Tiểu luận: Các hàm sơ cấp cơ bản doc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
Họ và tên: Phạm Văn Hòa
Ngày sinh: 23/03/1994
Mã số sinh viên: 12020714
Ctmail:
Phone: 01664187405
Nhóm: 1
TOÁN K57_V
TIỂU LUẬN
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
I, Hàm đường thẳng
1,Xét đường thẳng có phương trình: y=ax +b, trong đó a,b∈ R được gọi là phương
trình hàm đường thẳng. Ta có: a -là hệ số góc
2, Hàm số có tập xác định là: R=(-∞ ;+∞) và tập giá trị là R
*Tính chất
• Phương trình tổng quát: y=ax +b, trong đó a là hệ số góc.
• Đồ thị luôn là một đường thẳng
• Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0
• Khi b=0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
• Khi a=0 thì hàm số trở thành hàm hằng và có đồ thị là một đường thẳng song
song với trục ox
• Đặc biệt đồ thị hàm y= x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và chia góc phần tư
thứ nhất làm hai phần bằng nhau và được gọi là đường phân giác thứ nhất
*Đạo hàm
• Hàm y= ax +b có đạo hàm bằng: y’=a- là một hằng số
• Hàm hằng có đạo hàm bằng 0
x
a<0
y
y=ax+b

o
a>0
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
II,Hàm lũy thừa
1, Hàm lũy thừa có dạng : y=x , trong đó α là một số thực bất kì.
2,Miền xác định cuả hàm số phụ thuộc vào a
• Với a∈ N thì miền xác định của hàm số là cả trục số R
• Với a nguyên âm thì tập xác định của hàm số là cả trục số trừ điểm gốc 0
• Với a có dạng ; p∈ Z thì : miền xác định phụ thuộc vào p chẵn hay lẻ và tập
giá trị của p
3, Nếu α là số hữu tỷ thì khi đó ta có thể viết :y= thì không xác định được với x<0
Nếu a là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét tại mọi x≥ 0 nếu a>o và tại mọi x<0 nếu a<0
Để đúng cho mọi trường hợp ở đây ta xét x>0
4, Đồ thị

*Tính chất
• Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 trong khoảng(0,+∞) và liên
tục trên khoảng đó
• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc tọa độ nếu a>0 và không đi
qua nếu a<0
• Với α=1 thì đồ thị hàm số trùng với đường phân giác thứ nhất
• Đồ thị hàm số với α>1 và 0<α<1 là hai đường cong đối xứng nhau qua đường
phân giác thứ nhất
• Khi a>0 đồ thị hàm số không có tiệm cận. Khi a<0 thì đồ thị hàm số nhận trục
Ox làm tiệm cận ngang và nhận trục Oy làm tiệm cận đứng
*Đạo hàm
• Hàm số y=x (α ∈R ) có đạo hàm với mọi x>0 và (x)’=α x
• Đối với hàm số hợp y=u và u=u(x) thì y’=α u u’
y=x

a<0
y=x
a=1
0<a<1
a>1
aa>1
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
III, Hàm mũ
1, Hàm mũ có dạng: y=a , trong đó a là cơ số . Hàm số chỉ xác định với cơ số a>0,
khi đó tập tập xác định của nó là R=(-∞,+∞)
2, Tập giá trị của hàm số là : (0 ;+∞)
3, Hàm số liên tục trên tập xác định hay liên tục trên R=(-∞ ;+∞)
4, Đồ thị

*Tính chất
• Hàm mũ luôn dương với mọi giá trị của biến số
• Nếu a=1 , hàm y=1 với mọi x.
• Với mọi a>0 ta có a =1
• Với a>1 thì ta có hàm số đồng biến trên tập xác định.
a =0 a =+∞
• Với 0<a<1 ta có hàm số nghịch biến trên tập xác định
a =+∞ a =0
• Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm lôgarit
• Một số công thức hay dùng :
a a =a ; =a ; (a ) = a
*Đạo hàm
• Đạo hàm của hàm mũ : (a)’=a lna
• Đạo hàm của hàm hợp: Ta có: y=a và u=u(x) , khi đó : y’= u’a lna

y= a y= a
a>1 0<a<1
4
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
IV, Hàm logarit
1, Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ
2,Ta có: hàm mũ có dạng y= a , do đó hàm logarit có dạng : y= log x trong đó a
được gọi là cơ số của hàm lôgarit
3, Hàm lôgarit chỉ được xác định khi x>0 và có giá trị trong khoảng (-∞; +∞) và
log x chỉ xác định khi: a>0 và a#1
4, Do hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ nên đồ thị hai hàm số đối xứng nhau
qua đường phân giác thứ nhất
5, Đồ thị

*Tính chất
• Hàm logarit đơn điệu và liên tục trong khoảng (0;+∞)
• Hàm logarit đồng biến khi a>1 va nghịc biến khi 0<a<1
• Điểm (0;1) luôn nằm trên đồ thị hàm logarit, nghĩa là log 1=0
• Đặc biệt log a=1
*Một số công thức hay dùng
a) vì y=a và y= log x là hai hàm ngược nhau nên ta có :
a =x ; log a=x
b) Với x,y,z>0 thì ta có :
Log xyz=log x+log y+log z
Log = log x-log y
c) Với m là số thực bất kì ta luôn có :
Log x =mlog x
d) Giả sử a,b là hai số dương bất kì #1, ta có với x>0 thì
log x=log b log x

Đặc biệt : log b log a=1
y= log x y= log x
5
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
Lưu ý: logarit với hai cơ số a và b khác nhau của cùng một biến là những
đại lượng tỉ lệ với nhau (khi x thay đổi)
e) Ta có: với mọi a>0, a#1, với mọi x>0 và với mọi số thực β
log x = log x
từ đó: log x= log
f) Loga Nê pe (Napier) hay loga tự nhiên
Người ta gọi lôga với cơ số e là lôga tự nhiên
log x=ln x
g) Lôga với cơ số 10 được viết đơn giản là: lg x
*Đạo hàm:
Ta có: y= log x thì y’=
Với hàm hợp ta có : y= log u và u=u(x) thì khi đó ta có : y’=
Lưu ý : một số đạo hàm đặc biệt :
 (lnx)’=
 (ln u)’=
 (lg x)’=
 (lg u)’=
6
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
V, Hàm lượng giác
1) Các hàm số có dạng : y=sin x ; y=cos x ; y=tan x ; y=cotg x được gọi là các
hàm số lượng giác vì chúng xác định trên R thông qua đường tròn lượng giác
2) Các hàm số : y=sin x và y= cos x có miền xác định là toàn trục số R và có
miền giá trị là khoảng đóng [-1 ;1]
3) Hàm số y=tan x xác định tại mọi x # (2k+1)π/2 ;k∈ Z và có miền giá trị là R
4) Hàm số y=cotg x xác định tại mọi x # kπ , k∈ Z và có miền giá trị là R

5) Đồ thị
a,đồ thị hàm y= sin x b, đồ thị y= cos x
c, đồ thị hàm y= tg x d, đồ thị hàm y= cotg x
b,
7
a,
c, d,
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
*Tính chất
• Hàm số y=sin x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì là 2π
• Hàm số y=cos x là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π
• Hàm số y= tg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π
• Hàm số y=cotg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π
* Một số công thức hay dùng
a, các công thức cơ bản
1/
2 2
sin cos 1a + a =
2/
sin
tg
cos
a
a =
a
3/
cos
cot g
sin
a

a =
a
4/
2
2
1
1 tg
cos
+ a =
a
5/
2
2
1
1 cot g
sin
+ a =
a
6/
tg .cot g 1a a =
b, các công thức cộng trừ
1/
( )
sin a b sina.cosb sinb.cosa+ = +
2/
( )
sin a b sina.cosb sinb.cosa- = -
3/
( )
cos a b cosa.cosb sina.sinb+ = -

4/
( )
cos a b cosa.cosb sina.sinb- = +
5/
( )
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
+
+ =
-
6/
( )
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
-
- =
+
7/
( )
cot ga.cot gb 1
cot g a b
cot ga cot gb
-
+ =
+
( )
cot gacotgb 1
8/ cot g a b

cot ga cot gb
+
- =
-
c, các công thức nhân đôi
1/
( ) ( )
2 2
sin2a 2sina.cosa sina cosa 1 1 sina cosa= = + - = - -
2/
2 2 2 2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = -
3/
2
2tga
tg2a
1 tg a
=
-
4/
2
cot g a 1
cot g2a
2cot ga
-
=

d, các công thức góc nhân ba
1/
3

sin3a 3sina 4sin a= -
2/
3
cos3a 4cos a 3cosa= -
3/
3
3
3tga tg a
tg3a
1 3tg a
-
=
-
4/
3
2
cot g a 3cot ga
cot g3a
3cot g a 1
-
=
-
8
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
e, các công thức hạ bậc
1/
2
2
2
1 cos2a tg a

sin a
2
1 tg a
-
= =
+
2/
2
2
2
1 cos2a cot g a
cos a
2
1 cot g a
+
= =
+
3/
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
-
=
+
4/
1
sinacosa sin2a
2
=

1/
( )
3
1
sin a 3sina sin3a
4
= -
2/
( )
3
1
cos a 3cosa cos3a
4
= +
f, các công thức nhân ba
1/
3
sin3a 3sina 4sin a= -
2/
3
cos3a 4cos a 3cosa= -
3/
3
3
3tga tg a
tg3a
1 3tg a
-
=
-

4/
3
2
cot g a 3cot ga
cot g3a
3cot g a 1
-
=
-
g, Công thức biểu diễn
sinx,cosx,tgx
qua
tgx
t
2
=
:
1/
2
2t
sinx
1 t
=
+
2/
2
2
1 t
cosx
1 t

-
=
+
3/
2
2t
tgx
1 t
=
-
4/
2
1 t
cot gx
2t
-
=
h, công thức biến đổi tổng->tích
1/
a b a b
cosa cosb 2cos .cos
2 2
+ -
+ =
2/
a b a b
cosa cosb 2sin .sin
2 2
+ -
- = -

3/
a b a b
sina sinb 2sin .cos
2 2
+ -
+ =
4/
a b a b
sina sinb 2cos .sin
2 2
+ -
- =
5/
( )
sin a b
tga tgb
cosa.cosb
+
+ =
6/
( )
sin a b
tga tgb
cosa.cosb
-
- =
7/
( )
sin a b
cot ga cot gb

sina.sinb
+
+ =
8/
( )
sin a b
cot ga cot gb
sina.sinb
- -
- =
9/
( )
sin a b
tga cot gb
cosa.sinb
-
+ =
9/
2
tga cot ga
sin2a
+ =
10/
( )
cos a b
cot ga tgb
sina.cosb
+
- =
11/

cot ga tga 2cotg2a- =
I, công thức biến đổi tích ->tổng
1/
( ) ( )
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
é ù
= - + +
ê ú
ë û
2/
( ) ( )
1
sina.sinb cos a b cos a b
2
é ù
= - - +
ê ú
ë û
3/
( ) ( )
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
é ù
= + + -
ê ú
ë û
9

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
* Đạo hàm của hàm số lượng giác
• (sin x)’ = cos x
• (cos x) = - sin x
• (tg x)’ =
• (cotg x)’ =
VI, Hàm số lượng giác ngược
1, Công thức hàm lượng giác ngược:
y=arcsin x ; y=arccos x ; y= arctg x ; y=arccotg x
2, Tập giá trị và tập xác định của các hàm lượng giác ngược
• Hàm y= arcsin x xác định với mọi x∈ [-1;1] và có tập giá trị là đoạn [ - ; ]
• Hàm y=arccos x xác định và liên tục trong x∈ [-1 ;1] và có tập giá trị là đoạn
[0 ;π]
• Hàm y=arctg x xác định và liên tục với mọi x∈ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là :
(- ; )
• Hàm y=arccotg x xác định và liên tục với mọi x∈ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là :
(0 ;π)
3, Đồ thị
Các hàm lượng giác ngược có đồ thị đối xứng với các hàm lượng giác tương ứng qua
đường phân giác thứ nhất
10
y=arcsin x
y= arccos x
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
* Tính chất :
• Các hàm y=arcsin x và y= arctg x là các hàm tăng. Các hàm y=arccosx và
y=arccotg x là các hàm giảm
• Tập hợp tất cả các nhánh của một hàm lượng giác ngược được kí hiệu là
Arc của hàm lượng giác tương ứng
* Các trị số hay gặp :

• arcsin 0=0 ; arcsin 1= ; arcsin = ; arcsin = ; arcsin =
• arccos 0= ; arccos 1=0; arccos = ; arccos = ; arccos =
• arctg 0=0; arctg 1= ; arctg = ; arctg =
• Tương tự đối với hàm arccotg sao cho: arctg x+arccotg x=
* sai lầm:
A arctan x =kп
11
y=arctg x
y= arccotg x
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
* Các công thức hay dùng
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
VII, Hàm hypebolic
1, Các hàm hypebolic gồm:
shx= ; chx= ; thx= = ; cothx= =
2, Tập gái trị và tập xác định của các hàm hypebolic
• Hàm shx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là R
• Hàm chx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là [1;+∞]
• Hàm thx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là (-1;+1)
• Hàm cothx xác định với mọi x∈ R\{o} và có tập giá trị là (-∞;-1) ∪ (1;+∞)

3, Các hàm hypebolic đều liên tục trên tập xác định của chúng
4, Đồ thị
12
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI

13
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
* Một số công thức hay dùng
1, ch a + sh a=1
2, sh(a+b)=shachb+shbcha
3, sh(a-b)=shachb-shbcha
4, ch(a+b)=chachb+shashb
5, ch(a-b)=chachb-shashb
6, th(a+b) =
7, th(a-b) =
8, ch2a = ch a + ch a
9, sh2a=2chasha
10, th2a =
11, Với th =t , ta có: cha = ; sha = ; tha =
12, sh3a = 3sha +4sh a
13, ch3a = 4ch a- 3cha
VIII, Hàm hypebolic ngược:
1, Công thức các hàm hypebolic ngược là: y=argshx; y=argchx; y=argthx;
y=argcotcothx ( với arg là viết tắt của acsgumen)
2, Vì hàm y=ch x là hàm chẵn nên tồn tại hàm ngược y= argch x với x∈[0; +∞)
3, Hàm y=argsh x liên tục trên R=(-∞;+∞)
4, Hàm y=argch x xác định và liên tục khi x∈ [1;+∞) và có tập giá trị là : [0;+∞)
5, Hàm y=argth x xác định và liên tục trên (-1;1) và có tập giá trị là R=(-∞;+∞)
6, Hàm y=argcoth x xác định với x<-1 và x>1 và có tập giá trị là R\{0}
7, Đồ thị

* Tính chất:
• Dạng loga của hàm hypebolic ngược:
14
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI
argsh x= ln (x+ )
argch x = ln (x+ )
argth x = ln
argcoth x= ln
15
THE END !