BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
GIẢI TÍCH 1
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG
GVHD: TS. ĐẶNG VĂN VINH
NHĨM 8


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

Họ và tên

MSSV

Hứa Đại Bảo

2152020

Thái Minh Phước

2152256

Huỳnh Đình Quang

2110473

Phan Minh Thy

2112422

Trần Ngọc Thùy Trinh

2115076


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG
TRONG TÍNH TỐN GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA DỊNG THU NHẬP
LÂU DÀI


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

1. Cơ sở lý thuyết

1. Lãi kép liên tục (Continuous Compound Interest):
Giả sử đầu tư P (đơn vị tiền tệ) với lãi suất thường nhiên r và số tiền tích lũy được sau t năm là B(t) (đơn vị tiền tệ).
Với cách tính lãi kép liên tục thì tổng số tiền thu được sau t năm là
kt

 r
B (=
t ) lim P 1 + = Pe rt

k →+∞
 k


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2. Giá trị hiện tại (Present Value – PV):
Giá trị hiện tại của (đơn vị tiền tệ) sau T năm đầu tư với lãi suất thường niên r và được tính lãi kép liên tục là

P = Be − rT

3. Giá trị hiện tại của dòng thu nhập (Present Value of an Income Stream):
Giá trị hiện tại P của dòng thu nhập tạo ra một dòng thu nhập liên tục f(t) vào một tài khoản được tính lãi kép liên tục
với lãi suất thường niên r sau khoảng thời gian hữu hạn T năm, được tính bằng một tích phân xác định:
T

PV = ∫ f (t )e − rt dt
0


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

4. Giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài (Present Value of a Perpetal Income Flow)
Như ở trên đã đề cập, giá trị hiện tại của dòng thu nhập trong một khoảng thời gian hữu hạn T có thể được tính bằng
một tích phân xác định. Nếu việc tạo ra dòng thu nhập này cần được đảm bảo về lâu dài, ta cần sử dụng tích phân suy
rộng để tính được giá trị hiện tại của dịng thu nhập này. Khi đó:
T

=
=
PV lim
∫ f (t )e dt
T →+∞ 0

− rt

∫

+∞

0

f (t )e − rt dt


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2. Bài tập ứng dụng
Một nhà tài trợ muốn tạo ra một quỹ học bổng cho một trường đại học địa
phương về lâu dài với giá trị học bổng là 25000 + 1200t đô la một năm. Giả
sử lãi hàng năm được tính bằng lãi suất kép liên tục với lãi suất thường niên
không đổi là 5%. Khi đó, nhà tài trợ phải chi bao nhiêu để thành lập quỹ
học bổng này?


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Ta dễ dàng thấy rằng số tiền nhà tài trợ phải chi chính là giá trị hiện tại của dòng thu
nhập vĩnh viễn mà ở đây là giá trị học bổng hàng năm. Từ đây, ta tính được số tiền nhà tài trợ
phải chi:

PV = ∫

+∞

0

f (t )e − rt dt

Trong trường hợp này, ta có=
f (t ) 25000 + 1200t và lãi suất thường niên không đổi là r = 0, 05

=
. Khi
đó: PV

∫

+∞

0

(25000 + 1200t )e −0,05t dt


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Ta tính tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:
u 25000 + 1200t
=
dv = e −0,05t dt
du = 1200dt
e−0,05t
Chọn v =
= −20e−0,05t
−0,05
+∞

−0,05t
PV =
+
t
e
dt =
(25000
1200
)
lim
∫
0

(

∫

T

T →+∞ 0

(25000 + 1200t )e−0,05t dt
T

T

= lim (25000 + 12000t )(−20e −0,05t )  − ∫ 1200( − 20e−0,05t )dt
0
T →+∞
0

)

T
−0,05t


T


e
−0,05t
 + 24000 
= lim  (−500000 − 24000t )e
  = 980000
T →+∞ 
0
 −0,05  0 



Vậy nhà tài trợ cần chi ra 980000 đô la để thành lập quỹ học bổng này.


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ
TÍNH TUỔI THỌ TRUNG BÌNH CỦA NGUN TỐ PHĨNG XẠ


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

1. Cơ sở lý thuyết
Hằng số phóng xạ 𝜆𝜆 là đại lượng đặc trưng cho nuclide đang xét, tỉ lệ nghịch với chu kì bán rã của nguyên tố, được
xác định bởi hệ thức: 𝜆𝜆 =

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑇𝑇

Tuổi thọ trung bình của một nuclide là tổng thời gian tồn tại của một số xác định các nuclei (trước khi chúng bị phân
rã hoàn toàn) chia cho số nuclei ban đầu. Trong khoảng thời gian dt, một lượng dN nuclei bị phân rã. Như vậy ta
được phương trình:

Để tính tuổi thọ trung bình M, ta thực hiện:

Vậy 𝑀𝑀 =

1
𝜆𝜆

𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝜆𝜆𝜆𝜆 ↔ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑

∞
1 ∞
𝑀𝑀 =
� 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝜆𝜆 � 𝑡𝑡𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜆𝜆
𝑁𝑁𝑜𝑜 0
0

𝑡𝑡
1
1
∞ 1
∞
− 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 | +
− 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 |
=
0 𝜆𝜆
0
𝜆𝜆
𝜆𝜆
𝜆𝜆


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ: Một chất phóng xạ phân rã theo cấp số nhân: Khối lượng tại thời điểm t là m(t) = moekt, trong
∞

đó mo là khối lượng ban đầu và k là một hằng số âm. Một nguyên tử mất M = −𝑘𝑘 ∫0 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 năm để
phân rã hoàn toàn. Cho đồng vị carbon 14C có hệ số k là -0.000121. Tìm thời gian để đồng vị đó phân rã
hồn tồn.


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Giải
Ta có : M =

∞
−𝑘𝑘 ∫0 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘

Xét I =

Đặt �

𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝐴𝐴
−𝑘𝑘 lim ∫0 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐴𝐴→+∞

𝐴𝐴
∫0 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑢𝑢 = 𝑡𝑡 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑𝑑𝑑 → ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

∫ 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑

↔ 𝑣𝑣 =

𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

I=

𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
. 𝑡𝑡| 𝐴𝐴0
𝑘𝑘

𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
− ∫0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘

𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
M = −𝑘𝑘 lim
𝐴𝐴
𝐴𝐴→+∞ 𝑘𝑘
1
= −𝑘𝑘
lim 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐴𝐴
𝑘𝑘 𝐴𝐴→+∞

=−𝑘𝑘

1
0
𝑘𝑘

−

1
1
0
+
𝑘𝑘 2
𝑘𝑘 2

𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1 𝐴𝐴 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐴𝐴
𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘

1 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1
𝐴𝐴
=
. 𝑡𝑡| 0 − ∫0 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝐴𝐴 −
=
𝐴𝐴
−
+
𝑘𝑘
𝑘𝑘 𝑘𝑘 0
𝑘𝑘 𝑘𝑘
𝑘𝑘 2
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
1 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1
𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘
1
−
+ 2 = −𝑘𝑘 lim
𝐴𝐴 −
+ 2
𝑘𝑘 𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘 𝑘𝑘
𝑘𝑘

𝐴𝐴→+∞ 𝑘𝑘
1
1
1
𝐴𝐴
1
𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1
− 2 lim 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 2 = −𝑘𝑘
lim
−
lim
𝑒𝑒
1
𝑘𝑘 𝐴𝐴→+∞
𝑘𝑘
𝑘𝑘 𝐴𝐴→+∞
𝑘𝑘 2 𝐴𝐴→+∞
𝑘𝑘 2
1
𝑘𝑘

=− =

1
0.000121

= 8264.46281 (năm)

𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ
TÍNH NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

1. Cơ sở lý thuyết
Năng lượng điện trường định xứ trong khơng gian có điện trường.
• Năng lượng điện trường trong miền thể tích V:
𝑥𝑥
𝑥𝑥
1
𝑊𝑊 = � 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 = � 𝜀𝜀𝜀𝜀𝑜𝑜 𝐸𝐸 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑉𝑉
𝑉𝑉 2
• Năng lượng điện trường bên ngoài quả cầu:
2
2
2
1 ∞
𝑄𝑄
𝑄𝑄
𝑄𝑄
∞
2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −

| =
𝑊𝑊 = � 𝜀𝜀𝜀𝜀𝑜𝑜
4𝜋𝜋𝜋𝜋
2 𝑅𝑅
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 2
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 𝑅𝑅 4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑅𝑅

Tham khảo: Vật Lý Đại cương A1 (lưu hành nội bộ), ĐHQG TP.HCM, Trường Đại học Bách Khoa


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ: Cho điện tích Q = 9 nC phân bố đều trên một mặt cầu bán kính R = 1 m. Tổng năng lượng điện trường của hệ này bằng
bao nhiêu?
Mặt cầu có điện tích phân bố đều (mặt cầu dẫn điện) có điện trường:
0,
𝑟𝑟 < 𝑅𝑅
𝜎𝜎𝑅𝑅2
𝐸𝐸𝑟𝑟 = � 𝑄𝑄
𝑘𝑘 2 𝑒𝑒𝑟𝑟 =
𝑒𝑒 , 𝑟𝑟 ≥ 𝑅𝑅
𝜀𝜀𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟
𝑟𝑟
Do đó, năng lượng điện trường:
2
∞
1 ∞𝑥𝑥
1

𝑄𝑄
𝑄𝑄2 ∞
𝑄𝑄2
2
2
| =
= 364,5 (𝑛𝑛𝑛𝑛)
𝑊𝑊 = � 𝜀𝜀𝜀𝜀𝑜𝑜 𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝜀𝜀𝜀𝜀𝑜𝑜
4𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑟𝑟 = −
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 𝑅𝑅 4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑅𝑅
2 𝑉𝑉
2 𝑅𝑅
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 2
Với
4 3
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑄𝑄
2
= 4𝜋𝜋𝑟𝑟 ,
𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 ,
E=
3
𝑑𝑑𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 𝑟𝑟 2

Tham khảo: Bài tập Vật Lý Đại cương A1, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, Câu 157, Trang 308


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
1. Cơ sở lý thuyết

Hàm mật độ xác xuất (Probability Density Functions – PDF) cho một biến ngẫu nhiên
liên tục X là một hàm số f(x) thỏa ba điều kiện sau:
1. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅
2. Tổng diện tích dưới đồ thị của 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là 1

3. Xác suất để biến X thuộc khoảng [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] được tính bởi

tích phân sau

𝑏𝑏

𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Giá trị của a và b không cần thiết phải hữu hạn và nếu một trong hai là vơ hạn thì xác suất tương ứng sẽ được viết
dưới dạng tích phân suy rộng. Ví dụ, xác suất mà 𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎:
𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ +∞ = �

+∞

𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

1. Hàm phân phối chuẩn

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =

1

𝜎𝜎 2𝜋𝜋

𝑒𝑒

−

𝑥𝑥−𝜇𝜇 2
2𝜎𝜎2

𝜎𝜎: độ 𝑙𝑙ệ𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ẩ𝑛𝑛
𝑣𝑣ớ𝑖𝑖 �𝜇𝜇: 𝑔𝑔𝑔𝑔á 𝑡𝑡𝑡𝑡ị 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑏𝑏ì𝑛𝑛𝑛
𝑥𝑥: 𝑏𝑏𝑏𝑏ế𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛ẫ𝑢𝑢 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ê𝑛𝑛

Hàm này được sử dụng trong thống kế để biểu thị một tổng thể được phân phối với giá trị trung bình và độ lệch
chuẩn. Cụ thể, nếu biến X được chọn ngẫu nhiên từ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] thì xác xuất của X được tính như sau:
𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏 = �

𝑏𝑏

𝑎𝑎

1

𝜎𝜎 2𝜋𝜋

𝑥𝑥−𝜇𝜇 2
−
𝑒𝑒 2𝜎𝜎2 𝑑𝑑𝑑𝑑


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Ví dụ 1: Chiều cao trung bình của người đàn ông Mĩ (từ 20 đến 29 tuổi) là 70 inches và độ lệch chuẩn là 3 inches.
Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông từ 20 đến 29 tuổi thì xác xuất để người đó cao từ 72 inches trở lên là bao nhiêu?
𝜇𝜇 = 70, 𝜎𝜎 = 3 thì xác suất để người đàn ơng đó cao từ 72 inches trở lên là:
𝑃𝑃 72 ≤ 𝑋𝑋 ≤ +∞ = �

+∞

72

1

3 2𝜋𝜋

(𝑥𝑥−70)2
−
𝑒𝑒 2∗32 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0.252

Kết luận: Xác suất chọn được người đàn ông (từ 20 đến 29 tuổi) cao từ 72 inches trở lên là 25.2%


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
2. Hàm mật độ xác suất đồng đều

Cho k là giá trị hằng số của hàm mật độ đều f (x) trên
khoảng A ≤ x ≤ B, Ta có:
+∞

𝐵𝐵

𝐵𝐵

1 = ∫−∞ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫𝐴𝐴 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫𝐴𝐴 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘|

Từ (1), ta có:

Khi đó

1
𝑘𝑘 =
(𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)
1
,
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)
0,

𝐴𝐴 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐵𝐵

𝑥𝑥 ∉ [𝐴𝐴; 𝐵𝐵]

𝐵𝐵
𝐴𝐴

(1)


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Ví dụ 2: Bạn Thành đứng đợi xe buýt để tới trường. Khoảng thời gian mà bạn Thành phải chờ xe tới nơi
nằm trong khoảng 40 phút.
a/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi ít hơn 8 phút.
b/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi hơn 30 phút.
c/ Tính P (10 < x < 26), P (x=20), P (x > 45)
d/ Tính thời gian mà xác suất đạt 85%.