Bộ đề toán ôn thi vào 10

BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10

ĐỀ 1
Câu 1:
𝑚𝑛2 +𝑛2 .(𝑛2 −𝑚)+1

Cho biểu thức : A=

𝑚2 n4 +2n4 +m2 +2

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng : A dương.
c. Với giá trị nào của m thì A (max)
Câu 2:
Tìm GTNN của biểu thức : √𝑥 2 − 𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 𝑥 + 1
Câu 3
Cho phương trình : x2−2mx+m−2=0 ( x là ẩn số )

(1)

Chứng minh (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
Câu 4
Cho △ABC có chu vi là 2p, cạnh BC = a, gọi góc BACˆ=α , đường tròn nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc cạnh AC tại K.
Tính diện tích △AOK .

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
Câu 5

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC với A = 60∘. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB'và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn
Câu 1:

a, A=

𝑚𝑛2 +𝑛2 .(𝑛2 −𝑚)+1
𝑚2 𝑛4 +2𝑛4 +𝑚2 +2

<=> A=
< => A=
<=> A=

𝑚𝑛2 +𝑛4 −𝑚𝑛2 +1
𝑚2 𝑛4 +𝑚2 +2𝑛4 +2
𝑛4 +1
(𝑛4 +1) (𝑚2 +2)
1
𝑚2 +2

Ta có : m2≥0,∀m

b,

⇒ m2+2>0,∀m
⇒

1
𝑚2 +2

+2>0,∀m

Vậy A>0,∀m.

C,

Ta có : m2 ≥0,∀m

⇒ m2+2 ≥ 2,∀m
⇒

1
𝑚2 +2

1

+ 2 ≤ ,∀m <=> A ≤
2

1
2

1

Vậy A= max ⇔A=

2

⇔m2+2 = 2 <=> m = 0.
Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10

Câu 2:

1
3 3
Ta có : x2 – x + 1 = (x− )2 + ≥ ∀ x ∈ R
2
4 4
1
3 3
X2 + x + 1 = (x + ) 2+ ≥ ∀ x ∈ R
4 4
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số: √𝑥 2 − 𝑥 + 1, √𝑥2 + 𝑥 + 1 ta có
2

4
√𝑥 2 − 𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 𝑥 + 1 ≥ √√𝑥 2 − 𝑥 + 1 √𝑥2 + +𝑥 + 1 = 2 √𝑥 4 + 𝑥 2 + 1 ≥ 2

Vậy Min

𝑥4 + 𝑥2 + 1 + 1
A =2 {
√𝑥 2 − 𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 𝑥 + 1

<=> x= 0
Câu 3:
Ta có : Δ′= m 2− m + 2 = m2 − m +

1
4

+

7
4

1
7
⇔Δ′ = ( m − )2 +
2
4
1
7
Vì : Δ′= ( m − )2 + > 0, ∀m
2
4
=> (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m ( đpcm )
Câu 4:
Ta có : AK = AL; CK = CM; BM = BL
=> 2 CM + 2 AK + 2 BM = 2p .
Mà AK = p – (BM + CM) <=> AK = p – a
Vì theo giả thiết : BACˆ=α

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
𝛼
=> KAOˆ=
2
+ OK = (p - a)tan

𝛼
2

1

1

𝛼.

2

2

2

=> SAOK= AK.AO= (p−a)2 tan
Câu 5:

̂ là góc ở tâm chắn cung BC và 𝐵𝐴𝐶
̂ là góc nội tiếp chắn cung BC
Ta có: 𝐵𝑂𝐶

̂ BACˆ =
⇒ 𝐵𝐴𝐶

1
2

̂ (định lý về góc nội tiếp và góc ở tâm)
𝐵𝑂𝐶

̂ = 2 . 𝐵𝐴𝐶
̂ = 2.60∘
⇒ 𝐵𝑂𝐶

(1)

̂ + 𝐻𝐵′𝐴
̂ + 𝐵′𝐻𝐶′
̂ =360∘ (tổng 4 góc trong tứ
Xét tứ giác AC'HB" có" 𝐴̂ + 𝐻𝐶′𝐴
giác)
̂ = 360∘−60∘−90∘−90∘=120∘
⇒ 𝐵′𝐻𝐶′
̂ đối đỉnh 𝐵𝐻𝐶
̂ => 𝐵𝐻𝐶
̂ = 120∘ (2)
mà 𝐵′𝐻𝐶′
Trong ΔIBC:

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS

BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
̂ ⇒ 𝐶𝐵𝐼
̂ =
BI là tia phân giác 𝐴𝐵𝐶
̂ ⇒ 𝐵𝐶𝐼
̂ =
CI là tia phân giác 𝐴𝐶𝐵
̂ + 𝐵𝐶𝐼
̂ =
⇒ 𝐶𝐵𝐼

=

1
2

1
2

1
2
1
2

̂
𝐴𝐵𝐶
̂
𝐴𝐶𝐵

̂ + 𝐴𝐶𝐵
̂)
( 𝐴𝐵𝐶

̂) =
. (180∘− 𝐵𝐴𝐶

1
2

. (180∘−60∘)

= 60∘
̂ = 180∘− 𝐶𝐵𝐼
̂ = 180∘−60∘ = 120∘ (3)
⇒ 𝐵𝐼𝐶

Từ (1)(2)(3), các điểm O, I, H nằm trên cung chứa góc 120∘ dựng trên đoạn BC

Vậy 5 điểm B, C, O, H, I nằm trên cùng 1 đường trịn

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10

ĐỀ 2
Bài 1:
a, Cho biết a=2 + √3 và b=2 –√3. Tính giá trị biểu thức: P=a+b–ab
b, Giải hệ phương trình: {

3𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 2𝑦 = −3

Bài 2:
Cho biểu thức P= (

1
𝑥−√

+
𝑥

1

√

√𝑥
√𝑥 +1

:
𝑥−1 𝑥−2

( 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 1 )

a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm hiểu các giá trị của x để P >

1
2

Bài 3:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng sau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống,
mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống
rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây tồn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm
đi 4 luống rau nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây tồn vườn sẽ tăng
thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây sau cải bắp?
Bài 4:
Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vng góc với AB tại I (I
nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại
F. Chứng minh:
a. BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn
b. AE.AF=AC2
c. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CEF ln
thuộc một đường thẳng cố định

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10

Hướng dẫn
Bài 1:
Ta có: a + b = ( 2+ √3 ) + (2− √3 ) =4

a.

a.b= ( 2 + ).( 2− √3 ) =1
Suy ra: P =3

b. {

6𝑥 + 2𝑦 + 10
3x + y + 5
7𝑥 = 7
𝑥=1
 {
 {
{
𝑦 = 5 − 3𝑥
𝑦=2
𝑥 − 2𝑦 = −3
𝒙 − 2y = −3

Bài 2:
a. P= (

=(
=

1
√𝑥(√

+
𝑥+1)

1
√𝑥(√𝑥+1)
1+ √𝑥

√𝑥 ( √𝑥−1)

.

+

√𝑥
√𝑥 ( √𝑥−1
√𝑥
√𝑥 (𝑥−1)

(√𝑥−1)2

b. Với x > 0; x ≠ 1 thì

√𝑥
𝑥−1
𝑥

Vậy với x > 2 thì P >

1

=

√𝑥
√𝑥+1

) : 𝑥−2

).

(√𝑥−1 )2

√𝑥
( √𝑥+1 )( √𝑥−1)
√𝑥.√𝑥

=

𝑥−1
√𝑥

1

> 2 ⇔ 2 ( x −1) > x ⇔ x > 2

2

Bài 3:
Gọi x là số luống rau; y là số cây của mỗi luống. (x;y>0)
Ta có vườn nhà Lan trông được x.ycây.
Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây tồn vườn
ít đi 54 cây. Ta có phương trình:
( x + 8 ).( y – 3 ) = x y – 54 ⇔ xy − 3x + 8y – 24 = xy − 54
⇔ xy – xy − 3x + 8y = − 54 + 24 ⇔ − 3x + 8y = − 30
⇔ 3x − 8y = 30 (1)

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS

BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
Nếu giảm đi 4 luống rau nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây tồn
vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Ta được phương trình:
(x − 4 ).( y + 2 ) = xy + 32 ⇔ xy + 2x − 4y – 8 = xy − 32
⇔ xy – xy + 2x − 4y = 32 + 8 ⇔ 2x − 4y = 40 ⇔ x − 2y = 20 (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình sau:
3𝑥 − 8𝑦 = 30
3𝑥 − 8𝑦 = 30
{
{
𝑥 − 2𝑦 = 20
𝑥 = 20 + 2𝑦
Áp dụng quy tắc thế ta được:
60 + 6𝑦 − 8𝑦 = 30
−2𝑦 = 30 − 60
3 ( 20 + 2𝑦 ) − 8𝑦 + 30
{
{
{
𝑥 = 20 + 2𝑦
𝑥 = 20 + 2𝑦
𝑥 + 20 = 2𝑦
−2𝑦 = −30
𝑦 = 15
𝑦 = 15
{
{
{
𝑥 = 20 + 2𝑦

𝑥 = 20 + 2𝑦
𝑥 = 20 + 2.15
𝑦 = 15
{
𝑥 = 50
Vậy có 50 luống và mỗi luống có 15 cây. Vậy vườn nhà Lan trồng số cây cải bắp
là: 15.50 = 750 (cây)
Bài 4:
a. Tứ giác BEFI có: BIF=900 (gt)
BEF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF.
b. Vì AB⊥CD nên AC = AD, suy ra ACF = AEC
Xét ΔACF và ΔAEC có góc A chung và ACF = AEC.
𝐴𝐶 𝐴𝐸

Suy ra: ΔACF∼ΔAEC⇒

=

𝐴𝐹 𝐴𝐶

⇒AE.AF=AC2
c. Theo câu (b) ta có ACF = AEC, suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp ΔCEF (1)
Mặt khác ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy ra AC⊥CB(2).

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10

Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường trịn ngoại tiếp ΔCEF, mà CB
cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔCEF thuộc CB cố định khi E thay đổi
trên cung nhỏ BC.

ĐỀ 3
Bài 1:
Cho các đường thẳng sau:
(d1):y=x−2
(d2):y=2x−4
(d3):y=mx+m+2
a. Tìm điểm cố định mà (d3) ln đi qua với mọi m
b. Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy
Bài 2:
Giải hệ phương trình:
2
1
=−
𝑦+1
2
1
2𝑥 +
=2
𝑦+1
{
3𝑥 −

Bài 3:
Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10
mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài 4:
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kì trên đường
tròn sao cho C ≠A,B và AC < CB. D thuộc cung nhỏ BC sao cho ∠DOC = 900. E
là giao điểm của AD và BC; F là giao điểm của AC và BD:

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
a. Chứng minh rằng tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp
b. Chứng minh rằng FC. FA = FD. FB
c. I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của (O)
d. Khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện của bài tốn thì I thuộc đường trịn cố định
nào?

Hướng dẫn
Bài 1:
a. Giả sử điểm cố định mà (d3 ) luôn đi qua với mọi m là A(xo; yo)
y0 = mx0 + m + 2 đúng với mọi m
 m ( x0 + 1) + ( 2 − y0 ) = 0 đúng với mọi m
𝑥 +1=0
𝑥 = −1
{ 0
{ 0
2 − 𝑦0 = 0
𝑦0 = 2
Vậy điểm cố định mà (d3) luôn đi qua với mọi m là A(−1;2)
b. Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình
𝑦 =𝑥−2
𝑥 − 2 = 2𝑥 − 4

𝑥=2
𝑥=2
{
{
{
{
𝑦 =𝑥−2
𝑦 =𝑥−2
𝑦=0
𝑦 = 2𝑥 − 4
Để 3 đường thẳng trên đồng quy thì (d3) phải đi qua giao điểm của (d1) và
(d2)
 0 = 2m + m + 2  m = −
Vậy với m =−

2
3

2
3

thì 3 đường thẳng trên đồng quy

Bài 2:
Điều kiện y ≠ −1
2

1

2

1

7

3𝑥 −
= −
3𝑥 −
= −
7𝑥 =
𝑦+1
2
𝑦+1
2
2
{
{
{
1
1
2
2𝑥 +
=2
2𝑥 +
=2
4𝑥 +
=4
𝑦+1
𝑦+1

𝑦+1

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
{

𝑥=

1+

1
𝑌

1
2

=2

{

𝑥=

1
2

𝑦=0

( TMĐK Y≠ −1)

1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=( ;0)
2

Bài 3:
Nửa chu vi là: 28 : 2 = 14 (m)
Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét). Điều kiện 0=> Chiều rộng mảnh đất là 14–x (mét)
Ta có chiều dài lớn hơn chiều rộng nên x>14−x=>x>7
Vì độ dài đường chéo là 10 met nên ta có phương trình
X2 + ( 14 - x )2 = 102  2x2 - 28x + 169 = 0
𝑥 = 8 > 7 ( 𝑇𝑀)
 x2 -14x + 48 = 0 {
𝑥 = 6 < 7 ( 𝐾𝑇𝑀 )
Vậy chiều dài mảnh đất là 8 mét, chiều rộng là 14- 8 = 6 (mét)
Bài 4:

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS


BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
a. ∠ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)=>∠FCE = 900
∠ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)=>∠FDE = 900
Xét tứ giác CEDF có:
∠FCE = 900
∠FDE = 900
=> ∠FCE + ∠FDE = 1800
=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp
b. Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung
∠ADF = ∠BCF = 900
=> ΔAFD ∼ ΔBFC
=>

𝐹𝐴 𝐹𝐷

=

𝐹𝐵 𝐹𝐶

=> FA.FC=FB.FD

C. Do ∠FCE = 900 Nên FE là đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF
Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I
=> CFI = ∠FCI
̂ )
Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn 𝐸𝐶
̂)
Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA (2 góc nội tiếp cùng chắn 𝐴𝐶
ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CB
=> ∠FCI = ∠BCO
=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO
=> ∠ICO = 900
Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS

BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10
d. Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = 900
Xét tứ giác ICOD có:
∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 900
=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật
Lại có OC = OD = R
=> Tứ giác ICOD là hình vng.
Có OI là đường chéo hình vng cạnh R
=> OI = R√2
O cố định, do đó I thuộc đường trịn tâm O, bán kính R √2 cố định

Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS