Báo cáo "Problè me gé né ral aux limites de Riemann avec dé placement et problè me de Hilbert pour l''''e''''xté rieur domain de l''''unitaire circle " pdf

VNU. JOURNAL OF SCIENCE, Mathematics - Physics. T.XXI, N
0
1 - 2005
PROBL
`
EME G
´
EN
´
ERAL AUX LIMITES DE RIEMANN
AV E C D
´
EPLACEMENT ET PROBL
`
EMEDEHILBERT
POUR L’E’XT
´
ERIEUR DOMAIN DE L’UNITAIRE CIRCLE
Vu Van Khu ong
Universit ´e de Comm unication et de transport
R´esum´e.
Dans le livre ”probl`eme aux limites” de prof. Ph. D. Gakhov (voir [1]), on a
r´esolu les trois probl`emes suivants:
+Probl`eme aux limites de Riemann
Φ
+
(t)=

µ
k=1
(t − α

k
)
m
k

ν
j=1
(t − β
j
)
p
j
G
1
(t)Φ
−
(t), (1)
o`u α
k
(k = 1,µ), β
j
(j = 1, ν) sont des quelconques points sur la fronti`ere L; m
k
,p
j
des entiers p ositifs. G
1
(t) est la fonction diff´erente de z´ero pour tout t ∈ L, satisfaisante
`a condition de Holder.
+Probl`eme g´en´eral aux limites de Riemann avec d´eplacement

Φ
+
[α(t)] = G(t)Φ
−
(t). (2)
+Probl`eme de Hilb ert pour la circonf´erence int´erieure D
+
de l’unitaire circle.
Dans cet article nous consid´erons les trois probl`emes g´en´eralis´es (en correspondance) suiv-
ants.
+Probl`eme de Riemann satisfaisant `al’´equation (1) et aux conditions de Cauchy
d
k
Φ(z
h
)
dz
k
= a
h
k
,k= 1,m
h
− 1,h= 1,n.
+Probl`eme g´en´eral aux limites de Riemann avec d´eplacement
Φ
+
[α(t)] =

µ

k=1
(t − α
k
)
m
k

ν
j=1
(t − β
j
)
p
j
G(t)Φ
−
(t).
+Probl`eme de Hilbert pour la circonf´erence ´ext´erieure D
−
de l’unitaire circle.
A. R´esolutionduprobl`emedeRiemannsatisfaisantauxconditionsdeCauchy
On doit c h ercher deux fonctions Φ
+
(z) analytiques dans D
+
et Φ
−
(z)dans D
−
.

On ´ecrire la condition aux limites du probl`eme de Riemann.
Φ
+
(t)=

µ
k=1
(t − α
k
)
m
k

ν
j=1
(t − β
j
)
p
j
G
1
(t)Φ
−
(t)+g(t),
Typeset by A
M
S-T
E
X

8
Probl`eme g´en´eral aux limites de R iemann avec 9
o`u α
k
(k = 1,µ), β
j
(j = 1, ν) sont des quelconques points de la fronti`ere L; m
k
,p
j
des
entiers positifs. On d´esigne par
IndG
1
(t)=χ,
ν

j=1
p
j
= p,
µ

k−1
m
k
= m.
On ch ´echera les solutions en classe des fonctions born´ees `alafronti`ere et satisfaisantes
aux conditions de Cauc hy
d

k
Φ(z
h
)
dz
k
= a
h
k
,k= 1,m
h
− 1,h= 1,n
n

h=1
m
k
= m
∗
.
En supposant que χ − p  m
∗
,o`u z
1
,z
2
, ··· ,z
n
sont les points donn´es du D
+

ou du
D
−
.Nousavonsd´ej`a (voir [1], [2], [3]) les formules des solutions g´en´erales du probl`eme
de Riemann comme suite
Φ
+
(z)=Y
+
(z)+X
+
(z)
ν

j=1
(z − β
j
)
p
j
P
χ−p
(z)
Φ
−
(z)=Y
−
(z)+X
−
(z)

ν

j=1
(z − β
j
)
p
j
P
χ−p
(z)
o`u
Y
+
(z)=X
+
(z).
ψ
+
(z) − Q
ρ
(z)
ν

j=1
(z − β
j
)p
j
Y

−
(z)=X
−
(z).
ψ
−
(z) − Q
ρ
(z)
µ

k=1
(z − α
k
)
m
k
,
sont la particulaire solution du probl`eme no n homˆog`ene. D’o`uonobtient
P
χ−p
(z)=
Φ
+
(z) − Y
+
(z)
X
+
(z)

µ

k=1
(z − α
k
)
m
k
= A(z )
avec z ∈ D
+
P
χ−p
(z)=
Φ
−
(z) − Y
−
(z)
X
−
(z)
µ

k=1
(z − α
k
)
m
k

= B(z)
avec z ∈ D
−
.
10 Vu Van Khuong
On a, alors
d
k
P
χ−p
(z
h
)
dz
k
=[A(z)]
(k)
z =z
h
= c
h
k
− connues, avec z ∈ D
+
d
k
P
χ−p
(z
h

)
dz
k
=[B(z)]
(k)
z=z
h
= b
h
k
− connues, avec z ∈ D
−
o`u c
h
k
,b
h
k
on peut les calculer sur la base des conditions donne´es
d
k
Φ(z
h
)
dz
k
= a
h
k
.

D’o`u, on peut calculer le polynˆomedeHermitte P
χ−p
(z). Le probl`eme donn´eestr´ealis´e
avec la condition que χ − p  m
∗
;
m
∗
= m
1
+ m
2
+ ···+ m
n
.
B. Probl`eme g´en´eral aux limites de Riemann avec d ´eplacemen t
On donne une courbe close, simple s´eparante plane complexe en circonf´erence
int´erieure D
+
et ´ext´erieure D
−
. La fonction est donn´ee sur la courbe, et est satis-
faisante `alaconditiondeHolder. Lafonctionα(t)estisomorphismedeLsurleuret
diff´erente de z´ero. On ´ecrire les conditions du probl`eme homˆog`ene sous la forme
Φ
+
[α(t)] =
µ

k=1

(t − α
k
)
m
k
ν

j=1
(t − β
j
)
p
j
G(t)Φ
−
(t), (2)
o`u α
k
(k = 1,µ), β
j
(j = 1, ν) -lespointsdiff´erents `alacourbeL;m
k
,p
j
-nombres
entiers positifs.
On d´esigne par
µ

k=1

m
k
= m
ν

j=1
p
j
= p, IndG(t)=χ.
On ch´echera les solutions dans la classe des fontions born´ees `alafronti`ere L. On doit
d´eterminer les fontions Φ
+
(z) analytiques dans D
+
, Φ
−
(z) analytiques dans D
−
,leures
valeures aux limites satisfaisantes `a (2) avec la condition compl´ementaire Φ
−
(∞)=0.
On r´e´ecrire la condition (2) comme suite
Φ
+
[α(t)]
µ

k=1
[(α(t) − α

k
)]
m
k
=
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
.G(t).
Φ
−
(t)
ν

j=1
(t − β
j
)
p
j
, (3)
Probl`eme g´en´eral aux limites de Ri emann avec 11

en posant
Φ
+
1
[α(t)] =
Φ
+
[α(t)]
µ

k=1
[(α(t) − α
k
)]
m
k
Φ
−
1
(t)=
Φ
−
(t)
ν

j=1
(t − β
j
)
p

j
.
On a alors
Φ
+
1
[α(t)] =
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
.G(t).Φ
−
1
(t), (3’)
o`u α(t) est isomorphisme de L sur leur et conserve l’orientation, α

(t) satisfaite `ala
condition de Holder, α

(t) =0∀t ∈ L.
C’est pourquoi, on a
Ind Φ

+
1
[α(t)] = Ind Φ
+
[α(t)] = Ind Φ
+
(t)=N
+
χ = Ind G
1
(t)=Ind [
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
G(t)] = Ind G(t)=N
+
+ N
−
.
En cas de χ < 0leprobl`eme homˆog`ene a l’unique s olution z ´ero, (voir [1], [2]).
En cas de χ  0lasolutionduprobl`eme homˆog`ene a χ z´eros.
On ´etudiera la cas de χ =0.

On r´echerchera la solution satisfaisante `a Φ
−
1
(∞)=1.
De (3’) on a alors
ln Φ
+
1
[α(t)] − ln Φ
−
1
(t)=ln G
1
(t)=g(t).
En posant Γ(z)=ln Φ
1
(z) - la fonction analytique dans D
+
ou dans D
−
, et satisfaite
`alaconditionauxlimites

Γ
+
[α(t)] − Γ
−
(t)=g(t)
Γ
−

(∞)=ln Φ
−
1
(∞)=0.
(4)
En cas de χ =0leprobl`eme a l’unique solution exprim´ee par la formule:
Φ
1
(z)=e
Γ(z)
, Γ
±
(z)=
1
2πi

L
Γ
±
(ζ)
ζ − z
dζ
Γ
−
(t)=g
1
(t)+

R(t, ζ)g
1

(ζ)dζ
Γ
+
(t)=Γ
−
[β(t)] + ln G
1
(t),
o`u
g
1
(t)=−
1
2
ln G
1
(t)+
1
2πi

L
ln G
1
(ζ)α

(ζ)
α(ζ) − α(t)
dζ.
12 Vu Van Khuong
On obt ient alors

G(t).
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
= G
1
(t)=
e
Γ
+
[α(t)]
e
Γ
−
(t)
.
Cette pr´esentation est unique avec Φ
−
(∞)=1. Encasde χ > 0,on´ecrire la condition
aux limites sous la forme
Φ
+

1
[α(t)] = t
χ
{[t
−χ
G(t)]
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
}Φ
−
1
(t)
Φ
+
1
[α(t)] = t
χ
.G
2
(t).Φ
−

1
(t),
o`u
G
2
(t)=t
−χ
G(t)
µ

k=1
(
t − α
k
α(t) − α
k
)
m
k
=
e
Γ
+
[α(t)]
Γ
−
(t)
on pose
g
2

(t)=−
1
2
ln [t
−χ
G
1
(t)] +
1
2πi

L
ln [ζ
−χ
G
1
(ζ)]α

(ζ)
α(ζ) − α(t)
dζ
on a alors
Φ
+
1
[α(t)]
e
Γ
+
[α(t)]

= t
χ
.
Φ
−
1
(t)
e
Γ
−
(t)
,
nous consid´erons les fonctions
Φ
+
1
(z)
e
Γ
+
(z)
,z
χ
.
Φ
−
1
(z)
e
Γ

−
(z)
.
Comme les fonctions `a chercher. En particulaire, la fonction
z
χ
.
Φ
−
1
(z)
e
Γ
−
(z)
=
z
χ
.Φ
−
(z)
e
Γ
−
(z)
ν

j=1
(z − β
j

)
p
j
alad´egr ´ee
χ −
ν

j=1
p
j
= χ − p, enz= ∞.
En effet, on obtient
Φ
−
1
(t)=g
2
(t)+P
χ−p
(t)+

L
R(t, ζ)[g
2
(ζ)+P
χ−p
(ζ)]dζ
ϕ
−
(t)=g

2
(t)+

L
R(t, ζ)g
2
(ζ)dζ
Φ
∗−
k
(t)=t
k
+

L
R(t, ζ)ζ
k
dζ ,k= 0, χ − p
Φ
−
1
(t)=ϕ
−
(t)+
χ−p

k=0
C
k
.Φ

∗−
k
(t),
Probl`eme g´en´eral aux limites de Ri emann avec 13
o`u Φ
∗−
k
(t) est la solution de l’´equation de Fredholm suivante
Φ
∗
1
(t) −
1
2πi

L
[
α

(ζ)
α(ζ) − α(t)
−
1
ζ − t
]Φ
∗−
(ζ)dζ = t
k
,k= 0, χ − p
Φ

+
1
(t)=Φ
−
1
[β(t)] + g[β(t)] ; (β[α(t)] ≡ t)
Sur la base de la formule de Cauchy on obtient les fonctions analytiques Φ
+
(z)et Φ
−
(z).
On a maitenant:
Th´eor`eme :
Le probl`eme de Riemann homˆogene av ec χ  0 a (χ−p+ 1) solutions linairement
ind´ependantes. La solution g´en´erale se donera par la formule:
Φ
+
(z)=e
Γ
+
(z)
χ−p

k=0
C
k
.Φ
∗−
k
(z)

Φ
−
(z)=z
−χ
.e
Γ
−
(z)
χ−p

k=0
C
k
.Φ
−
k
(z),
o`u
Γ
±
(z)=
1
2πi

L
Γ
±
(ζ)
ζ − z
dζ

Γ
−
(t)=g
2
(t)+

L
R(t, ζ)g
2
(ζ)dζ
g
2
(t)=−
1
2
ln [t
−χ
G
1
(t)] +
1
2πi

L
ln [ζ
−χ
G
1
(ζ)]α


(ζ)
α(ζ) − α(t)
dζ
Φ
∗−
k
(t)=t
k
+

L
R(t, ζ)ζ
k
dζ ,k= 0, χ − p
Φ
∗+
k
(t)=Φ
∗−
k
[β(t)] + g[β(t)]
Φ
∗±
(z)=
1
2πi

L
Φ
∗±

(ζ)
ζ − z
dζ ,k=
0, χ − p.
C. Le probl `emedeHilbertpourlacirconf´erence ´ext´etieure D
−
de l’unitaire
circle
Pour l’unitaire circle, l’op´erationdeSchwartzestidentique`al’int´egral de Schwartz,
(voir [1], [3])
F (z)=u(x, y)+iv(x, y)
γ(z)=
1
2π
2π

0
[arctg
b(σ)
a(σ)
− χσ]
e
iσ
+ z
e
iσ
− z
dσ
γ(z)=w(x, y)+iw
1

(x, y)
14 Vu Van Khuong
Q(z)=iβ
0
+
−χ

k=1
(c
k
z
−k
− c
k
z
k
).
On obtient la solution du probl`eme de Hilbert
a(s)u(s)+b(s)v(s)=c(s); 0(0, 0) ∈ D,etInd[a(s)+ib(s)] = χ.
On c h´echera des r´eelles fonctions p(s)tellesque p(s)[a(s)+ib(s)] soient la valeur aux
limites des fonctions analytiques ayantes z´ero pour tout z ∈ D
−
, except´e z = ∞ ,o`u
elles ont la d´egr´ee (−χ). En effet, on a
p(s)[a(s)+ib(s)] = t
χ
e
iγ(z)
γ(z)=w(x, y)+iw
1

(x, y) - analytique pour tout z ∈ D
−
maintenant, on a la formule
γ(z)=S[arctg
b
a
− χarctgt]
p(s)=
|t|
χ
e
−w
1
(s)

a
2
(s)+b
2
(s)
= e
−w
1
(s)
,
o`uS-op´eration de Schwartz pour D
−
. On a maintenan t le pr obl`eme de Hilbert suivant
Re


F (t)
a(s)+ib(s)

= c(s)
Re

F (t)
t
χ
e
iγ(t)

= |t|
−χ
e
w
1
(s)
c(s)=e
w
1
(s)
c(s)
pour χ a 0.
F (t)=z
χ
e
iγ
[S(|t|
−χ

e
w
1
(s)
c(s)) + Q(z)] = z
χ
e
iχ(z )
[S(e
w
1
(s)
c(s)) + Q(z)]. u Q(z)estla
fonction analytique pour tout z ∈ D
−
except´ez = ∞.Enz = ∞ Q(z)alad´egre´ea (−χ)
et ReQ(z)|z ∈ L = 0, on voit facilement
Q(z)=iβ
0
+
−χ

k=1
(c
k
z
−k
− c
k
z

k
) adapt´ee `alacondictiondel’ext´erieure circonstance de
l’unitaire circle
F (z)=z
χ
e
iγ(z)
[−
1
2π
2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
e
iσ
+ z
e
iσ
− z
dσ + Q(z)].
En particulaire, pour χ = 0 on obtient
F (z)=z
χ
e
iγ(z)
[S(e

w
1
(s)
c(s)) + Q(z)]; Q(z) ≡ 0.
Probl`eme g´en´eral aux limites de Ri emann avec 15
En ce cas, F (z)alapoldelad´egre´eχ;c’estpourquoi,leprobl`eme de Hilbert homˆog`ene
n’est r´esonable.
F (z)=z
χ
e
iγ(z)
iβ
0
Le probl`eme non homˆog`ene est seulement r´esonable `a condition que: il satisfasse `atoutes
conditions suivantes
S(c(s)e
w
1
(s)
)=−
1
2π
2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
e

iσ
+ z
e
iσ
− z
dσ
e
iσ
+ z
e
iσ
− z
=1+
2z
e
iσ
− z
=1−
2
1 −
e
iσ
z
=1− 2(1 +
e
iσ
z
+
e
i2σ

z
2
+ ···)
on doit obtenir les condi tions `afaire
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−
1
2π
2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
dσ =0→ k =0

2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
e
ikσ
dσ =0→ k = 1, χ − 1
2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
cos kσdσ =0→ k = 0, χ − 1.
2π

0
c(σ)e
w
1
(σ)
sin kσdσ =0→ k = 1, χ − 1
on a totalement les (2χ − 1) conditions `ar´esoudre le probl`emedeHilbertnonhomˆog`ene.
References
1. Ph. D. Gakhov, Probl`emes aux limites, Moscou 1970 (en Russe).
2. G. S. Litvinchouk, Probl`emes aux limites et ´equations int´egrales singulaires avec

d´eplacement, M oscou 1977 (en R usse).
3. Syst`eme des ´equations int´egrales singulaires, Moscou 1970 (en Russe).