một vectơ và được tính như sau

3) Tính chất

7

hoặc





Độ dài của vectơ tích có hướng



Hai vectơ




Ba vectơ
đồng phẳng khi
Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3

cùng phương

vectơ

không đồng phẳng hay
và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi

4) Ứng dụng



Diện tích hình bình hành



Diện tích tam giác



Thể tích khối hộp



Thể tích tứ diện ABCD:
V. MẶT CẦU

•

Mặt cầu tâm

, bán kính r có phương trình:

•

Ngược lại phương trình:

(*) là phương trình mặt

cầu nếu có điều kiện
8



Khi đó

là tâm của mặt cầu và

là bán kính của

mặt cầu.


Nếu

, phương trình (*) xác định một điểm duy nhất là



Nếu

, khơng có điểm nào thỏa mãn phương trình (*).

VI. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Vectơ

là VTPT của (α) nếu giá của

• Hai vectơ

vng góc với (α).

khơng cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của

chúng song song hoặc nằm trên (α).
•

Chú ý:
 Nếu


Nếu

là một VTPT của (α) thì

(k ≠ 0) cũng là VTPT của (α).

là một cặp VTCP của (α) thì

là một VTPT của (α).

2) Phương trình tổng qt của mặt phẳng
với

• Nếu (α) có phương trình

thì

(α).
9

là một VTPT của


• Phương trình mặt phẳng đi qua

•

và có một VTPT

là

Chú ý:
 Nếu trong phương trình của (α) khơng chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc


chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

(α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là (α):

(β):

• (α), (β) cắt nhau ⇔

• (α) // (β) ⇔

• (α) ≡ (β) ⇔

10

và


• (α) ⊥ (β) ⇔

5) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0
được tính theo cơng thức sau

VII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

song song hoặc trùng với d.
•

Chú ý:


Nếu

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì

cũng là

một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2) Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm

11

và có VTCP


• Nếu

thì

được gọi là phương trình

chính tắc của d.
3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là
và

• d // d′ ⇔

⇔

⇔

• d ≡ d′ ⇔

12

⇔

⇔

⇔

⇔

• d, d′ cắt nhau ⇔ hệ

(ẩn t, t′) có đúng một nghiệm

⇔

⇔

• d, d′ chéo nhau ⇔

⇔

• d ⊥ d′ ⇔

⇔

⇔

4) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

13

Cho mặt phẳng (α):

và đường thẳng d:

Xét phương trình:

(*)

• d // (α) ⇔ (*) vơ nghiệm
• d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm
• d ⊂ (α) ⇔ (*) có vơ số nghiệm
5) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng d:

(1) và mặt cầu (S):

(2)
Để xét vị trí tương đối của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

• d và (S) khơng có điểm chung ⇔ (*) vơ nghiệm ⇔ d(I, d) > R
• d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ d(I, d) = R
• d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt⇔ d(I, d) < R
6) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( α) song song với nó bằng
khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α).
14


7) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP



.

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa

và được tính theo cơng thức

8) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
và mặt phẳng (α) có VTPT

Cho đường thẳng d có VTCP



.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với
hình chiếu d′ của nó trên (α).

b) Các dạng tốn thường gặp trong tọa độ khơng gian
1. Tọa độ của điểm, vectơ
Dạng 1: Tính biểu thức vectơ
Cách giải
 Áp dụng công thức: Cho 2 vectơ

và



15



 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả.
Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ
Tìm tọa độ các vectơ

và

.

Giải
 Phân tích:


u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính tổng, hiệu hai vectơ và tích một
vectơ với một số.




Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào vectơ
.
Hướng dẫn học sinh cách tính tổng, hiệu, tích vectơ với một số.

Lời giải:
Ta có

•
•



Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

Tìm tọa độ các vectơ

và

.

Dạng 2: Tính tích vơ hướng của hai vectơ
Cách giải
16


 Cho 2 vectơ

và

khi đó tích vơ hướng của hai vectơ

được tính theo cơng thức sau
hằng số.
 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả.
Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

Tính các tích vơ hướng sau

Giải

.

 Phân tích:


u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính tích vơ hướng của hai vectơ.
Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào cơng thức tích vơ hướng



của hai vectơ.
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.



Lời giải:
Ta có
•
•
•


Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

Tính các tích vơ hướng sau

.

Dạng 3: Tính độ dài của một vectơ
Cách giải

17


 Cho vectơ

khi đó độ dài của vectơ

được tính theo công thức

 Thay tọa độ vectơ đề bài cho vào cơng thức để tính ra kết quả.

Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ
Tính độ dài của ba vectơ

.
Giải

 Phân tích:




u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính độ dài của một vectơ.

Hướng dẫn học sinh thay tọa độ vectơ vào công thức.
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

Lời giải:
Ta có
•
•
•


Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ
Tính độ dài của ba vectơ

.

Dạng 4: Tính góc giữa hai vectơ
Cách giải

18


 Cho 2 vectơ

và

khi đó góc giữa hai vectơ được

tính theo công thức sau

(với
 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả
•

).

Chú ý:


Khi

thì

là góc nhọn, ngược lại nếu

thì

là góc tù.
Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ
a) Tính góc giữa

và

b) Tính góc giữa

và

Giải
 Phân tích:



u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính góc giữa hai vectơ.
Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào cơng thức tính góc giữa hai



vectơ.
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả góc giữa hai vectơ.



Lời giải:
a) Tính góc giữa

và

Ta có

19


b) Tính góc giữa

và

Ta có



Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

a) Tính góc giữa

và

b) Tính góc giữa

và

Dạng 5: Tính tọa độ của vectơ
Cách giải
 Cho 2 điểm

khi đó tọa độ vectơ

được tính theo

cơng thức
 Thay tọa độ các điểm đề bài cho vào để tính ra kết quả.
Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm
Tìm tọa độ các vectơ

.

.

Giải

 Phân tích:


u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính tọa độ vectơ
20

.





Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các điểm vào vectơ
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

.

Lời giải:
Ta có
•
•
•


Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm
Tìm tọa độ các vectơ

.

.

Dạng 6: Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cách giải
 Cho 2 điểm

;

khi đó tọa độ trung điểm M

của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo
cơng thức sau

 M là trung điểm AB

 G là trọng tâm tam giác ABC
21


 Thay tọa độ các điểm đề bài cho vào để tính ra kết quả tọa độ điểm M và
điểm G.
Ví dụ: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm
a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải
 Phân tích:


u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính tọa độ trung điểm của đoạn




thẳng và trọng tâm của tam giác.
Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các điểm vào cơng thức
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả và cách ghi tọa độ trung điểm M
và trọng tâm G.

Lời giải:
a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB

M là trung điểm AB
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

G là trọng tâm tam giác ABC


Bài tập tự luyện của học sinh
22


Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm
a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC và trung điểm N của cạnh BC.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2. Tích có hướng và ứng dụng
Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ
Cách giải

 Cho 2 vectơ:

và

kí hiệu:

Khi đó tích có hướng của 2 vectơ

hoặc

là một vectơ và được tính theo công thức sau

 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả.
• Chú ý: Cách bấm máy tính casio tính tích có hướng của hai vectơ theo các
bước sau
Bước 1: Nhấn mode 8 màn hình hiện lên
1: COMP
2: CMPLX
3: STAT
4: BASE-N
5: EQN
6: MATRIX
7: TABLE
8: VECTOR
Nhấn số 8 màn hình hiện lên Vector?
1: VctA
2: VctB
3: VctC
Bước 2: Nhấn số 1 màn hình hiện lên VctA(m) m?
1: 3

2:2
Nếu nhấn số 1 là chọn tính tốn vectơ trong không gian 3 chiều Oxyz
Nếu nhấn số 2 là chọn tính tốn vectơ trong khơng gian 2 chiều Oxy
Bước 3: Nhấn số 1 màn hình hiện lên
A
[0
0
0
]
Bước 4: Nhập số cho hoành độ x, rồi nhấn dấu =, nhập số cho tung độ y, rồi nhấn
dấu =, nhập số cho cao độ z, nhấn AC
23


Bước 5: Nhấn Shift, nhấn 5, nhấn 1. Màn hình hiện lên
1: VctA
2: VctB
3: VctC
Nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vectơ B, nhập hoành độ x, rồi nhấn dấu
=, nhập số cho tung độ y, rồi nhấn dấu =, nhập số cho cao độ z, nhấn AC
Bước 6: Shift, nhấn 5, nhấn 3 để chọn vectơ A
Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vectơ B
Màn hình sẽ hiện ra kết quả của tích có hướng theo tọa độ [x, y, z]
Ví dụ: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau
a)

b)
Giải

 Phân tích:





u cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào cơng thức.
Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.
Lời giải:

a)

Ta có
b)

Ta có


Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau
a)

b)

24


Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
Cách giải
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ

 Ba vectơ

đều khác vectơ

đồng phẳng

 Ngược lại ba vectơ
không đồng phẳng
Chú ý:
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.

 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ

đồng

phẳng hay
 Ngược lại bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ

khơng đồng phẳng hay
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, xét sự đồng phẳng của các vectơ sau
a)
b)
Giải
 Phân tích:




Yêu cầu học sinh nhắc lại điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào công thức.

Hướng dẫn học sinh kết luận.
Lời giải:

25