Skkn phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

MỤC LỤC
A. Đặt vấn đề.................................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu ...........................................................................3
3. Đối tượng nghiên cứu .........................................................................4
4. Phạm vi và kế hoạch thực hiện ......................................................... ..4
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... .4
B. Nội dung....................................................................................................5
I. Cở sở lý luận..............................................................................................5
II. Cở sở thực tiễn..........................................................................................5
III. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quy nạp.............6

1. Phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp khơng hồn tồn......................6
2. Nội dung của phương pháp quy nạp toán học..............................................9
3. Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.....9
4.Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh........................13
4.1. Dạng1: Chứng minh quan hệ chia hết:................................................13
4.2. Dạng2: Chứng minh đẳng thức và tính tổng: ...................................17
4.3. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức và tìm số...................................23
4.4. Dạng 4: Quy nạp tốn học trong hình học ...................................... 26
IV.Một số giải pháp khi vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán.......30
1, Đối với giáo viên:.............................................................................30
2, Đối với học sinh.................................................................................30
V. Kết quả thu được:...................................................................................31
C. Phần Kết luận ...................................................................................32
1/32

skkn

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát
triển của giáo dục. Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng nổ thông tin,
giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật,
sự phát triển của xã hội. Nội dung tri thức khoa học cùng với sự đồ sộ về lượng
thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học. Trong giai đoạn hiện
nay giáo dục khơng chỉ tạo ra những con người có tài, có đức mà giáo dục cịn có
một thiên chức cao quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo ra những
con người có kỹ năng sống và học tập trong thời đại mới. Mục tiêu giáo dục thay
đổi kéo theo yêu cầu phải đổi mới phương pháp dạy học một cách phù hợp. Nhằm
giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong q trình đổi mới phương pháp
dạy học.
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp
dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức
hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tịi, phát hiện và giải quyết
nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học
vào bài tập và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy học mơn tốn, Trong trường phổ
thơng, dạy tốn là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải
tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Q trình giải tốn là quá trình
2/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tịi và vận dụng kiến thức vào
thực tế. Thơng qua việc giải tốn thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến
thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong mơn tốn. Từ đó rút ra được nhiều
phương pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú
học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện.
Trong chương trình tốn phổ thơng cấp THCS có nhiều mảng kiến thức
trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhưng trong q trình học lại gặp rất nhiều,
ngay những học sinh nắm rất vững kiến thức sách giáo khoa nhưng khi gặp những
dạng toán này vẫn cịn lúng túng. Vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập
đến một vấn đề mà khơng ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn
khoăn, đó là “Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này
để giải các dạng toán khác như thế nào”. Thật vậy trong chương trình tốn phổ
thơng phương pháp chứng minh quy nạp là một trong những mảng kiến thức khó
mà ứng dụng của nó lại khá rộng rãi, nó khơng những có mặt trong phân mơn số
học mà cịn đóng góp một vai trị quan trọng trong phân mơn đại số, nó khơng chỉ
dừng lại ở chương trình THCS mà cịn là một phần quan trọng trong chương trình
THPT. Vì vậy phương pháp chứng minh quy nạp là phần gây cho học sinh, ngay cả
học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinh
say mê mơn tốn và học giỏi tốn vì nó địi hỏi phải tư duy lơgic, tìm tịi sáng tạo.
Giúp học sinh thêm một phương pháp nghiên cứu học tập và giải tốn trong
các mơn số học, đại số và hình học.
3/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

Góp phần xây dựng năng lực tư duy lơgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suy
luận có lí.

Gây hứng thú cho học sinh tìm tịi, phát hiện, tranh luận và phê phán đúng sai
cùng bạn bè khi lĩnh hội hoặc khi vận dụng kiến thức toán học.
Phương pháp chứng minh quy nạp giúp học sinh dễ dàng giải quyết một số
bài tốn khó.
Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua thực tế bồi
dưỡng học sinh giỏi mơn tốn ở trường THCS, tôi đã rút ra được một vài kinh
nghiệm. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp quy
nạp toán học trong giải toán”
2. Mục đích nghiên cứu:
Đối với giáoviên:
- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:

Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung và việc giải bài tập về áp dụng
phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức
mới nhằm nâng cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ
động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan.
4/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách
tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
Thơng qua việc giải các bài tốn áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết,
để tính tổng dãy số ...) giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán.
- Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tốn chia hết và

tính tổng dãy số viết theo quy luật. Nhằm tìm ra những biện pháp hay giúp cho cơng
tác dạy học nói chung và cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết quả cao.
3. Đối tượng nghiên cứu
Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp vào bài toán chứng minh chia hết
và tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức và áp dụng vào hình học.
4. Phạm vi và kế hoạch thực hiện.
Nghiên cứu áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải các bài toán
chứng minh chia hết và tính tổng của dãy số viết theo quy luật, chứng minh đẳng
thức, hình học cho học sinh khá và giỏi từ lớp 6 đến lớp 9.
Thời gian thực hiện: 12 tiết
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh và
giáo viên.
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
5/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

B – NỘI DUNG
I. Cở sở lý luận:

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học
sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy giáo viên
cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã
6/32

skkn

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

qn, biết cách tìm tịi để phát hiện kiến thức mới. Các phương pháp thường là
những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật tốn.
Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đốn. Học sinh cần
được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt
hố, tương tự, quy lạ về quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều
kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và
hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản
thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập.
Trong quá trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình và
sách giáo khoa, xem đây như là định hướng cho cả quá trình dạy học. Tuy nhiên
việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không chỉ dừng lại ở sách giáo khoa mà
người giáo viên còn phải có phương pháp để từ những kiến thức cơ bản ấy phát
triển và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và
có hệ thống.
Trong việc dạy học tốn thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải
bài tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng
phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất
đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập tốn trong đó có các bài tập về
chứng minh quy nạp cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy
cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán
7/32

skkn

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

học.
II.

Cở sở thực tiễn:

Trong chương trình tốn phổ thơng, áp dụng phương pháp chứng minh quy
nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, tính tổng dãy số, chứng minh
đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức... Do vậy “phương pháp chứng minh quy
nạp tốn học” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy học theo phương
pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm”. Đồng thời giúp mỗi giáo viên nâng
cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồi
dưỡng nhân tài”
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 15 học sinh tôi
thấy kết quả tiếp thu về phương pháp chứng minh quy nạp như sau:

Điểm dưới 5

Điểm 5 - 6

Điểm 7 - 8

Điểm 9 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

9

60%

4

26,7%

02

13,3%

0

0%

Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh chưa được

trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không
8/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

có lối thốt dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em
càng khó giải quyết.
Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi đã nghiên
cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh nắm được thế nào là
phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh
quan hệ chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Đồng thời nêu lên một số
ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết áp dụng vào giải
tốn. Từ đó yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh
được rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và
chất lượng giải toán được nâng cao.
III. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quynạp:

1, phép quy nạp hồn tồn và phép quy nạp khơng hồn tồn:
13 - 1 chia hết cho 3

Ví dụ 1. Quan sát các kết quả sau:

23 - 2 chia hết cho 3
33 - 3 chia hết cho 3
43 - 4 chia hết cho 3
Hãy đưa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đốn đó?
Giải: Dự đốn: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

9/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)
Xét ba khả năng có thể xảy ra:
a)

Nếu a =3k (k  N) thì A chia hết cho3

b)

Nếu a = 3k+1 (k N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3

c)

Nếu a = 3k+2 (kN) thì a+1chia hết cho3, do đó A chia hết cho 3
Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Ví dụ 2. Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3
25 - 2 chia hết cho 5
27 - 2 chia hết cho 7
Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n?
Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết cho 9
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:
(1) - Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3
với mọi số nguyên dương a

(2) - Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) để kết luận rằng a3 - a
chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a
(3) - Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2 n - 2 chia hết cho n với
10/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

mọi số tự nhiên lẻ n
Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi từ các
trường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát.
*Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp riêng, chẳng
hạn trong phép suy luận (2) ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tự
nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k +2)
*Phép quy nạp gọi là khơng hồn tồn nếu ta xét một số trường hợp riêng chứ chưa
xét đầy đủ mọi trường hợp riêng. Chẳng hạn trong phép suy luận (1) ta mới xét a
bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dương a, trong phép suy luận (3) ta
mới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n.
Nhờ phép quy nạp khơng hồn tồn mà ta có những dự đốn về một tính chất
tốn học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Phép quy nạp (1) cho một
khẳng định đúng, kết luận này đã được chứng minh bằng phép quy nạp (2) (quy nạp
hoàn toàn). Phép quy nạp (3) cho một kết luận sai, ta bác bỏ nó bằng một phản ví
dụ.
Như vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minh chặt chẽ, cịn
“phép quy nạp khơng hồn tồn” có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối với các nhà
tốn học có tên tuổi dưới đây:
Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho ta các số nguyên
tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 2 1+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 24+1 = 17; 28 + 1 =

11/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

257; 216 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố )
Với n = 25 = 32 thì 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma khơng phân tích
được ra thừa số ngun tố, ơng cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đưa ra giả
thuyết tổng quát rằng công thức 2n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số
nguyên tố.
Một thế kỉ sau, năm1732,Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra
rằng 232 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641
Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhưng lại đúng với một số rất lớn các trường
hợp đầu tiên:
- Nhà toán học Gravơ đưa ra dự đốn: Với mọi số ngun tố p ta có: 2 p-1 - 1
khơng chia hết cho p2. Dự đốn này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000,
nhưng chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 2 1093 - 1
chia hết cho10932
- Một dự đốn khác: Số 911n2+ 1 khơng là số chính phương với mọi số
nguyên dương n. Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là
n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)
Vận dụng phép quy nạp hồn tồn giúp các nhà tốn học tìm ra một phương
pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng định sự đúng đắn của một số tự
nhiên, đó là phương pháp quy nạp toán học
2, Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học:
12/32

skkn

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

Trong tốn học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ được áp dụng rất hạn chế.
Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các trường hợp riêng,
nhưng con người không thể kiểm tra được tất cả các trường hợp riêng đó
Phép quy nạp khơng hồn tồn, như chúng ta đã biết thường dẫn tới kết luận
sai lầm. Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế người ta áp dụng
một phương pháp suy luận “đặc biệt”, được gọi là phương pháp quy nạp Toán học.
* Nội dung của phương pháp quy nạp Tốn học được trình bày như sau:
Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đã được chứng
minh nếu cả hai điều kiện sau đây được thỏamãn:
1, Mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0
2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) suy ra được mệnh đề cũng
đúng với n = k +1
Như vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n bằng
phương pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bước sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) (ta gọi là giả thiết quy
nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n ≥n0
3, Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học
13/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

* Hai bước của ngun lí quy nạp tốn học
Ngun lí quy nạp tốn học gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai phần cần
được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng nguyên lí. Nếu bỏ đi một trong hai
điều kiện kiểm tra đó thì sẽ nhận được kết luận sai. Ta lấy một vài phản ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:
2n > 2n +1.

(4)

Lời giải. Giả thiết bất đẳng thức (4) đúng với n = k, với k là một số tự nhiên nào đó.
Nghĩa là ta có 2k > 2k+1.

(5)

Ta chứng minh bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1
2k+1 >2(k +1) +1.

(6)

Thật vậy, 2k là một số không nhỏ hơn 2 với mọi số tự nhiên k khác 0. Ta cộng vế
trái của (4) với 2k và cộng vế phải của (4) với 2. Ta nhận được
2k + 2k > 2k +1 +2.
Nghĩa là có (6). Theo ngun lí quy nạp tốn học bất đẳng thức (4) đúng với
mọi số tự nhiên n. Bài toán đã được giải.
Lời giải trên mắc sai lầm là không kiểm tra bước cơ sở. Thực chất của chứng
minh trên là bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1, nếu nó đúng với n = k. Điều này
khơng suy ra bất đẳng thức đúng với ít nhất một giá trị nào của n, chứ chưa nói tới
14/32

skkn

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

với mọi số tự nhiên.
Ta có thể thử với n = 1 hoặc n = 2 bất đẳng thức (4) sai.
Với n ≥ 3bất đẳng thức (4) mới đúng. Giá trị số tự nhiên nhỏ nhất n = 3 bất đẳng
thức (4) đúng và lặp lại cách chứng minh ở trên từ giả thiết (4) đúng với n = k suy
ra nó đúng với n = k + 1. Vì vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có kết luận: Bất
đẳng thức (4) đúng với mọi n ≥ 3 (chứ không với mọi số tự nhiên n).
Như vậy giá trị ban đầu của các bài toán chứng minh phụ thuộc vào từng bài
toán cụ thể và phải kiểm tra bước cơ sở. Sau đây ta có một phản ví dụ khi khơng
kiểm tra bước cơ sở thì hậu quả dẫn đến chứng minh sai.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau đó.
Lời giải.
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học. Giả sử mệnh đề đúng với
với tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là ta có k = (k+1). (7)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, nghĩa là phải chứng minh
(k+1)=(k+2). Thật vậy, theo giả thiết quy nạp mệnh đề đúng với n = k, cộng hai vế
của đẳng thức (7) với 1 ta nhận được
k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2.
Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, do đó theo
ngun lí quy nạp tốn học nó đúng với mọi số tự nhiên n.
Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này vô
15/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

lí, vậy cách chứng minh sai ở đâu? Dễ thấy rằng áp dụng nguyên lí quy nạp toán
học nhưng bỏ qua kiểm tra trường hợp n = 1. Ta thấy rằng với n = 1 thì mệnh đề
trên đã sai vì 1 ≠ 2.
Bước kiểm tra ban đầu có một ý nghĩa đặc biệt là tạo ra cơ sở để thực hiện quy
nạp. Bước thứ hai đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở
điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp
riêng khác: từ k đến k + 1.
Phản ví dụ trên khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu thì khơng có cơ sở để thực hiện
quy nạp, vì vậy khơng có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra phần quy nạp.
Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một
số điều kiện ban đầu, mà bỏ qua phần quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứ
chưa có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó. Ta xét ví dụ.
Ví dụ 3.Chứng minh rằng những giá trị của hàm số f(n) = n2 – n + 41 với n = 0, 1,
2, ... là những số nguyên tố.
Lời giải.
Ta tính f(0) =1, f(1) = 41, f(2)=43, f(3) =47, f(4) = 53, f(5) = 61, f(6) = 71,
f(7) = 83, f(8) = 97, f(9) = 113. Ta có thể tiếp tục tính f(n) cho đến giá trị n = 40, tất
cả giá trị này đề là số nguyên tố. Nhưng với n = 41 ta có f(41)= 412 – 41 + 41 = 412.
Kết quả f(41) không phải là số nguyên tố, nên kết luận của bài tốn là khơng đúng.
Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học cần thiết thức hiện hai bước
16/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

như phân tích ở phần trên. Nhưng khó khăn chủ yếu là trong bước quy nạp toán học
là khi mệnh đề giả sử đã đúng cho P(k) phải chứng minh cho P(k+1). Thường người

ta tìm mối liên hệ giữa P(k) và P(k+1) để suy ra kết quả phải chứng minh.
*Bước

quy nạp được xây dựng trên P(k)

Trong phần này ta xét khả năng biến đổi quy nạp trực tiếp từ khẳng định đúng
P(k) sang khẳng định đúng P(k+1).
Ví dụ 4.Chứng minh rằng :

1+4 +.. .+n2 =

n(n+1 )(2n+1 )
6

với mọi n ≥ 1. (8)

Lời giải.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Kí hiệu tổng bình phương
của các số tự nhiên đầu tiên là P(n).

1=

1.2.3
6

1.

Bước cơ sở:

2.

Bước quy nạp: Giả sử (8) đúng với n = k,

P(k)=

1+4 +.. .+k 2 =

, công thức (8) đúng.

k (k + 1)( 2 k +1)
6

Khi đó P(k+1) = 1 + 4 + ... + (k+1)2 = P(k) + (k+1)2
=

k ( k+1)(2 k +1)
+( k+1)2
6

=(k +1)

2k (k +1)+ k+ 4 (k +1)+2
6

17/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

=

(k +1)( k +2 ) [ 2(k + 1)+1 ]
6

Do đó (8) đúng với n = k + 1. Theo ngun lí quy nạp tốn học (8) đúng với mọi n.
Ví dụ 5. ( Phân số Ai Cập)
Ta xét tập hợp những phân số có tử số là 1 và mẫu số là những số tự nhiên lớn hơn
1
1
1
1
1: 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; .... Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 có thể biểu diễn 1 thành

dạng tổng n phân số khác nhau trong tập hợp trên.
1 1 1
+ +
Ví dụ như n = 3, ta có thể viết 1 = 2 3 6

Lời giải.
1.

Bước cơ sở: Với n = 3. Mệnh đề đúng như ví dụ trên.

2.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n – 1, nghĩa là với n – 1 phân

số khác nhau

1 1
1
1= + +. . .+
a b
k

Ta có thể cho rằng những phân số sắp xếp theo thứ tự nhỏ dần, nghĩa là số ở
mẫu tăng dần. Ta chứng minh cho trường hợp tổng của n phân số dựa vào đẳng

thức sau đây

1 1
1
=
+
k k +1 k ( k +1)

Công thức này chứng minh đơn giản bằng cách biến đổi trực tiếp. Như vậy,
18/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

các phân số trong trường hợp P(n-1) vẫn giữa nguyên, chỉ có phân số cuối cùng
tách ra làm hai phân số, vậy P(n) đúng. Suy ra theo ngun lí quy nạp tốn học
khẳng định đúng với mọi n ≥ 3.
*Bước quy nạp được xây dựng trên P(k+1)

Bước quy nạp toán học cần khẳng định P(k+1) suy ra từ P(k). Nhưng nhiều khi
việc biến đổi trực tiếp từ P(k) sang P(k+1) gặp rất nhiều khó khăn hoặc khơng có
hướng chính xác để biến đổi. Khi đó ta phải làm ngược lại để biểu diễn P(k+1)
thành những mệnh đề P(k) và tiến hành quy nạp.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng số zn = 32n+1 + 40n – 67 chia hết cho 64 với mọi số n
nguyên không âm.
Lời giải.
Bước cơ sở: z0 = 31 + 0 – 67 = - 64 chia hết cho 64, mệnh đề đúng.
Bước quy nạp: Giả sử zn chia hết cho 64. Khi đó
zn+1 = 32n+3 + 40(n+1) – 67
= 9(32n+1 + 40n – 67) – 320n + 576
= 9.zn– 64(5n – 9).
Vế phải của đẳng thức sau cùng chia hết cho 64, vậy với n+1 mệnh đề vẫn
đúng. Do đó theo ngun lí quy nạp tốn học bài tốn đúng với mọi n khơng âm.
Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đến việc vận dụng
phương pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải một số dạng tốn đó là: Chứng
19/32

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn

minh sự chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật, chứng minh bất đẳng thức
và một chút ứng dụng vào hình học. Hy vọng với một số kinh nghiệm nhỏ này sẽ
góp phần vào phương pháp dạy học, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,
giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán và tư duy giải toán có hiệu quả hơn.
4, Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh:
4.1, Dạng 1. CHỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT:
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp

thì chia hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên dương liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2
Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]
+ Với n =1, ta có: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36

9

(1)

9

Vậy (1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với n = k (k  N) tức là: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3]

9

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]

9

Thật vậy ta có:
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 +27k + 27
= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3)
20/32

skkn