tiêu chuẩn mới cho hệ đan rối ba mode

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
- - - - -
LÊ THANH TUẤN
TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI
CHO HỆ BA MODE
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2010
Tác giả luận văn
Lê Thanh Tuấn
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận
được nhiều sự giúp đỡ, động viên của thầy cô, gia đình và bè bạn. Trước hết, tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - TS. Trương Minh Đức đã giúp
đỡ tôi rất nhiều về mặt tài liệu và dành cho tôi sự hướng dẫn tận tình trong
suốt thời gian tôi tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo ở Khoa Vật lý Trường
ĐHSP Huế - những người đã trực tiếp giảng dạy; xin cảm ơn các thầy cô ở
Phòng Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong những năm

tháng học tập vừa qua tại trường.
Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Nội vụ, Sở GD-ĐT, Ban giám hiệu,
các thầy cô trong Tổ Vật lý và các đồng nghiệp Trường THPT Bến Quan -
Tỉnh Quảng Trị đã cho tôi có cơ hội được học tập và tạo điều kiện thuận lợi về
thời gian để tôi hoàn thành khóa học.
Trong quá trình học tập, tôi luôn nhận được sự động viên, khích lệ và sự
giúp đỡ nhiệt tình của các anh chị, các bạn học viên Cao học K16 - K17 của
Trường ĐHSP Huế. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Cuối cùng, xin gửi lời tri ân thành kính nhất đến gia đình, bố mẹ, các anh
chị và những người bạn thân nhất của tôi; xin gửi tặng thành quả hôm nay cho
tất cả những người mà tôi yêu quý nhất.
Huế, tháng 10 năm 2010
Tác giả luận văn
Lê Thanh Tuấn
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MỞ ĐẦU 3
Chương 1- MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 8
1.1. Ma trận mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Trạng thái thuần (pure state) . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Trạng thái hỗn hợp (mixed state) . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Tiêu chuẩn chia tách được của các trạng thái hỗn hợp . . . . . . 13
1.3.1. Nguyên lý về tính không thể chia tách của trạng thái
hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ [18] . . . 14

1.4. Phương sai của phép đo đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Chuyển vị từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Một số trạng thái phi cổ điển ba mode . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1. Trạng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
1.6.2. Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian
Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3. Trạng thái kết hợp bộ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2- TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA
MODE 20
2.1. Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của
Agarwal G. S. và Asoka Biswas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 3- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI CỦA MỘT SỐ
TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN 30
3.1. Trạng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock . 35
3.3. Trạng thái kết hợp bộ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề
Khoa học thông tin lượng tử là một ngành phát triển rất nhanh chóng
trong nhiều ngành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin với những ứng
dụng nổi bật như phân bố lượng tử và khóa lượng tử. Hiện nay, nó đóng vai trò
quan trọng trong số các ngành học của vật lý và công nghệ thông tin. Trong
suốt hai thập niên cuối của thế kỷ XX, việc nghiên cứu các vấn đề cơ bản của
cơ lượng tử và vật lý tính toán là nồng cốt trong việc tìm kiếm các giải pháp

cho các vấn đề trọng tâm trong khoa học thông tin lượng tử, cung cấp các cơ
sở nhận thức cho sự phát triển của các tiêu chuẩn lượng tử và các thuật tính
toán. Rối hay tính không chia tách được lượng tử là một phần quan trọng trong
lý thuyết thông tin lượng tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khóa cho sự phát
triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử [14]. Ý niệm về rối
xuất hiện đầu tiên vào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen
(EPR), trong đó các trạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liên
quan đặc biệt với tọa độ và xung lượng. Sau đó, cũng trong năm 1935, Erwin
Schrodinger đã đưa ra khái niệm rối và ông gọi rối là điểm nổi bật đặc trưng
của cơ học lượng tử [13]. Vào lúc đó, rối là điều ngạc nhiên nhất của hình thức
luận lượng tử. Đến nay, rối đang là một đề tài thu hút được các nhà khoa học
tập trung nghiên cứu cả lý thuyết cũng như thực nghiệm.
Các trạng thái bị rối có một đặc điểm rất kỳ lạ, một khi hai đối tượng nào
đó đã ở trong trạng thái này thì chúng mãi mãi vương vấn nhau, ảnh hưởng
qua lại nhau, cho dù sau đó chúng tách ra xa bao nhiêu và nếu một đối tượng
chịu một tác động nào đó thì ngay lập tức đối tượng kia sẽ bị ảnh hưởng theo.
3
Điều này dẫn đến một nghịch lý kì bí và rối rắm về logic. Thậm chí ngay cả
Einstein cũng không thể nào hình dung nổi và ông gọi đó là "tác động ma
quái phi không gian". Sự tồn tại của các trạng thái rối ngày nay đã được thực
nghiệm khẳng định.
Việc tìm ra các trạng thái rối là vấn đề cần quan tâm, vì các trạng thái
này là nguồn có giá trị đối với tính toán lượng tử và thông tin lượng tử. Muốn
phát hiện một trạng thái có bị rối hay không phải dựa vào những tiêu chuẩn
cụ thể. Hiện nay người ta xác minh rối chỉ dựa vào một số tính chất thống
kê đặc trưng. Một tính chất thống kê đã biết của rối là sự vi phạm bất đẳng
thức Bell. Tuy nhiên, những yêu cầu đối với sự vi phạm bất đẳng thức này
còn là một điều kiện yếu đối với việc kiểm tra một trạng thái có bị rối hay
không. Năm 1996, Peres đưa ra tiêu chuẩn chia tách được đối với ma trận mật
độ [18]. Tiêu chuẩn này mạnh hơn so với việc sử dụng bất đẳng thức Bell cho

việc phát hiện tính không chia tách được lượng tử. Sau đó năm 1997, Pawel
Horodecki đưa ra tiêu chuẩn chia tách được và các trạng thái không chia tách
được với chuyển vị từng phần dương [11], nhưng tiêu chuẩn này cũng đúng cho
trường hợp hệ 3×3, 2 ×4. Năm 2001, Kraus, Lewenstein, Cirac nghiên cứu các
tính chất chia tách được của các trạng thái Gaussian 3 mode [8]. Năm 2002,
HongyiFan, Guichuan Yu đã chứng minh được trạng thái chân không bị nén
ba mode trong không gian Fock cũng là một trạng thái bị rối [7]. Năm 2006,
Mark Hillery và Suhail Zubairy đã đưa ra một lớp các bất đẳng thức cho việc
phát hiện rối trong các hệ hai mode [9], [10]. Cũng trong năm 2006, Nha và
Kim đã đưa ra tiêu chuẩn về rối thông qua các hệ thức bất định trong đại số
SU(2) và SU(1, 1), qua đó phát hiện các trạng thái rối phi Gaussian [17]. Năm
2005, Agarwal G.S. và Asoka Biswas dựa vào phép chuyển vị từng phần đã đưa
ra các tiêu chuẩn dò tìm đan rối trong các hệ hai mode [3].
4
Ở Việt Nam, vấn đề về rối cũng được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm,
hiện nay có một nhóm của GS. Nguyễn Bá Ân và các cộng sự đang nghiên cứu
về vấn đề này. Các nghiên cứu về trạng thái bị rối và các tiêu chuẩn để phát
hiện rối vẫn đang được tiếp tục tiến hành và thu hút sự chú ý của các nhà vật
lý vì những ứng dụng của nó trong khoa học thông tin lượng tử hiện nay.
2. Lý do chọn đề tài
Như đã trình bày, các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tính
toán lượng tử và thông tin lượng tử. Tuy nhiên, giới hạn giữa các trạng thái bị
rối và các trạng thái chia tách được vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưng
của trạng thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác. Có
thể nói những tiêu chuẩn của Horodecki và Peres đã làm tiền đề cho việc tìm
kiếm các tiêu chuẩn phát hiện rối trong các hệ sau này, trong đó có tiêu chuẩn
đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Hai ông xây dựng
hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển
vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đan
rối trong các hệ hai mode. Về nguyên tắc, các đại lượng có mặt trong bất đẳng

thức và độ bất định của chúng là có thể đo lường được, do đó các điều kiện mà
hai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện rối trong phòng thí nghiệm.
Ở đây các điều kiện được biểu diễn trong các số hạng của biến liên tục dẫn
đến một họ các điều kiện khác cho việc phát hiện rối.
Vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu hút được sự chú
ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và những ứng dụng cực
kỳ to lớn của nó. Được sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Đức, tôi đã tìm
hiểu những vấn đề liên quan về rối và thấy đây là một đề tài thực sự hấp dẫn.
5
Trên cơ sở những tài liệu đã tìm hiểu, tôi chọn đề tài "TIÊU CHUẨN MỚI
VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE", với mong muốn tìm ra những tiêu chuẩn
mới để phát hiện rối trong các hệ ba mode và áp dụng những tiêu chuẩn đó
nghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu tiêu chuẩn mới về
đan rối cho hệ ba mode, sau đó áp dụng tiêu chuẩn mới tìm được để nghiên
cứu tính chất rối của một số trạng thái ba mode phi cổ điển như trạng thái
|GHZ, trạng thái chân không bị nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ nhũng mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu
cụ thể như sau:
 Trình bày những vấn đề chung liên quan đến rối lượng tử.
 Giới thiệu về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và
Asoka Biswas.
 Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.
 Áp dụng các tiêu chuẩn tìm được để dò tìm đan rối đối với một số trạng
thái phi cổ điển.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và đưa ra tiêu chuẩn
mới về đan rối cho hệ ba mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu tính chất

đan rối của một số trạng thái phi cổ điển.
6
6. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu
lý thuyết, cụ thể sử dụng kiến thức các môn học như cơ lượng tử, lý thuyết
trường lượng tử, vật lý thống kê để xây dựng các bất đẳng thức và tính các
trị trung bình.
Để thực hiện tính toán, đề tài sử dụng phần mềm tính toán và vẽ đồ thị
Mathematica.
7. Bố cục luận văn
Sau phần mở đầu, luận văn được tiếp tục bằng Chương 1. Chương này
trình bày một số vấn đề tổng quan như ma trận mật độ, trạng thái thuần và
trạng thái hỗn hợp, tiêu chuẩn chia tách được của trạng thái hỗn hợp, chuyển
vị từng phần, một số trạng thái phi cổ điển. Trong Chương 2 trình bày về tiêu
chuẩn đan rối trong các hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas, quá
trình xây dựng và đưa ra tiêu chuẩn đan rối mới trong các hệ ba mode. Trong
Chương 3 chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn tìm được để nghiên cứu tính chất
rối trong một số trạng thái phi cổ điển. Phần Kết luận tóm tắt các kết quả
chính của luận văn, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo Cuối cùng là phần
Tài liệu tham khảo và Phụ lục.
Các kết quả chính của Luận văn được thể hiện trong bài báo đã được
nhận đăng trong tạp chí Khoa học và Giáo dục của trường Đại học Sư phạm
- Đại học Huế.
7
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
1.1. Ma trận mật độ
Đối với một hệ vật lý đã cho, tồn tại một vectơ trạng thái Ψ chứa các
thông tin có thể có về hệ. Muốn biết được các thông tin về đại lượng động lực
A, ta phải tính toán giá trị trung bình của toán tử A tương ứng trong trạng

thái của hệ như sau:
A = Ψ|A|Ψ. (1.1)
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ
mà chỉ biết được xác suất P
Ψ
để hệ ở trạng thái Ψ. Trong trường hợp đó, ta
không chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợp
thống kê. Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có
A =

i
p
i
Ψ
i
|A|Ψ
i
, (1.2)
với

i
p
i
= 1.
Nếu ta định nghĩa toán tử ma trận mật độ như sau:
ρ =

ψ
|ΨP
Ψ

Ψ| =

ψ
P
Ψ
|ΨΨ|, (1.3)
thì giá trị trung bình trong (1.2) có thể được biểu diễn bằng ma trận mật độ
như sau:
A = T r(ρA).
8
1.2. Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp
1.2.1. Trạng thái thuần (pure state)
Nếu một hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác
giữa hệ với trường ngoài đã biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử được
gọi là trạng thái pure, còn gọi là trạng thái thuần, trạng thái sạch hoặc trạng
thái tinh khiết. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng thái
thuần" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này. Lúc đó giá trị trung
bình của một đại lượng được tính theo công thức (1.1).
Trong trường hợp này, tất cả P
Ψ
= 0 ngoại trừ trạng thái Ψ
0
, do đó ma
trận mật độ có dạng
ρ = |Ψ
0
Ψ
0
|. (1.4)
Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau:

Tính chất 1
A = T r(ρA), (1.5)
với
T rX =

l
l|X|l.
Chứng Minh (1.5):
T r(ρA) =

l
l|ρA|l =

l
l|ΨΨ|A|l =

l
Ψ|A|ll|Ψ
= Ψ|A|Ψ = A,
trong đó |l là một hệ hoàn toàn trực chuẩn bất kỳ nên |ll| = 1.
9
Tính chất 2
T r(ρ) = 1. (1.6)
Chứng minh (1.6):
T r(ρ) = T r(ρ.1) =

l
l|ρ.1|l =

l

l|ΨΨ|1|l =

l
Ψ|1|ll|Ψ
= Ψ|Ψ = 1.
Tính chất 3
ρ
2
= ρ, T r(ρ
2
) = 1. (1.7)
Chứng minh (1.7):
ρ
2
= |Ψ
0
Ψ
0
||Ψ
0
Ψ
0
| = |Ψ
0
Ψ
0
| = ρ,
do đó
T r(ρ
2

) = T r(ρ) = 1.
Tính chất 4
ρ = ρ
+
. (1.8)
Chứng minh (1.8):
Ta có ρ = |Ψ
0
Ψ
0
|, suy ra
ρ
+
= (|Ψ
0
Ψ
0
|)
+
= (Ψ
0
|)
+
(|Ψ
0
)
+
= |Ψ
0
Ψ

0
| = ρ.
1.2.2. Trạng thái hỗn hợp (mixed state)
Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh không
xác định được một cách chính xác, khi đó chúng ta không thể giải phương trình
10
Schrodinger để xác định hàm sóng của hệ, do đó trạng thái của hệ được gọi là
trạng thái mixed. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng thái
hỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này. Để mô tả hệ lượng
tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét (gọi là hệ con) và
các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn). Khi đó ta có thể dùng khái
niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín. Giá trị trung bình của một đại
lượng của hệ con được tính theo công thức (1.2).
Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau:
Tính chất 1
A = T r(ρA). (1.9)
Chứng minh (1.9):
T r(ρA) =

l
l|ρA|l =

l

i
l|p
i
|Ψ
i
Ψ

i
|A|l
=

l

i
Ψ
i
|A|ll|p
i
|Ψ
i
 =

i
Ψ
i
|Ap
i
|Ψ
i

=

i
p
i
Ψ
i

|A|Ψ
i
 = A.
Tính chất 2
T r(ρ) = 1. (1.10)
Chứng minh (1.10):
T r(ρ) =

l
l|ρ|l =

l

i
l|p
i
|Ψ
i
Ψ
i
|l =

l

i
Ψ
i
|ll|p
i
|Ψ

i

=

i
p
i
Ψ
i
|Ψ
i
 =

i
p
i
= 1.
Tính chất 3
ρ
2
= ρ, T r(ρ
2
) < 1. (1.11)
11
Chứng minh (1.11):
ρ
2
=

i


j
p
i
|Ψ
i
Ψ
i
|p
j
|Ψ
j
Ψ
j
| =

i

j
p
i
p
j
|Ψ
i
Ψ
i
||Ψ
j
Ψ

j
| = ρ,
suy ra
T r(ρ
2
) =

l

i,j
l|p
i
p
j
|Ψ
i
Ψ
i
|Ψ
j
Ψ
j
|l
=

l

i,j
p
i

p
j
Ψ
i
|Ψ
j
Ψ
j
|ll|Ψ
i

=

i,j
p
i
p
j
Ψ
i
|Ψ
j
Ψ
j
|Ψ
i
 =

i,j
p

i
p
j
|Ψ
i
|Ψ
j
|
2
<

i
p
i

j
p
j
= 1.
Tính chất 4
ρ = ρ
+
. (1.12)
Chứng minh (1.12):
Ta có ρ =

Ψ
|Ψ
i
Ψ

i
|, suy ra
ρ
+
= (

Ψ
P
Ψ
|Ψ
i
Ψ
i
|)
+
=

Ψ
P
Ψ
(Ψ
i
|)
+
(|Ψ
i
)
+
=


Ψ
P
Ψ
|Ψ
i
Ψ
i
| = ρ.
Vì ρ là toán tử Hermite nên các trị riêng p
i
của ρ là thực và dương. p
i
chính là
xác suất tìm thấy trạng thái thuần của hệ con được mô tả bởi hàm sóng |i ,
ta có
ρ|i = p
i
|Ψ
i
, ρ =
∞

i=1
p
i
|ii|, p
i
≥ 0,
∞


i=1
p
i
= 1, i|i

 = δ
ii

.
Như vậy, tiêu chuẩn để nhận biết một trạng thái là thuần hay hỗn hợp là
T r(ρ
2
) = 1 hay T r(ρ
2
) < 1.
12
1.3. Tiêu chuẩn chia tách được của các trạng thái
hỗn hợp
1.3.1. Nguyên lý về tính không thể chia tách của trạng thái
hỗn hợp
Tính không thể chia tách lượng tử là một trong những đặc điểm nổi bật
của hình thức luận lượng tử. Nó được phát hiện đầu tiên bởi Einstein, Podolsky
và Rosen (EPR) [19]. Các ông đã đưa ra hai loại trạng thái, một là trạng thái
của hệ lượng tử phức hợp có thể viết dưới dạng tổ hợp lồi của các trạng thái
tích và được gọi là trạng thái có tương quan cổ điển, các trạng thái này luôn
luôn thỏa mãn bất đẳng thức Bell. Loại thứ hai là trạng thái tương quan EPR,
các trạng thái này không có mối tương quan cổ điển, chúng vi phạm bất đẳng
thức Bell và nghịch lý Einstein-Podolsky-Rosen đề cập đến những trạng thái
này. Sự tương quan cổ điển và tương quan EPR được định nghĩa như là một
tính chất của ma trận mật độ ρ. Sau đó, R. Horodecki và M. Horodecki đã đưa

ra nguyên lý về tính không thể chia tách được của các trạng thái hỗn hợp [12].
Nội dung của nguyên lý đó như sau "Nếu hai hệ đã tương tác trong quá khứ
thì có thể tìm thấy toàn bộ hệ trong một trạng thái mà không thể viết dưới
dạng một hỗn hợp của các trạng thái tích". Nguyên lý này chứa đựng sự tồn
tại của các trạng thái hỗn hợp không chia tách được mà có thể được xem như
bản sao của các trạng thái bị rối thuần khiết, chúng tương ứng với các trạng
thái tương quan EPR, là những trạng thái không thể được viết dưới dạng hỗn
hợp của các tích trực tiếp, trong khi đó các trạng thái chia tách được (hỗn hợp
của các trạng thái tích) lại tương ứng với các trạng thái tương quan cổ điển.
Như đã biết, một trạng thái hỗn hợp có thể xuất phát từ sự quy về một vài
trạng thái thuần hoặc từ nguồn tạo ra các trạng thái thuần một cách ngẫu
13
nhiên. Nếu một trạng thái hỗn hợp là chia tách được thì nó tạo ra tính thống
kê tương đương với một trạng thái được tạo ra từ một tập hợp các trạng thái
tích. Tuy vậy, nếu một trạng thái hỗn hợp không thể chia tách được thì tách
nhiên không có cách nào để gán cho các hệ thành phần các vectơ trạng thái
của nó dù chỉ là về mặt nguyên tắc. Nói chung rất khó để kiểm tra xem một
trạng thái đã cho có thể viết dưới dạng hỗn hợp của các trạng thái tích hay
không. Do đó, đặc trưng toán tử của các trạng thái chia tách được hay không
chia tách được là vấn đề rất được quan tâm.
1.3.2. Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ [18]
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một điều kiện cần cho sự chia tách
được đó là ma trận mật độ thu được từ phép chuyển vị từng phần với các giá
trị riêng không âm. Điều kiện này thu được từ phép kiểm tra đại số đơn giản
như sau:
Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ con trong không gian Hilbert H = H
1
⊗H
2
là chia tách được nếu ma trận mật độ ρ của nó được viết dưới dạng

ρ =
∞

A=1
p
A
ρ

A
⊗ ρ

A
, (1.13)
với ρ

A
và ρ

A
lần lượt là ma trận mật độ của hai hệ con trong không gian H
1
,
H
2
và p
A
thỏa mãn điều kiện

∞
A=1

p
A
= 1. Như vậy, một hệ lượng tử được cho
là bị rối nếu toán tử ma trận mật độ của chúng không chia tách được, tức là
không thể biểu diễn dưới dạng tổng lồi của các toán tử ma trận mật độ ρ

A
và
ρ

A
của hai hệ lượng tử như trên (1.13).
Một hệ chia tách được thì luôn luôn thỏa mãn bất đẳng thức Bell, nhưng
điều ngược lại thì không nhất thiết lúc nào cũng đúng. Thật vậy, để tồn tại
cho sự phân tích (1.13), chúng tôi sẽ sử dụng cách kiểm tra đại số như sau.
14
Viết lại điều kiện chia tách (1.13) dưới dạng các yếu tố của ma trận một cách
tường minh với tất cả các chỉ số của chúng. Phương trình (1.13) trở thành
ρ
mµ,nν
=
∞

A=1
p
A
(ρ

A
)

mn
⊗ (ρ

A
)
µν
, (1.14)
với các chỉ số m, n quy ước gán cho hệ con thứ nhất, các chỉ số µ, ν quy ước
gán cho hệ con thứ hai, hai hệ này có thể khác nhau về số chiều. Chú ý rằng
phương trình này có thể thỏa mãn nếu ta thay các ma trận mật độ lượng tử
bằng các hàm Lioville cổ điển (còn các chỉ số gián đoạn được thay bằng các
biến p và q). Nguyên nhân chỉ là do sự ràng buộc rằng một hàm Lioville phải
thỏa mãn điều kiện không âm. Điều chúng ta muốn là ma trận mật độ lượng
tử có giá trị riêng không âm, và điều kiện này sẽ khó thỏa mãn hơn.
Bây giờ ta định nghĩa một ma trận mới
σ
mµ,nν
≡ ρ
mµ,nν
, (1.15)
ở đây các chỉ số m và n đã bị hoán vị, nhưng các chỉ số µ và ν thì không. Đây
không phải là phép biến đổi Unita, nhưng ma trận σ là một ma trận Hermite.
Khi phương trình (1.13) có giá trị thì
σ =
∞

A=1
p
A
(ρ


A
)
T
⊗ ρ

A
. (1.16)
Vì ma trận chuyển vị (ρ

A
)
T
≡ (ρ

A
)
∗
là các ma trận không âm với vết bằng đơn
vị nên chúng cũng có thể là ma trận mật độ hợp quy luật, tức là không có trị
riêng nào của σ là âm. Đây là điều kiện cần để phương trình (1.13) đúng.
Chú ý rằng, các trị riêng của σ là bất biến dưới phép biến đổi Unita với
U

và U

là các cơ sở. Ta có
ρ −→ (U

T

⊗ U

)ρ(U

T
⊗ U

)
+
, (1.17)
15
thế thì
σ −→ (U

T
⊗ U

)σ(U

T
⊗ U

)
+
, (1.18)
cũng là phép biến đổi Unita, chuyển dời các trị riêng bất biến của σ.
Tiêu chuẩn này mạnh hơn bất đẳng thức Bell hay mạnh hơn bất đẳng
thức entropy −α, nó được chứng minh qua hai ví dụ trong [15].
1.4. Phương sai của phép đo đại lượng vật lý
Cho hai toán tử A và B theo thứ tự được biểu diễn bởi hai toán tử Hermite

A và B. Trong cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo đồng
thời thì về mặt toán học A và B không giao hoán được với nhau, khi đó ta có
giao hoán tử
[A, B] = AB −BA = iC = 0, (1.19)
ở trường hợp này, ta được hệ thức bất định trong trạng thái lượng tử bất kỳ
|Ψ của hệ
V AV B ≥
1
4
|[A, B]|
2
> 0. (1.20)
Trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được Y
gần giá trị trung bình lượng tử Y  của đại lượng Y = A, B gọi là phương sai
và V Y được định nghĩa như sau
V Y ≡ (Y − Y )
2
 = Y
2
 −Y 
2
, (1.21)
với giá trị trung bình lượng tử của đại lượng Y ở trạng thái |Ψ
Y  = Ψ|Y |Ψ =

Ψ
∗
(y)Y Ψ
(
y)dy. (1.22)

16
1.5. Chuyển vị từng phần
Xét trường hợp đơn mode trong biểu diễn toạ độ
ρ =

dxdx

ρ
xx

|xx

|, (1.23)
trong đó ˆx|x = x|x.
Toán tử toạ độ ˆx và toán tử mômen xung lượng được định nghĩa qua hệ
thức a =
ˆx+iˆp
√
2
và a
+
=
ˆx−iˆp
√
2
.
Hàm C
ρ
T
(λ) ≡ T r{ρ

T
D(λ)} là hàm đặc trưng cho toán tử mật độ ρ. Còn
hàm đặc trưng cho toán tử mật độ chuyển vị ρ
T
=

dxdx

ρ
xx

|x

x| được đưa
ra bởi
C
ρ
T
(λ) ≡

dxdx

ρ
xx

|xD(λ)x

|
=


dxdx

ρ
xx

|x

D(−λ
∗
)x

| = C
ρ
(−λ
∗
),
(1.24)
ở đây C
ρ
T
(λ) là hàm đặc trưng của trạng thái ban đầu và D(λ) = e
λa
+
−λ
∗
a
là
toán tử dịch chuyển. Vì vậy, hàm phân bố xác suất của ρ
T
có mối quan hệ với

ρ là:
W
ρ
T
(α, s) =
1
π
2

d
2
re
αλ
∗
−α
∗
λ
.e
s|λ|
2
/2
C
ρ
T
(λ)
=
1
π
2


d
2
re
αλ
∗
−α
∗
λ
.e
s|λ|
2
/2
C
ρ
(−λ
∗
) = W
ρ
(α
∗
, s).
(1.25)
Xét trong biểu diễn Glauber
P
(s = 1). Toán tử mônmen a
+m
a
n

ρ

T
của toán tử
mật độ chuyển vị được đưa ra từ mômen trạng thái ban đầu,
a
+m
a
n

ρ
T
=

d
2
αα
∗m
α
n
P
ρ
T
(α
x
, α
y
)
=

d
2

αα
∗m
α
n
P
ρ
(α
x
, −α
y
)
=

d
2
αα
m
α
∗n
P
ρ
(α
x
, α
y
) = a
+n
a
m


ρ
.
(1.26)
Mở rộng kết quả phép chuyển vị từng phần cho trạng thái đa mode. Ví dụ
17
trong trường hợp chuyển vị từng phần cho mode b, ta có
a
+m
a
n
b
+p
b
q

ρ
P T
= a
+m
a
n
b
+q
b
p

ρ
. (1.27)
1.6. Một số trạng thái phi cổ điển ba mode
1.6.1. Trạng thái |GHZ

Trạng thái |GHZ [6] được nghiên cứu lần đầu tiên bởi D. Greenberger,
MA Horne và Anton Zeilinger năm 1989. Đây là một trạng thái phi cổ điển, bị
rối và gồm tám trạng thái sau:
|GHZ =
1
√
2
(|0|0|0 + |1|1|1), (1.28)
|GHZ =
1
√
2
(|0|0|0 −|1|1|1), (1.29)
|GHZ =
1
√
2
(|0|0|1 + |1|1|0), (1.30)
|GHZ =
1
√
2
(|0|0|1 −|1|1|0), (1.31)
|GHZ =
1
√
2
(|0|1|0 + |1|0|1), (1.32)
|GHZ =
1

√
2
(|0|1|0 −|1|0|1), (1.33)
|GHZ =
1
√
2
(|0|1|1 + |1|0|0), (1.34)
|GHZ =
1
√
2
(|0|1|1 −|1|0|0). (1.35)
1.6.2. Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock
Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock [7] được
định nghĩa như sau:
|ψ = (1 − x
2
)
1/2
∞

n=0
x
n
|n
a
|n
b
|n

c
, (1.36)
trong đó 0 ≤ x ≤ 1, |n
a
, |n
b
và |n
c
là các trạng thái Fock.
18
1.6.3. Trạng thái kết hợp bộ ba
Trạng thái kết hợp bộ ba [1] được xây dựng từ trạng thái kết hợp cặp
|ξ, q, với hai toán tử hủy boson a và b tương ứng với hai mode độc lập nhau,
ta có
ab|ξ, q = ξ|ξ, q , (a
+
a −b
+
b)|ξ, q = q|ξ, q, (1.37)
trong đó ξ = r.e
iφ
với r và φ là thực, q là một số nguyên không âm.
Bây giờ đối với ba toán tử hủy boson a, b, c tương ứng với ba mode độc
lập với nhau, một trạng thái mới gọi là trạng thái kết hợp bộ ba |ξ, p, q được
định nghĩa như sau:
abc|ξ, p, q = ξ|ξ, p, q,
(N
a
− N
b

)|ξ, p, q = p|ξ, p, q,
(N
b
− N
c
)|ξ, p, q = q|ξ, p, q,
trong đó ξ = r.e
iφ
với r, φ là thực và q, p là một số nguyên không âm và toán
tử số hạt N
x
= x
+
x. Khi khai triển thông qua trạng thái Fock |n thì trạng
thái kết hợp bộ ba được biểu diễn dưới dạng
|ξ, p, q = ℵ
p+q,q
(r
2
)
∞

n=0
ξ
n

(n + p + q)!(n + q)!n!
|n + p + q
a
|n + q

b
|n
c
,
(1.38)
trong đó trạng thái Fock được hiểu là
a
+
a|m
1
, m
2
, m
3
 = m
1
|m
1
, m
2
, m
3
,
b
+
b|m
1
, m
2
, m

3
 = m
2
|m
1
, m
2
, m
3
,
c
+
c|m
1
, m
2
, m
3
 = m
3
|m
1
, m
2
, m
3
.
Hệ số ℵ
p+q,q
(r

2
) được xác định bởi điều kiện chuẩn hóa, từ đó
ℵ
−2
p+q,q
(r
2
) =
∞

n=0
r
2n
n!(n + q)!(n + p + q)!
. (1.39)
19
Chương 2
TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI
CHO HỆ BA MODE
Hiện nay đã tồn tại một số phương pháp phát hiện rối trong các trạng
thái hai mode, chẳng hạn như điều kiện chuyển vị từng phần dương của Peres-
Horodecki [12], những bằng chứng về rối, nhưng chúng không dễ dàng áp
dụng trong mọi trường hợp. Đặc biệt đối với những hệ có bậc tự do liên tục
như tọa độ hay xung lượng của hạt hay các thành phần vuông góc của các
mode thì các tiêu chuẩn tồn tại cho việc phát hiện rối còn rất hạn chế. Trong
nhiều trường hợp, các tiêu chuẩn này ở dạng các bất đẳng thức [9], và nói chung
chúng chỉ cung cấp các điều kiện đủ cho việc phát hiện rối [14]. Tuy nhiên các
bất đẳng thức đó lại không được sử dụng để dò tìm đan rối đối với các trạng
thái phi Gaussian.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về điều kiện đan rối cho hệ hai

mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Bằng cách xây dựng hệ thức bất
định của các toán tử và sử dụng phép chuyển vị từng phần, hai ông đã đưa về
được các bất đẳng thức mới. Vì mọi trạng thái lượng tử đều thỏa mãn hệ thức
bất định nên nếu một trạng thái nào đó vi phạm một trong các bất đẳng thức
trên thì trạng thái đó bị rối. Dựa trên ý tưởng đó, chúng tôi xây dựng các bất
đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để phát hiện đan rối trong các hệ ba mode. Đó
chính là nội dung chính của chương này
20
2.1. Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của
Agarwal G. S. và Asoka Biswas
Xuất phát từ các toán tử được định nghĩa như sau:
S
x
=
a
+
b + ab
+
2
,
S
y
=
a
+
b −ab
+
2i
, (2.1)
S

z
=
a
+
a + b
+
b
2
,
với iS
z
= [S
x
, S
y
], vì vậy các toán tử S
i
tuân theo hệ thức bất định
∆S
x
∆S
y
≥
1
2
|S
z
|
⇔ (∆S
x

)
2
(∆S
y
)
2
≥
1
4
|S
z
|
2
, (2.2)
với (∆S
i
)
2
được tính theo công thức
(∆S
x
)
2
= S
2
x
 −S
x

2

=
1
4

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b
+ a
+2
b
2
 + a
2
b
+2
 −a
+
b + ab
+

2

, (2.3)
(∆S

y
)
2
= S
2
y
 −S
y

2
=
1
4

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b
− a
+2
b
2
 −a
2
b

+2
 + a
+
b −ab
+

2

. (2.4)
Thay vào (2.3) và (2.4) vào (2.2), ta có bất đẳng thức sau:

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b + a
+2
b
2
 + a
2
b
+2
 −a
+
b + ab

+

2

×

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b −a
+2
b
2
 −a
2
b
+2
 + a
+
b −ab
+

2

(2.5)

≥ |a
+
a −b
+
b|
2
.
21
Áp dụng phép chuyển vị từng phần đối với hệ con thứ hai (b ↔ b
+
), ta được
bất đẳng thức mới

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b + a
+2
b
+2
 + a
2
b
2
 −a

+
b
+
+ ab
2

×

a
+
abb
+
 + aa
+
b
+
b −a
+2
b
+2
 −a
2
b
2
 + a
+
b
+
− ab
2


(2.6)
≥ |a
+
a −b
+
b|
2
.
Tương tự như trên, hai ông đưa ra bất đẳng thức thứ hai làm tiêu chuẩn
để phát hiện rối trong các trạng thái hai mode bằng cách xét các toán tử sau
thỏa mãn đại số SU(1,1)
K
x
=
a
+
b
+
+ ab
2
,
K
y
=
a
+
b
+
− ab

2i
, (2.7)
K
z
=
a
+
a + b
+
b + 1
2
,
với iK
z
= [K
x
, K
y
]. Sử dụng hệ thức bất định, ta có
∆K
x
∆K
y
≥
1
2
|K
z
|
⇔ (∆K

x
)
2
(∆K
y
)
2
≥
1
4
|S
z
|
2
, (2.8)
với
(∆K
x
)
2
= K
2
x
 −K
x

2
=
1
4


a
+
ab
+
b + aa
+
bb
+

+ a
+2
b
+2
 + a
2
b
2
 −a
+
b
+
+ ab
2

, (2.9)
(∆K
y
)
2

= K
2
y
 −K
y

2
=
1
4

a
+
ab
+
b + aa
+
bb
+

− a
+2
b
+2
 −a
2
b
2
 + a
+

b
+
− ab
2

. (2.10)
22