Đề Thi Thử Đại Học Khối A, A1, B, D Toán 2013 - Phần 25 - Đề 1 pdf

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số 23
23
 xxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx theo tham số m.
C©u II (2.0 ®iÓm )
1. Giải phương trình:


2
3 4 2 2 2 1 2
sin x cos x sin x
  
2. Giải phương trình:
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .

  

C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân
3
2
3
xsin x
I dx.
cos x






C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3
2
1
2
1




zyx
và mặt phẳng
012:)(





zyxP .Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương
trình của đường thẳng

đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong )(P .
C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các
điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy .
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
C©u VI.a(2.0 ®iÓm)
1. Cho hàm số 3
2
sin)(
2

x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)(

xf
có đúng hai nghiệm.
2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:






izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21

C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC

có


0 5
A ; .
Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0
d : x y ,d : x y .
    
Viết phương trình ba cạnh

của tam giác ABC.
B.Theo chương trình Nâng cao
C©u VI.b (2.0 ®iÓm)
1. Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3


xxxx
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2


C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam giác
đều. Qua
A
dựng mặt phẳng )(P vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P

và hình chóp.
…
HÕt ®Ò
…


Đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN

Câu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
  


 Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.


 Sự biến thiên:
2
3 6
y' x x.
  Ta có
0
0
2
x

y'
x


 




0,25





0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .
    

0,25
 Bảng biến thiên:
x


0 2


y'


0

0



y

2





2



0,25
a)
 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2



x
m
xx theo tham số m.

 Ta có
 
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của




2
2 2 1
y x x x , C'
    và đường
thẳng
1
y m,x .
 

0,25

 Vì
 


 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



    

 


nên


C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .


+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x

qua Ox.
0,25
 Học sinh tự vẽ hình
0,25
 Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
 
Phương trình vô nghiệm;
+
2
m :
 
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0
m :
  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0
m :

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25

b)
0,25
Câu II 2 điểm
Giải phương trình


2
3 4 2 2 2 1 2
sin x cos x sin x
  

 Biến đổi phương trình về dạng




2 3 2 1 2 1 0
sin x sin x sin x
   

0,75
a)
 Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ;x k ;x ;x
     
 

        
0,25
b)
Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .
  


 Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ;x ;x ;x .
   
 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
 Với
1
x

. Đặt
2
x
t log
 và biến đổi phương trình về dạng

2 42 20
0
1 4 1 2 1
t t t
  
  

0,5
 Giải ra ta được
1 1
2 4
2
2
t ;t x ;x .
     
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ;x .
 

0,25
Câu III 1.0 điểm
Tính tích phân
3
2
3
xsin x
I dx.

cos x







 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3
3
3
3 3
1 4
3
x dx
I xd J,
cosx cosx cosx
 


 


 
 
    
 
 
 

với
3
3
dx
J
cosx






0,25
 Để tính J ta đặt
t sin x.

Khi đó
3
3
3 2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1
2 3

dx dt t
J ln ln .
cosx t t





 
     
 

 


0,5
a)
 Vậy
4 2 3
3
2 3
I ln .


 


0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm

A
của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương
trình của đường thẳng

đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong )(P .

 Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
 

 
 

0,25
 Ta có
     
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p
u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;

 
      
 
uur uur uur uur uur

0,5

 Vậy phương trình đường thẳng

là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t;z .
      

0,25
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy .



   
, ; ; ; ;
2 2 2 2 1 1 1
OA OB
 
   
 
uuur uuur


:
0

OAB x y z
   
.


:
0
Oxy z

.


; ;
N x y z
cách đều


OAB
và


Oxy










, ,
d N OAB d N Oxy
 
1
3
x y z z
 
 



 
.
3 1 0
3
3 1 0
x y z
x y z z
x y z

   

     

   



Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình



3 1 0
x y z
   
và


3 1 0
x y z
   
.

0.25





0.5




0.25

Câu VIa

2.0 điểm
1.

Cho hàm số 3
2
sin)(
2

x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng
minh rằng 0)(

xf có đúng hai nghiệm.


 Ta có
x
f ( x ) e x cos x.

   Do đó


0
x
f ' x e x cos x.
    
0,25
 Hàm số
x
y e


là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx
  
là hàm nghịch biến
vì 1 0
y' sin x , x
    
. Mặt khác
0

x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x
   nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25
 Lập bảng biến thiên của hàm số


y f x
 (học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình 0)(

xf có đúng hai nghiệm.
 Từ bảng biến thiên ta có


2 0
min f x x .
   

0,5
Cho hàm số 3
2
sin)(
2

x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng
minh rằng 0)(

xf có đúng hai nghiệm.



 Ta có
x
f ( x ) e x cos x.

   Do đó


0
x
f ' x e x cos x.
    
0,25
2.

. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:





izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21


Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)


Câu
VII.a
1.0 điểm
Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC

có


0 5

A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0
d : x y ,d : x y .
    
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.

 Ta có


1 2
2 1 3 5 0
B d d B ; AB : x y .
        

0,25
 Gọi
A'
đối xứng với A qua




1
2 3 4 1
d H ; ,A' ; .


0,25
 Ta có
3 1 0
A' BC BC : x y .
    

0,25
 Tìm được


28 9 7 35 0
C ; AC : x y .
   

0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3


xxxx

 Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .
  
0,5
1.
 Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2
2
39 39
x
x log
 
  
 
 

0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,

x =
2





Ta có: x.sin2x = 2x

x.sin2x – 2x = 0

x(sin2x – 2) =0

x = 0
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:


2
0
2
0
)22(sin)22sin.(


dxxxdxxxxS

Đặt
















x
x
v
dxdu
dxxdv
xu
2
2
2cos
)22(sin 44424
222

 S
(đvdt)



0.5


0.5

Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng )(P vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp.

 Học sinh tự vẽ hình
0,25
 Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.

Gọi
I AC' SO.
 

0,25


 Kẻ
B' D'
//

BD.
Ta có
2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .
  
0,5