CHUYÊN ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC, TẬP HỢP

CHUN ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ TỐN HỌC-TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ TỐN HỌC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa:
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P .
Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề "nếu P thì Q " gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P
Q . Mệnh đề P
Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P
Q . Khi đó mệnh đề Q
P gọi là mệnh đề đảo của Q
P
4. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề " P nếu và chỉ nếu Q " gọi là mệnh đề tương đương
Ký hiệu là P
Q.
Mệnh đề P
Q đúng khi cả P
Q và Q
P cùng đúng
Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi",
"nếu và chỉ nếu".
5. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị
của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

Ví dụ: P n : " n chia hết cho 5 " với n là số tự nhiên

P x ; y :" 2x

y

5 " Với x, y là số thực

6. Các kí hiệu , và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu
Kí hiệu : đọc là với mọi, : đọc là tồn tại
Phủ định của mệnh đề “ x

X, P x ” là mệnh đề “ x

X, P(x ) ”

Phủ định của mệnh đề “ x

X, P x ” là mệnh đề “ x

X , P(x ) ”

, .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết
mệnh đề đó đúng hay sai.
(1) Ở đây đẹp quá!

(2) Phương trình x 2 3x 1 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình x 2 4x 3 0 và x 2
x 3 1 0 có nghiệm chung.
(5) Số có lớn hơn 3 hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vng góc với nhau.
Lời giải
Câu (1) và (5) khơng là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.

1


Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) n 8 là số chính phương
(2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) n 1 là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai
Lời giải
Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 . Vì vậy
- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì n 8
có chữ số tận cùng là 2 nên khơng thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề
là đúng và một mệnh đề là sai.
- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là
đúng thì n 1 có chữ số tận cùng là 3 nên khơng thể là số chính phương.
Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, cịn mệnh đề (2) là sai.
2. Bài tập luyện tập.

Bài 1.1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hay cho biết
mệnh đề đó đúng hay sai.
a) Khơng được đi lối này!
b) Bây giờ là mấy giờ?
c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
d) 16 chia 3 dư 1.
e) 2003 không là số nguyên tố.
f) 5 là số vơ tỉ.
g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều nhất là hai điểm chung.
Bài 1.2: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vịng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđơnêxia.
Trước khi thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:
Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba.
Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư.
Trung: Singapor nhất và Inđơnêxia nhì.
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
 DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TỐN VỀ MỆNH ĐỀ .
Các phép tốn mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh đề lại với nhau tạo ra một
mệnh đề mới. Một số các phép toán mệnh đề là : Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo theo(phép
kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương).
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
P : " Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau"
Q : " 6 là số nguyên tố"
R : " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại"
3"
S : "5
K : " Phương trình x 4 2x 2 2 0 có nghiệm "
H :"

3

12

2

3

"

Lời giải
Ta có các mệnh đề phủ định là
P : " Hai đường chéo của hình thoi khơng vng góc với nhau", mệnh đề này sai

Q : " 6 không phải là số nguyên tố", mệnh đề này đúng

R : " Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại", mệnh đề này sai
S : "5

3 ", mệnh đề này sai

2


K : " phương trình x 4
x

4

2x

H :"

2

x

2
3

12

2

2x 2
1

2

3

2

2
1

0 vơ nghiệm ", mệnh đề này đúng vì
0

", mệnh đề này sai

Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P
Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) P : " Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường"
b) P : " 2 9 " và Q : " 4 3 "
c) P : " Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q : " Tam giác ABC có A 2B "
d) P : " Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q : " Ngày 27 tháng 7 là ngày thương
binh liệt sĩ"
Lời giải
a) Mệnh đề P
Q là " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường",
mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo là Q
P : "Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD
là hình thoi ", mệnh đề này sai.
b) Mệnh đề P
Q là " Nếu 2 9 thì 4 3 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai.
Mệnh đề đảo là Q
P : " Nếu 4 3 thì 2 9 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.
c) Mệnh đề P

Q là " Nếu tam giác ABC vng cân tại A thì A

2B ", mệnh đề này đúng

Mệnh đề đảo là Q
P : " Nếu tam giác ABC có A 2B thì nó vng cân tại A", mệnh đề này sai
d) Mệnh đề P
Q là " Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7
là ngày thương binh liệt sĩ"

Mệnh đề đảo là Q
P : " Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc
Khánh của nước Việt Nam"
Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P,Q đều đúng
Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P
Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng
góc với nhau"
b) P : " Bất phương trình
Lời giải
a) Ta có mệnh đề P

x2

3x

1

1 có nghiệm" và Q : "

Q đúng vì mệnh đề P

Q, Q

2

3.

1

1"

P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách

như sau:
"Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng góc
với nhau" và
"Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng góc
với nhau"
Q, Q
P đều đúng) và
b) Ta có mệnh đề P
Q đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng(do đó mệnh đề P
được phát biểu bằng hai cách như sau:
" Bất phương trình

x2

3x

1 có nghiệm khi và chỉ khi

" Bất phương trình

x2

3x

1 có nghiệm nếu và chỉ nếu

3

1
1

2

3.
2

3.

1
1

1 " và
1"


3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.3: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
P : " Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800"
Q:"

3

27

2

là số nguyên "

R : " Việt Nam vơ địch Worldcup 2020"

5
2"
2
K : " Bất phương trình x 2013 2030 vô nghiệm "
Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P
Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) P : " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật" và Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vng
góc với nhau"
S : "

b) P : "

2 " và Q : "

3

c) P : " Tam giác ABC có A

3

3

2

3

"

C " và Q : " Tam giác ABC có BC 2

B

AB 2

AC 2 "

d) P : "Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam" và Q : "Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới "
Bài 1.5: Phát biểu mệnh đề P

Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó

a) Cho tứ giác ABDC. Xét hai mệnh đề
P: " Tứ giác ABCD là hình vng".
Q: " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng vng góc với nhau ".
b) P: " Bất phương trình x 2 3x 1 0 có nghiệm" và Q: " Bất phương trình x 2 3x
nghiệm"

1

0 vơ

D, B
C, B

C.
D.

Bài 1.6: Cho các mệnh đề :
A : “Nếu ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h =

a 3
”;
2

B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vng” ;
C : “15 là số nguyên tố” ;
D : “ 125 là một số nguyên”.
a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A
b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A
Bài 1.7: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P

Q, Q

B, A
B, B

P và xét tính đúng sai của mệnh đề này.

a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:
P: " Tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800 " và Q: " Tứ giác nội tiếp được đường tròn ".
b) P : "

2

3

1 " và Q: "

2

3

2

1

4

2

"


 DẠNG TOÁN 3: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN
CẦN VÀ ĐỦ .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n. Nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết
dưới dạng P
Q.
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.
b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu
gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Lời giải.
a) P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”.

b) Với n là số tự nhiên, n chia hết cho 5 là điều kiện cần để n5 chia hết cho 5 ; hoặc phát biểu cách khác :
Với n là số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5.
c) Với n là số tự nhiên, n5 chia hết cho 5 là điều kiện đủ để n chia hết cho 5.
d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n5 chia hết cho 5”. Thật vậy, nếu n = 5k thì n5 =
55.k5 : Số này chia hết cho 5.
Điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 5 là n5 chia hết cho 5.
Ví dụ 2: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ"
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân
BC . BH
d) Nếu tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao thì AB 2
Lời giải
a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 3
Số nguyên dương chia hết cho 3 là điều kiện cần để nó chia hết cho 6
c) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện đủ để nó là hình thang cân
Hình thang cân là điều kiện cần để nó có hai đường chéo bằng nhau
BC . BH
d) Tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao là điều kiện đủ để AB 2
Tam giác ABC có AB 2

BC . BH là điều kiện cần để nó vng tại A và AH là đường cao

Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau
a) Tam giác ABC vng khi và chỉ khi AB 2 AC 2
BC 2 .
b) Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vng.
c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường trịn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.

d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn.
Lời giải
a) Tam giác ABC vuông là điều kiện cần và đủ để AB 2 AC 2
BC 2 .
b) Tứ giác là hình chữ nhật là điều kiện cần và đủ để nó có ba góc vng.
c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc đối bù nhau.
d) Một số chia hết cho 2 là điều kiện cần và đủ để nó có chữ số tận cùng là số chẵn.
2. Bài tập luyện tập
Bài 1.8: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ "
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó
song song với nhau
b) Nếu số nguyên dương có chữ tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
c) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vng góc với nhau
5


d) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
Bài 1.9. Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau
a) Một tam giác là tam giác cân, nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau
b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3
3
c) x y
x
y
d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi MN QP .
Bài 1.10: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:
a) “Nếu một tứ giác là hình vng thì nó có bốn cạnh bằng nhau”.
Có định lí đảo của định lí trên khơng , vì sao?

b) “Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vng góc”.
Có định lí đảo của định lí trên khơng , vì sao?
Bài 1.11: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau :
a) Nếu MA  MB thì M thuộc đường trịn đường kính AB ;
b) a
0.
0 hoặc b 0 là điều kiện đủ để a 2 b 2
 DẠNG TOÁN 4: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ,
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến " P x : x
a) P 1

b) P

Lời giải
a) Ta có P 1 : 1

1
3

.

x 3 " , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

c) x

d) x

N, P x

N, P x

13 đây là mệnh đề sai
3

1 1
b) Ta có P
:
3 3

1
3

c) Ta có x

N, x

x 3 là mệnh đề sai vì P 1 là mệnh đề sai

d) Ta có x

N, x

x 3 là mệnh đề đúng vì x

đây là mệnh đề đúng

x3

x 1

x

x

1

0 với mọi số tự nhiên.

Ví dụ 2: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó.
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu
b) Với mọi số thực bình phương của là một số khơng âm.
c) Có một số ngun mà bình phương của nó bằng chính nó.
d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.
Lời giải
a) Ta có P : n

N, n n

b) Ta có Q : x

, x2

c) Ta có R : n

Z, n 2

1 n

2 6 , mệnh đề phủ định là P : n

0 , mệnh đề phủ định là Q : x

, x2

n , mệnh đề phủ định là R : n

Z, n 2

N, n n

1 n

0
n.

1
1
q , mệnh đề phủ định là q Q,
q.
q
q
Ví dụ 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó :
0"
a) A : " x R, x 2
b) B: " Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố".
d) q

Q,

c) C : " x

N , x chia hết cho x

1"

d) D: " n

e) E: " Tồn tại hình thang là hình vuông ".
6

N, n4

n2

1 là hợp số "

2 6.


f) F: " Tồn tại số thực a sao cho a

1

1

a

2"

1

Lời giải
R, x 2

a) Mệnh đề A đúng và A : x

0

b) Mệnh đề B đúng và B : "Với mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"
c) Mệnh đề C sai và C : " x

N, x

x

1 "

2 ta có n 4

d) Mệnh đề D sai vì với n

N, n4

Mệnh đề phủ định là D : " n

n2

1

n2

13 không phải là hợp số

1 là số số nguyên tố"

e) Mệnh đề E đúng và E : " Với mọi hình thang đều khơng là hình vng ".
f) Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định là F : " Với mọi số thực a thì a

1

1
a

1

2"

2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.12: Xét các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng,
mệnh đề sai.
0"
a) P x : " x R, x 2 2x
b) Q n : "n chia hết cho 3, với n N ".
c) R x : " 4x 2 4x 1 0 với x
"
Bài 1.13: Xét đúng (sai) mệnh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a) x

, x3

c) x

N, n2

e) n

N,n n

x2

1

0

3 chia hết cho 4

b) x

, x4

x2

1

d) q

Q, 2q 2

1

0

c) x

R, x

e) m, n

3x

1 x2

3x

1

1 là một số chính phương

Bài 1.14: Xác định tính đúng - sai của các MĐ sau :
a) x R, x
2
x2
4
b) x R, x
2

x2

4

x

d) x

2

m2

, m và n là các số lẻ

Bài 1.15: a) Với n

N, x

2
2

x2
x

4
2

4

n 2 là số chẵn.

, cho mệnh đề chứa biến P(n) : " n 2

2 chia hết cho 4”. Xét tính đúng sai của

mệnh đề P(2007).

1
, n(n 1) chia hết cho 11”.
2
Bài 1.16: a) Cho mệnh đề P : "Với mọi số thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ".
*

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề P(n) : “ n

Dùng kí hiệu viết P, P và xác định tính đúng - sai của nó.
b) Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng. Phát biểu MĐ dưới dang MĐ tương đương
Bài 1.17: Cho số tự nhiên n. Xét hai mệnh đề chứa biến :
A(n) : "n là số chẵn", B(n) : "n2 là số chẵn".
a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n)
B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
, B(n)
A(n) ”.
b) Hãy phát biểu mệnh đề “ n
c) Hãy phát biểu mệnh đề “ n

, A(n)

B(n) ”.

Bài 1.18: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P :" x R, y R : x y 1"

b) Q :" x

R, y

R:x

y

2"

c) R :" x

d) S :" x

R, y

R:x

y

4"

R, y

R:x

y

3"

7


§2: TẬP HỢP, CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập hợp
 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa.
 Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu .
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
A B
x A
x B
Các tính chất:
+ A A, A
+
+ A B, B C
A, A
A C
A

B

B và B

(A

A)

x, x

A

x

B

3. Một số tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu
Tập hợp

Hình biểu diễn
0

;

Tập số thực

|
{x

Đoạn a ; b

|a

x

b}

a

b

/////[

]////

a
{x

Khoảng a ; b

|a

x

b}

b

/////(

)////
a

Khoảng (

{x

; a)

|x

a}

)//////
a

Khoảng (a ;

{x

)

|a

 x }

/////(
a

{x

Nửa khoảng a ; b

Nửa khoảng [a ;

x

b}

/////[

)////

a

Nửa khoảng a ; b
Nửa khoảng (

|a

b

{x

|a

x

b}

/////(

]////
a

; a]

{x

|x

a}

)

{x

|x

a}

4. Các phép toán tập hợp
 Giao của hai tập hợp: A B
 Hợp của hai tập hợp: A B

b

{x | x
{x | x

)///////
a

////////[

A và x B}

A hoặc x B}

 Hiệu của hai tập hợp: A \ B
{x | x A và x
Phần bù: Cho B A thì C AB A \ B .

B}

8


B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
A
0 ; 1; 2; 3; 4

B

0 ; 4; 8; 12;16

C

1;2;4;8;16

Lời giải
Ta có các tập hợp A, B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là

A

x

N |x

B

{x

C

{2n | n

4

N | x 4 và x

Ví dụ 2: Cho tập hợp A

16}

4 và n
x

|

N}

x2

2

x
a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3.
Lời giải
x2 2
2
x
a) Ta có
với x
khi và chỉ khi x là ước của 2 hay x
x
x
2; 1;0;1;2
Vậy A
b) Tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là
Tập khơng có phần tử nào:
Tập có một phần tử:
2 ,
1 , 0 , 1 , 2
2; 1 ,

Tập có hai phần thử:

1;1 ,

2; 0 ,

2;1 ,

2;2 ,

2; 1;0;1;2

1; 0

1;2 , 0;1 , 0;2 , 1;2 .

Ví dụ 3: Cho A

4; 2; 1;2;3;4 và B

x

|x

4 . Tìm tập hợp X sao cho

a) X B \ A
b) A X B
c) A X
B với X có đúng bốn phần tử
Lời giải
x
4
4 x
4
Ta có
x

4; 3; 2; 1; 0;1;2; 3; 4
x
x
Suy ra B

4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4

a) Ta có B \ A

3;0;1

Suy ra X B \ A thì các tập hợp X là
,
3 , 0 , 1 ,
3; 0 ,
3;1 , 0;1 ,
b) Ta có

4; 2; 1;2;3;4

4; 2; 1;2; 3; 4 ,
4; 2; 1;1;2; 3; 4 ,
4; 2; 1; 0;1;2; 3; 4 ,

c) Ta có A

X

X

3; 0;1

4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 suy ra tập hợp X là

4; 2; 3; 1;2; 3; 4 ,

4; 2; 1; 0;2; 3; 4

4; 2; 3; 1; 0;2; 3; 4 ,

4; 2; 3; 1;1;2; 3; 4

4; 3; 2; 1; 0;1;2; 3; 4

B với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là

9


4; 3;0;1 ,

3; 2;0;1 ,

3; 1;0;1 ,

Ví dụ 4: Cho các tập hợp:
A
x R | x2

6 x2

7x

B

x

N |2x

8

C

{2x

1 |x

Z và

3;0;1;2 ,

x

2

4

3; 0;1; 3 ,

3; 0;1; 4

0

4}

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử
b) Tìm A B, A B, B \ C , C A B B \ C .
c) Tìm (A C ) \ B.
Lời giải
a)
Ta có: x 2 7x
x2

7x

x2

4

1

x

6

x
x

hoặc

2
2

x

N

2x

8

x

N

x

4

x

0,1,2, 3, 4 .

0;1;2; 3; 4

Ta có

x

Z

x

2

Suy ra C
b) Ta có: A
B

x

0

0

6; 2; 1;2

Vậy B

CA

4

0

Vậy A
Ta có

6

6 x2

x

4

2, 1, 0,1,2, 3, 4 .

3; 1;1;3;5;7;9

B

B \C

6; 2; 1;0;1;2;3;4 , A
A

c) Ta có: A C

B \ B \C

2 , B \C

B

0;2;4

6; 2; 1;1;3

6; 3; 2; 1;1;2;3;5;7;9

Suy ra (A C ) \ B

6; 3; 2; 1;5;7;9

2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.19: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
A
4; 3; 2; 1;0 ; 1; 2; 3; 4 , B
0;1;4;9;16;25
1 ; 3; 5; 7; 9 , C
Bài 1.20: a) Trong các tập sau đây, tập nào là tập con của tập nào
A
1;2; 3
B
n N n 4
C

D

0;

x

R 2x 2

7

3

0

b) Tìm tất cả các tập X thoả mãn bao hàm thức sau;
1;2
X
1;2;3;4;5 .
Bài 1.21: Cho tập hợp A

x

|

14

3 x 6
a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A .
Bài 1.22: Cho A
x
| x 4 16 x 2 1
0 và B
Tìm tập hợp X sao cho
a) X B \ A
b) A \ B X A với X có đúng hai phần tử
10

x

N | 2x

9

0 .


Bài 1.23: Cho tập A

1;1;5; 8 , B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"

a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử.
b) Xác định các phép toán A

B, A

Bài 1.24: Cho các tập hợp E

{x

A

{ x

N | x2

B, A \ B .
N |1

9 x 2 – 5x – 6

a) Chứng minh rằng A E và B

b) Tìm C E A ;  C E B  ; C E (A B)
c) Chứng minh rằng : E \ (A

B)

x

0} và B

7}
{x

N | x là số nguyên tố nhỏ hơn 6}

E

E \A

E \B

 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN .
1. Phương pháp giải.
Chuyển bài tốn về ngơn ngữ tập hợp
Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp
Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết
quả bài tốn
Trong dạng tốn này ta kí hiệu n X là số phần tử của tập X .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lơng, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu
, 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu

em chỉ biết đánh cầu lông?Sĩ số lớp là bao nhiêu?
Lời giải
25
Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 15 10
30
15
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 15 15
0
Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 15 15 40
Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn cịn 24 bạn
khơng biết chơi mơn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 mơn bóng.
Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích mơn Văn, 20 em thích mơn Tốn, 18 em
thích mơn Sử, 6 em khơng thích mơn nào, 5 em thích cả ba mơn. Hỏi số em thích chỉ một mơn trong ba môn
trên.
Lời giải
Gọi a,b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích mơn Văn, Sử, Tốn;
x là số học sịnh chỉ thích hai mơn là văn và tốn
y là số học sịnh chỉ thích hai mơn là Sử và tốn
z là số học sịnh chỉ thích hai mơn là văn và Sử
Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 6 39
Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình
a x z 5 25
(1)
25(V)
b y z 5 18
(2)
c x y 5 20
(3)
x y z a b c 5 39 (4)
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có

a b c 2 x y z
15

63 (5)
11

c

20(T)

x
5

y

a
z

b

18(S)


Từ (4) và (5) ta có
a b c 2 39 5 a b c
15 63
a b c 20
Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một mơn trong ba mơn trên.
Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi mơn Lý và 11 học sinh giỏi mơn
Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và

Tốn, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai mơn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp
a) Giỏi cả ba mơn Tốn, Lý, Hóa
b) Giỏi đúng một mơn Tốn, Lý hoặc hóa.
Lời giải
Gọi T , L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa. B
là tập hợp học sinh giỏi đúng hai mơn.
Theo giả thiết ta có n T
16, n L
n T

L

9, n L

H

15, n H

6, n H

T

11, n B

11

8(TH) 11(H)

16(T)

8 và

6(LH)
9(LT)

a) Xét tổng n(T L) n(L H ) n(H T ) thì mỗi phần tử của tập
hợp T L H được tính ba lần do đó ta có
15(L)
n(T L) n(L H ) n(H T ) 3n T L H
n B
Hay
1
n T L H
n(T L) n(L H ) n(H T ) n B
4S
3
uy ra có 4 học sinh giỏi cả ba mơn Tốn, Lý, Hóa.
b) Xét n T L
n L T thì mỗi phần tử của tập hợp T L H được tính hai lần do đó số học sinh
chỉ giỏi đúng mơn tốn là

n T

n T

L

n H

T

n T

L

H

16

9

8

4

3

n T

L

H

15

9

6

4

4

Tương tự ta có
Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý

n L

n T

L

n L

H

Số học sinh chỉ giỏi đúng mơn Hóa
n H
n H T
n L H

n T

L

H

11

8

6

4

1

Suy ra số học sinh giỏi đúng một mơn Tốn, Lý hoặc hóa là 3 4 1 8 .
Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê
được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số
ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày.
Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?

A

Lời giải
Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là
tập hợp những ngày lạnh.
Theo giả thiết ta có: n A

n(A

B)

5, n(A C )

B
5

10

8
1

10, n B
4, n(B

8,n C
C)

6,

3, n(A
12

B

3

4

C)

1.

6

C

Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính n(A
Xét tổng n A

n B

n(A

B)

n B

n(B

C)

cũng được tính n A

n(A
10

B

C)

8

B

(5

4

n B

n C ta phải trừ đi tổng n(A

n C được tính n A
n(C

n A

6

C) .

n C : trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính

làm hai lần nên trong tổng n A
Trong tổng n A

B

B

B)

n(B

C)

A)

n A

B

n(C

A) .

C 3 lần, trong

A)

C 3 lần. Vì vậy
n B
3)

n C
1

n(A

B)

n(B

C)

n(C

C

13

Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày.
Nhận xét: Với A, B,C là các tập bất kì khi đó ta ln có

n A

B

n(A

B

n A
C)

n A

n B
n B

n A

B

n C

n(A

B)

n(B

C)

n(C

A)

n A

B

C

2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.25: Một nhóm học simh giỏi các bộ mơn : Anh , Tốn , Văn . Có 8 em giỏi Văn , 10 em giỏi Anh , 12
em giỏi Toán , 3 em giỏi Văn và Toán , 4 em giỏi Toán và Anh , 5 em giỏi Văn và Anh , 2 em giỏi cả ba
mơn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ?
Bài 1.26: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một mơn . Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Tốn, 20 em
giỏi Anh. Có 8 em giỏi đúng hai mơn Văn, Tốn; Có 7 em giỏi đúng hai mơn Tốn, Anh; Có 6 em giỏi đúng
hai mơn Anh, Văn. Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba mơn Văn, Tốn, Anh?
Bài 1.27: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như
sau: Về mơn Tốn: 48 thí sinh; Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; Về mơn Văn: 42 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc
mơn Vật lý: 75 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc mơn Văn: 76 thí sinh; Về mơn Vật lý hoặc mơn Văn: 66 thí
sinh; Về cả 3 mơn: 4 thí sinh. Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:

a) Một mơn?
b) Hai mơn?
c) ít nhất một mơn?
 DẠNG TỐN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh A B
Lấy x, x A ta đi chứng minh x B
Để chứng minh A B ta đi chứng minh
x
+ A B và B A hoặc x, x A

B

13


2.Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các tập hợp A

k ,k

3

2
3

Z ,B

k ,k

Z

và

2
k
,k Z
3
2
a) Chứng minh rằng A B .
b) A C
Lời giải
C

Ta có x

a)

x

A

k0

k0

3

Vì k0

Z

x

B

2
3
Z do đó x

1

k0

1

k0

Z :x

k0

2
k0 1
3
3
Vì k0 Z
k0 1 Z do đó x
Từ (1) và (2) suy ra A B .

x

k0

1

.

A suy ra B

Z :x

2 k0

1

2 k0 1
2
3
2
Z do đó x C

2 k0

1

B (1).

suy ra

k0

2

Z

.

A

3

Vì k0

1

k0

x

b) Ta có x

suy ra

B suy ra A

2
3

Z :x

k0

3

k0

3

A (2).

suy ra
.

Suy ra A C .
Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng
A
B \A
B \A
a) A \ B
b) A
c) A

A

B

Lời giải
a) Ta có x, x
Suy ra A \ B

b) Ta có x
Suy ra A
c) Ta có x

A\B

x

A

x

B

x

A

A

A

x

B \A

x

A
B \A

x
x

A
B

x

A

x
x
x

A
B
A

x

B \A

A

x

B \A

x

A
B \A

Ví dụ 3: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng
a) A

B

C

A

B

A C

b) A

B

C

A

B

A C
14

x
x

A
B

x

A

B


c) A

B \C

A

B \C

Lời giải
a) Ta có x

x
x
x
x

A

A
B
A
C

Suy ra A

x
x
B

b) Ta có x

x
x
x
x

B

A

x

B
C

B

A

B \C

B

x

A

C

A

B

C

x
x
x

A
B
C

B

A

C

A C
A
B \C

x

A

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.28: Cho A {x
chia hết cho 12} .
a) Chứng minh rằng A

A

x

B \C

A

B

A C .

x

B

C

A
B
C

C

A

x

A
A

x

B

x

C

C

c) Ta có x

Suy ra A

A

x
x

B

x

B
C

x
x
x

A

x

A
A

A

A

C

C

A
B
A
C

Suy ra A

B

x

x
x
x

A
B
C

B \C

B \C

N | x chia hết cho 4} , B
C và B

Bài 1.29: Cho các tập hợp A

k
,k Z

3
2
a) Chứng minh rằng A B .
b) A C
Bài 1.30: Cho các tập hợp A

b) A

C

6

{x

k2 , k

N | x chia hết cho 6} và C

B

C

11
6

Z ,B

c) A

k2 ,k

C

B, C

D . Chứng minh rằng

a) A C B D
b) A C B
Bài 1.31: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng
a) A \ B

B \A

A

B \ A

b) A \ B

C

A\B

A \C

c) A \ B

C

A\B

A \C

B

15

c) C B A

A

B

Z

và

{x
B

N |x


 DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC .
1. Phương pháp giải.
Để tìm A B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào khơng thuộc các tập đó thì gạch bỏ)
- Phần khơng bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp A, B

Để tìm A B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Tô đậm các tập A, B trên trục số
- Phần tơ đậm chính là hợp của hai tập hợp A, B
Để tìm A \ B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số
- Phần không bị gạch bỏ chính là A \ B .
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các tập hợp:

A

x

R |x

B

3

x

R |1

x

C

5

x

R| 2

x

4

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
b) Tìm A B, A B, A \ B .
c) Tìm B

C \ A C

Lời giải
;3
a) Ta có: A
b) Biểu diễn trên trục số

;5
Suy ra A B
Biểu diễn trên trục số
Suy ra A

B

B

C

1;5

1

3

5

(

)

]

1

3

5

////(

2;4 .

)\/\/\/\]\/\/\/\

1; 3
1

Biễu diễn trên trục số

3

5

( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \

;1
Suy ra A \ B
c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có
A C
2; 3 và B C
2;5
3;5
Suy ra ta có B C \ A C
Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép tốn tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả
vào.
Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số:
4;2
0; 4
1; 4
a)
b) 0; 3
c)

4; 3 \

Lời giải
a) Ta có

4;2

2;1

d)

0;4

0;2

\ 1; 3
0

/ / / / /[

2

]/ / / / / /

16


Biểu diễn tập đó trên trục số là
b) Ta có 0;3
1;4
0;4
Biểu diễn tập đó trên trục số là
c) Ta có
4; 3 \ 2;1

4; 2
Biểu diễn tập đó trên trục số là
d) Ta có \ 1;3
;1
Biểu diễn tập đó trên trục số là
Ví dụ 3: Cho các tập hợp A

0

////(
1; 3

4

/ / /[
3;
; m và B

Vậy m

C B

m

3m

1

]/ / / / / /
2

3

1

)/ / / /(

/

1

3m

1;3m

]/ /

3

)[/ / / /](

a) A B
b) B A
c) A C B
d) C A B
Lời giải
Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ
a) Ta có A B
1
m 3m 1

m
2
1
Vậy m
là giá trị cần tìm.
2
3
b) Ta có B A
3m 3 m
m
2
3
Vậy m
là giá trị cần tìm.
2
;3m 1
3m 3;
c) Ta có C B
Suy ra A

4

3 . Tìm m để

m

)/ / / / / / / /
3m  1

3m  3

/ / / / /[

]/ / / /

1
2

m

1
là giá trị cần tìm.
2

d) Ta có C A

m;

suy ra C A

B

m

3m

3

m

3
2

3
là giá trị cần tìm.
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.32: Xác định các tập hợp A B, A \ C , A B C và biểu diễn trên trục số các
tập hợp tìm được biết:
x R 1 x
3 ,B
x R x 1 ,C
;1
a) A
Vậy m

x R 2 x 2 ,B
x R x 3 ,C
b) A
Bài 1.33: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4].

;0

a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử và biểu diễn chúng trên trục số.
b) Xác định các phép toán A
Bài 1.34: Cho hai tập hợp A

B, B

C, A \ B .

0;4 , B
x
/ x
A B, A B, A \ B
R | 1 x 5 } B={ x

2 .Hãy xác định các tập hợp

Bài 1.35: a) Cho A = { x
R| 2
C={ x R | x 2 }
Tìm A B, A C , B \ C và biểu diễn cách lấy kết quả trên trục số
17

x

0 hoặc 1

x

6}


b) Cho A

, 2 , B

[2m

Bài 1.36: a) Tìm m để 1; m

2;

) . Tìm m để A

1,

m; m

2 và B

Bài 1.38: Cho tập hợp A

m

a) A

b) A

B

1;

Bài 1.39: Cho hai tập khác rỗng : A
a) A
c) B

B
A;

m

1

và B

2
B

3
1
0

0 dưới dạng tập số.

1 .Tìm điều kiện của các số m và n để A ∩ B = 

n; n

; 2

m – 1;4 ,  B
b) A
d) (A

;

R.

.

x
b) Viết tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện x
x
Bài 1.37: Cho A

B

B ;
B)

2;

. Tìm m để

2 , với m . Xác định m để :

–2 ;2m

( 1; 3) .

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1.40: Cho Oxy , lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết
tính đúng, sai của chúng: P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy ”.
Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy”.
Bài 1.41: Cho định lí : "Cho số tự nhiên n. Nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5". Định lí này được viết
dưới dạng P
Q.
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.

b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu
gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Bài 1.42: Cho tập X

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

.

a) Hãy tìm tất cả các tập con của X có chứa các phần tử 1, 3, 5, 7.
b) Có bao nhiêu tập con của X chứa đúng 2 phần tử ?
Bài 1.43: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó.
a) x

Q : 4x2

c) n

N * : 2n

1= 0 ;

3 là một số nguyên tố ;

e) x
, x 4 x 2 2x 2
Bài 1.44: Cho các tập hợp:

A

{x

| 1

x

b) x

, x2

3;

d) x

, x2

4x

5

3x )(x 4

3x 2

2)

0.

0

6}, B

{x

| (1

0}, C

{0;1;2;3;4;5;6}

a) Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử, tập C dưới dạng chỉ rõ tính đặc trưng của phần tử.
b) Tìm A B, A B, A \ B, C B AA B .
c) Chứng minh rằng A (B C ) A.
Bài 1.45: Tìm quan hệ bao hàm hay bằng nhau giữa các tập hợp sau đây:

18


a) A

x

x

b) A

x

4.x 2

c) A

x

1

Bài 1.46: Cho A

2

;
9

x

0 ;

4 ;

B

x

(x 2

x ) (x 2

B

x

x2

4x

B

x

x2

9

0; 2; 4; 6 , B

2)

0 .
0 .

4; 5; 6 .

a) Hãy xác định tất cả các tập con khác rỗng X , Y của A biết rằng X
b) Hãy xác định tất cả các tập P biết rằng (A
Bài 1.47: Cho ba tập hợp
:A

x

3

x

1 ;B

0 .

B)

x

1

P

(A

x

Y = A và (A

B)

B).

5 ; C

x

x

2 .

a) Xác định các tập hợp sau đây và viết kết quả dưới dạng khoảng, đoạn hay nửa khoảng :
A  B, A  B, (B \ A)  C.
b) Chứng minh rằng : C A B
C A
C B .
Bài 1.48: a) Cho tập G
Tìm: a) K

), H

[ 2;

, H \ K, C G

b) Tìm các số a, b, c, d thuộc

C (H

sao cho x

{x

| | x | 3}, K

( 1; 1) .

K) .

[a; b ]

c

19

x

8

|x

d| 5.

X ;


ĐÁP ÁN
§1. MỆNH ĐỀ TỐN HỌC
Bài 1.1: Câu khơng phải mệnh đề là a), b)
Câu d) ,f) là mệnh đề đúng. Câu e) sai. Câu g) đúng
Bài 1.2: Ta xét dự đốn của bạn Dung
+ Nếu Singgapor nhì thì Singapor nhất là sai do đó Inđơnêxia nhì là đúng(mâu thuẫn)
+ Như vậy Thái lan thứ ba là đúng suy ra Việt Nam nhì Singapor nhất và Inđơnêxia thứ tư
Bài 1.3: Ta có các mệnh đề phủ định là
P : " Trong tam giác tổng ba góc khơng bằng 1800", mệnh đề này sai

Q: "

27

3

2

không phải là số nguyên ", mệnh đề này sai

R : " Việt Nam không vô địch Worldcup 2020", mệnh đề này chưa xác định được đúng hay sai
S : "

5
2

2 " , mệnh đề này đúng

K : " Bất phương trình x 2013 2030 có nghiệm ", mệnh đề này đúng
Bài 1.4: a) P
Q : " Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và
BD vng góc với nhau", mệnh đề đúng
Q
P : " Nếu tứ giác ABCD hai đường thẳng AC và BD vng góc với nhau thì tứ giác ABCD có là
hình chữ nhật ", mệnh đề sai
b) P
P

c) P

3

Q : " Nếu
Q : " Nếu

3

3

2 thì
2

3

3

thì

Q : " Nếu tam giác ABC có A

3

3

B

3

2 ", mệnh đề đúng

2 ", mệnh đề sai

C thì tam giác ABC có BC 2

AB 2

AC 2 "

AB 2 AC 2 thì A B C "
Q
P : "Nếu tam giác ABC có BC 2
Cả hai mệnh đề đều đúng.
d) P
Q : " Nếu Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam thì Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế
giới ", Q
P : " Nếu Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới thì Tố Hữu là nhà Toán học lớn của
Việt Nam ". Hai mệnh đề đúng.
Q, Q
P đều đúng và được phát biểu bằng hai
Bài 1.5: a) Ta có mệnh đề P
Q đúng vì mệnh đề P
cách như sau:
"Tứ giác ABCD là hình vng khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng
vng góc với nhau " và
"Tứ giác ABCD là hình vng nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng
vng góc với nhau "
b) Ta có mệnh đề P
Q sai vì mệnh đề P đúng cịn Q sai.
Phát biểu mệnh đề P
Q bằng hai cách
" Bất phương trình x 2 3x 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình x 2 3x 1 0 vơ

nghiệm"
và " Bất phương trình x 2 3x 1 0 có nghiệm nếu và chỉ nếu bất phương trình x 2 3x 1 0 vơ
nghiệm"
Bài 1.6:Ta có A và D là các mệnh đề đúng, B và C là các mệnh đề sai. Do đó :
a) Mệnh đề A B sai vì A đúng và B sai.
Mệnh đề A D đúng vì A và D đều đúng.
Mệnh đề B C đúng vì B sai.
20


b) Mệnh đề A B sai vì mệnh đề A B sai (Hoặc A đúng và B sai). Mệnh đề B C đúng vì hai mệnh đề
B và C đều sai. Mệnh đề A D đúng vì hai mệnh đề A và D đều đúng.
Bài 1.7: a) P
Q : " Nếu tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường trịn ".

Q
P : "Nếu Tứ giác khơng nội tiếp đường trịn thì tổng 2 góc đối của tứ giác đó bằng 1800"
Mệnh đề P
Q đúng, mệnh đề Q
P sai.

Q

2

Q : " Nếu

b) P

P : " Nếu

2

3
3

1 thì

2

1

2

2

3

2

thì

2

1

3

2

"

1"

Mệnh đề P
P đúng vì P và Q đều đúng.
Q sai vì P đúng, Q sai, mệnh đề Q
Bài 1.8: a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai
đường thẳng đó song song với nhau.
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng đó song song với nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng cùng vng
góc với đường thẳng thứ 3.
b) Số ngun dương có chữ số tận cùng bằng 5 là điều kiện đủ để chia hết cho 5.
Số nguyên dương chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có chữ số tận cùng bằng 5.
c) Tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có 2 đường chéo vng góc với nhau
Tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau là điều kiện cần để nó là hình thoi
d) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có các góc tương ứng bằng nhau
Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau
e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 4 và 6
Số nguyên dương a chia hết cho 4 và 6 là điều kiện cần để nó chia hết cho 24.
Bài 1.9: a) Một tam giác là tam giác cân là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc bằng nhau
b) Tứ giác là hình bình hành là điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường
3
c) x y là điều kiện cần và đủ để 3 x
y
d) Điều kiện cần và đủ để tứ giác MNPQ là hình bình hành là MN QP .
Bài 1.10:a) Một tứ giác là hình vng là điều kiện đủ để nó có 4 cạnh bằng nhau.
Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình vng.
Khơng có định lí đảo vì tứ giác có 4 cạnh bằng nhau có thể là hình thoi
b) Một tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo vng góc.

Một tứ giác có hai đường chéo vng góc là điều kiện cần để nó là hình thoi
Khơng có định lí đảo vì tứ giác có hai đường chéo vng góc có thể là hình vng hoăc một đa giác bất kì có
hai đường chéo vng góc.
Bài 1.11: a) M thuộc đường trịn đường kính AB là điều kiện cần để MA vng góc MB.
Hoặc có thể phát biểu : Điều kiện cần để MA MB là M thuộc đường trịn đường kính AB.
b) a 2 b2 0 là đ iề u kiệ n cầ n đ ể a ≠ 0 hoặ c b ≠ 0.
Bài 1.12: a) x
3 ta có P 3 : " 32 2.3 0 " là mệnh đề đúng
b) n

c) x

3,

1
2

, x3

Bài 1.13: a) Mệnh đề x

1

3

1

2

1

1

Mệnh đề phủ định là x
b) Mệnh đề x

, x4

x2

1

0 sai chẳng hạn khi x

x2

1

0.

1 ta có

0.

, x3
x2

1

x2

2x

1 x2
21

2x

1 đúng vì


x4

x2

1

x2

1

2

3x 2
, x4

Mệnh đề phủ định là x

N, n2

c) Mệnh đề x

Q, 2q 2

e) Mệnh đề " n

x2

1 x2

3x
1

x2

N, n2
1

N,n n

3x

1

1 x2

3x

3 chia hết cho 4 đúng vì n

Mệnh đề phủ định là " x
d) Mện đề q

x2

1

3x

1 .

N và n 2

1

4 4

Q, 2q 2

1

0

3 không chia hết cho 4"

0 sai. Mệnh đề phủ định là q

1 là một số chính phương" đúng. Mệnh đề phủ định là " n

N,n n

1

khơng phải là một số chính phương"
Bài 1.14: a) Sai ; b) Đúng ; c)Sai ; d) Đúng , e) sai
Bài 1.15: a) Ta có : Với n = 2007 thì n2 + 2 = 20072 + 2 là số lẻ nên không chia hết cho 4. Vậy P(2007) là
mệnh đề sai.
n(n 1)
*
b) Xét biểu thức
, với n
. ta có :
2
n(n 1)
Với n = 10 thì
55 : chia hết cho 11. Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
2
Bài 1.16: a) Mệnh đề P " x R, x Q
2x Q " . MĐ đúng.
P: " x

R, x

Q

2x

Q " . MĐ sai

b) MĐ đảo của P là " Với mọi số thực x, x Q khi và chỉ khi 2x Q". Hay " x

R, x

Q

2x

Q ".

Bài 1.17: a) A(n)
B(n) : “Nếu n là số chẵn thì n2 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng, vì khi đó n = 2k
(k
)
n2 = 4k2 là số chẵn.
b) “ n
, B(n)
A(n) ” : Với mọi số tự nhiên n, nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
c) “ n

, A(n)

B(n) ” : Với mọi số tự nhiên n, n là số chẵn khi và chỉ khi n2 là số chẵn.

Bài 1.18: a) Mệnh đề P sai vì chẳng hạn x
b) Mệnh đề Q đúng vì x y 1
c) Vì x y
3 nên với mọi y
d) Mệnh đề S đúng.

1

,y

x y 2
thì ln tồn tại x

2
3

nhưng x

y

1

y do đó mệnh đề R đúng

§2: TẬP HỢP, CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
Bài 1.19: Ta có các tập hợp A, B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là

A

x

N | x

Bài 1.20: a) A

4 ,B
B,

A

N |x là số lẻ nhỏ hơn 10}, C

{x
C,

D

{n 2 | n là số tự nhiên nhỏ hơn 6}

C.

b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4},
14
0 suy ra 0
Bài 1.21: a) Ta có x
3 x 6
14
14
1 hoặc
Mặt khác
nên
3 x 6
3 x 6
3
1
64
Hay x

hoặc x
9
9

{1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5}.
14
6

14
x

22

6

2


Vậy A

1 64
;
9 9

Bài 1.22:: Ta có A
a) Ta có A \ B

1
64
1 64

.
,
,
;
9
9
9 9

,

b) Tất cả các tập con của tập hợp A là

2; 1;1;2 và B

0;1;2;3;4

0;3;4

Suy ra X A \ B thì các tập hợp X là
, 0 , 3 , 4 , 0; 3 , 0; 4 , 3; 4 , 0; 3; 4
b) Ta có A \ B

2; 1 với X có đúng hai phần tử khi đó X

Bài 1.23: a) Ta có A

B

x

x

1 x

1 x

5 x

2; 1 .

8

0

1; 2; 4; 8; 16

b) Ta có A

B

{1;8}, A

Bài 1.24: a) Ta có E

B

{

1;2;3;4;5;6

1; 1; 2; 4; 5; 8; 16}, A \ B

A

3;6 và B

Suy ra A E và B E
1;2;4;5 ; C E B
b) Ta có C E A E \ A

A

B

C E (A

2;3;5; 6

c) Ta có A

E \A

B

B)

C E (A

3

1;2;4;5 ; E \ B

Suy ra E \ (A

B)

B)

E\ A

1;4;6
1; 4

B

E \A

1;4;6

E \A

B

1; 5}

2; 3;5

E \B

E\ A

{

1;2;4; 5;6
E \B

1;2;4;5;6

E \B .

Bài 1.25: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V là tập hợp
những học sinh giỏi Văn.
Theo giả thiết ta có: n V

n(V

T)

3, n(T

n(V

A T)

8, n A

A)

n V

10 , n T

4, n(V

n A

A)

n T

12,

5, n(A
n(V

A)

B

C)

2.

n(A T )

n(T

V)

n V

A T

8 10 12 3 4 5 2 20 .
Vậy nhóm đó có 20 em.
Bài 1.26: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V là tập hợp

những học sinh giỏi Văn.
Theo giả thiết ta có: n V

n(V

T)

n(V

A T)

n V

8, n(T

A T

22, n T

A)

n V
n(V

25 , n A

7, n(V

n A

A)

n T

A T)

n V

6, n(A
n(V

A)

n A

20,
B

C)

40 .

n(A T )

n T

n(T

n(V

A)

V)

n V

n(A T )

A T
n(T

V)

40 22 25 20 8 7 6 14 .
Vậy có 14 em học giỏi cả ba môn
Bài 1.27: Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học sinh xuất sắc về mơn Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn.

Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh chỉ đạt danh hiệu xuất sắc một mơn về mơn Tốn, mơn Vật Lý, môn Văn.
23


Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai mơn về mơn Tốn và môn Vật Lý, môn Vật Lý

B(37)

và môn Văn, môn Văn và mơn Tốn.
Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau:

a
b
c
a
a
b

x
x
y
b
c
c

z
y
z
x
x
x

4
4
4
y
y

y

a
b
c
x
y
z

48
37
42
z
71
z
72
z
62

b
x

28
18
19
6
9
10

c

c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 mơn.
A

B

x

A

x 4

x

B

x 6

Suy ra A B C do đó A C và B
Ta có x
4 4
x A nhưng 4 6
Ta có x

Bài 1.29: a)

x
Vì k0

6

Z

x

B

x

11
6

k0

11
6

Z :x
k0

2

A

k0

x

k0 2 suy ra

6

4k0

C

A

1 2 .

B

x

x

A

x

C

1

.

2
C

C

A (2).

k0 2 suy ra

6

3
Z do đó x

x
Với x A vì A B
Suy ra A C B D .

suy ra

A suy ra B

Z :x

Bài 1.30: a) Ta có x, x

A

B do đó A

4

k0

6

k0 2

6 2 2
Vì k0 Z
4k0 1
Suy ra A C .

b) Ta có x, x

x

k0 2

1 2

x

A

x

C
B

x

C

C.

Z :x

Vì k0 Z
k0 1 Z do đó x
Từ (1) và (2) suy ra A B .
b) Ta có x

x

1 2

1

k0

k0

x 12

11
k0 1 2 .
6
Z do đó x B suy ra A B (1).

k0

2

A

C(42)

z

b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 mơn

x

4

a

ĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 mơn

Bài 1.28

y

A(48)

D

A

Vì A B
x B
Suy ra A C B .
24

B


c) x, x

C BA

Suy ra C B A

x

A

A

A
B
A
B

x
x

Suy ra A \ B
b) x, x

x
x
x
x

x
x
x
x

A
A

A\ B

c) x, x

x
x

A
B
A
C

A

B

(1; 4]

b) Ta có A

B

C

A\B

x

B

A\B
A \C

x

{x 1

[

A\B

A \C

1; 3 ,
3;

3;

, A \C

C

0;2 ,

{x

[ 1; 2)

1

C

x

2}, B

( 3; 1)

{x

3

x

1}

4}

1;1), B

0; 4 , B

B

A
B
C

1;

và

x

A
B
C

A \C .

x
x
x

C

A\B
B \A

A
B

B
A

B

x
x
x

A

x
x
x
x

B .

A

x

, A \C

2;2

Bài 1.35: a) A

B \ A

1; 3 và

1;

Bài 1.34: A

B

x
x

B \ A

x

C

x
x

B

A

x

Bài 1.33: a) Ta có: A
C

A

A\B
A \C

2;2

b) Có

B
B

C

A\ B

B

x

B \A

x

Bài 1.32: a) Có

A

A\B

B \A

A
B
A
C

B
A
A

B

Bài 1.31: a) Ta có x , x

x
x
x
x

x
x
x

C BA
x A

C

2;2 , A

1;0

1;5

( 3; 4) \ {1}, A \ B
B

A C

2; 4 , A

1;
25

[1; 2)
B

0;2 , A \ B

B \C

2;0

2; 4

1;2