KÌ THI THỨ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ppt

www.MATHVN.com
Trang

1 – www.mathvn.com
S
Ở GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

KÌ THI THỨ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 NĂM HỌC 2012 -2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Câu Đáp án
Điểm
1.(1 điểm) Khảo sát….
•
TXĐ
D
=
ℝ

•
Sự biến thiên
- Chiều biến thiên
(
)
2
y' 3 x 1
= −
;
2
x 1

y' 0 x 1 0
x 1
=

= ⇔ − = ⇔

= −


0.25
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
; 1
−∞ −
và
(
)
1;
+∞
, ngh
ị
ch bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
1;1

−
.
- C
ự
c tr
ị
: Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
x 1
= −
; y
cđ
= 4,
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i

x 1
=
và y
ct
= 0.
- Các gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i vô c
ự
c:
(
)
3
x x
lim y lim x 3x 2
→−∞ →−∞
= − + = −∞
;
(
)
3
x x
lim y lim x 3x 2
→+∞ →+∞
= − + = +∞

0.25
-

B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞
-1 1
+∞

y’ + 0 - 0 +

y
4
+∞



−∞
0

0.25
•

Đồ
th
ị

:
Giao v
ớ
i Ox là
(
)
A 1;0
,
B( 2;0)
−
; v
ớ
i Oy là
(
)
C 0;2


0.25
2.(1.0
đ
i
ể
m)
Vì ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
đườ

ng th
ẳ
ng
x 9y 8 0
+ − =
, nên ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng 9.
G
ọ
i t
ọ
a
độ
ti
ế
p
đ
i
ể
m là
(

)
0 0
I x ;y
. Ta có
0
2
0 0
0
x 2
f '(x ) 9 x 1 3
x 2
=

= ⇔ − = ⇔

= −

.
0.25
•
Nếu
0
x 2
=
,
0
y 4
=
. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
1

d
:
(
)
(
)
(
)
1
y f ' 2 x 2 f 2 d : y 9x 14
= − + ⇔ = −

M là giao điểm của
∆
và
1
d
suy ra tọa độ M là nghiệm của hệ
y 9x 14 x 3
y 2x 19 y 13
= − =
 
⇔
 
= − + =
 
. Vậy
(
)
M 3;13

0.25
•
Nếu
0
x 2
= −
,
0
y 0
=
.Tương tự ta có phương trình tiếp tuyến là
2
d
:
y 9x 18
= +

M là giao điểm của
∆
và
2
d
nên tọa độ M là nghiệm của hệ
1
x
y 9x 18
11
y 2x 19 207
y

11

=

= +


⇔
 
= − +


=


Vậy
1 207
M ;
11 11
 
 
 
.
0.25

Câu 1
(2.0 đi
ểm)
V
ậ
y t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m M là:
(
)
M 3;13
và
1 207
M ;
11 11
 
 

 
.
0.25
1. (1.0
đ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình …


Đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
đị
nh c
ủ
a pt:
(
)
3sin x sin 2x 0 sin x 3 2cosx 0
− ≠ ⇔ − ≠
.
0.25

-1
1
2
4
O
x
y
www.MATHVN.com
Trang

2 – www.mathvn.com
Phương trình đã cho tương đương
(
)
(
)
(
)
2
2sin x 1 cos2x sin x 1 sin x 3 4cos x
− + + = −

(
)
(
)
(
)
2
2sin x 1 cos2x sinx 1 sin x 4sin x 1

⇔ − + + = −
(
)
(
)
2
2sin x 1 cos2x 2sin x 1 0
⇔ − − + =
.
0.25
•
1
sin x x k2
2 6
π
π
= ⇔ = + ∨

5
x k2
6
π
π
= +
Đối chiếu đkiện ta thấy
x k2
6
π
π
= +

không thỏa mãn điều kiện,
5
x k2
6
π
π
= +
thỏa mãn đk.
0.25
•
2
k
cos2x 2sin x 1 0 cos2x 0 x
4 2
π π
− + = ⇔ = ⇔ = +
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
k
x
4 2
π π
= +
và
5
x k2
6
π
π
= +

,
k
∈
ℤ
.
0.25
2. (1.0 điểm) Giải phương trình…
Điều kiện
x 0
≠
. Phương trình đã cho tương đương
2
2
2
2x 9 2x
3 0
x
2x 9
+
+ − =
+
(1).
0.25
Đặt
2
x
t 0
2x 9
= ≠
+

. (1) trở thành:
( ) ( )
2
2
1 1
2t 3 0 t 1 2t 1 0 t 1 t
t 2
−
+ − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = .
0.25
•
Với
2
2 2 2
x 0 x 0
1 3 2
t 2x 2x 9 x
2 2
4x 2x 9 2x 9
< <
 
−
= ⇒ − = + ⇔ ⇔ ⇔ = −
 
= + =
 
.
0.25

Câu 2

(2.0 điểm)

•
Với
2
2 2 2
x 0 x 0
t 1 x 2x 9
x 2x 9 x 9 0
> >
 
= ⇒ = + ⇔ ⇔
 
= + + =
 
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là
3 2
x
2
= −
.

0.25
Đ
i
ề
u ki
ệ
n

15
1 x
2
− ≤ ≤
.
Ta có
4 2 2 2
y 2xy 7y x 7x 8
− + = − + + ⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2
y x 7 y x 8 0 y x 1 y x 8 0
− + − − = ⇔ − − − + =
(1)

0.25
Vì
15
x
2
≤

;
2
15
y 8
2
+ >
nên
2
x y 8
< +
. Khi đó (1)
2 2
y x 1 0 y x 1
⇔ − − = ⇔ = +
.
0.25
Thế
2
y x 1
= +
vào phương trình dưới, ta được

3x 16 15 2x x 1
+ − − = +
( )( )
3x 16 15 2x x 1 2x x 1 15 2x
⇔ + = − + + ⇔ = + −

2
x 0

x 0
x 3
5
x 3 x
6x 13x 15 0
6
≥

≥


⇔ ⇔ ⇔ =
−
 
= ∨ =
− − =




0.25








Câu 3

(
1.0 điểm)

V
ớ
i
x 3
=
ta có
2
y 4 y 2
= ⇔ = ±

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
(
)
(
)
3; 2 , 3;2
− .

0.25
www.MATHVN.com
Trang

3 – www.mathvn.com
Gọi I trung điểm BC, ta có
a 3
AI
2
=
. Gọi H là hình chiếu của điểm
A trên đường thẳng
A'I
. Ta có
BC AI, BC AA'
⊥ ⊥
BC AH
⇒ ⊥
.
(
)
AH A'BC
⊥ .
Vì G là trọng tâm
∆
ABC và AG nên
( )
( )
( )
( )

A; A'BC G; A'BC
3
d AH 3d a
5
= = =
.
AIA'
∆
vuông t
ạ
i A có:
2 2 2
1 1 1
AA' a 3
AH AA' AI
= + ⇒ =
.
Ta có
2
ABC
a 3
S
4
=

Thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
là
ABC
2 3

a 3 3a
V AA'.S a 3.
4 4
= = =
(
đ
vtt).



0,25






0,25
G
ọ
i D là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ

a B’ qua A’, ta có
ABA'D
là hình bình hành suy ra A’B và AD song song.
Do
đ
ó góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng A’B và AC’ b
ằ
ng góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AC’ và AD.
0.25



Câu 4
(
1.0 điểm)

Ta có
B'C'D

∆
vuông t
ạ
i C’, suy ra
2 2
C'D B'D B'C' a 3
= − = ,
2 2
AD A'B AB AA' 2a
= = + =
.

2 2
2
2AD C'D 5
cosDAC'
2AD 8
−
= =
. Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng
A'B
và
AC'
bằng
5
8

0.25
Do
a,b,c 0

>
, đặ
t
a b
x 0,y 0
c c
= > = >
khi
đ
ó
3 3
x y 1
+ =

Ta có
( ) ( ) ( )
3
3 3
x y x y 3xy x y 1 3xy x y
+ = + + + = + +
.
0.25
Chia t
ử
và m
ẫ
u c
ủ
a bi
ể

u th
ứ
c M cho
2
c 0
≠
và thay
a b
x 0,y 0
c c
= > = >
ta
đượ
c

( )( )
(
)
( )
2
2 2
x y 2xy 1
x y 1
M
1 x 1 y x y xy 1
+ − −
+ −
= =
− − − + + +

0.25
Đặt
3
t 1
t x y xy
3t
−
= + ⇒ =
, vì
x,y 0
>
nên ta có
3
3
3
2
t 1
t 1
1 t 4
t 1
t 4
t 4
3t
>

>


⇔ ⇔ < ≤
 

−
≤
≥



.
Bi
ể
u th
ứ
c tr
ở
thành
3
3 2
t 3t 2 t 2 3
M 1
t 3t 3t 1 t 1 t 1
− + +
= = = +
− + − − −

0.25

Câu 5
(
1.0 điểm)



Vì
3 3
1 t 4 0 t 1 4 1
< ≤
⇒
< − ≤ −
suy ra
3
3
4 2
f(t)
4 1
+
≥
−
.
V
ậ
y giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ

t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c là
3
3
4 2
4 1
+
−
khi
3
a b,c a 2
= =
.
0.25
Chương trình chuẩn
Di
ệ
n tích hình vuông là
2
S = AB.AD = 2AI 25
=
nên
5 2
AI
2

=
.
Đ
i
ể
m
(
)
I d : y x 5 I a;5 a
∈ = − + ⇒ −
v
ớ
i
a 0
>
,
2 2
AI 2a 6a 9
= + +
.
Khi
đ
ó a nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình
2
25 7
2a 6a 9 a

2 2
−
+ + = ⇔ =
(lo
ạ
i),
1
a
2
=
(tm điều kiện).
0.25







Câu 6a
(
1.0 điểm)

Tọa độ tâm
1 9
I ;
2 2
 
 
 

, vi I trung điểm AC nên tọa độ đỉnh
(
)
C 4;4
.
0.25
A
C
B
A'
C'
B'
D
I
H
G
www.MATHVN.com
Trang

4 – www.mathvn.com
Đường thẳng
∆
vuông góc
AI
có
(
)
n 7; 1
∆
= −


nên phương trình là
:7x y 1 0
∆ − + =
. Vì điểm B thuộc
:7x y 1 0
∆ − + =
nên
(
)
B b;1 7b
+ . Ta có
2 2
b 1
1 9 25
BI AI b 1 7b
b 0
2 2 2
=

   
= ⇔ − + + − = ⇔
   

=
   


0.25
•

Với
(
)
b 0 B 0;1
=
⇒ do I trung điểm BD nên
(
)
D 1;8
;
•
Với
(
)
b 1 B 1;8
= ⇒ và
(
)
D 0;1
.
V
ậ
y t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh B, C, D là:
(

)
(
)
B 1;8 ,C 4;4
và
(
)
D 0;1
ho
ặ
c
(
)
(
)
B 0;1 ,C 4;4
và
(
)
D 1;8

0.25
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
n ,n 2
∈ ≥

ℕ
,
Ph
ươ
ng trình
2 1 2
n n
2C 8C n n 10n 0 n 0
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
(lo
ạ
i),
n 10
=
(nh
ậ
n)
0.25
V
ớ
i
n 10
=
,
( )
10
k 10
0 1 k 10
P(x) 1 6x a a x a x a x
= − = + + + + +

0.25
Khi
1
x
2
=
, ta có
10
1 10
0
10
1 a a
P 2 a
2 2 2
 
= = + + +
 
 

0.25


Câu 7a
(
1.0 điểm)

Ta có t
ổ
ng T b
ằ

ng giá tr
ị
c
ủ
a
P(x)
t
ạ
i
1
x
2
=
. Do
đ
ó
10
T 2
=
.
0.25
Điều kiện
3
1 4
0 x,x ,x
2 2
< ≠ ≠
.Ta thấy
x 1
=

không là nghiệm.
0.25
Với
x 1
≠
phương trình tương đương
2 3
x x
1 1 1
log 2x log 2x 2
+ =
( )
2
x
x
1 1 1
3 log 2 2
1 log 2
⇔ + =
+
+
(1)
0.25
Đặt
x
t log 2
= ,
t 1;t 3
≠ − ≠ −

(1) trở thành
( )
( )
3 2
2
2
t 1
1 1 1
t 3t t 5 0
t 4t 5 0 vô nghiêm
3 t 2
1 t
=

+ = ⇒ + + − = ⇔

+ + =+
+


0.25

Câu 8a
(
1.0 điểm)

Với
t 1
=
suy ra

x
log 2 1 x 2
= ⇔ =
(nhận). Vậy nghiệm của phương trình là:
x 2
=

0.25
Chương trình Nâng cao
Do tam giác ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm trùng với trung điểm cạnh BC
và bán kính bằng
1
AI BC 5
2
= =
.
0.25
Gọi tọa độ tâm là
(
)
0 0
I x ;y
,do
(
)
d d'
u u 1; 2
= = −
 
nên d và d’ song song, suy ra I cách đều d và d’

Hay
0 0 0 0
0 0 0 0
x 2y 1 x 2y 21
x 2y 10 0 x 2y 10
5 5
− − − +
= ⇔ − + = ⇔ = −
.
0.25
Khi đó
0
y
thỏa mãn
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
AI 5 2y 10 3 y 4 25 y 4;y 8
= ⇔ − − + − = ⇔ = =

0.25





Câu 6b
(
1.0 điểm)

Với
(
)
0
y 4 I 2;4
=
⇒
− , phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
( ) ( )
2 2
x 2 y 4 25
+ + − =

Với
(
)
0
y 8 I 6;8
=
⇒
, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
( ) ( )
2 2
x 6 y 8 25
− + − =

0.25
Không gian mẫu
Ω
có

(
)
4
20
n C 4845
Ω = =
0.25
Biến cố A=”lấy được ít nhất 2 cái bút cùng màu” thì biến cố đối
A
=”không có hai cái bút cùng màu”
Số cách chọn 4 bút không có 2 bút cùng màu là
1 1 1 1
6 6 5 3
C .C .C C 540
=

0.25
Xác suất của biến cố
A
là
( )
(
)
( )
n A
36
P A
n 323
= =
Ω

.
0.25


Câu 7b
(1 điểm)

Khi
đó xác suất của biến cố A là
( )
287
P(A) 1 P A
323
= − =
.
0.25
www.MATHVN.com
Trang

5 – www.mathvn.com
Đặt ;
x x 3
x x
3 27
3 t 27 t 9t
3 27
− = ⇒ − = +
;PT trở thành
(
)

(
)
(
)
3
t 7t 6 0 t 1 t 2 t 3 0
− + = ⇔ − − + =

0.25
•

t 1
=
x x
3
x
3 1 13 1 13
3 1 3 x log
3 2 2
+ +
⇒ − = ⇔ = ⇔ =
•

t 2
=
x x
x
3
3 2 3 3 x 1
3

⇒ − = ⇔ = ⇔ =

•

t 3
= −
x x
3
x
3 21 3 21 3
3 3 3 x log
3 2 2
− −
⇒ − = − ⇔ = ⇔ =

0.5
Câu 8
b
(
1.0 điểm)

Vậy nghiêm của phương trình đã cho là
x 1
=
,
3
1 13
x log
2
+

=
và
3
21 3
x log
2
−
=
.
0.25

Hết
Chú ý: Mọi cách làm đúng khác với đáp án đều cho điểm tương ứng.