Chương III: Quan hệ pot

1
Đ nh nghĩa: ị
M t quan h hai ngôi R trên t p m t t p A (khác r ng) ộ ệ ậ ộ ậ ỗ
đ c g i là m t quan h th t n u và ch n u có ba ượ ọ ộ ệ ứ ự ế ỉ ế
tính ch t: ph n x , ph n x ng và truy n ( b c c u ).ấ ả ạ ả ứ ề ắ ầ
Ta kí hi u quan h th t là: ệ ệ ứ ự ≺
C p (A, ặ ≺) đ c g i là t p s p th t hay poset.ượ ọ ậ ắ ứ ự
2
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd1: Với 2 số a và b trên tập N* ta nói a b có quan hệ lũy thừa
(“^”) nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho a mũ k bằng
b.
Khi đó (N*, ^ ) là tập sắp thứ tự vì quan hệ “ ^ “ có tính:
•
Phản xạ: ∀a∈N* ta có, a^a vì a=a
1
•
Phản xứng: a^b nghĩa là ∃ k sao cho a
k
=b.
b^a nghĩa là ∃ j sao cho b
j
=a (k, j nguyên)
Khi đó, ta có a
k
= b ⇔ a
kj
=b
j
a
kj

= a ⇔ k=1 và j=1 ⇔ a = b
•
Bắc cầu: a^b nghĩa là ∃ k sao cho a
k
= b
b^c nghĩa là ∃ j sao cho b
j
= c
Khi đó, a
kj
= c tức là a^c
3
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd2: Với 2 số a và b trên tập R*
+
ta nói a và b có
quan hệ R nếu phương trình: a
x
= b có nghiệm.
Khi đó, (R*
+
, R ) không là tập sắp thứ tự vì quan
hệ R không có tính phản xứng. Vì:
Phương trình: 2
x
=3 có nghiệm và phương trình
3
x
=2 có nghiệm, nhưng 2 ≠ 3.
4

Ch ng IV: Quan hươ ệ

Cho (S,≺) là t p s p th t . Khi đó , v i 2 ph n ậ ắ ứ ự ớ ầ
t a và b thu c S. N u a ử ộ ế ≺ b ho c b ặ ≺ a thì a và
b đ c g i là so sánh đ c. Ng c l i, ta nói a và ượ ọ ượ ượ ạ
b không so sánh đ c.ượ

Cho (S,≺) là 1 t p s p th t và v i m i hai ậ ắ ứ ự ớ ỗ
ph n t a và b tùy ý thu c S ta đ u có a và b so ầ ử ộ ề
sánh đ c thì ta nói đó là t p s p th t toàn ượ ậ ắ ứ ự
ph n.ầ
Ta cũng nói r ng ằ ≺ là th t toàn ph n hay th t ứ ự ầ ứ ự
tuy n tính.ế

Ng c l i, n u t n t i 2 ph n t a và b thu c S ượ ạ ế ồ ạ ầ ử ộ
sao cho a và b không so sánh đ c thì ta nói ượ (S,≺)
là t p s p th t bán toàn ph n và ậ ắ ứ ự ầ ≺ là quan h ệ
bán toàn ph n.ầ
5
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Quan hệ (N*,^) là tập sắp thứ tự bán toàn phần vì:

Nó là 1 tập sắp thứ tự.

Không tồn tại 2^3 hay 3^2.
6
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Quan hệ “ ≤ ” trên tập số nguyên dương là thứ tự
toàn phần. Cho (R , ≤) là tập sắp thứ tự vì quan hệ
“≤ “ có tính:


Phản xạ: ∀a∈R ta có, a ≤ a.

Phản xứng: a ≤ b và b ≤ a ⇒ a = b.

Bắc cầu: a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Ta có quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ thứ tự toàn
phần vì ∀ a ≤ b thì ta có b ≤ a (b=a).
7
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Định nghĩa:
Cho (A, ≤) và (B, ≤’) là hai tập sắp thứ tự toàn phần. Ta định nghĩa
thứ tự trên A x B như sau:≺
(a
1
,b
1
) (a≺
2
,b
2
) nếu a
1
< a
2
hay (a
1
= a
2
và b

1
≤’ b
2
).
Ta thấy đây là thứ tự toàn phần trên A x B vì nó có tính:
1. Phản xạ: ∀(a,b) ∈ A x B thì ta có (a,b) vì a = a và≺ b ≤’ b.
2. Phản xứng: Nếu (a
1
,b
1
) (a≺
2
,b
2
)
(1)
và (a
2
,b
2
) (a≺
1
,b
1
)
(2)
thì ta có: nếu
a
1
≠ a

2
thì (1) ⇒ a
1
< a
2
và (2) ⇒ a
2
< a
1
(Vô lý)
Vậy a
1
= a
2.
Tương tự, ta có b
1
= b
2

Vậy, ta có: (a
1
,b
1
) = (a
2
,b
2
)
8
Ch ng IV: Quan hươ ệ

3. Bắc cầu: Nếu (a
1
,b
1
) (a≺
2
,b
2
)
(1)
và (a
2
,b
2
) (a≺
3
,b
3
)
(2)
thì ta có
a
1
≤ a
2
và a
2
≤ a
3
⇒ a

1
≤ a
3

Nếu a
1
< a
3
thì ta đã có (a
1
,b
1
) (a≺
3
,b
3
)
Nếu a
1
= a
3
thì chứng minh tương tự ta sẽ có b
1
≤’ b
3

Vây ta luôn có (a
1
,b
1

) (a≺
3
,b
3
) .
Quan hệ thứ tự toàn phần này được gọi là thứ tự tự điển.≺
9
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Phần tử trội:

Phần tử b trong tập sắp thứ tự S được gọi là phần tử trội
của phần tử a trong tập S nếu a b.≺

Chúng ta cũng nói rằng a là được trội bởi b .Phần tử b
được gọi là trội trực tiếp của a nếu b là trội của a, và
không tồn tại trội c của a sao cho: a c b, a ≺ ≺ ≠ b ≠ c.
Vd: Với tập sắp thứ tự (N, <) thì ta có:

5 là phần tử trội của 2 vì 2 < 5.

3 là phần tử trội trực tiếp của 2 vì không tồn tại số c
∈ N sao cho 2 < c < 3 (2 ≠ c ≠ 3).

4 là phần tử trội nhưng không trội trực tiếp của 2 vì
tồn tại phần tử c = 3 mà 2 < c < 4.
10
Ch ng IV: Quan hươ ệ

Định nghĩa: Biểu đồ Hasse của tập sắp thứ tự (S, ) là ≺
một đồ thị có hướng mà:


Mỗi phần tử của S được biểu diễn bằng một điểm trên
mặt phẳng.

Nếu b là trội trực tiếp của a thì vẽ một cung đi từ a
đến b.

Vd: Cho (S, ) là một tập sắp thứ tự với S = {a, b, c, d, ≺
e} a b, a c, b c, b d.≺ ≺ ≺ ≺
b
d
e
a
c
11
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”).
Hãy vẽ biểu đồ Hasse của nó.
1
2
5
7
8
15
30
12
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Định nghĩa: Trong một tập sắp thứ tự (S, ), một phần tử a ≺ ∈ S được
gọi là:


Cực tiểu nếu: ∀x ∈ S ta đều có a x.≺

Cực đại nếu: ∀x ∈ S ta đều có x a.≺
Kí hiệu:

Phần tử cực tiểu: a = min(S, ).≺

Phần tử cực đại: b = max(S, ).≺
Nhận xét:

Trong một tập sắp thứ tự có thể không có phần tử cực đại và cực
tiểu.

Nếu tồn tại phần tử cực đại và cực tiểu thì chúng là duy nhất.

Nếu tập sắp thứ tự (S, ) có |S| hữu hạn và là quan hệ thứ tự ≺ ≺
toàn phần thì (S, ) luôn có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu.≺
13
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd:

Cho tập sắp thứ tự (S, “≤”) với S = [5, 10] (S ⊂ R).
Khi đó ta có:
•
Min(S, “≤”) = 5.
•
Max(S, “≤”) = 10.

Tập sắp thứ tự (S, “|”) với S = {3, 4, 5, 6, 7} không
có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu.


Tập sắp thứ tự (S, “^”) với S = {2, 4, 16, 256, 4096}
có:
•
Min (S, “^”) = 2.
•
Không có phần tử cực đại.
14
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Định nghĩa: Một phần tử a trong tập sắp thứ tự (S, ) ≺
được gọi là:

Tối tiểu nếu không tồn tại bất kì phần tử a’ ∈ S (a’ ≠ a) mà a’
a.≺

Tối đại nếu không tồn tại bất kì phần tử a’ ∈ S (a’ ≠ a) mà a
a’.≺
Nhận xét:
Trong một tập sắp thứ tự thì luôn luôn tồn tại phần tử tối
tiểu và tối đại, nhưng chúng có thể không là duy nhất.
Trong biểu đồ Hasse:

Không có cung nào xuất phát từ phần tử tối đại.

Không có cung nào kết thúc tại phần tử tối tiểu.
15
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”}.
Hãy tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của nó.


Phần tử tối đại (màu đỏ) : 7, 8, 30.

Phần tử tối tiểu (màu xanh) : 1, 5, 7.
1
2
5
7
8
15
30
16
Ch ng IV: Quan hươ ệ

S thêm vào sau. ẽ
17
18