Dạng toán và phương pháp giải với quy tắc L’Hopitan pptx

Trong các bài toán tìm giới hạn dạng , ta thường gặp giới hạn dạng vô định . Thông thường
ta sẽ tìm cách triệt tiêu dạng này bằng cách biến đổi và khử thừa số ở tử và mẫu số. Tuy nhiên, trong
nhiều bài toán ta không thể biến đổi để triệt tiêu được thì quy tắc L’Hopitan là một phương pháp khả thi.
Nội dung quy tắc L’Hopitan:
Giả sử và là hai hàm số thỏa mãn:
hoặc
và giả sử tồn tại
thì
Điều kiện tồn tại là rất cần thiết. Nếu không tồn tại giới hạn này thì ta không thể áp dụng
quy tắc này được.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:
1.
2.
3.
4.
Lời giải:
1. Ta thấy , và hai hàm
số và đều có đạo hàm tại một khoảng chứa . Khi đó ta
có:
Nhận thấy rằng giới hạn vẫn ở dạng vô định, ta có thể đạo hàm một lần nữa:
.
2. Như trên, ta cũng có:
3. Ta có:
4. Ta có:
Chú ý: Trong các bài toán tìm giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L’Hoppitan. Nhiều khi giới
hạn cũng vẫn là dạng vô định. Khi đó ta có thể áp dụng quy tắc L’Hopitan nhiều lần trong
cùng một bài toán.
Việc áp dụng quy tắc L’Hopitan vẫn có thể áp dụng đối với giới hạn một bên. Việc khôn khéo biến đổi biểu
thức cần tìm giới hạn thành dạng thỏa mãn các điều kiện của quy tắc L’Hopitan đòi hỏi những kỹ
năng quan sát và phán đoán tốt. Do đó cần rèn luyện thường xuyên các phép biến đổi biểu thức, đặc biệt
là các biến đổi liên quan đến lượng giác, mũ và Logarit.

Ví dụ 2:
Tìm giới hạn sau: .
Lời giải:
Ta có
.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp các dạng vô định khác ( …) ta khôn khéo biến đổi
đưa về dạng hoặc để giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Trở lại với bài toán tìm ta có: